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1、-完全平方数目录一、定义二、根底性质及推论三、重要结论四、区别五、特殊的完全平方数六、例1. 例12. 例23. 例34. 例45. 例56. 例67. 例78. 例8七、讨论题一、定义及表达式1、定义：假设一个数能表示成*个整数的平方，则称这个数为完全平方数，也叫平方数。1.1例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529，2、标准分解式：大于1的平方数n的标准分解式如下：1其中是质数，是自然数。2.1例如：二、根底性质及推论观察0,1,4,9,16,25,36,49,6
2、4,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529，完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：1、性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9.此为完全平方数的必要不充分条件证明：设为完全平方数，是的个位数，则的个位数与的个位数一样。利用整数同余的知识有如果，则又的全体是集合，的全体是，的个位数全体是。所以平方数末位数只能是0,1,4,5,6,9.2、性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。证明 奇数必为以下五种形式之一：分别平方后
3、，得综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。3、性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立证明 ，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则或 即 或 k为奇数。推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，则这个数一定不是完全平方数。推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。4、性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。证明：这是因为 5、性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。在性质4的证明中，由k(k+1一定为偶数可
4、得到 是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得2k)2为8n型或8n+4型的数。6、性质6：形式必为以下两种之一：3k,3k+1。因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。平方后，分别得同理可以得到：7、性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为型，是5的因数或倍数的数为型。证明：自然数被5除按余数的不同可以分为五类：为自然数。，.8、性质8：形式具有以下形式之一：16k,16k+1,16k+4,16k+9.证明：自然数被8除按余数的不同可以分为八类：，为自然数。除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+
5、6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被9除的余数。下面证明这个命题。证明：设自然数是之一，则是9的倍数。即关于完全平方数的数字和有下面的性质：9、性质9：数字之和只能是0,1,4,7,9。证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k1,9k2,9k3,9k4这几种形式，而除了以上几条性质以外，还有以下重要性质：10、性质10：是自然数为完全平方数的
6、充分必要条件是b为完全平方数。证明 充分性：设b为完全平方数，则有是则是完全平方数。必要性：假设为完全平方数，则有，则有是的倍数，从而是的倍数，设，则有，推出是完全平方数。11、性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。即假设 则k一定不是整数。13、性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个正因数包括1和n本身。证明一：设完全平方
7、数，由初等数论知识得，的正因数的个数是奇数。反之，自然数的正因数的个数是奇数，则均为偶数。从而是完全平方数。证明二：设完全平方数，则每个小于的正因数，都有一个大于的正因数与之对应，这样的正因数就有偶数个，最后还有1个正因数，从而n有奇数个正因数。三、重要结论1. 个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数。由性质1得到。2. 个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。由性质2得到。3. 个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。由性质3得到4. 形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；5. 形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；6. 形如5n2型的整数一定不是完全
8、平方数；7. 形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；8. 数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。9. 方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和10. 完全平方数的因数个数一定是奇数。11、如果自然数，且是10的倍数，则的个位数与的个位数一样。或者更一般的有：如果自然数，且是的倍数，则的末尾k位数与的的末尾k位数一样。或者如下书写：如果则证明1由整数同余式的性质立即可以得到证明2：，则是的倍数，从而的末尾k位数与的的末尾k位数一样。四、平方式和完全平方数的区别完全平方式分两种：1、完全平方和公式，2、完全平方差公式区别：完全平方式是代
9、数式，完全平方数是自然数。五、特殊的完全平方数1、雷劈数，或名卡布列克数定义为：假设正整数*在n进位下的平方可以分割为二个数字，而这二个数字相加后恰等于*，则*就是n进位下的卡布列克数。例如552=3025，而30+25=55。印度数学家卡普列加Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 - 1986在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边一块牌子被劈成了两半：一半上写着30，另一半写着25。这时，卡布列克突然发现30+25=55，552=3025，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。从此他就专门搜集这类数字。按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“
10、卡普列加数或“雷劈数或“卡布列克怪数，也叫“分和累乘再现数。卡氏数可以指平方后的数，亦可指平方前的数，常常不加区分。求法人们容易找到其他的数也具有这样的性质。例如，易知2025具有该性质：20+25=45，452=2025。求雷劈数的方法很多，从初等数学到高等数学，应有尽有。以下是两种最简单的方法以两位数+两位数为例：方法一设该数的前两位为*，后两位为y，根据定义，有(* + y)2 = 100* + y即 *2 + 2(y - 50)* + y2 - y = 0。该方程的判别式D=4(2500 - 99y)必须是完全平方数，而y本身也必须是平方数的尾数，故可求得y等于1或25，从而求得四个结
11、果2025，3025，9801和0001舍去。方法二同样设该数的前两位为*，后两位为y。于是有(* + y)2 = 100* + y = * + y + 99*(* + y)(* + y - 1) = 99*从而看出* + y与* + y - 1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数当然依照位数不同，也可能是别的因数，从而找出候补者44，55和99。下略。用以上方法，亦可找到其他位数的雷劈数，如77772 = 60481729；6048 + 1729 = 7777。目前最小的雷劈数是81简单性质一般而言，考察雷劈数时，一般不考虑分割后的一局部全部为0的情况如10+0。亦不考虑由0开场的数字如0
12、+1。最小的奇雷劈数是92 = 81。最小的雷劈偶数是100:10+0=10 10=100如果M2是雷劈数，则(10.0 - M)2也是雷劈数.证明：设M2是雷劈数，可以分割成*和y两局部，且M=*+y，y为n位数，则M2=10n*+y雷劈数定理然而(10n-M)2=10(2n)-2M*10n+M2=10(2n)-2M*10n+10n*+y=10(2n)-2M*10n+10n*(M-y)+y=10n*(10n-M-y)+y同样满足雷劈数方程。在二进制下，所有的完全数都是卡布列克数同雷劈数。雷劈数表以下用*|y表示一个平方数N可以分割为*和y两局部，(* + y)2 = N。y是一位数：10*
13、+ y = (* + y)2N=0|0, 10|0, 0|1, 8|1有意义的数只有92 = 81。y是两位数：100* + y = (* + y)202 = 0|00, 1002 = 100|00452 = 20|25, 552 = 30|25992 = 98|01, 12 = 0|01其中有意义的数是452=2025, 552=3025。0|0.0, 0|0.1, 10.0|0.0这三种属于平凡解，下略。根据上节的性质，雷劈数必然成对存在；但9.98|0.01是比拟特殊的一类，与其成对的0|0.1属于平凡解。y是三位数：1000* + y = (* + y)22972 = 88|20970
14、32 = 494|2099992 = 998|001y是四位数：10000* + y = (* + y)222232 = 494|172977772 = 6048|172927282 = 744|198472722 = 5288|198449502 = 2450|250050502 = 2550|250099992 = 9998|0001y是五位数：100000* + y = (* + y)2951212 = 90480|0464148792 = 238|04641826562 = 68320|14336173442 = 3008|14336777782 = 60494|17284222222
15、 = 4938|17284999992 = 99998|00001y是六位数：1000000* + y = (* + y)29947082 = 989444|005264, 52922 = 28|0052649610382 = 923594|037444, 389622 = 1518|0374448571432 = 734694|122449, 1428572 = 20408|1224498518512 = 725650|126201, 1481492 = 21948|1262018181812 = 669420|148761, 1818192 = 33058|1487618128902 =
16、660790|152100, 1871102 = 35010|1521007915052 = 626480|165025, 2084952 = 43470|1650256813182 = 464194|217124, 3186822 = 101558|2171246700332 = 448944|221089, 3299672 = 108878|2210896486482 = 420744|227904, 3513522 = 123448|2279046433572 = 413908|229449, 3566432 = 127194|2294496096872 = 371718|237969,
17、 3903132 = 152344|2379695384612 = 289940|248521, 4615392 = 213018|2485215331702 = 284270|248900, 4668302 = 217930|2489005005002 = 250500|250000, 4995002 = 249500|2500009999992 = 999998|0000012、对称的完全平方数例如1,2，,3，3、完全平方数与自反数例如：1，2，3(4)(5) 4、由0,1,2,3,4五个连续自然数组成的五位平方数六、例1、例1一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。解：设
18、此自然数为*，依题意可得*-45=m2 *+44=n2 m,n为自然数-可得 :因为n+mn-m又因为89为质数，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=45。代入得。故所求的自然数是1981。2、例2求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方1954年基辅数学竞赛题。解：设四个连续整数分别为n-1、n、n+1、n+2.这时， (1)易知该式可被分解为两个二次因式的乘积，设为 得ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1，解得a=d=e=b=1,c=f=-1故(1)可被分解为 ，因为n与n+1是连续两个整数，故n(n+1)为偶数，所以n(n+1)-
19、1为奇数，即(n-1)n(n+1)(n+2)+1为一个奇数的平方。3、例3求证：11,111,1111，11111这串数中没有完全平方数1972年基辅数学竞赛题。解：易知该串数中假设存在完全平方数，则为末尾是1或9的数的平方。当该串数中存在末尾为1的数的平方时，则 ，其中n、k为正整数。但 ，易知n2需满足十位数为偶数，矛盾。当该串数中存在末尾为1的数的平方时，则 ，其中n、k为正整数。但 ，易知n2需满足十位数为偶数，矛盾。4、例4用300个2和假设干个0组成的整数有没有可能是完全平方数.解：设由300个2和假设干个0组成的数为A，则其数字和为6003|600 3|A此数有3的因数，故9|A
20、。但9|600，矛盾。故不可能有完全平方数。5、例5试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字一样，后两位数字也一样1999小学数学世界邀请赛试题。解：设该四位数为1000a+100a+10b+b，则1000a+100a+10b+b=1100a+11b =11100a+b故100a+b必须被11整除=a+b被11整除，又因为(a+b)18所以a+b=11，带入上式得 四位数=11a100+11a =11a99+11 =11119a+1)故9a+1必须为完全平方数。 由a=2、3、4、5、6、7、8、9验证得， 9a+1=19、28、27、46、55、64、73。 所以只有a=7一个
21、解；此时b=4。 因此四位数是7744=11282=8888。6、例6求满足以下条件的所有自然数：它是四位数。被22除余数为5。它是完全平方数。解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。11|N - 5或11|N + 6或n = 1 不合n = 2 1369n = 3 3481 2601n = 4 6561 5329n = 5 9025所以此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025。7、例7矩形四边的长度都是小于10的整数单位：公分，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字一样，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积1986年*杯初二数学竞
22、赛题。解：设千位与百位的数字为A,十位与个位数字为B则该四位数为：1000A+100A+10B+B=11*(100A+B)且为完全平方数所以100A+B能被11整除=A+B能被11整除，又因为A+B18故A+B=11易知100A+B除以11后得数为完全平方数,且各个数位之和为10验证得该数64所以A=7,B=4，则四位数是77448、例8求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。七、讨论题1. 1986年第27届IMO试题 设正整数d不等于2,5,13，求证在集合2,5,13,d中可以找到两个不同的元素a,b，使得ab -1不是完全平方数。2. 求k的最大值，使得可以表示为k个连续正整数之和。3. *校2001年的学生人数是个完全平方数。该校2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是完全平方数。该校2002年学生人数是多少. z.
