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1、二次函数学问点总结及相关典型题目第一部分基础学问1 .定义：一般地，假如y=+方x+c(,c是常数，00),那么)，叫做X的二次函数.2 .二次函数y=/的性防(1)拊物雄y=的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y=的图像与“的符号关系.当40时。咐物践开口向上o顶点为其鼠低点：当a0时。帕物城开口向卜。顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，时称轴是y轴的附物线的解析式形式为y=(0).3 .二次函数y=a+j+c的图像是对称轴平行于(包括重合)V轴的微物线.4,二次函数y=+加+用配方法可化成：y=”(x-j)2+J1.的形式,其中.b4ac-b2h=,=.2a4a5 .:次函数由特殊
2、到一股，可分为以下几种形式：y=0;(Dy=r2+k；y=(-)M0时，开口向上:f1.OH.开口向下:Ia1.相等，抛初现的开门大小、形态相同.平行于)，轴(或重合)的H戏记作X=儿特殊地，N轴记作百线X=0.7 .痍点确定他物线的位置.几个不同的二次函数.假如二次项系数相同，那么他物线的开I方向、开11大小完全相同，只是顶点的位置不同.8 .求抛物战的顶点、时称轴的方法(D公式法：y=ax2+bx+c=Jx+Y+,cbi.,.(-,4u-/r-).(2a)4a2a4对称轴是H设人=-2.2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=（的形式，得到顶点为（力，,对称轴是直设X=/
3、?.运用抛物线的对称性：由于搬物战是以时称轴为轴的轴对称图形，所以对徐轴的连戏的垂直平分线是附物线的对称轴.对称轴与他物线的交点是顶点.刖配方法求褥的顶点，再用公式法或对称性迸行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y=axz+bx+c中.a.h.c的作用。确定开口方向及开口大小，这马,=一中的“完全一样.（2）人和。共同确定附物线对称轴的位置.由于抛物线）=&+bx+C的对称轴是直线X=-,故：6=0时,对称轴为y轴：2。（即。、方同号时,对称轴2aa在V轴左恻：2V0（即“、异号）时，对称轴在y轴右恻.aC的大小确定批物戏），=”/+桁+c与y轴交点的位孔当X=O时,y=c.；.触物线y=t+
4、/*+C与y轴自且只有一个交点（0.c）：Oc=O.拗物线经过原点；c0,与轴交于正半轴：c0时开11向上当.v+ebX=2a,b4ac-b2a4。11.用特定系数法求二次函数的解析式（I）一般式：），=。/+版+，.已知图像上三点或三对*、y的值,通常选择一般式.(2)顶点式：=(-%f+h己知图像的顶点或对肺轴，通常选择顶点式.(3交点式；己知图像与X轴的交点坐标七、看,通常选用交点式：y=(.v-x1.X.r-2)12.真线与抛物线的交点y轴与拗物线y=d+Ztr+c褥交点为(O,c). 2)与)，轴平行的出线x=与枪物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点U,ah2+bh+c).抛物戏
5、与K轴的交点:次函数,v=a+Zx+c的图像与X轴的两个交点的横坐标巧、x2.是对应一元二次方程a/+8x+c=0的两个实数根.拊物线与K轴的交点状况可以由对应的元二次方程的根的判别式判定：有两个交点o0o抛物线与X轴相交：有一个交点(顶点在X轴上)=A=OO枪物线与X轴相切：没有交点。AvOo她物税与X轴相温.(4)平行于X轴的直战与她物战的交点同(3)一样可能有O个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时.两交点的纵坐标相等，设双坐标为火，则横坐标是a/+8x+=A的两个实数根.(5)一次函数y=H0)的图像/与二次函数y=ru2+Z)+H0)的图像G的交点，内方程组B(X2，)，由于覆、
6、.是方程6/+版+c=0的两个根，故hcX1+X,=_,XM=一aaAB=xi-xj=J(X1.-XJ=J(XI-Xj-4*占=J(-j-=其次部分典型习题】.抛物线y=x+2x-2的顶点坐标是(DD.(-1,-3)A.(2.-2)B.(1,-2)C.(1,-3)2 .已知二次函数y=+c的图象如图所示，则下列结论正确的地(C)D.abO,cO.c0B.abO,c0C.ab0第2,3题图第4JE图3 .二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是(D.a0.b0B.a0,b0C.a0,cOD.a0,c04如图，已知AABC中，BC=8.BC上的高力=4,D为BC上一点，EF/
7、BC,交AB于点E,交AC于点F(EF不过A、B,设E到BC的距离为x,则。斯的面积y关于X的函数的图象大致为(D)PP4-X,=-nEF=82x,:.y=-x2+4x845 .搬物线y=-2x-3与X轴分别交于R、B两点，则AB的长为1.6 .已知二次函数y=?+Qk-I)X-I与X轴交点的横坐标为芭、x2(x,0；方程h2+(2JtT)x-1.=0有J+4k两个不相等的实效根为、x”x1-1i七一M=匕一.其中全部正确的结论是(只需填写序号.7,已知直我y=-2x+M力工0)与X轴交于点A,与y釉交于点B；一她物线的解析式为y=2-（+1.）1.r+c.1若该批物践过点B,且它的顶点P在直
8、线y=-2x+8上，试确定这条她物戏的解析式：2过点B作直线BC_1.AB交X轴交千点C,若抛物线的对称抽恰好过C点.试确定直线y=-2.r+的解析式.解：y=2-IOjjKy=.r2-4.r-6将（O,Zo代入，得c=b.顶点坐标为（怨9,-忙斗由SS意得，好得4=-1().=-6.C+10j2+16+I(X)2X+=（2） y=-2x-28 .有一个运算装置，当输入值为X时，其输出伯力y,且），是X的二次函数，己知输入值为-2,0,1时,相应的输出值分别为5,-3,-4.（1）求此二次函数的解析式：在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并依据图象司出当输出值y为正数时输入（ftX的取值范
9、围.解：（1）设所求二次函数的解析式为了=磔2+以+。,“(-2)2+5(-2)+c=5rt02+0+c=-3,即+c=-4C=-3=)2a-b=4,解得J)=-2+/=-1C=-3故所求的解析式为：y=x2-2x-3.（2）函数图象如图所示.由图象UJ得，当输出值,为正数时,驰入俄X的取值范围是XVT或X3.游呢的体温会Rf1.外部环境温度的改变而没变,9 .某生物会好小殂在四天的试紧探讨中发觉:而且在这四天中短昼夜的体淑改变状况相同.他们将一头骆鸵前两昼夜的体温改变状况绘制成F图.谙依据图象回答：第一天中.在什么时间中围内这头骆鸵的体温是上升的?它的体温从G低上升到足高须要多少时间？第三天
10、12时这头骆驼的体温是多少？爱好小祖又在探讨中发觉，图中10时到22时的曲线是微物线，求该帕勒线的解析式.解：第一天中，从1时到16时这头骆鸵的体温是上升的它的体谓从最低上升到最高须要12小时第三天12时这头骆鸵的体温是39-C),=-1.rJ+2+24(1022)410 .已如抛物线y=r2+(二+3)*+4与X轴交于A、3B两点，与y轴交于点C.是否存在实数a,使褥ABC为直角三角形.若存在，恳求出a的伯：若不存在，请说明理由.解：依遨意，得点C的坐标为0,4).设点A、B的坐标分别为(x,0.(.r2.0,A1.1.or2+(-+3)a+4=0.解科xi=-3.X1.=.3*34：.点A
11、、B的坐标分别为(-3,0),-,0).M.Atf=-+3.AC=yAOt+OC2=5.3a4IA：4斤=I-+3|*=r23女i9aAC2=25.fiC2=-+16.9-(i)当AB，=AC2+BC2时，ZACB=90*.hAB:=ACi+IiC2,m-+9=25+(-+16).9af)a解得=.当a=一,时，点B的坐标为(3,O),AB2=.AC2=25,BC2=-.4399于是Afi2=AC2+BC2./.当a=-时，ZUBC为Ji角三角形.4(ii)AC2=AB2+BC2fti,ZABC=90*.由AC2=A2+BC2,得25=(段一号+9)+(驶+16).9a9*解得=.444当。=
12、一时.=r=-3,点B(-30)与点A重合，不令题意.9M349Hii)当5C?=AC+A3时，ZBAC=90*.BC2=ACi+AB2.得且+16=25+(理一+9).9*9a解得“=1.不合应意.综合、,当n=-时，AABC为直角三角形.411.己知拊物畿y=-x2+m-m+2.1)若拈物税与X轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB=试求m的(ft：设C为撇物战与y轴的交点，若拗物战上存在关于原点对称的两点M、N,并且的面枳等于27,试求m的值.解：(DA(x,O)HX2，0).则XI,X?是方程X?rn+m-2=0的两根.V+=m,xX2=m20即m2;又AB=IXiX：I=(i)
13、2-4x1x2=5.m2-4m+3=O.解得：m=1.或m=3(含去)，m的值为1.2)M(a,b),则X(-h,-b).VM.N是抛物线上的两点,-a2+ma-+2=b,-ai-ma+2=-b.+得：2tr2n+4=0.a2=-三+2.当m2时,才存在满意条件中的两点ikN.：a=2-m.这时比N到y轴的班恩均为2-11,又点C坐标为(O,2-m),而SAMNC=27,.2-(2-三)X2-zm-27.二解得m=-7.12.已知：微物税y=0+4+f与X轴的一个交点为A(-1.0).(1)求拗物战与X轴的另一个交点B的坐标；(2) D是抛物线与y轴的交点,C是她物线上的一点，且以AB为一底的
14、梯形ABCD的面积为9.求此抛物税的解析式：(3) E是其次象限内到X轴、y轴的距离的比为5：2的点,假如点E在(2)中的抛物线上,且它与点在此附物线对称轴的同侧,何：在抛物线的对称轴上是否存在点P,使AAPE的用长最小?若存在，求出点P的坐标:若不存在，请说明理由.解法一：(1)依SSift,物物戏的对称釉为X=-2.V抛物线与X轴的一个交点为A(-1.0).:,由抛物线的对称性，可得拊物规与X轴的另一个交点B的坐标为-3,0).(2)V抛物线y=v2+4v+r与X轴的一个交点为A(1.0),(-1)2+4(1)+=0.t=3a.y=r24u3/.D(O.3a).：.梯形ABCD中.BCI)
15、,且点C在抛物线y=a-+4ax+3a.7C-4,3a).：.B=2,CD=4.，:梯形ABCD的面积为9,1.(+CD)OD=9.(2+4)3rt=9.a1.所求他物战的解析式为y=x2+4x+3或y=-X2-Aax-3.(3)设点E坐标为(xn.y0).依SS意，.V0,yo=(+4+3.解方程宛冲一尹，得二I,二联y0=+4x0+3卜-;=-.V点与点A在对称轴x=-2的同例，点E坐标为（-!,-.24设在他物线的对称轴X=-2上存在一点P,使AAPE的周长最小.VAE长为定值，；.要使ZUPE的周长最小，只须PA+PE最小.：.点A关于对林轴X=-2的对称点是B一3,0）,H1.几何学
16、问可知,P是直线BE与对称轴x=-2的交点.斛得设过点E、B的直线的解析式为），=次+，”+”=一,24-311+m=O.宜线1的解析式为），=3+.二把=-2代入上式.得y=g点P坐标为（一2,2设点E在附物线y-.v-4.V3.k*y0=,-4x0-3.解方程组卜一一5%消去了，得XRaXo+3=0.y1.=-Vo-4-3-.使AAPE的周长最小.解法：(1) ,/拗物线),=+4&t+r与X轴的一个交点为A(1,0),a(-1.)1+4(-1.)+z=0.：.=3a.：.y=+4r+34.令y=0,即O+4v+M=0.解得X1=-I,x2=3.微物战马X轴的另一个交点B的坐标为（-3,0
17、）.(2) h,=r2+4v+3u.得D(O.3a).：梯形ABCD中，ABCD,且点C在岫物线V=Oj+46u+S上.C-4,3a).：.AB=2.CD=4.梯形ABCD的面积为9.二-(AB+CD)OD=9.解得3)=3.2：.囱=3.；.a1.所求他物线的解析式为y=+4+3或y=-1-4-3.(3)同好法一得，P是直线BE与对称轴x=-2的交点.如图，过点E作EQ_1.X轴于点Q.设对称轴与X釉的交13.已知二次函数的图柒如图所示.(1)求：次函数的解析式及拙物设顶点M的坐标.(2)若点N为线段BN上的一点，过点N作X轴的垂线，垂足为点Q.当点N花城段BM上运动时(点N不与点B,点YJ
18、ft合)，设NQ的长为1,四边形VMC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及I变过t的取值范悦:(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使APAC为比角三角形？若存在.求出全部符合条件的点P的坐标:若不存在,请说明理由；(4)将aOAC补成矩形，使AOAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试干脆写出矩形的未知的顶点坐标(不须要计徵过程).解：(11设烟物税的解析式y=”(x+1.)(x-2),-2=a1(-2).:a=.:yx2-X-2.此顶点M的坐标是=-3.=k+242：.线段BM所在的宣线的解析式为,y=.v-3.4I1241.h=-t-3,K-r2.
19、/.5=-1x2+-(2+-z-3);=-r-t+2222342.S与t间的函数关系式是S=*-!，+,自变量t的取值范围是:/AC.所以边AC的对角NAPC不行能是直角.（4）以点0,点A（或点。,点C）为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上,如图a,此时未知顶点坐标是点D（-1.-2）.以点R,点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边M的对边上，如图b,此时未知顶点坐标是-.y-14 .已知二次函数.y=2的图象经过点（，-1）,求这个二次函数的解析式，并推断该函数图象与X轴的交点的个数.解：依据巴意，得a-2=-1.a=1.这个二次函数解析式是y=x-2因
20、为这个二次函数图象的开口向上.原点坐标是（0.-2）,所以该函数图象与X轴有两个交点.15 .卢浦大桥拱形可以近似看作他物线的一部分.在大桥截面1：I1.OOO的比例图上.蹄度AB=5cm,拱0C=09cm,线段I）E表示大桥拱内桥长，1.）EAB,如图（1）.在比例图上，以直城AB为X轴，拊物线的对称轴为y轴,以】Cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系.如图（2）.（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）假如DE与B的距离OM=O.45cm.求卢浦大桥拱内实际桥长（的川数据：1.4,计算结果精确到1米）.解：（1）由于顶点C在y轴匕,所以设以这部分撤
21、物线为图望的函数解析式为y=ax1+.10因为点MT,0）（或B（,0）在拊物城上，所以（=“（-/+得，得。=一右.因此所求函数斛析式为=MX：）O9IQQS1.（2）因为点0、E的纵坐标为二，所以=一二/+3，得x=i202（）125IO4所以点D的坐标为一应,).点E的坐标为(,).420420所以。：=&一(一上&)=2.442因此卢浦大桥拱内实际桥长为II(XX)X0.01=2752385(米).16 .已知在平面直角坐标系内，0为坐标原点，R、B是X轴正半轴上的两点，点R在点B的左侧，如图.二次函数y=+法+c(aKO)的图象经过点A、B.与y轴相交于点C.(Ia.c的符号之间有何
22、关系？核如戏段OC的长度是戏段OA、OB长度的比例中项，试证1.-a、C互为倒数：在(2的条件下，假如b=一1,=43,求a、C的俏.解：(1)a、C同号.或当a0时,c0：当a0时,c0,a0.aa解法一AB=OB-OA=x2-=(x+x2)2-4xix2,.AB=4y3.：.=43,得a=.c=2.a2M法一山&用八小41.6-4r7c-416-4-23ft-由米根公式X，2a2aa2-32+3.x=,.V2=2+32-323aa：.AB=OB-OA=x,-=4aa.4B=43.=43,得=1.c=2.a217. 1.1.三J,直线y=-半x+5分别与X轴、y轴交于点R、B,OE经过原点。
23、及A、B两点.（I）C是。E上一点，连结BC交OA于点D,若NCOD=/CB0,求点A、B、C的坐标：（2）求经过0、C、A三点的恤物线的艇析式：（3）若延长BC到P,使）,=2,连结AP,试推断宜线PA与。E的位置关系，并说明理由.解：(I)连结EC交X轴于点N(如图).二A、B是-曲x+5分别与X轴、y轴的交点.A(3.0),B(0,3).3又NCOD=NCB0,：ZCB0=ZBC.：C是琰的中点.：ECO.Z1.VICA3FZB、行ON=(=.EN=-2222连结OE.二EC=OE=旧.：.NC=EC-EN=-.C点的坐标为(白,-也).222设经过0、C、A三点的抛物线的解析式为)，=&k-3).3石.奔33t(.).=a一(一22222),=挛X2-迪X为所求.98VtanZMO=-.NBAO=30NABo=50.3ti1.(1)知NOBD=NABD.：.ZOHD=-/ABO-6(=30.22：.OD=OBtan30-1.二DA=2.,.ZADC=ZBDo=W,PD=AD=2.ZXADP是等边三角膨.NDAP=60。.ZBAP=ZBOZDAP=30s+60=90.即PAJ.AB.即臼找PA是OE的切战.
