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1、画落定理模型探究1.弦切角定理(I)弦切角：顶点在圆上,一边和即相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.(2)弦切角定理：弦切加的度数等于它所央的如的留心角的度数的一半.如图所示，直线户/切IHoF点CIiC.AC为阴。的弦，则有NpCt=P8C(NPC八为弦切角.2、相交弦定理【结论1】如图,OO中，弦AB、CD相交于点P,半径为r,则APBP=CPDP,APBP=CPDP=H-OP23、切割检定理【结论2】如图，PBC是。O的一条割线，PA是OO的一条切线，切点为A,半径为r,RiJCDPA2=PBPC,PA?=PBPC=P02-r24、割线定理.【结论3】如图，PAB、PCD是。0的两条割线
2、，半径为一则PAPB=PCPDPAPB=PCPD=OP-r2团口诀；从两线交点处引出的共线线段的乘积相等例题精讲才点一:相交弦定理【例1.已知：如图弦AH经过0。的半径Oc的中点R旦AP=2.PB=3,则是0。的半径等于)A.2B.6C,22D.26解：延长C。交。于/).设。的半径是R.:弦AB经过。的半径OC的中点P.:.cp4-rop.,d-4-r+.22由相交弦定理得：APHP=CPUP.则2X3=%XWRM22解汨：R=22故选：C.A变式训练【变式1-1.如图.0。的弦A/?、Co相交于点E,若C：RE=2:3,WlAF：DE=2:3解：的弦八8、CV)相交于点.AEBE=CEDE
3、.,.AE:DE=CE:8=2：3.故答案为：2；3.【变式1-2.如图.在。的内接四边形A8CQ中,AClfiD.CA=CH.过点八作AC的垂纹交CO的延长线于点E,连结BE.若c。SNAC8=百,则典的值为义乳.5CE一5一解：设ACBD交.1，点F,过点8作8G1.EA.交EA的延长线干点G如图.VACD.cs八CS=年，,sZCB-=.BC5设=3.MiCB=Sk.y=c2.cp2=4.：CA-CO.,.AC=5Jt.,.F=C-CF=2k.JCFAF=DFBF,3，。尸=W忆2e：AC1.BD,AEUeDFAE.DFCF三?-AECA,CEAC2+AE2AC1.BD.AElAC.BG
4、1.EA,.pq边形AFAG为矩形.：.BG=AF-2k.AG-BF-Ak.MG=AE+八G=I,2t-BGG2=华.故答案为：隼.55才点二：弦切角定理【例2】.如图.割线小H过网心00。切。于/),C是丽上一点，P)A=20,则/C的度数是UO解：连接W)则/8/).4=90.VPD切Oo于点D,J.ZABD=PDA=20a.CA8=90-ZABD=90,-20*=70：XV四边形IXR是圆内接四边形.,.ZC=18()c-ZWAtf=1XO,-70IlOA变式训练【变式2-1.如图.已知NP=45角的一边与00相切于A点,另一边交00干从C两点.Oo的半耨：连接0B.作“O1.AC于/)
5、.CE1.APF.D.5,:OA-OH.：.Z0DZ0C.Dl)C2.：dVoa2-AD222.：PA切。FA,:CAE=ZB.。崎NAOcZCAE-ZAOD.；NAEC=NADO=90,.CEOD.CEAE=ACADODOA.210l,-410CtAc3VVZP=4So,PCS是等直角:角形，：.PE=CE=VPAAFyPE.耨:连接8。，如图.：DEDA.CAE=/吊ZP=ZP.MCPR4.AC:AH-PCiPA.22:AB=唔噜,33二48二6.故选：B.【变式2-2.如图，8/,是。的切次茏CC与过切点的口径A8交于点E,CC的延长观和切规交于点P,.8C=2,则线段CP的长为_生善_
6、.3ZA=ZDEA.：NDE=4BEGNDCB=NA.：.N8EC=NDCB.JJiE=RC=I.：ZDER=W-ZBEC.ZBCP=I8O,-ZBCE.ZDEH-ZHCP.H0足。的切线./.NBDE=NPBeS:BS&BCP.DEBC二BECP许工工2CP：.CP嘻J:3才点三：切割微定理【例3】.如图，Il线由过半圆的圆心。交半圆于A,8两点，PC切半照与点C,己知PC=3,PB=1.则该半圆的半径为解；PC切半10与点C1.PC2=DkPB,即例=9.则AB=9-I=8.则网的半径是4.故答案为4.A变式训练【变式3-1.如图，RtAA8C中，NC=90,。为AB上一点，以。为国心，O
7、A为步径作阴。与8C相切于点0,分别交AC、ABFE.F,若CO=2CE=4,则Oo的Il径为()解：连接0。，过。作AC的疝线，设乖足为G,D.12VZC=90v，二四边形X?G是矩形.是切线，CEA足割线.CVJ2=CfCA.VCD=2CE=4.,.AC=8.AE=6.GC=3.OD=CG=S,：.QO的百.径为10.故选:A.【变式3-2.如图.在四边形ABCQ中,以A8为直径的半网O经过点C./).AC与8。相交千点E.CD2=CE-CA.分别延长人从OC相交于点RPH=B().CO=22则8。的长足4.VCD2=CfCi.CDCACEDCCDCDE.ACAD=NCDE.：/.CAD-
8、ZCHD.：.NCf）B=ZCBD.C=DC:设。的半径为r.：CD=CB.*.CD=CB./BOC=NBAD,：.OC/AD.PC-9CD0Ar2.,C=2CD=42YNPCB=ZD.NCPB=ZAPD.：.APCBs&MD,.PCPB11,142PAPD3r62.r=4（负根己经舍弃）.：.OB=4.故答案为4.【变式3-3.如图.KRtAC.ZC=90.8E平分NA8C交AC于点,点。在A8上,UElEB.1求证：AC是ABDE的外接网的切线：若仙=2戈，AE=62,求8。的长.(1证明：连接。,VBE平分NABC交AC于点E,.Zl-ZEBC.VZI=Z2.：.N2=BE,J-ZAEO
9、=ZC=Wt,.AC是。的切线.：0。是CW)E的外接I乱AC是ABDE的外接收的切线S2解；Y八足即。的切线,八8是削的制线.根捌切割线定理：AEI二八XA8.AD=26,AE=62.226(26+wn话得：-46.：.BD的氐迂:46.才点四：制我定理【例4.如图，过点P作。的两条割战分别交。于点A、8和点C,D,己知网=3,A8=C=2,则耨：；用=3.=PC-2.：.PB=5.PA-PH=PCPD.PD-7.5.故选：n.A变式训域如果AP=4,【变式4-1.如图，P是01。外的一点，点B,。在Ifll上，PB、P。分别交&IOF点4、解：如图.：AP=4.Ali-2.PCCl).PB
10、=P+AB6.PC=WPD.2又pIPB=PCPD.46-Z2.2则PD=43故答案是，J5.【变式4-2.已知H角梯形ABe的四条边长分别为A8=2,C=CD=IO.AD=6,过与BA的延长规交于点E,与CB的延长线交于点尸.则BE-RF的值为一一.D两点作圆,设BE.)G的中点分别为点M.M则易知AM=/JM.8C=6=I(),由例线定理得，CH*CF=CDCG.YCB=CD.BF=tX.：.BE-HI-IiE-DG=I:S,WM=n1:b2=4:9.3 .如图，在八8C中，B=AC.ZC=72.QO过B两点且与BC切于B.与AC交于D.连接BD,若C-51则AC=2.解：-AB=AC.Z
11、C=72p.AC是0。的切线.CBD=NBAC=360,ZABD=36.：ZBDC=NBeD=I2。：.AD=BD=BC,又.AC是切线.BC2=CDC.BC2=C1i2C=v),则可汨到：J2=J(5-1)2解得；=2.n=5-3(JWVo不合题慰，舍去.AAC=2.4 .如图.O”的直径八8=8.符如伙,沿弦8C折登后与NA8C的角平分线相切,则入18。的面积为解：设孤8C沿花8C折黄后的阿孤的叩心为O,连接O8,如图,Y将如K沿弦8C折我后jA?C的角平分线楣切，：.OBltil).0BD=90；设/八80=,则NBCD=NABD=a,.ABC=2a.由折登的性植得：ZC=ZO,BC=2
12、a.二NOBD=/OBC+NDBC=3a=90,.=30.：八8为。的比径.,.ZACB=W,BC=coaZABC=8cos60,=4,4C=4sinC=8-3ABC的Ihl枳ACBC=-443=83.故答案为：3.D5 .如图.。是aA8C的外接网.NZMC=45.AD1.BC于点D.延长A。交。于点若8。=4.CD=I,则CE的长是_送养解：illOB,OC,OA,过。点作Of1.frt-TF,作OG_1.AE于G,.)0是&48C的外接19,ZAC=45.二/88=90”.VD=4.CD=I.C=4+l=5.二。“。C=嘤.(7A=皿,OF=RF=I22：.DF=BDBF1.20G=3G
13、D=与22解法-；fERtAGO.G=0A2-0G2-p-：.GE年2T-5：.Dl.GE-GD.2_Tia.：flKtAGO.AGJoA2_0G?,T+5.ADAG+GD-.2；ADXDE=RDCD,df=1V41-5pe741-2-2解；如图,过点八作A/U8C于点R交8千点:过点8作8GA”,交OEF点G；AB=AC,：.CF=BF,ZA=2ZWMD;而A=2NE,INHAD=NE,.A.H、从E四点共网.,.l)HDEQ”8=4X5=20：JBG/H.IlCFBF,二八OSfiGD.CH=HGx典黑互.没。=5,WlDG=4.DGBD4CD=C+D=l4.,CD20.141CDDE=5
14、6.故答案为56.7.如图：BE切。O干点B,C交。于C,。两点，且交食径于八8于点P,OH1.CDjFII.011=5,连接8C、OD,且8C=8E,NC=40,劣弧8。的长是当冗-9：BE=BCZE=ZC=40q.ZfiOD=80,20BD=NODB=(180-280。)2=5O.hf:是切找ZDtfE=ZC=4()-：.NBDE=180-Z-ZDBE-1ZDO-18()-ZODli-NbD1.划JOHlCD.OH.3瓦丽=10,即圆的半径是IO.械ZW）的度数是80吱强HD8011iQ,40111808.如图.在平面直角坐标系中0。经过点八(4.3).点8与点。在F轴匕点8与原点”重合.
15、且.48=AC.AC与。交千点。,延长40与0。交于点E,连接CK、。E与X轴分别交于点6、亿则tan解：设回0,jV轴交于点H.K.过点A作AM1OC于点M.过点D作I)NOC于点N,如图.A-4.WO=3.A。A)3m滔S.A8=AC,点8与原点。虫合，AR-AC=5.4fc,=24O=10.:4为。的直径.ED1D.VAB=AC9AM1.OC9OC=2O=6.CH=CO-(W=6-5=1.：CK=CH+H1+10=II.VCDC=CCK.rn.l11.11cdT.I)C-CD=5-一普33DC-ae2.ad2谭.48.仙皿嚼噎亨.5VDHIOC.FOkOC.：.DH/OF.ZFO=ZND
16、F.:EDlAD.：NDF+NCDN=W.VD1VOC.ZCD.VZrCD=90i.ZDF=ZVCD.ZDFC=ZiVCD.ua：tanZDFC-Ian乙NCD-黑=4.CM3故答案为：4：等W9.如图.AC.AH=AC.O。是ZA8C的外接做）,C/）是。的切线.C为切点.KCD=CH.连接A/）.与。交于点比求证AD=AB-.若AE=5,8C=6,求。的半径.1/B=NACB,：CD也0。的切线,C为切点,：.ZACD=ZB.：.ZCD=ZCB,：BC=BD,AC=C,4Ct2CD(SAS),：.AR=AD-.VMC2CD,AO并延长交SC于点凡；.ZCAR=ZCAD.BCCE.：.BC=
17、CE.BCD=6ACE=CD=6.ZD=ZCED.：AB=AC,AB=D.AD=C,ZACD=D.：.NCED=NACD,：.ADECsf)CA,.DE一DC*DCDA.DE6.,.65+DE.DE=4或DE=-9(舍去),.,.AD=AE+DE-i).：.AB=AC=AU-9.：AB=AC.OB=OC.AF是8C的垂直.平分线，：.AFBC-WF=CA=-HC=3.2.4F=ac2-cf2=92-32=ft2设。的半径为r.住RlZiOPC中.OI-i+CI-i=OC2.：.2-r2+32=r.r=.0G的卡径号祀.10.如图，AA8C是。的内接三角形，CO是。的直径，A8_1.C。于点E,
18、过点A作。的切规交CC的延长线于点R连接FR(1)求证,FB是C)O的切线.AC=45.lanZACD=4求OO的半径.丁Et是G)O的切线，O1M.，/用0=90,V直径CD1AB.JC垂直平分人儿：.AF=BF.:ZFBE=NFAE,YOA=OB.：.ZOBE=ZOAE,；/OBE+/FBE=/EAE+ZOAE=/EAo=呵，半径ORFB,，/*8是0。的切线，就：.tanZCD=-.CD2令AD=x.则CD2x.；八DC是直.角三角形，,c=AD2*DC2=x2+(2x)2=5x=45.=4D=4.CD=8.jad2-dece.4-=8DE.CD=DRCEk2+8=10.0O的半径长是5
19、.H.如图，正方形A8C/）内接于00.点E为AB的中点.连接CE交8”于点匕延长CE交。于点G,连接8G.求证：Hf=FEFG;2若八8=6,求和EG的长.(1)证明rY四边形A8C。是正方账.：.AD=DC.*.-*.AD=BC.IWDBA=4G.VNEFB=NBFG,：.EFBS4bfG，.FBEF而=Tr：.F用=FEFG;解：连接(旭.如图,.YB=AO=6,A=90,wAD2+AB262:.ond=2.点F：为八8的中点：.OE1,AR.：四边形A8C/）是正方形.：.BC1.AH.NM4=45,AB=HC.：.OEffBC,OE=BE=-AB.2.OF3J“FB-BC2.OB-B
20、F1,=*BF2.32-BF.1BF-s2F-22;；点为48的中点.E=E=3.ecBE2*BC2=昭YAEBE=EGEC.3.J-1512.如图，G)O的利我P8A交。于/1、B.PE切Oo于E,NAPE的平分城和八、SK分别交于C、D,PU=4.NA8=60”.PE=443I）求证：APDEsAPCA:2）试求以加、08的长为根的一元二次方程:3）求C）O的面积.（答案保刷n）证明；由弦切角定理得4PEB=NE.AB,YPC是/A尸E的平分税.KPE=NCa.：.PDES4PCA：2解：由切割纹定理得/=MP8.V,E-43PH-4.,.M=I2.M+P=I6.PAPB=4.，所求方程为
21、：r-16v+48=0;解:连接Bo并延长交。0于连接F.则8F是。O的“性.,.ZBAF=90i.二/7J=F=6O.3211（向积单仅）.二。的曲供为：11（野）2=n（X粤工）24A13.如图，酸O上有A,B.C三点，AC是点径.点。是AB的中点，连接CD交AH于点E,点尸在A8延长线上,且FC=F1）求证：Cr是Slo的切线:若COSF=BE=2,求圆。的半径和OC的值.DilllJ:(I)VAC仆.点/)是AB的中.,.：.ZAHC-W.ZACd=ZHCI).：FC=FE,.ZFCE=ZFEC.VZABC=90c,；NCEF+4BCE=90”.二/ECF+/ACO=90,即AC7r=
22、90.ACCF.又二点C在！9Oh.CF是MIo的切找：连接/W).；AC是R径.点。J窟的中点.二乙4。C=NABC=90,ZACD=ZBCd.iZECMdea.J.DEEC=AEHE.在RtACF和RtAfiCFM1.Ir3_BF。*cH=,5CFAF设CF=3匕MHAF=5k.n-=k.t-AF2-CF2-,.FC=FE=3k,BE=FE-HF.3jt-=2.=.3.MC=学二删。的半径=AC=芈.2 3.l=F-f-E=5k-3*=2*=-.3EE=4r2=-3 3如图，A8为00的口,径，点P在A8的延长线上，点C在00上，且PC2=P8.求证：PC是。的切线：已知PC=20,08=
23、10,点。是AB的中点，DE1C.垂足为,DE交AB于羔F,求EP的长.D证明；连接OC如图I所示:.尸6=尸机MI噜=.VZP=ZP.:ZBCS&PCA,：./PCB=ZPAC,：AB为Oo的仃径.二/八。8=90”，Z4+ZBC=90,：OC=OB./.NoBC=N0C8.ZPC*(=90,即OC1.PC.二PC是。O的切鼓:(2解：连接0。.如图2所示:.PC=2().PB=U).pc2phm.MPC2202pbiAff=-P=30,VCPC.AC_PATBCPC在RtAASC中，F+(Zr)2=3O2.解汨：X=W即SC=/.D，工AB的中力.48为。的门件.AZAOD=90.-JDK
24、lAC.VZ4Cfi=90.,.DEBC.：，NDFO=ZBC.：.ADoFS&ACR,.OF_BC_11-1=tODAC2：.OF=AozP=孕.RjJA尸=孕.222EFBC,.EF_AF_1*BCABTw=1.bc-.42已知：如图，PF是。的切跷,PE=PF,A是0。上一点，直线人从AP分别交0。于8、/),直线OE交。于C连接8C.求证：PE/BCi(2将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到10内，并在O。上另选一点人如图2,其他条件不变，在图2中画出完整的图形.此时PE与8C是否仍然平行？证明你的结论.J.PF1=PDPA.：PE=PF.：.PE2=PDPA.：.PEiPD=PPE.V
25、 ZPE=ZAPE.；.AEPIysAAPE.：.NPED=ZA.VZtCtf-ZA.ZPElJ=NECB.PEBC.解:PE与8C仍惨平行.证明：画图如图.V 0/)SAP：.ZPEA=ZD.VZB=ZD.INPlA=NB.：.PE/BC.已知Aabc是。的内接三用形，bac的平分线与。相交于点/）连接du. ）如图.设NABC的平分线与AD相交千点/.求证：BD=Dh 2）如图，过点D作直线D8C.求证：OE是OO的切线：如图，设弦BD.AC延长后交。外一点R过广作AD的平行线交SC的延长城于点G,过G作。0的切找GH（切点为H）.求证：FG=HG.图VDT5ZHAC.8/平分/ABC./
26、HAD-/CAD.ZAHi/Cli1.VZCAD-ZCBD.：.NCBD=NBAD,：ZBID=4ZHAW,NDBl=NCBgNCBI,INBID=NDBh：.RD=Db. 2）如图.连接O图VZCAD-ZD.-*.-*.BD-CD.：.OD1.BC.,CDE/BC.：.OI)1DE.二OE是。的切线：3）如图.作出径交0。于Af.连接Cf.HH.CH.H/.ZMCH=W=.M+(HH=90.VZ=ZjW.：.ZB-Z.CltM=W.；G是OO的切战./.ZOHG=NCG+ZCWW=Wu.,.ZCHG=NB,如图，连接BH.CH.图是OO的切线.ZCWG=ZHBG,VNCGH=NBGH,.MC
27、GBWG.GHCGBGGHGH2=BG-CG.：AD/GF.：.ZAFG=CD.VZCAD=ZFfiG.：.NFBG=NAFG,.ZCGF=ZBGF.,.CGFFG.FGCGBGFGfg2=bgcg.17.【提出向度】小脱同学类比所学的“圆心角”与“圆周角”的概念，翱顶点在圆内（顶点不在留心）的角命名为面内知.如图1中，ZAEC./8E/）就是词内角，所对的分别是代、丽.那么冏内角的度数【解决问题】小聪想到了将外内角转化为学过的两种角，即Ia周角、切心角，再进一步解决问眼:解：连接8COA.OC.OB.OD.如图2,在&CE中，NAEC=NEBC+NECB；NEBC=WNAOC,NECB=WN
28、BoD22aec=2naoc2nbod=2zaoc+zbod）222即：NAEC的变数=亳（度数+而的度数）（1如图I,在。中，弦AB、C。相交于点若孤血的度数是65”，疝证的发数是40.则NAED的度数是127.5”.【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角.（2）如图3.在0O中，弦八8,C。的廷长戏相交于点E,试探索用外角NE的度数与它所夹的两段如熊、面的度数之间的关系.灵活运用】3）如图4,平面直角坐标系内.点A（5.1在。上,。与y轴正半轴交于点8.点C.点。是线段OB上的两个动点，满足AC=AD.AC.AD的延长线分别交。于点E、E延长FE交轴于点G,试探究/FG。的
29、度数是否变化.若不变，请求出它的度数：若变化,请说明理由.祥：（I）./IEC的度数=2（ACWa效+BDK庾数）,2Z4EC=-(65+40，52.5.2Z4ED=I8O-/AEC=180-52.5=!27.5，故答案为：127.5：()D.BC.连接04.作八1.r轴干Zt-(AC的度数-：NElWABOZBCE44H（三）22=，(记TJ咬故-僚TJ度效).BD的哎数）：,JAC=AD,：.ZACD=ZAlK.1.zk；()-1：FNrjir-BErjrANniA-22：点A(3i).o-3.八F.IanNAO”一埋.3Z4OW-30t.ZAON=120*.Z4O=60,.ZFGO=-(120-60)=30.2.NFGO的度数不变.为30.
