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1、第三章曲面的第一基本形式273.1jEHMAW27一、MM27二、数交换28三、正则曲面29四、正则曲面的例子30*3.2切平面和法线33一、曲面的切空间，切平面和法线33二、连候可Ik面敷的碎面34三、微分分的几何!义351.1 第-*三/式353.4 曲面上正交ft曲线网的存在性383.5 保长对应和保角对应40一、曲面到曲面的连俵可微映射40二、切蝴40三、保四成I等IEM应142四、保角对应，共形对应I443.6 可展曲面45第三章曲面的第一基本形式本章内容：曲面的定义,参数曲线网.切平面,单位法向盘,第一基本形式,正交参数网,等距对应和共形对应，可展曲面安排学时：12学时,含习题课4
2、学时.难点：正交参数网的存在性,等距对应和共形时应3.1正则参数曲面一、参数曲面从平面R?的个区战飞ion,即连通开集)。到,中的个连续映射匕。TS=尸(O)U的1.iS=，(。)称为中的一个JR曲面(ParameteriZedsurface).在E中取定正交标架OJ.j.k,建立笛卡尔右手出用坐标系.则参数曲面S可以通过套数(Parameter)(.】，)表示成参效才收X=x(w.v),，y=y(u,v).(m,v)三R2(1.1)Z=z(w.1.).或写成向量，效方程r=r(u,v)=A(m,v).z(h.v).(m,v)J2.(1.2)为了运Ini1.ft积分匚具.本书中要求向量函数汽.
3、V)都是3次以上连展可供的.“曲线：让，=%固定，“改变，向此的终点描出的轨迹.】，.曲线，数曲饯网.n观上，参数冏面S就是将平面中的区域及经过伸缩、川曲等建续殳形后放到欧氏空间,中的结果.曲;生标XS)C(MVXWD),即Op(u.vj=r(u.v).,殷来说，由(I)给出的连续映射并不能保证曲面上的点p(w,v)与该点的多数(“,V)之间是一一对应的.为了使得曲纹坐标能JX正起到坐标的作用，须要对参数曲面加上正则性条件.定义设5:彳=汽“小)为中的参数曲面,假如在(%,%)点，两条多数曲践的切向m,(*.v0)=-1(w)=(1.3)M(心3线性无关,即xq(%,%)；=x41.”,.如=
4、K(.v)(,vo)0.则称(4.%)或/%(%,%)是S的正则点(rcgu1.urpoint).假如S上每点都是正则点，则称S是正则“数曲面.以下总假定S是正则曲面.在正则曲面上句一点4(%.VIJ,由于通过支新选取正女标架oE,JK,不妨设四必：=斗0.W3儿依据反函裁定理，存在(“0,%)的邻域UUO,使得X=(J),N=NMy)有连续可微的反困数u=f(x,y),V=&(*,)，)，即有(f(,y),g(,)=X,),g(y)=y-此时有(,%)=(M/,唏)，)、(“，%)的邻域VZUR和同胚映射GVTa从而有连续映射/=r。bWTr(U)=SIUS.于是S在4(%.%)的劄域S1,
5、内可用参数方程表示为方(x,y)=r(u(x,)，)*,Iy)=(.v,y,z(f(x,y),g(x,y).(*)或表示为一个二元函数Z=(工,用的图像,其中Z=F(x,y)=z(fx,y),a(x,y).(1-5)上式称为曲面片S.的Mon&e形式或称为St.的显式方程.从(*)式可见/W-S(x,y)I(X,y,z(x,y),g(x,y)是一一对应，从而r=ro.Uf()=51.,5也是一一对应.这说明正则性条件至少保证了r：DTS同部是一一对应.为了确定起见,以下约定正则曲面S=F(O)与其定义域。之间总是一对应的,从而参数(“J)可以作为曲面上点P(MV)的曲纹坐标.反之，由显式方程Z
6、=Z(X,y)去求的曲面总是正则的：假如r=r(x,y)=r(x.y.(x,y),(1.6)则Z=(1.Oz,),号=(UZ,),从而rxft=(-1,-Z,.1.)0.二、弁数变换曲面的定向wricnWion”而于曲面S：=八“4),规定*x二所指的一侧为S的正侧.由千参数曲面的参数方程中,参数的选择不是唯一的,在进行参数变换(transformationofParameter)时，要求参数变换m=m(m.v).V=v(i7.v)(1.8满意：“(讥炉).101)是他衿的3次以上连续可微函数；空”到处不为零.(w,v)这样的参数变换称为可允许的(CCmPatibIe)参数变换.当?0时,称为
7、保持定向(u,v)(preservetheOrieIItaUon)的参数变换.依据更合函数的求导法则，在新的参数下，uv_uvris=ru-+r-,r,r-+r-.CUCUCVCV因此(uvuHv(u,v)k=7-.(i-)uCvvCtt)(w,v)上式说明在可允许的金数变换卜，正则性保持不变；在保持定向的参数变换卜，曲面片的正偶保持不变.三、正则曲面正则参数曲面在洋细应用总是特别便利，特别广泛的.但是有的曲面不能誉用一张正则多数曲面来表示，例如球面.将与RJ等同，均予一般的度及拓扑，即以R的标准度年确定的拓扑.定义1.1设S是E三R的一个子集，具有相对知扑.假如对随意一点wS,存在P在S中的
8、一个邻域U(U=VCS,其中V是P在中的邻域)，和R，中的一个区域),以及同胚r:。TU:v)V)=(jf(utv),.v(u,V),Z(Utv).使得是中一个正则参数曲面兴。),则称S是E-中的张正J1.1.曲面(mfu1.arStiMHCC),荷裕曲面上述的邻域U和同胚F的逆映射=，I合在一起，将(U.称为该曲面的一个局部分数化(1.o1.P1.1.rHmCICriza1.ion),或坐标卡(curdimMcchnr.注S的拓扑是作为E-的子集从Ey嫉导的和时拓扑，即作为E,的拓扑子登间的拓扑.假如两个局部参数化(U.例)，(U,仍)满意QcU?0,加么正则参数曲面c1.就有两个参数表示匕
9、(,9)和Q(%,甲)由此自然产生7参数变换外。彳：W1.rU2)2(U1.rU2)t(u,v,)(u2,v2).利用正则舂数曲面HCU2的3次以上连续可激性和正则性，可以证明上述参数变换是可允许的.出.观上看，正则曲面S是由些正则参数曲面“粘合”而成的.只有那些与电数的选择无关的址才是曲面本身的几何量.蝮如一个正则的面有一族保持定向的局部参数化(/,g)IeA(A为指标集.使得4IaWA构成S的开覆盅,则称该曲面是可定向的(orientab1.e).除非醇殊粕出，本课在一IbtnE对正JH)象面的几何姓及，你之力”局彳微分几何学”.以下所说的-*一微卷戈正JHt画面，包括习慝中出现的-*.2
10、9四、正则曲面的例子r(M,v)=(acos11,asin11.v).(MV)WOUR1.(1.15)其中0.当O=(0.2)R时，硼柱面上少了一条直.线X=a,y=O,z=v.松如取D=(-.)XR.上面的直线在参数曲面匕但是又少了一条直线x=-a,y=O.z=v.明显尸(MV)是随旗阶连续可微的.又fn=(-usinM,Csu.O).=(0,0,1.),=(coSM,sinu,0)0.所以眼柱面是IE则曲面.回柱面也可以用一个坐标卡表示：r(M.v)=Irr._r.nJ/+IR.(m.v)D=R(0.0).1.4-+v*M-+V-)所以圆柱面是可定向的.例1.2球面(SPhere)5*=(
11、x.y.Z)Ix?+y2+z?=(/,参数方程为巴，)=(“CoSeCoSCOS8$in“sin0,(0,2)(-,)R:.(I.I6)其中0.由于匕=(-cospSinaCoSeCoSe,0),q=(-sin(pcos/一SineSinaCOS0,rr.=(Jcos夕(COSWC0、。,CO$0sin,3n夕)40,所以球面是正则曲面.向思：球面至少须要几个坐标卡才能将它相靛？（参见习四2）例1.3旋转面(revo1.utionM1.rfaCe)设C:X=/(v),Z=g(v)(P(“.)是xz平面上一条曲线，其中f(V)0.将C统Z轴旋轴得到的旋转面S参数方程为i1.i.u,V)=(/(v
12、)cosa,f(v)sinm,g(v),(M.v)(0.2)(.Z)R(1.18)旋转面S上的小曲线称押纥圈，V曲线称为电线因为=/(p)(-sinw.cosw.0),=(,(v)sM.(v)sinw.(v).=/(v)(5,(v)cosM.g,(v)sinM.-,(v),Iqxq1.=/(v),2(v)+2(v).所以当C是正则曲跷，jfR/(v)OUbS是正则曲面.例1.4正面（hcricoid）设两条口找乙和&垂直相交,将真战。一方面绕1.作匀速转动，同时沿作匀速滑动，。的运动轨迹叫做正爆面（蟠旋面）,取初始位置的立线。为X轴.4为Z轴，建立右手耳角坐标系.则31正螭面的参数方程为r(u
13、.v)=(ucosV.usinv,f),(/,v)gR:.(1.19)由r=(cosv.sinv,0).ft=(-wsinv,wcosv,w).=(wsinv,-.也就是直坟而S的V-曲线.为了保证直纹面的正则性，要求=()+vZ,(z)Z(m)O-(1.21)因为直母线的方向向fiU()O.通过参数变换)=,V=Z(M)I,可设T()t1.再通过选取新的准线C:(/)=0(”)+以”)7(“)，其中Z()是恃定的函数，使得直用线到处与准线垂直相交，即于GdjQ)W0.因为a,1.=(,+7+)/=+,.只须取(w)=-d,(w)/(m)u1 .当7()=为常向不：时.全部的直母线相互平行,1
14、1StI1.1.1.S称为柱Bff(CyIindriCaISUrface).2 .当全部的直母线都经过一个定点时，史奴面S称淮面(COne).3 .行7(“)。(“)时，S称为切线曲面(tangentsurmce),由准线C:=(“)的全部切线构成.这3种直纹向有共同的特征,在3.6还要进一步探讨.课外作业：习SS2,5 3.2 平面和法线一、曲面的切空间，切平面和法线设S:=r(w.v)是炉中一个正期曲面，(“.V)e是曲面上点的曲代坐标，设p(%,%)是S上随意一个固定点.则S上过点的一条可激(参数)曲规C：=(/)可以表示为a=roa,.-8.)5:r()=r(u(r),v(r).(2.
15、2)其中Gr(-,)rz(u(r),v(/)(2.1)是Q中一条UJ微曲线(不杵定是正则曲城)，iRjgw(0)=W0,V(O)=%.因此fO(0)=/3(0),v(0)=Nu0,v0),正是p点的位比向量.曲线C在P点的切向盘为a(0)=r(u1.1.,vo)(0)+(w1.,.vo)v,(O).(2.3)定义2.1曲面S1.:过p(0.%)点的质意一条连续可做曲线在该点的切向盘称为曲面S在p点的VWftfttangentvector).曲而S在点的切向盘全体记为7S,它是一个2维实向量空间匕(4,玲)”.(4,%)是7；S的一个基.事实上，TpS=(,v0)+,v0)aeR.称为曲面S在点
16、的切空间(tangentspace).证明记V=WM.%)+比(%.%)“力eR.由(23)可见7；SUk反之，对随就=a(*,vn)+br(mi1.v(,)GV.令4)=汽+M%+加).则是过p(%.%)的可做曲线.并且(0)=(w0.)+砥(%.%)=X.所以Yw7；S.因此Vu7；S，从而7；5=V.明显V依据向负的加法和数乘构成一个向盘空间.由于(为.线性无关，它们构成V的基.在空间E-中,经过点/Xm.V)GS,以两个不共线向IftM”,),为方向向量的平面称为曲面S在点的切平面HHngcntp1.ane*.切平面的梦数方程为X(,)=r(u,v)+A(M,v)V).(,)R2.(2
17、.6)它的单位法向量(Unitnorma1.vector)为M(w,v)=-(w,v).(2.7)IqXq1.经过点X11.v)eSH.垂直于S在点的切平面的大城称为曲面S在P点的法线831加有11让它的参数方程为X(r)=r(.v)+(“,),rR.曲面S在P点的切空间、切平面、法战这三个概令都是与参数选择无关的几何概令.(为什么？曲面上的自然标架：r(w.v):(w.V).；.(.v),zrtu.V-).二、连续可微函数的等值面设OuE是一个区域，/(.,y,z)是定义在。上的连续可微函数.对于一个常数CW1.R,集合f(O=(.t,.y,Z)WEJ1.f(x,y,Z)=称为函数/的答值面
18、.假如在/(c)的每一点，都有Yf=(t,)O(2.9)则等(ftmiT(C)是一个正则曲面.事实上,设在p(凡,y1.,z0)e/T(C),有)=c，V.v,y.于是等值面.广(C局部通可以用参数方程表示为f=f(x,y)=(,y,g(x,y),(2.n由于qXG=(-v,)等值面rYc是正则曲面.在等值面上好一点p,梯度向量Y*,Fg(x,y)是一个法向垃，即是与切平面垂直的向冰.事实上，由(2.11)可得切空间的基底收=(1.0,gJq=(OJg,)由(2.10洒边分别对X,)，求储导数并留意z=g(y),得f+g,=O.(+fg,=O印有34伍/J)(Ieg)=。，(启，)(,g,)=
19、o三、微分力,的几何意义设曲面S的参数方程为广=f(M,V).微分得到(2.13)df(u,v)=(M,v)dt+(u.v)dv.将小书作4个独立的变址,则对于中血小,的不同取值,就得到不同的切向址.有时也用比值4：出来表示曲面上的一个切方向.自然，这时要求办,小，不能全为0.变崎疝,小，是切向量小5.v)关于切空间Tf1.S的狭底匕(My).小品明的垂；”:，因此是向瑶空间7；S上的斑性函数，即疝,小c7；S(对偶空间).事实上，依据定义t:7；,5?:X=X,+X:4X)=X.同理，dv(X)=X2.注.用子切空间的自然基底,1般不是单位正交的在把(而.仇，)看作切向盘在这个基底下的重法计
20、尊内枳时，不能将它当作笛卡尔坐标系卜的重量来进行运算，而应当顾及自然基底不的度量系数(参看下一节).课外作业：习题I.3.5. 3.3 一基本形式设S设=r(u.v)是炉中一个正则参数画面.则1(M.v)=(u,vkM+(,V)tv(3.1)是曲面上随意一点r(.v)处的切向量,这个向量作为中的向量可以计算它的长度.令(4)=以(,v)(,V):=&幻(,V).F(w.v)=()(M.V)=()(N.v),G(m,p)=(0：f=0EG-F=()()-(,)=.0.(1.agrangc恒等式)利用笫类基本量E.F.G的定义，有d-dr=(fudt+fdv)2=Eduz+2Fdudv+Gdv2.
21、记为(3.4)(3.5(*)这是一个关于变Aid“,小的二次型,林为曲面S的第一基本形式IfirStfundamenta1.form).I=Jrdf=Ec1.iT+ZFdudv+Gd=(疝.小)(：I)(M)对曲面S作可允许的参数变换u=u(i.i),V=v(fi,P).并记r(M.V)=(w(w.V).(3.8)(3.12)(3.13)y=(IIJ-则有(状得XX)-因此第一公本力式与，敷选势无关，电与序的林柒逸鼻无关，是一个几何量.其实.这一结论也可由微分形式不变性,也就足(*)式干脆得到：I=Jr.Jr=IJri2.dr-8f=du.dv)假如赤=fdu+rdv和6尸=ryu+r5v)r
22、(u,v)处的两个切向玳，则它们的内枳为(3.16)(3.17)(3.18)EduSu+F(dv+dvu)+GdvSv.因此切向量dr=radu+rdv的长度为Idr=4Edir+2Fdudv+Gdv2.两个切向Mdr-fidu+/；心和Sf=rVw+rv之间的夹角Z.df.f)满意IradrfEduu+F(duv+dvu)+GdvvCOSN0,0r)=,S1.M4Ethr+2Fdudv+Gdv2EJu+2Fuv+GSv2它们相互正交的充分必要条件是Edt+F(duv+dv+Gdv=0.定理3.1在参数曲面S:=PQj)上,参数曲线网是正交曲线网一尸三0.对于参数曲面Str=尸(”,V)上的一
23、条曲线C：u=m(),v=B),ta,b,它的弧长为1.=Jf7r=J，(“)，VO)I市=J：(JEU+Gv)()力(3.21)定义称d=IEG-Fdudv为他面S:尸=r(w.v),(w,v)eD的面积元案,称a=JJ“a=J/,Jeg-尸(3.18)为曲面S的面积.*曲面上曲线的面上/.曲面的西以元面的。以及曲面的以做人都是几何壮.证明假设参数变换为0:。：(“4)1(反力，其中M=(W,V).V=V(W.V).则在新参数(万)下，S的参数方程“(斤了)与原参数方程汽“,1，)之间满意1(14.V)=1(w(u.v).v(Mfv)=J；O(.u.v).I.曲段的参数方程由r=f(w(r)
24、a)(ea,b)变成了4=1;(/),v(0)=(w(w(),v（三）),7(/),v()r1.o飙“(/),Vo)=r(w(O.M)=f，所以1.t=dr.=dr=1.2,由(3/2)可见，在新舂数(U)下，笫咬她本M瓦QG湎意八(EG-FM篇其中需是伊的逆映射”的皿附行列式.另一方面依据二重积分的变量代换公式,所以在新参数值市)卜的面枳元素d=yEG-F1diidv=4EG-F3.依据二一积分的变做代换公式，有A=Jj%d3=JjoyEG-F:(iudv-yEG-F2ddv=j=,例1求旋转面广(“.、，)=(/(I，)COS“J(i，)sin“.g(i，)的第基本形式.解所以=(v)(-
25、sinw.cos11.O).Tv=(,(v)cosu.,(v)sin.1g,(v).E(u,v)=f2(v),F=O.G(m,v)=/2(v)+,2(v).这说明在旋转面上，经线和玮城构成正交曲戏网.笫一基本形式为I=fi(v)du1+rt(v)+g,2(v)dv2.这说明在旋转面上经战(吐曲跷用佛战(“-曲线)构成正交参数曲战网.例2求曲向上参数曲线网的二等分角轨线的微分方程.M设正则参数曲面S7=F(MV)的笫-本形式是1=Et1.ui+2bdtdv+Gdvi.再设二等分角轨线的切向I为df=udu+f1.dv.由魏意，它与“-曲线的夹角要等于它与曲城的夹用，而K曲戏的切方向为N，=0,A
26、曲线的切方向为6“=O，所以drfaJr0,WJ(EG-F)(fG+F)0.所以上式可化简为Edu4Gdv=0.(3.25)或等价地.参数曲线网的二等分用轨线的微分方程为Edui=Gdv.注求解一阶常微分方程初值何起源=第.(1.%)=%(%,%)G)得到的解“=/(I，)是曲面S上过p(4,%)点的一条曲线C:V)=(f(V)J),在C的每-点r(v).切方向P()与该点处的两条参数曲线的切方向夹角相等.冏定vn让初始条件“变动.就得到2族这样的曲线，它们就是参数曲线网的二等分角凯线.课外作业；习题2,5,83.4 曲面上正交参数曲线网的存在性在正交舂数曲筏网下，第一地本形式比较筒沽；I=E
27、d1.J+GdS.问题：曲面上是否存在正交参数曲线网？引理设=Q,VW“+g(“,vWu是定义在区域。UK?上的连凌可微的1次微分册式，R”到处不为零,则时于随懑一点(4,崛)。，在的某个邻域UU。内存在积分因子，即行定义在U上的非零连续可姮函数小).使得2(”.v)3是某个定义在UI：的连续可微函数F(m.V)的全微分：(m.v)(w.v)du+g(u,v)w=dF(u,V).引理的证明见附录1定理12定理4.1一定在曲面S疗=网“,V)上有两个到处线性无关的、连续可微的切向贵场则对每一点eS,必有P点的一个制域UUS,使得在U上存在新的参数(由词，满&ri/a.ri,H6.分析，设=rt1
28、.+j,=b1+b,f1.,.(4.2)则的。方线性无关可知a1.a.A=abt-0.(4.3)b、假如这样的可允许参数变换”(G,),W/,存在则应有函数久使得=(1.+,JE(EG-尸)则佝怎足曲面上的单位正交切向址场称为r.的Schmidt正交化.课外作业；习题1,33.5 保长对应和保角对应一、曲面到曲面的连续可微映射设有两个曲面S:彳=(,片)，(m1,V1)D1fiis2:=JJ(tt2,V2),(“2，V2)wQ,因为曲面上的点P与它的参数(曲纹坐标)是一一对应的，从曲面S1.到曲面S2的映射夕：S1S2可以通过它们的参数表示出来,即有映射-&使得e=匕二。I,或3=UI。夕二彳
29、.将映射e：S1.TS2通过它们的参数用两个函数表示出来，则有(5.1)U2=f(w1.v1).V2=Jf(MpV1.).暇如(5.1)中的两个函数都足连续UJ微的，则称映射9是连续可微的.这幅念在曲面的可允许参数变换下保持不变因此与这两个曲面的参数取法无关.以下总假定映射W彳i足载的连续可微性.二、切映射设两个曲面，S?的参数方程分别为彳=式”,1，),(“4)6。和弓=.刃，5/)2，映射0:$T5?是连续可微的，它的参数表示为8=%。W，叩，其中*DDj:(u.v)tu.v)=(m,v)=(m(m,v),v(m,v).(5.1),则对每一点PGS1.可以通过下面的方法定义一个线性映射.把
30、X=35+%给&)仁9，映为8.(。+忌X4)=(渥+蜡)(弓。MeS2在(5.9)中令a=du,b=dv,可知在=(/J)Vdu+(4)dvTpSt在切映射,下的象是。.(礴)=(承加+更小)傅1+傍疝+袋小)(41.=(Q而+(41(拒=M。M9)1由于短个切向砧X=a(r1.+h(r,)GTf,St都是加上的某一过p点的曲线Cu=u(t)V=1)(5.2)在点的切向量：犬=包0(4(“)皿)，其中(“(0),V(O)=(%,%)为P点的他纹坐标，且/(0)=4,v(0)=(见(2.3)式)，切映射也可以40用另一种方法来定义：伊将舟上的曲线C映为上的曲线Czii(t)=u(u(t).,(
31、t),v(r)=v(u(r),v(f).(5.3)定义*.(X)为在F=O处的切向量，即.()=1.t三0*J(0V(O)=rst1.(u(u(O.V(O),vut,v()(5.5)=(Gb像“仙+fO)+)r厝w,(0)+fVf(O)=(磋+娉)(。+(喈+陪)(Q(5.4)在3)中分别取(4)=(1.O)和(为份=(0.1),可得,)=(M,(钦睚f(5.7)因此切映射9.在自然暴),(4)J下的矩阵恰好是映射3的JaCobi矩阵,由此可知在点切映射.Tps,T1.S,是戏性同构，当且仅当在P点映射(5.1的Jacobi行列式詈募0.定理5.1设映射.S1S2是(3次以上)连续可徵的.例如
32、在点切映射(p.：T,STt1.ifnS2是线性同构，则分别有点的领域qu4和例P)点的邻域/us2,夕(N)UU门以及,q上的参数系(%,vj和(%,当)，使汨映射3卜的多数表示为O=id:C1.TC2：(4,)1(m2,v2)=(w1.,v1.),其中=不().%=不必).这种参数系称为映射W的适用数系证明设$.52的参数方程分别为；=小”.刃和4=小.刃.8的参数表示为：D1D3：(M,V)V,(.V)=(M.V)=(M(M.V).V(M,v).由条件,誓0.设P点的曲纹坐标为(即刎P)点的曲纹坐标为(4.%).5(.V)p由于粤22是连续的，存在(%,%)在/)中的邻域QUQ,使得在上
33、学E1.H0,且CfM,V)(u.V)在C1.上8h有连续可微的反函数WT:1,1.:(i2UD2(i7,v)WW1.(w,.v2)=(u.v)三、保长对应(等距对应)设Q，-5：是连续可微映射，(M.v)411(i7,v)分别是$的曲奴坐标.e的多数表示为it=i7(.v),V-v(h,v).因为.=(du.dv)J.AIi对于曲面S?上的随意一个二次微分式我们可定义曲面W上的一个二次微分式=A(,i.v)du+2B(u.v)dudv+C(u.v)dv1.=(7.v)1._其中(D-A(u,v)du+2(w,v)dudv+C(w,v)1.v=(iu,dv)J其中T瓦3作为复合函数.是”,V的
34、函数，即(m.v)=A(m.v).v(u.p)(u,i-)：+2B(i7(W.v),v(M.y)(W.v)(u.v)+C(i7w,V),v(.v)(w,r),(,v)=A(u(u,V),V(tt,v)(M,v)(三,V)+(M(,v),v(u,v)(f(w,y)(M,V)+(f(N.v)(m,V)+C(i7(u,v),v(u.v)(m,V)(三(w,V),C(u.v)=A(i7(u,v).v(,v)(*(.v)2+2(i(w.vKv(u.v)(u.v)(w.v)+C(i7(w.v).v(w.v)(w.v)2.二次微分式柄切称为S,上的二次微分式0经过映射伊拉回IPUuback)到舟上的二次微分
35、式.Sk二a1.巫1.黄泊来说，就是科(而,而)=(du.dvJ代入11)右战而得.例曲面S?上的第一基本形式=&万+2&防+。而.是一个二次曲分式.拉回到，上.夕(I?)=(AOW)而2+2(o)cMv+(Coj(11,v)v2z.1(duS叫万Wcr由于1.=($是等距时应,则有.(X).(Y)=XY,VX.FgS,.VpeS1.反之.保持内积的线性映射也肯定保持向量的长度.而且,保长对收也保持连续可微曲线的弧长.n1.(C)=Uv(C).注2.保也内积的段性映射必定是纯姓同构.因此时于保家对应中，在每一点pwS,切帙射3.都义浅姓同构,从而局部地夕是俄分同俶存在适用参微系.由(5.9)可
36、知(z2)ff0V,.(dfi)=(du.dv)J=/(八。口.1(嗝。匕I利用(*)得到。.(密)=(IJ,其中I?=Edit+2F+Gdv2是S2的第一基本形式.于是有定理5.2设映射.S1.5,是3次以上连续可做的.则是等距对应的充分必要条件是一(【2)=尹(注)夕（八）=(%)(4)=1.，即在对应点，成立6MG3-S.I)I-将上式按矩阵乘法豫出来，可以得到类似于(5.13)的等式.性如己知2个他面5反，是否存在等距对应伊：S2?这相当于已知(5.20)中的函数.匕G反户Z.求解未知函数m=i7(“,v),v=v)使得(52O)成立.但是(5.20)是非线性一阶偏微分方Fk-般来说求解特别
