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1、第五章相似矩阵及二次型1 .试用施密特法把以下向量:组正交化:111、(1.)(q,.j=124;(139；解根据施密特正交化方法，(2)(,1.)=解根据施密特正交化方法,2 .以下矩阵是不是正交阵:1-112 34.11-1I32J解此矩阵的第一个行向量非单位向量，故不是正交阵.4-94-97-9-8-9I-94-9-1-98-94-9解该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵.3 .设X为，维列向量,x=I,H=E-Zxxt,证明，是对称的正交阵证明因为H=(E-2xx)=E-2(xx)=E-2(xx)=E-2(x)x=E-2xx,所以是对称矩阵.因为H,H=HH=(E-2
2、xx)(E-2xx)E-2xx-2xxr+(2xx)(2xx1.)=E-4xx+4x(xx)x,=E-4xx+4xxr=E,所以是正交矩阵.4 .设A与3都是阶正交阵，证明A8也是正交阵.证明因为48是阶正交阵，故A,=4B,=(AB)(AB)=BAAB=B-AiAB=E,故A8也是正交阵.5,求以下矩阵的特征值和特征向量:f2-I2)(1)5-33;U0-2；2-125-3-23-1O-2-2解A-E=故A的特征值为QT(三重).对于特征值人-1,由得方程(A+E)mO的根底解系p=(1.,1,TE向量P1.就是对应于特征值=-1.的特征值向量.Jz336213一-23解A-E=21-3=-
3、(+1.)(-9),336-/1故A的特征值为否=0,2=-1.3=9.对于特征值九=0,由(23、A=2131336,得方程AX=O的根底解系P尸1)1向量是对应于特征值九=0的特征值向量.对于特征值右=-1,由、/310200200Zr一337223223zf1.m得方程C4+E)x=0的根底解系P2=(-1.,1,OE向量PI就是对应于特征值A2=-I的特征值向量.对于特征值右=9,由1.2oI1.o100,I-I，333一283一823得方程(A-90x=O的根底解系PE1./2,1/2,1咒向量Q就是对应于特征值=9的特征值向量.X1.m/100oO1.ooOo1.oO-OOIr_,
4、I3)解A-E=100-AO1-2OO-1.O-OO1=-m+i)故的特征值为九=%2=-I,=I.对于特征值九=生=-1,由、/100o010-0O1.oo100o、/100iO1.1.oO1.1.o100i得方程(A+E)x=0的根底解系Pi=(1.o,0,-1)。pE0,1,-1,O)7,向量P1.和Pi是对应于特征值4=石=-1的线性无关特征值向量.对于特征值和=U=1,由-OOOOToOO1.oo100o100OIToOTIo7OOI得方程(A-E)X=O的根底解系p3=(1.,0,0,1.)r,p4=(0,I,1.,0)f,向量Pa和p是对应于特征值九=九=1的线性无关特征值向量.
5、6 .设A为阶矩阵，证明A与A的特征值相同.证明因为A7-E1.=(A-2f)z=A-1.E7=A-1.1.,所以“与A的特征多项式相同.从而Ar与A的特征值相同.7 .设阶矩阵A、B满足R（八）+R(B)n,证明A与8有公共的特征值,有公共的特征向量.证明设R（八）=r,R(B)=I,那么r+t，故1,02,an-rtb1.,g,bn-t必线性相关.于是有不全为0的数kh机%,h,*,使k。|+&2。2+a-,。-汁/|6+/力2+/n-rbn-r=0.记产上+公生+fcr-zn-z=-(/1b+22+1.n-bn-),那么h%,ki不全为0,否那么几2,不全为0,而Z22n-r=0,与也,
6、岳,b,线性无关相矛盾.因此，产0rA的也是B的关于QO的特征向量，所以A与8有公共的特征值，有公共的特征向量.8 .设解一3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设2是A的任意一个特征值,X是A的对应于的特征向量，那么(42-3+2E)x=2x-3r+2x=(Z2-32+2)x=0.因为x0,所以#-3/1+2=0,即2是方程#-3/1+2=0的根.也就是说2=1或=2.9 .设A为正交阵，且IA1.=-1,证明=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵，所以A的特征值为-1或1.因为囿等于所有特征值之积，又网=7,所以必有奇数个特征值为-1是A的特征值.IO,设辰0是,阶矩阵Am“反
7、的的特征值，证明2也是n阶矩阵BA的特征值.证明设X是AB的对应于辰0的特征向量，那么有(A)x=r,于是B(AB)x=B(x),或BA(Bx)=(Bx)i从而/1是BA的特征值、且Bx是BA的对应于Z的特征向量.11.3阶矩阵A的特征值为1,2,3,求H3-5A*7A.解令4=万-5万+74那么仪1)=3,以2)=2,奴3)=3是d人)的特征值,故P-5A2+7AI=IdA)I=奴1)必2奴3)=3x2x3=18.12 .3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,求A*+3A+2.解因为IA1.=IX2(-3)=-60,所以A可逆，故A*=AA-i=-6A-,A*+3A+2E=-6A+3A+2E.令
8、破制=-6犷+3下+2,那么奴1)=-1,仪2)=5,d-3)=-5是W4)的特征值，故A*+3A+2E1.=I-6A+3A+2E=（八）=(1.)X2)j(-3)=-1.5(-5)=25.13 .设4、8都是”阶矩阵.且A可逆，证明AB与BA相似.证明取P=4,那么P-iABP=A1ABA=BA,即A8与8A相似.(201)14 .设矩阵A=31-可相似对角化.求X.(405；解由2-01A-E=3-X=-(1.-1.)2(-6),405-得A的特征值为为=6,42=右=1.因为A可相似对角化，所以对于加加1,齐次线性方程组(A-E)X=O有两个线性无关的解，因此R(A-)=1.山(A-E)
9、=、J/1X4Ooo134rIO1.A00-3、000J知当-=3时R(A-E)=,即a-=3为所求.(215 .p=(1.,1.,-1.)T是矩阵A=5a2)3的一个特征向量.1.1.h-2)(1)求参数cb及特征向量P所对应的特征值;解设/1是特征向量所对应的特征值、那么2-1(A-E)p=(),即5a-1b-2-k-1.1=0,解之得&-1,=-3,任().(2)问A能不能相似对角化？并说明理由.解山2-A-E=5-1-12-3-A03=-1.)-2-得A的特征值为九=1.2=1.3=1.由1A-E=5-1-1-2b21/1013-10I-I000知R(A-E)=2,所以齐次线性方程组(
10、A-E)X=O的根底解系只有一个解向量.因此A不能相似对角化.16.试求一个正交的相似变换矩阵、将以下对称阵化为对角阵：(220)(1)-21-2;(0-20)解将所给矩阵记为A山2-20-E=-2-2=(1.-2)(2-4)(+2),0-2-夭得矩阵A的特征值为/1尸-2,右=1,九=4.对于办=-2,解方程(A+2E)x=0,即f4-2OYa-23-2E=0.-22人一得特征向量征2,2),单位化得a=(,jr.对于小=1.解方程(A-E)X=O,即NW&202-120得特征向量(2,1.,-2)r,单位化得0=(*,-/.对于九=4,解方程(A4E)X=0,即(-2-2OYX1.-2-3
11、-2X,=0,0-2得特征向量(2,-2,If,单位化向PEW于是有正交阵P=(,P2,P3),使-AP=diag(-2,1,4).22-2(2)25-4.1-2-45)解将所给矩阵记为A由2-22-2IATfI=25-4-4=-(-1.)2(1.-IO).-2-45-得矩阵A的特征值为九=G=I,九=10.对于九=右=1,解方程缶-4。，即.1JzOoo/Hk1.rA1.7YIA244二244得线性无关特征向量(-2,1,0)/和(2,0,1)T,将它们正交化、单位化得p1=-(-2,1,07,P?=志(2,4,5)、对于九=10,解方程(ATOOrT),即245二一254二822)o1.o
12、=得特征向量(-2,2)。单位化得p2=x6,AH吴，AH+卜.令=0,得X=Y,X2=0,七=，七=；，勺=.I(T02、因此A=W012.31220)20.设3阶对称矩阵A的特征值4=62=3,1.3=3,与特征值4=6对应的特征向量为P=(1.,1,1)1求4ZYVY解设A=毛%事.IX因为九二6对应的特征向量为m=(i,I,Dr,所以有+2+3=6,即,2+X4+X5=6(D.x3+a-5+.=62=3=3是A的二重特征值，根据实对称矩阵的性质定理知r-3X2A-3E=x24-3、4天R(A-3E)=.利用可推出W11、毛%-3七-3j53&x6-V因为R(A-3E)=1,所以*=X4
13、-3=5且X3=X5=X6-3,解之得X2=X3=X5=1,1.=4=X6=4.(4i因此A=14I.U14j21 .设a=(aha2,，an)f0,A=aa.(1)证明加0是A的-1重特征值；证明设2是A的任意一个特征值,X是A的对应于/1的特征向量，那么有x=x,2x=A2x=aa,aax=a1.aAx=a1.ax.于是可得矛=加%.从而加0t=ara.设小,小,一、4是A的所有特征值，因为ARa7的主对角线性上的元素为2,苏,工所以a2+22+a,r=aa=+2+,这说明在否,I2,1.中有且只有一个等于而其余-1个全为。即拉0是A的-1重特征值.(2)求A的非零特征值及个线性无关的特征
14、向量.解设为=11%,2=)=0.因为Aa=aaa=(a,a)a=a,所以p=a是对应于7=的特征向量.对于G=%,=0,解方程Ax=O,BPaa1.x=0.因为w,所以ax=O,即内M+iT2+用=0,其线性无关解为P2=(-a2,0,O)7,p3=(一3,0,0bO)7,p,t=(-a,0,0,a1.)r.因此个线性无关特征向量构成的矩阵为%生-an(外。2，“也)=生”4-4(4222 .设A=0-34,求AH).S43y解由-E=-20024一3N43-4=-(4-1)(7-5)(/1+5)、得A的特征值为九=1,2=5,右=-5.对于4=1,解方程(A-E)x=0,得特征向量P1.=
15、(1,0,OE对于为=5,解方程(A-5E)x=0,得特征向量P2=(2,1,2)7.对于为=-5,解方程(A+5E)x=0,得特征向量.E1.,-2,I.令P=(PI,C),那么p-AP=diag(1.,5,-5)=,A=PAP-,A1.OO=PA侬尸1.因为,00=diag(1.,5,00,510),(21)P1=OI-20211X/.(5O-5)IOI2,O-21所以-)wHx5o),-mo51001.m23 .在某国，每年有比例为的农村居民移居城镇，有比例为的城镇居民移居农村.假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变.把年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为X”和)，”(
16、0+=1).求关系式中的矩阵A；解由题意知xn+=x,1.+qyn-px/i=(1-p)xnqy,yn+=y,1.+pxn-qy/i=px,+(1.-,可用矩阵表示为(%G=I-PqYv)1.JIpi-7J因此N了闻.(2)设目前农村人口与城镇人口相等，即：)=(&求解由化可知=4由A-Ep.=(-1.)-1.+p+),IP-q-得A的特征值为九=1,义2=八其中r=-p-q.对于为=1,解方程(A-Qx=O,得特征向量p=q,pE对于九=八解方程(ATE)x=0,得特征向量P2=(TN令P=(PI,pj=(那么p-,AP=diag(1.,r)=,A=PA-，Ah=PAmP-1.于是以广超凯冷
17、于1(q-IY1.OY11P+P1A0fjtA-Pq)=_(q+p1.q-qtj十八P-P1.p+q，)(工)=一向+尸”叱丫。5)IyJP+qP-P,jP+,05/=I(2q+(一夕)-2(p+g)(2p+(g-p)巧，24.(1)设A=(31)，求A)=A%A9;解山A-E3阖=-5)，得A的特征值为九=1.,1.2=5对于办=1,解方程(A-E)X=O,得单位特征向量七(1.1.)7.对于为=5,解方程(A-5E)x=0,得单位特征向量JjQ1.1)。于是有正交矩阵P=*(；使得。5P=diag(1.,5)=A,从而A=PAPAx=PAAr、因此WA)=PdA)尸=P(AA人=Pdiag
18、(1.,510)-5diag(1.,59)P,=Pdiag(-4,0)尸1(-iY-4opf1.n一gU1.00J721.-1U名二沪皿(212(2)设A=122,求秋4)=川。-649+5万.(22D解求得正交矩阵为1(-3P=;-152J620&使得eIAP=diag(-1.,1,5)=A,4=PAP于是A)=P)j-,=P(,0-6A9+58)P-1=P8(-E)(-5E)P-1=Pdiag(1,1,58)diag(-2,0,4)diag(-6,-4,0)P,=Pdiag(1.2,0,0)P-,-1y/32Y12V112、=-13410-33O6120&人0人祀叵(1121=N1.I-2
19、.1-2-24)25.用矩阵记号表示以下二次型:(1)=xf=-+r-7z-2xy-4xz-4yz;f=XI-+X2+A,3-+X4-2V|.V2+4X|X3-2.V14+6X23-4X2X4.-113-22310-1-20126.写出以下二次型的矩阵：(i)(x)=WC加；解二次型的矩阵为A=eU23、+4.n+4r+2+z2+4vz；解f=(x,y,Z)121242121Zr1.x解f=(,y,zf=(xy,x2,xvx4解二次型的矩阵为A=36925814727 .求一个正交变换将以下二次型化成标准形:H023032200(1)f=2x2+3X22+3-V3+4X2-V3;解二次型的矩阵
20、为A=2-2OOA-E=O3-2=(2-)(5-)(1-1),O23-/1得A的特征值为4=2,2=5,23=1.当为=2时，解方程(A2E)x=0,由210100OOyIv01200-01.n得特征向量(1,0,0)7.取P1.=(1,0,0)r.当;12=5吐解方程(A-5E)X=0,由(O0)-O1.-I1.Oj(-3O0ASE=0-22102-2)得特征向量(0,1,1.)r.p2=(,-,r.当质=1时，解方程（A-E）AO.山10-0r1.O1.22J022100rII.00I1,00)得特征向量（0,T,IR取八=（，-*，击）,于是有正交矩阵7Mp,P2,pa)和正交变换x=7
21、,使f=2yr+5yr+yr.(2)f=X2+X22+X32+X+2X1.X2-2XX4-2x2Xi+2x4.由、1/H)-O1.1.OT1.1.IITo)*HI1.o-解二次型矩阵为A=I-A1O-1|A阳=匕3二?=U+DU-3)(2-I)2,-1O1-得A的特征值为4=T,&=3,3=1.=1.当为=T时、可得单位特征向量小吗当友=3时，可得单位特征向量入=当=4=1时，可得线性无关的单位特征向量p3三cz,P4=于是有正交矩阵心(01,02,3,4)和正交变换*=7，使-y2+3y22+,42.28 .求一个正交变换把二次曲面的方程3x2+5)r25z2+4.11,-4.vz-1Oyz
22、=1化成标准方程.(32-2)解二次型的矩阵为A=25-5.1-2-55)3-A2-2由IA-花b25-5=-2(-2)(-1.1.),得A的特征值为为=2,-2-5547=I1,%3=0,.对于4=2,解方程(42E)x=0,得特征向量(4,-1,1)T,单位化得对于不=11,解方程(ATIC)X=O,得特征向量(1,2,-2)r,单位化得2-3-2-3,=(P2对于/W),解方程Ax=Q,得特征向量(0,1,M单位化得p,+于是有正交矩阵P=(、P2,P3),使PTAP=diag(2,11,0),从而有正交变换410)M5723普1.121斤一加372:1=a1+x2-2a,2=22yy=
23、2x2+xy,即M=)1.*%+2ytx,=y=22+y3二次型化为标准形v2-y22+32,所用的变换矩阵为C=5F112(2)yU,M,3)=i2+Zr32+Zr1X3+2.V2X3；解,X,A-2,X3)=X|2+Z.r+2.ViXr1.-2V2-t3=(X+X3)2+2X3X3;K=A+2=Xj)3=X2+X3=(x+X3)2-X22+(A2+X3)2.%=y+xf,即=-,2+3二次型化为标准形v-2+j,32,所用的变换矩阵为A1TIC=O1O.IoT1.y1.(3)v,X2,X3)=Zv2+X22+4x32+Zv1X2-2a2,V3.解ha-2,X3)=ZrI2+X22+4X32
24、+ZvX2-2a-2X3.=2(x1.;)22+2x2Xi=2(x1.+)2+(-2x3)2+2.y,=2(A1+x,)a1-令，%=七(&一对即.t,=2y2+-y3，%=应占A二次型化为标准形所用的变换矩阵为y2+y22+y32,-21T2O100=C31.设f=xr+xr+5xr+2axix2-1.xixy+4x2x?.为正定二次型，求a解二次型的矩阵为A=,其主子式为=1.-02,Ui12=-a(5a+4).因为/为正主二次型，所以必有1.-1120旦-(5+4)0,解之得-6T0.J32.判别以下二次型的正定性：(1) f=-2x2-6x-4x32+2xX2+2xx(-211解二次型的矩阵为A=I60.因为I10闻4=-2。，IAI=-380,所以/为负定.(2) f=x2+3x22+9.r?2+1942-24电+4.如中+21凶一6m工412xyX4.解二次型的矩阵为A=%1O,J11=40,3j=60,$240,所以/为正定.33.证明对称阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵U使A=UTU,即A与单位阵E合同.证明因为对称阵A为正定的.所以存在正交矩阵P使Pf4P=diag(1,2,1)=,即A=PAP其中否,爸,其均为正数.令1=diag(,国,内,那么A=A】AA=P1.iPr.再令U=Ajpr,那么U可逆，且4=0U(2)/(X)=X7456X.1789)
