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1、第十三章 轴对称轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴毛有的轴对称图形的对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个
2、图形之间的形状与位置关系,成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称考点一、关于轴对称图形与轴对称的认识1.下列几何图形中,线段角直角三角形半圆,其中一定是轴对称图形的有 A1个B2个C3个D4个2图中,轴对称图形的个数是 A4个 B3个 C2个 D1个3正n边形有_条对称轴,圆有_条对称轴线段的垂直平分线1经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线或线段的中垂线2线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因此
3、线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合考点四、线段垂直平分线的性质6如图,ABC中,A90,BD为ABC平分线,DEBC,E是BC的中点,求C的度数。7如图,ABC中,ABAC,PBPC,连AP并延长交BC于D,求证：AD垂直平分BC8如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线,若BC8厘米,AB10厘米,则EBC 的周长为 A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米9如图,BAC30,P是BAC平分线上一点,PM AC,PDAC,PD30 , 则AM轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对
4、称变换后得到轴对称变换的性质1经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样2经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点3连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分作一个图形关于某条直线的轴对称图形1作出一些关键点或特殊点的对称点2按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形关于坐标轴对称点Px,y关于x轴对称的点的坐标是x,y点Px,y关于y轴对称的点的坐标是x,y关于原点对称点Px,y关于原点对称的点的坐标是x,y关于坐标轴夹角平分线对称点Px,y关于第一、三象限坐标轴夹角平分线yx对称的点的坐标是y,x点Px,y关于第二、四象限坐标轴夹
5、角平分线y x对称的点的坐标是y,x关于平行于坐标轴的直线对称点Px,y关于直线xm对称的点的坐标是2mx,y；点Px,y关于直线yn对称的点的坐标是x,2ny；考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称1 点 A-3 ,2关于 y 轴对称点的坐标是 A -3 ,-2 B 3 ,2 C -3 ,2 D2 ,-3 2点Pa,b关于 x 轴的对称点为P1,-6,则A、B的值分别为 A1 ,6 B-1 ,-6 C-1 ,6 D1 ,-63.点P关于x 轴对称点P的坐标为4,-5,那么点P关于y轴对称点P的坐标为： A B C D 4.平面内点A和点B的对称轴是 A.x轴B.y轴 C.直线y=4 D.直线x
6、=-1 5.下列关于 直线 x=1 对称的点是A点0 ,-3与点-2 ,-3 B点2 ,3与点-2 ,3C 点2 ,3与点0 ,3D点2 ,3与点2 ,-3 6.已知A和B1,3,将点A向_平移_个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称 7.如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形,点A的坐标为2,1,标出点 B 、C 、D 的坐标分别为：B,C,D。 8. 若Am-1,2n+3与Bn-1,2m+1关于y轴对称,则m=,n=9.已知a0,那么点P-a-2,2-a关于x轴对称的对应点P在第象限三、解答题10.已知点M1-a,2a+2,若点M关于x轴的对称点在第三象限,求a的
7、取值范围？11.已知点A的坐标为2x+y-3,x-2y。它关于x轴对称的点A的坐标为x+3,y-4,求点A关于y轴对称的点的坐标。12.如图,从ABC到ABC是进行的平移变换还是轴对称变换,如果是轴对称变换,找出对称轴,如果是平移变换,是怎样平移的？13.如图,ABC,求顶点A、B、C关于y轴对称点的坐标并在坐标系中画出ABC关于x轴对称的EDF。14.已知两点A1,2 B3,11P点在X轴上移动。求PA+PB的最小值。2Q点在Y轴上移动。求QA+QB的最小值。3并求出P.Q的坐标。考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形1作出一些关键点或特殊点的对称点2按原图形的连接方式连接所得到的对称点
8、,即得到原图形的轴对称图形4如图,RtABC,C90,B30,BC8,D为AB中点,P为BC上一动点,连接AP、DP,则APDP的最小值是5已知等边ABC,E在BC的延长线上,CF平分DCE,P为射线BC上一点,Q为CF上一点,连接AP、PQ.若APPQ,求证APQ是多少度作点Q关于BE的对称点R,交BE于点H,从而可得QCHRCH,QCH=RCH=60度。A,C,R在同一直线上。易证PCQPCR,从而QPH=RPH,PR=PQ,PQC=PRC.又由于AP=PQ,从而AP=PR,得到PRA=PARBAP+PAC=PQC+QPCBAP=QPC即有：BAP+B=QPC+APQ即APQ=60等腰三角
9、形有两条边相等的三角形是等腰三角形相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边两腰所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等简写成等边对等角性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合特别的：1等腰三角形是轴对称图形.2等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等简写成等角对等边特别的：1有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形2有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形3有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形4有两边上的高线对应相等
10、的三角形是等腰三角形考点五、等腰三角形的特征和识别11如图,ABC中,ABAC8,D在BC上,过D作DE AB交AC于E,DFAC交AB于F,则四边形AFDE的周长为_。12如图,ABC中,BD、CD分别平分ABC与ACB,EF过D且EFBC,若AB 7,BC 8,AC 6,则AEF周长为 A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 13如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上,且ABBCCDEDEF,A20o,则FEB_度14已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40,则它的一个底角的度数是_15如图：在ABC中,ABAC,ADBC, DEAB于点E, DFAC于点F。试说明DED
11、F。16如图,E在ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DFEF,BDCE.求证：ABC是等腰三角形.17已知：如图,ABC中,ACB的平分线交AB于E,EFBC交AC于点F,交ACB的外角平分线于点G试判断EFC的形状,并说明你的理由等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等,并且每一个内角都等于60等边三角形的判定方法1三条边都相等的三角形是等边三角形；2三个角都相等的三角形是等边三角形；3有一个角是60的等腰三角形是等边三角形考点六、等边三角形的特征和识别22下列推理中,错误的是 AABC,ABC是等边三角
12、形BABAC,且BC,ABC是等边三角形CA60,B60,ABC是等边三角形DABAC,B60,ABC是等边三角形23如图,等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CECD,DMBC,垂足为M。求证：M是BE的中点。24已知ABC是等边三角形,分别在AC、BC上取点E、F,且AECF,BE、AF交于点D,则BDF _度26如图,D、E、F分别是等边ABC各边上的点,且ADBECF,则DEF的形状是 A等边三角形 B腰和底边不相等的等腰三角形 C直角三角形 D不等边三角形角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上
13、.三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离相等考点七、30所对的直角边是斜边的一半29如图,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB8m,A30,则DE等于 A1m B2m C3m D4m31一张折叠型方桌如图甲,其主视图如图乙,已知AOBO40cm,C0D030 cm,现将桌子放平,两条桌腿叉开的角度AOB刚好为120,求桌面到地面的距离是多少？甲32如图,ABAC,DEAB于E,DFAC于F,BAC120o,BC6,则DEDF33在中,的垂直平分线交于点F,交于点如果,求的长34已知：在ABC中,ABAC,BAC120,AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证：CF2BF.
