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1、模型介绍直角：角形中.。边上的高是两出角边在斜边上射影的比例中项.每一条直地边是这条白角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.2.如图在Rt八BC中，8AC=90,AC是斜边BC上的高，有射影定理如下;0注意：直Jl三角彩饼边上有高时，才能用N定现!八方=8DDC:aH=8CBC:AC2=CDBC.【例1】.在矩形A8C。中.AC交4。于点,G为垂足.若CG=CQ=I.则AC的长足耨：四边形A8CO是矩形，.,.AB=CD=.A8C=90”AG-AC=AB1（射影定理,：IiEl.AC.：.ZG=90ZAHC.：ZBAg=ZCAB.J.BGACB,：.即（,AC-1）AC=I2.籍得：AC=上耍或
2、AC=耳（不会虺也J人,即AC的长为故答案为：上孚.【例2】.如图：二次函数y=1+x+2的图象与X轴交于A、8两点，与y轴交于C点,若ACBC则。的值为（）D.-2解；设A(i,0i0,C(0,t),；：次函数y=+bx+2的图象过点C（O，八,*f三2:AC1.BC.：.OCl=OAOH射影定理BJ4=kx2=-xxi【例3】.将BC沿弦BC折光.交直径AH于点/).若八。=4./)8=5,则BC的长足(C.65D.215报楙折的怜.Vj.知CD所对的冏同角等I-ZCBD.XVACHHJI-(7m.-ZCHD=ZCHa.AC=CD(相等的例周角所对的弦相等：是等腰二角形：过C作CEB于E.
3、,JAD=4.则AE=OE=2：；.BE=IiADE=7；在Rt方中，CEAB.根据肘影定理.褥：8C2-8E八8=7X9=63：极BC=S11.故选：八.A变式训练【变式I】.如图，在八8C中，TiAB=AC,BC=2BD=6,DE1.AC,则AOEC的的是9.解；如图，Y在AA8C中，若A8=AC.BC=2BD=6.ADlBC,CD=BD=3.XDE.AC,：.NCED=，CDA=W.：ZC=ZC.二丝=毁，八CC=S-9.（射影定列）ACDC故答案是:9.【变式2.如图所示,在矩形八8C/）中，AEIBDFaUE.对角线4C,8。交于O且8占D=1：3.ADOCB.则。的值为（解：设BE
4、=X,因为8E：ED=I:3,故EO=3,根据射影定理，AD2=Ix(3x+x.即36=12?,?=3：由Af2=8EEf),E2=x3x;即4炉=32=3X3=9:AE=3.变式3.如图.若抛物线,v=+fer+c（Q）与X轴交于A、8两点，与轴交于点C若/OAC=/d-解：设A(.(.B(.X2.O).C(O.c).二次函数F=OX2+r+c的图象过点。（0.c）.OC=c.；/OAC=ZQCB.OClAR.O4COC.OAOC0COBOCi=OOB(即射影定理即kX2=C2=-Xl.w,令2+c=0.根据根与系数的关系知wm=,a.C2-X1X2=-=C故ac=-I.故选：A.【变式4】
5、.如图，正方形A8C。中，E为八。上一点,_1.0E于点R已知。尸=5=5,过C、。、F的。0与边A。交于点G,则CG=在正方形八8。中，ZED=ZDC-90.F1DE,.,.AFDEAD,.AD_DFEDAD,又Z4DF=90i.ZUAF=ZCDf-.：四边形GFCD是00的内接四边形.，/FC。+/DGF=I80.VZFG+ZDGF=ISOt.：.,FGA=NFCD,iaafgsadfc,.AGAFCDDF.AG57305ag-6.dg=4D-g=30-6【变式5】.如图，在aA8C中，以八C边为直.径的OO交8C于点。，过点3作8G1.AC交。于点A/,.ZADC=W.BG1.AGZfi
6、GC=ZAfC=904,Y/BCG=/AC4.,.ADCsABGC.DC-AC*r，CGBCCGAC=DCHC=614=84.连接AE.为0O的直径，AZAEC=90,Z4EC=ZEGC=90,/NACE=ZECG.:ZEGS&CAE,.警【变式6】,如图,四边形八8。是平行四边出，过点A作AEjC交8C于点点尸在BC的延长线上.RCF=BE.连接。凡求证；四边形AEFO是矩形：2连接4C,若ACO=90,AE=4,CF=2,求EC和AC的长.(1)证明：；四边形ABCD是平行四边形，.D8C4D=8CVCF=BE：.BE+CE=CF+CE.eJBC=EF,.,.D=EF.；A/)ER.四边形
7、A和是平行四边形，AElBC,.4EF=90,二平行四边形AEFC是矩形：(2)M:如图，TCF=BE,CF=I,：.BE=2.；四边形A8C。是平行四边形.：.AH/CD.：.ZHAC=ZACD)O.E1BC,AE1=BEEC，EC=-=-=S.acVae2-e2V42+824Vs.实战演练1 .如图.在矩形A8C。中,DE1.AC,垂足为点.若SinND=4,则AB的长为（3耨：Dl-IAC.：.ZADE+ZCAD-y;/八c+cm=90.ZCD=ZDE.；矩形ABCD的对边AB/CD.：./RAC=/ACD,VsmZXDA-45BcAD-4.BC_匡工_2-AC5,AC51-acs由勾I
8、R定理得，=VaC2-BC2=,赦选：C.2 .如图，在矩形ABCC中，D=23.对角线AC与BC相交于点。，过点。作AC的垂线，交AC于点E.AE=3CE.则OE?的位为（D9.4D.43衅：；四边形A8C7)是更形，八。C=X),C=JD=23,：AE-3CE.争C-3CEX冬VZDC=90,.NZMC+NACD=90VD,1.AC.；./AZ)=NCEC=90,Z4DE+ZMC=90*.ZADE=ZACD.DEDCE.,镖=善CEDE梦噂仔故选：C.3.如图，在正方形ABa)内，以。戊为用心，AC长为半径的弧与以8C为食径的半IflI交于点P,延长CP、解：如图.设点S为BC的中点,连接
9、。巴OS./)S与Pe交于点W.作。E!.BC干点E,PF1.AB于但F,：.DP=CD=2.PS=CS=.即DS是夕C的中承线.DCSDAS.：.NDPSrNDCB-孙.：.DS-DC2+CS2=22+l2.由三角曲的面枳公式可得尸。一芈-.8C为FH3：.ZCPB-W.PB-BC2-PC2,尸斤=小=窄”=卷,=w-=pb2-pe2=-AF=AB-FH-；AP=y标2+pp2=”10故选:B.O34.如图.点P是0。的出径BA延长线匕一点,。与0。相切干点C.CDlAB.十足为D,连接AC.BJ0C.那么下列结论中：PC2-小P8:PCOC=OPCD:OAja)0P:OAiCP-CD)=A
10、P解：YPC与0。相切于点CAZPCff=Z.A.ZP=ZP.W.VEH1HF：.HE2=2,4=63.ZC=45.V.=CW=-S-=431.,.W=l23430.BHNF.：hjflr-(43)2403.1233故答案为呼.*BHFC6.如图,在矩形A8C7)中，点E在边八。上，千点F.F为CD的中点，连结CG.若点,COSNOEC的值为2-I.A1与Q国BC解：；四边形A8C7)是矩形，切.13-l呼w5把448E沿直晚BE胡折，的到AGBE,BG的延长线交C。G.C在同一条向线上，FG=I,则CD的长为2+22.：.Ali-CD.!)ac.ZfiC/?-ZA=ZD-Vtr./AER=N
11、EBC,ZBCG=ZDEa中折质的性质得：BG-BA.NEGB=NA-ZGEH-ZAKB.ICD=BG,：.ZEBC=ZGEB.IBC=EC,:技F.,G.C在同一条直线上，ZCGF=90,ZCGH=180-/EGB=90,.r为8的中点.ACF=DF.设CT=OF=%则ZJG=CD=2*,VNCFG=BFC.:ZFGS&BFC.CF_FGBFCFcf2=fgbf.即/=IX0,又因为。C_1.A8.UOlAC,所以在RIC中，BOi=AOCO.代入数Ift为：I=1(CO=Jk,k同理.6；RtCD.CO2BOIX).代入数他为：/IX).lM)-k:乂因为A恰好是线收EC的中点,所以H为H
12、)的中点,Ot1+1+*2.RE)I.根楙射影定理.EO1DO*OF,即Tz*便理得2+2)-0,解得无一&.根据中位殴定理.杼=2GB=2.+(&)2)2=aFF268 .如图,在菱形A8C。中.过点。作在E_1.CD交对角线AC于点连接8幺点P是线段BE上一动点.作P关于出线。E的对称点.点。是AC上一动点.连接。Q.DQ.若AE=14.CE=IS,则。0-产Q的最大值为_粤2_.解：如图,连接应殳AC于点0过点。作)K18C于点K延长C万交ABF点R连接F：P并延长,延长线交A8于点J,作Ey关于AC的对林线段,则点产的对应点?在线成/1.当点P是定点时,DQ-QP=DQ-QP,当。,P
13、J0共线时。/)-。的优最大技大值是线段。的长.当点。与8顺合时,点P与./重合.此时“0-0的低最大.最大值是线段/的长.也就是线段ZW的长.四边形八8。是菱形，AC).40=OG；A=14.7=18,AC=32.Ao=OC=16.：.OE=AO-A=16-14=2.：DElCD.：.NDoE=WEDC=90：NDEo=NDEC,；3DoSaeCD,DE2=EOEC=36.IDE=EB=EJ=G,cd-ec2-de2Vi82-62I,oDE2-0E2V2-221.HP=82.vs伙Xocy;7).22.八A，16X8加321223：/HER=ZDCK,32.in8EK=sin/CK=空=I1
14、.CD12293皿挈=挈e：EJ=EB.ER1.BJ.：.JR=BR=空-、3.Mg，=里叵,3二。-。的最大俏为粤2.W解法二：OQ-产Q=AQ-/Q8尸，$2然产的轨迹EA故最大值为A/.勾股褥（7）.OD./?/）/-BAD.BlFKBJ*BA,UI得所故答案为:16239.在矩形ABCD中.点E为射线BC上一动点,连接AE.1）当点E在8。边上时.将AEIft折，使点B恰好落在对角线5。上点F处,AE交.BD于点如图I，若8C=g八从求/）的度数:如图2,当A8=4,且EF=EC时，求8C的长.o-ZAFR=I2Os山折ft的性防得：BFlAE.EuH：EF=EC,：.EF=EB-EC
15、.：.BC=IBE,；四边形/SC。是如形.NA8C=9(),AD=BC2BE,DBC.ADGEBG,里=坐=2，AG=2EG,EGBE设EG=,则AG=2x,E=3.在ZXABE中.BG1.AE.IAfi2=AGME(射影定理),BP42=2t3.解得2芟(负你1舍去.AE-2d,=AE2-AB2=(26)2-42=BC=2BE=42.即8C的长为侦：2)当点，C.O三点共税时，如图3,由UJ知.C42.；四边形A8C/)是坦形.ZztBC=ZBCD=906,AD=8C=4瓜CD=AB=4.AD/BC,ZDCE=90,Z.CED=BD.由折扑的性质得：As=AB=4,Zfi=ZMBC=90,
16、/.ZDCf=ZfT.DC=ff.：.CDEBAD(AS).de=d=a近.：.Cf-pE2-CD2=V(42)2-42=九：.BEHOCE42+4.(I)VM=O=2.MOM=I.CM-3.10.如图.已知o。的半径为2,AB为直径,C/）为弦，八B与C。交于点M,将孤C。沿着（7）曲折后,点A与网心O重合.延长OA至P.使AP=OA,连接PC.I）求证：PC是。的切然；2点G为孤人。8的中点，在PC延长线上有一动点。，连接QG交AS于点E,交弧BC于羔F（F与8、C不JR合）.问GOGF是否为定伯？如果是，求出该定做：如果不是，请说明理由.又.CW尸=OWC=90.MC2*PM2-23JO
17、C=2.Po=4.PCi+OC1=PO2,./PCO=90”.rc与。O柑切：(2)GEG6为定值,理由如下：如图2,连接GA、F.GB.；点G为孤ADB的中点,.AC=GB,./BAG=NAFG.：ZAGE=ZFGA,IAAGEsAFGA,.GFG二-,GEAGgegf=g2.Y8为口径，fi=4.二N8AG=A8G=45.G-22.GEG尸=AG2=8.如图1,在正方形川纥。中，点是八。边上的一个动点（点E与点A,8不重合，连接C,过点8作BF1.CE于点G,交AD干点F.求证；XABFTMCE；2）如图2.当点E运动到八8中点时，连接/X；,求证：。C=）G:3）如图3.在（2）的条件下
18、,过点C作C干点儿分别交AD4户干点M,M求色的值.NH图1图：！图3(1)证明rVflFlCE.ZCGB=W.：，NGCB+NCBG=90,四边形ASCC是正方形，/.ZCfiE=90=ZA.BC=AB.：.nM+NC8G=90.；.NGeBNFBA.ABFBCE(Sh2)证明：如图2.过点Q作。，ICE于从设A3=CD=8C=25；点E1是八0的中点.EA=EB-AB=(h2.CE=5r在Rl(?中，根据面枳相等.fBGCE=CDEB.25.BGu，3：GC(AM).：.CH=BGhJGH=CG5：DH=DH,ZCHD=NGHD=90：，/)G49AAXH(SAS).：.CD=GD-.-D
19、MM.DHMH3ch=dh19，“M=京”.在RtACHG中.C(i=-a.CHs.55,GH=Vcg2-Ch2=小：NMG”+NCGH_90：ZCG+ZCGW-90.ZCGH=NCNG,XdGHNMCHG,.HNHG,HGsCH、HG22“NF一针.,.MN=HM-HN=-21JNEa$,NH-245aS312.在平面直角坐标系中，已知A(-4,O),B轴的正半轴于点C(0,2) .过点C作网的切线交X轴于点D.(1)求过八，B.C三点的拊物线的解析式：求点。的坐标：设平行于X轴的口战交拊物线于E,尸两点，何：是否存在以雄段E尸为Il径的圆，恰好与X轴相切？若存在,求出该酸的半径：若不存在，
20、请说明理由.?：（!）令二次函数y=ax2+hx+c.，J16a-4b+c=0a2则a+b+c=O,.3,lc=2b=7c=2二过A,8.C三点的她物线的解析式为F=-#令+2.A历为“性的圆的圆心W小为-.0）.2：.oc=.OO=;22；。为0。切线.0ClCD.：.ZOCO+ZOCD=90,.ZCOO+ZOCO=90i.:.zco=/neo.:.cocxx3_二更一=，即2=工，OCOD2ODAOD=A1坐标为（,0）,3）存在.拊物线对称轴为X=-g，2设满足条件的阅的半价为r,则的坐标为(-+r,PPF2-(-222R=-1-(含去)，I22.Z.l.41-(*去：29故以EF为：.匕的叫恰好。A-IfIiHlM该IB的%-1
