《随机信号分析-教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机信号分析-教案.docx（35页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、第1章概率论基础本堂将发习与总结概率论的基本知识也扩充一些新知识点，比如：1)利用冲激的数表示禹放与混合型随机变量的概率密度函数.2)附机变枭的条件数学期里3)特征函数4)瑞利与莱斯分布5)随机变网的条本实验方法1.1 概率公理与随机变贵1.2 多维随机变值与条件随机变fit1.3 的机变属的函数1.4 数字特征与条件数学期里IO1.5 特征的数1.6 典型分布1.7 曲机变价的仿式与实验1. 1概率公理与随机变量此句作为后面每页PPt的标题随机试2(RandomExpeHmenD:时驰凯现象做出的观察与M学寞抬样本空闿(Samp1.espace)：施机试验所有的基本可能结果构成的.集合称复.
2、C的元素为样本点(Samp1.epoint).事件(Event)是试脸中,人们厚兴趣的结果”构成的集合，是Q的子集，各种不同的事件的总体构成一个事件集合，称为1F.事件是随机的，赋予事件个出现可能性的度埴值，称为概率(Probabi1.ity),“可能性的度量位”是“宏观”意义下即大数球的情形下的比例(ft,E相对率(Re1.ativefrequency)来计算.P（八）N试脸中AH现的次数二4总试验次数二T(很大)概率公理：任何事件A的概率满足：(1)非负性：任取事件人，P（八）0(2)归一性：P(Q)=I(3)可加性：若事件AB互斥，即.AC3=0,则，P(Aufi)=P（八）+P(B)事
3、件概率的基本性质：P(O)=O(2) OP（八）1(3) P（八）P(5),如果AuB(4) P(AB)P（八）P(AjB)条件事件：B1.A=小伟泼生条件F的的用条件IwI(Conditiona1.prabi1.ity)./(8a)=jp（八）o事件人与6独立Independent)等价地定义为P(AB)=P（八）P(B)多个事件AM,，4彼此独立，P(AAA)=p（八）p（八）p(%)事件的G将本运算:(参见教材)例1.1分析蟀均匀分币问题.好：一正而，了一反而.因此，1)样本空间：=H,TYjHj,M=O；2山=0(2)全幅率公式，任取事件8,P(B)=SP(B1.A)P(AJi1.(3
4、)贝叶斯(BeyeS)公式，任取件8,P(A1.B)=jt=.2,.,“先险幅率，P(A1.)i-P(B1.A)P（八）/-I转移概率IP(A):后险概率；P(AIB)例1.3在二元传恰或检测中.光脸概率分别为PX=0=0.9,PX=O.I,ft他可靠性为80好：纸提及叶斯公式可舁P(x=or=0.9X().20.90.2+0.I0.8px=r=j=0.1X0.80.90.2+0.I0.8合理的估计龙”原本发送的是0”。在样本空间Q上定义一个原值实函数X(J),称为#1交量(Randomvariab1.e,常缩写为r.v.).并规定：用X(9的概率来描述X的概率特性，记为Fx(x)PX()x称
5、它为X的分布的数()仅含有跳跃型间断点：卜,；仅在这线点上有非零的概率：/,，P(X=X)=p；(i为整数)称为X的分布律,3 .温合型：上面两种形式的组合.X概率宙度通数(X=)=16/=1,2,6或者来用列点状&:W123456/,1/61/61/61/61/61/6分布与宓度的数，f(x)=7m(,)或f(x)=%(xT)I-I0-1随机变枇不同于普通变现表现在两点上：（I）变鼠可以有多个取佗，并口永远不能预知它到底会取哪个值：（2）变量取值足有规律的,这种规律用概率特性来明确表述；因此,凡是讨论随机变址就必然要联系到它的取值范围与概率特性.在描述随机变埴的概率特性时：（1）分布函数F（
6、A-）指明直到A-处的累积概率;（2）密度函数x（x）适用于连续取值部分。（3）离敝变景,常采用分布律;1.2多维随机变量与条件随机变量此句作为后面旬:页PPt的标题(X-,X11)的概率特性：入声x3,X)=P%M彳，X,Mx11nJx,x1.axPv2)=ZZFgx(x,x2,X)C.V(联合分布函数性顷:（参见教材）联合概率衡度礼本性顷:（参见教材）联合分布律来描述，px=xt,=yi=Pv,ZZ4=rJ密度函数由多维冲激函数祖成，形如Aya，M=ZZ%d（-4y-1.）iJ联合分布的数用多维阶跃函数组成,形如/5y）=ZZPMXfy一X）例1.5系统新件A和“独立，枇态：nf,/1A=
7、/=().01,/1&=/=().02.Xr力)n弃基W酎*6掣Ir=1.3V0Z州危0(o-)s=()7IZE1.o3pIa-U3虱,0WoJmrzx-=.p：；*像W哥命次/8冷田野温翳蕊）：*(，W与(T)V(AU)/W6BW=枳其91W(%“丫总ROOO+(I-k“*)8600。+(ja,I-%)g861.00+(1.-%1.k)如M60=(%k)/法再过密本擀8txx)CooOo=300100=,J=O,o8MX)()=(c()()-I)IO()=I/)J=()I/86100=(300)x(100-1)=,=0,Jc060=ww)=(1.1.:雄糊引这f(y)=-2cr1,(X-M*
8、手口)M：相数部分写为Wi1.,*IAMf一-.C1.TA-MUW)=WrF;422y1.i-p以,舟dyCv)=-7=-cxp,)1.全概率公式：/(-)=,(y)(yXv2.贝叶斯公式:/(y)3)()/(y|x)/(.v)dx-3.随式公式：f(i2Xt1.)=/(1.)(j1.1.)(3x2)/(xjx1x2x1.t.1)X,.X.相互独立：GMX.(药，电，XJ=F*JF,(X2)FX区)(MX必例1.8二维正态分布f(,y)1._rcWd21,1.-p2格(I)1.-Tf-qu耸j/(y.t)=尸7:e-2zr,1.-p-条件分布故正态分布.，)=fFT=1.v1.J、O其它任会给
9、定yw-2,2.条件事件(X1.y=,)限从均力介布U(0,2-H).比如，/(XIy=O)=P/2t()，2),即条件事件(X1.y=O)服从均匀分布U(0,2)。IO它1.3随机变量的函数此句作为后面每页PPt的标题函数形如y=g()或z=(x1.x,.-.,x)构成从样本空间到实数域的配合映射，峥诙新的随机变Sit.一元函数形如：y=g(x).概率特性：6(，)=Pg(x)y=px.gy定理i.i设y=g(x),若g*)处处可导且恒有g(x)o或(x).r.1.,.,/m.s一心“町其中.各个时间参证与状态的取值在相应定义域中是任意的.上述定义可以改用X(t)Y的密度函数给舟.定义3.4
10、联合广义平律性定义为X)与Y分别是广义平稳的，H.满足卜面公式:RXMJD=RXra+rJ)=r(r).=fi-t2例1.42讨论例3.3中东法调制器的输入与输出信号的互相关窗敢与联合平稳性.解：由例3.3.互相关吕敦为EX(t+r)1.,(r)J=Rx(r)EIcos(A*+)=0因此，描人与钻出信号是茯令广义平锁的，井J1.正文.注*:扣果根苗不是随抚相位的，则检出怙号可能不是平枪的，物人与舱出怙号不会正交也不会联合广义平41.定义3.5产格番环平I1.性SSCS)：过程的任意n阶概率分布函数具有下述的周期性，即，F(x1.,x1,.xnj1.t,/.)=居.与,.，匕；4+AT./,+.
11、)其中k为任意整数T为正常数.称为X的循环周期，(注意：这里的T与我们常使用的多数集T是不同的含义。)定理1.8若X是周期为T的严格循环平稳过程，6与X独立，在0.T)上均匀分布,则X-)是严格平梗的,且其任怠n维分布为：I，-Fx(y1.,y,.y,If1.-Af,*.4-ff)d0证明：r(j%兑；J1.冉XFG=料丫(。44XJ1.因。与X(D独立：=*(X(f1-rX(r,-),=OfniOdOHX(r,-)y1X(t-)y,1.=PX(t1.-)t1.-,t2-0.tn-)dTO如果我In令观察时刻移动任意11f(y1.y2y+r.r,+r.u+r)IIr=frx(y1.,y2汽编T
12、j-U,山-U呵-rFX(.)关于各个卷状是T的周期函数彳口巴仇W1.E.r)-vj,.-.yjA.1.G故,y(r)=X-创是严格平稳信号。定义3.6广义循环平盘(WSCS)：过程的均值与相关函数具有下述的周期性，即，EX(n=EX+kT),即，/n()=w(z+J1.T)R(ti,f2)R(t1.-t-kTj2+kT)其中k为什意整数，T为正常数，称为X的循环周期定理1.9若X是周期为T的广义循环平稳过程。是0.T)上均匀分布的独立的机变量.则丫=X(f-)是广义平枪的，且II叫=-nx()d,Rt()=-Rx(+j)1.t丁I1.证明I苜先利用条件均值、X(D与统计独立特性均值：S=EI
13、y=Jrm0Kx-。为常数。R(t1.+kT,t,+kT)=4PqEf1.T-tJT+(k-k)+-4pq=RaM)2)X(t)是严格f环平稳i包由于不同时驶上的取伍彼此统计住立舁具有相同的分布，该取合事件的机率取决于明器时刻之间的相对关第：任以观察时划姐12,.tnG(YQ,+8).和周沏T,fi+T.t2+T.ft1.+Te(70,c)有：F(xt.x2“xn：/|.f,./)=F(,x1.x2.x1.1.1.+T.r,+T.o+)注意:样本周期性与统计特性周期的区别例1.44维妓讨论来法调制怙号：H1.)=XCBftV,X(t)是实平化这代，程,是隔定量，Z()=y(/-O).D与X仕)
14、统计依立且ZHO.2/，)上均匀分布.(1)Y(t)的裾环手作出.(2)Z(t)的卡德性.解：(1)均值与相关函数m(/)=1.,(f)=fX(r)cosq)r=mxCOS卬&+r)=&(r)cosr+r)costr=-v(r)s(2/+r)+cos,r加y()的同期是2r,+rj)的周期是力/3”Y(t)是循环平包怙号，周期为2方/“。Z(f)=Y(t-D)=X(t-D)wf(-由定理可得Za)是广义半色过黄，并且,叫=FJ:n1.8SCZr=0-Rx(r)(cosv(2t+r)+CoSjjdt=-fx(r)cos6r埋患乘法调制器模型：y()=X(0s实际柒法调制器模型：Z(I)=Y(I-
15、D)=Xd-D)cos为-D)D与X统计独立且在0,2)上均匀分布.性朋I实平稳信号X(r)JwT的相关函数涌足：(1)实一函数,即R(r)=R(-r):证明，R(T)=E(XtXt+r)=EX(t+r)X(r)=R(r)(2)原点处非负并达到最大.即.R(r)R(O)与R(O)=EXp)N0:证明，利用同zwQcz2旧IwI2,令Z=Xa)W=X(小有eX(1)X(i),fx(1)afx(2),=j(0)up.(r)/?()(3)若KrJ=Mo)工0,则砍T)是周期为时的周期南数；这时X)称为周期平稔信号：证明t令Z=X+r+J-Xa+r).W=Xa),E(X(+r+r,)-X(z+T)Xa
16、)H.则R()含有固定分量。式K)=C(T)+M指明了这点;2.若伯号X(t)含有周期分1.,则Mr)将含有同样周期的周期分瓜周期特性可如下说明：EX(+nT)-X()f)=R(O)-R(nT)-KSiT)+R(O)=2i(0)-R(fiT)网X+nT)-X()2(=O等价于次0)-=O,“信号依均方意义(也依概率为1)呈现周期性”的充要条件是“&r)是周期函数这种信号称为周期平稳信号.3,若信号Xa)不含有任何周期分I匕则Ia机变址Xa)与X(G)的关联程吱会的揩间距的增大而逐渐减小，口至无关.性用4实际应用中的非周期平稳信号，一般都满足1.imC(r)=O.与IimCxy(F)=Orwr等
17、价于，IimR(T)=Jn2,与1.mRx()=mxmt其它主要参数：r-Rg)EIX)川=R(O)/=C(O)=K(O)-R(OC)4,使用0r)与夕”(I)表示关联性，X)4(O)=I定义相关时胤COrnHationtimc)n,使得r1.1.以后，|以T)I自，其中/?通常定为0.05,有时用矩形等效形式来定义相关时间，1.=,p(r)Jrr11与r,一般不相等.它们都示出了相关性有无的大致分界处.0三MM三MB例1.45工程双川中平扬伟号X。)的白松美晶敬为v(r)=100/H+100s10r+I(X)通估计其均值、均方值和方堂解：信号X(t)通常校祝为两个平然信号U(t)与V(t)的
18、和.U(t)与V(t)的自相关房数分别为殳G=Ig叫+1与&G=M)OCoS1.Or。U是X的赤周期分釜，可得v=yRt,()=10Wt)是周期分量，可认为此分M的均值“a=0。于是，mx=nv+mv=10Ex2(r)=x(O)=3;=RX(O)-近=2所以，X)的均值为10.均方值为300、方是为200,信号的能状与功率：E=Jy(Odr/,=IiinX2(OJz物理意义1电路中的电流或电压信号,在单位(I欧姆)电阻上的消耗的能量或功率信号有两种类型：1)能盘型信号的E有限.而P为。：2)功率型信号的P有限,而E为无穷.希望考察信号的能业或功率沿(。轴的密度状况，即，考虑给定频率处，单位带宽
19、上所具有的能量或功率I)对能量型信号，能=谱密度为：X(jf=F(M=(IX。浦d物理.旗义：表示能讹沿频率轴的密度状况，其总和是总能畸,均方值为砍0=7/24。1.47正恢憎号X(/)=Acos(+。)的功率母.解：由相关函数为RX(r)=2cos(r),Sx()=11c-O1.J+6(w+)可见它M正的实偶函数.信号的功率全部集中在领率外处。与确定信号不同的是，随机信号的领域分析主要足考察它的功率谱，而非信号i?U考点X(/)=cos(+)相位的不确定性,使X(I)的傅里叶变换是随机的.Xa)=COS(+)S(w-)M+演/+/)。-加易见，它的统计平均为零,而Xa)的功率诣为.E5,(y
20、)=-1.)+(y+)坦然损失了相位特性但有效地给出信号成份的分布.性JfiI功率谱总是正的实偶函数Sx(-y)=5()20。7I2,0,W()H0nP=R4+1)=(/必状态转移图：用带符号的魄瞪衣示状态，带箭头的孤戏表示可能的转移及其概率的带行向图。7.3支线,上件随机游动的质点：时刻女的游动母移为Z（八）g+1,0.-1h统计独立,R=I,2,.相应取值机牵为(p,r,)令X5)=Nz(k),X(O)=O,试说明X(“)t-是马尔可夫饯.解：是例7.1中加数g(x)=X时的一个特例.X(11)=SZ(Q=z(t)+Z(m)=X(m-D+Z(n)I*-1定义7.3若X()是马尔可夫链,称行
21、向fit”(“)=0(),(1.),)为/.时刻的霰率分布向重”,()=P(X()=1).设”之?0,则：HX1,=O=ZKXe=忆=WXE=j)代E向Jft形式:p(t)=)(n)P(m.n)定理7.1(查普曼-柯尔英哥洛夫方程)设“r，马尔可夫族的转移概率矩阵满足Pv(n.Ii)=Z)(m.r)px.(r.n)u简称C-K(Chapman-Ko1.mogorov)re矩阵形式tP(m.11)=P(m.r)P(r,t)证明思路，运用全概率公式和7尔可夫性证明：当RXi=,)wO时P(Xra=i,X,=k,X=j=P(X.=X,=kXm=i)P(X,=kXm=i)P(Xn=i)C-A方程特点：
22、一=P(X1.1.=AX,=k)P(X,=kXn=i)P(Xm=i)步转格柢率矩阡为P的齐次4尔可夫於(1) P(w,II)=P(n,m+)P因此y(m是齐次马尔可夫法.(2)八”)的一步状态转移规率矩阵qP000、04OOOO40P=Yooo(7p,3)利用二项分布件植pv(k,k+n)=0(j-i)n其它例7.5记X()为在两个反射爱之间作一维其机游动柱子的住近，状态空间为E=0.1.2,O1OP=0.5O0.5OIO修出状态留： 2)术时刻处于状态0且时刻”+3处于各状态的机率： 3)求时划”处于状态0且时刻”+4处于各状态的概率。W：(1)状态图反射Jt(Refkc1.ingbarri
23、er):由于在。与2状态上，以慨率1转移(弹回到下一状态。Pihi(11,11+3)=0p,(,+3)=IPM+3)=0p(11,11+4)=0.5Pm(,+4)=0p(1.i(,”+4)=0.5I例7.6臬个具有门或收受的质点随机运动的状态国如下,试给出它的一步转移矩阵.好：嗖收盘(Absoibingbarrier):进入技态0或.3后,该14永远得留在那里.也卦为呗收态(Absorbingsa(e)9一步转移概,率矩阵:00.500.500.50001定义7.4马尔可夫链X(“)的一步转移概率矩阵为P,如果存在一种分布P=S(I)-(2).下式恒成立PP=P则称P为XS)的一个平分布因为一
24、旦X(n)进入该分布后，它就永远处于该分布上。也林为X(“)的横限分布或量终分布，,Mo)=(50.5),例7.7E=.1.的齐次马尔可夫链X()m=Oj.P=1)=3计到的状态烧芈向黄；2)给出其中的一个可舱序列：8时此否存在？解：p(3)=p(O)Pj=(0.50.5)2)X()的可能样本序列为OIOIOI-A101010-.03)当为偶数时:P(M)=P=1.(0h当“为号数时：P(”)=P=10所以，Iiinpi(n)不存在极FR.7.8取值为(Oj)的在噪声讨称二进制传貌系统.pw=p1.1.=p.PQI=P1.o=qp+q=.*pj,=P(Xo=jX1.=i),X,和XO分别是指入
25、检出血机变量，将该类型传船系统进行级火联.并设检入科该见或系统的信源妣据概率为X0)=(r.1-r).未：系统的转移慨军。信涯经过汲嵌系统后，WJ出杆号的取值慢率. 3)当“始于无穷大时，上述两问的姑果又如何？“：安乐烷是一个齐次马尔可夫忸,P=Ip4P)(1)“统统移后系统的朴秒慨奉为P（三）=Pn=QP特征分解.故有.p=(v(Aj=V借方VT1I(，-“)I(p-2222(二I1.(p-zX2222；(2)信源及过该圾联系统后，谿出符号的取值杨华为I.(-2r+1.)(p-)-一22令越于无穷大.当|“一4#1时，P(OO)=IimP()=0.50.50.50.5p()=(0.50.5)
26、可-4=1时,如果P=0I.因此P(三)=KI)而M00)=P(O)：如果P(8)与P(OO)都不存在。本例说明了-个有趣的结果：不论原始佶忠的分布如何，经过很多次有错(OVqVI)传捕后，即使错误概率q很小，其分布总给于均匀分布，信息玲于未知.7.2马尔可夫链的状态分类此句作为后面每页PPt的标题定义7.6齐次马尔可夫俗X(),=0.1,2J.对任意给定的两个状态i,e，存在整数MO使Py(NJO.则称状态/可达状态j.简记为i八若同时还存在整数MO,使心(丛)O也成立，则称状态i和状态j是互通的，简记为Zij包含了从状态it1.发到达状态j的所有可能也道定义7.6对于两个状态ij.从状态i
27、出发.经过步转移后首次到达状态)的步数.Tii=n.X(M)=.Xgj.OknX(O)=123.称为从状态i出发后忏次到达状态j的时间，荷和为Ir达时间如果从状态i出发，永远不能状态/，则标记为=也。TtS的取值空间：NT=123,+8)。7.9齐次马氏链X5).=0.1,2,.E=0,1,2),00.30.7、P=OO1O0.60.4、分析三个状态之间的可达、互通及苜达时间的取值空间。解：可达、互通：O,P(12=0.70,故状态0可达技态1和2。0,p11)(V)=O,和(N)=0,故枇态1和2不可达状态0,(3)1.,()=I0,P21(I)=0.60,故状玄1和2互通，苛达时间的取值空
28、间：一取值空网为1,2,3,4.，G取值空间为1,2心取值空网为1,2,3,4,.又取值空间为1。厂4,取值空网为+8。定义7.7任意GNT=1.2,3.,十句，称fv(n)=P(Tv=nX(0)=i)为状态i铝发到达状态/的“步Ir达概率定义7.8任意GN.=1,2,3,+=o),称=n)=p(=nX(O)=O=pt;=】，则称状态i是常逢的(RCCUrrCnIorrvrsis1.en1.):若/；)0.”,=+,-1.定义7.11对常返状态iwE若“+oo,则称状态i是正常返状方(PoSitiVereeUrrentstate)：若,=+),则称状态i是零常返状JfeNu1.1.recurr
29、entstate)即：(1)4=1,且m0.”0,记其最大公约数为4,则称4为状态,的周期,通常，如果4=1，则称状态，是非周期状态，否则称为周期状态.旦仪当n=kd.K=1.2.时.fipii(n)0定义7.13非周期的正常返状态称T历杳：Ergodicstate).如果一个r尔可夫鞋的所有状态都是遍历态，则称该马尔可夫法是连历马尔可夫能7.10设齐次马氏林林移矩阵为00.50.5000().50.5P=00.500.5、00.50.50,判断读他所有状态的遍历怪。:分别设为状态0,1,2,3,“状态。是非常逛状自：fw=Zx,(m)=o.状点1是遍历态:Z=(m)=o.5,=1-V-2M=Z%()=ExO5=2状态2和状态3也是遍历态。因此.道但不走遍历住,但有三个遍历状态.耳Z丫()|X(O)=J是平均返回次数,常返状态平均返回次数为无穷多次.非常返状态平均返回次数为有限多次.7.11设=0,1.2,3.4.5,转移矩阵为P00000000.50().50000.50.500000.50.50000000.50.500000.50.5,时状态进行分臭.*：状态0为遍历状态：fm=,4=1。状态1为非常返态：1.(w)=0.11.OC状态2为遍历状态：.42=Z.&()=1.4=1.河理可得，状态3、状态4和状冬5也是遍历状态。所有状态Iir以分为常
