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1、2 正项级数,三、积分判别法,返回,收敛性是级数研究中最基本的问题,本节将对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.,一、正项级数收敛性的一般判别原则,二、比式判别法和根式判别法,*四、拉贝判别法,一、正项级数收敛性的一般判别原则,若数项级数各项的符号都相同,则称它为同号级数.,对于同号级数,只须研究各项都是由正数组成的级,数(称正项级数).若级数的各项都是负数,则它乘以,-1后就得到一个正项级数,它们具有相同的敛散性.,有界,即存在某正数M,对一切正整数 n 有,单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界,定理).这就证明了定理的结论.,仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不,容易的
2、，因此要建立基于级数一般项本身特性的收,敛性判别法则.,定理12.6(比较原则),级数,如果存在某正数N,对一切 n N 都有,则,证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛,散性,因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.,由(1)式可得,对一切正整数 n,都有,则由(2)式对一切 n 有,(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.,例1,解,例2 若级数,在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便.,正项级数,若,则,n N时,恒有,或,(ii)当l=0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,若,则对于正数1,存在相应的正数N,当,n N 时,都有,也发散.,例4 正项级数,散.,行比较.由于
3、,注意到,二、比式判别法和根式判别法,本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象,而得到的,但在使用时只要根据级数一般项本身的,特征就能作出判断.,定理12.7(达朗贝尔判别法,或比式判别法)设,为正项级数,且存在某正整数,证,把前n-1个不等式按项相乘后,得到,原则及上述不等式可得,数，且,则,N,当 n N 时,有,由上述不等式,的左半部分及比式判别法的(i),得正项级数,是收敛的.,根据上述不等式的左半部分,例6 级数,由于,根据推论1，级数收敛.,解 因为,根据推论1,当 0 1时级数发,发散的.,(1例5),却是发散的(1例3).,若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极,
4、限来判别收敛性.,若(7)中q=1,这时用比式判别法不能对级数的敛散,*例8 研究级数,的敛散性,其中 0 b c.,解 由于,故有,于是当c 1时,级数(8)发散;,但当b 1 c时,比式判别法无法判断级数(8)的敛散,性.,项级数,且存在某正数,于情形(ii),由(10)式可得,不可能以零为极限,因而由级数,则,n N,有,于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论.,数,且,解 由于,所以级数是收敛的.,若在(11)式中 l=1,则根式判别法仍无法对级数的敛,发散的.,来判断.,则当,(i)l 1 时级数收敛;,(ii)l 1 时级数发散.,散性，其中,解 由于,故,因此级数是收敛的.,如
5、果应用比式判别法,由于,我们就无法判断其收敛性.,根据第二章总练习题 4(7),当,时,必有,这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数,也能,由根式判别法来判别,亦即根式判别法较之比式判,故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性.但应用根,式判别法却能判定此级数是收敛的(例9).那么,是,否就不需要比式判别法了？请看下面例子.,例11 判别下列级数的敛散性：,解(i)因为,由比式判别法，原级数为收敛.,(ii)因为,由根式判别法,原级数为收敛.,不采用根式法.,三、积分判别法,由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局,限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法.,收敛或同时发散.,f 在1,A上可
6、积,于是,依次相加可得,若反常积分收敛,则由(12)式左边,对任何正整数m,有,一正整数 m(1)有,因为f(x)为非负减函数,故对任何正数 A,都有,发散的.,例12 讨论,知它也是发散的.,例13 讨论下列级数,的敛散性.,解,由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,如,果级数的通项收敛速度较慢,它们就失效了,如 p,级数.拉贝(Raabe)判别法是以 p 级数为比较对象,这类级数的通项收敛于零的速度较慢,因此较比式,或根式法在判断级数收敛时更精细.,*四、拉贝判别法,证(i),故存在正数N,使对任意n N，都有,这样,于是,当n N 时，有,且极限,存在,则,当s=1,2,3时的敛散性
7、.,例14 讨论级数,解 无论s=1,2,3哪一值,级数(14)的比式极限,所以用比式判别法无法判别级数(14)的敛散性.现,应用拉贝判别法来讨论.当 s=1时,因,故级数(14)是发散的.当s=2时,利用极限形式,有,无法对级数(14)的作出判断.但由于,由拉贝法的非极限形式知级数(14)发散.当 s=3时,所以级数(14)收敛.,根式法更广泛,但当 r=1 时仍无法判别.而从例12,似乎可以得出这样得结论：没有收敛得“最慢”的,收敛级数.因此任何判别法都只能解决一类级数的,收敛问题,而不能解决所有级数的收敛问题.当然我,们还可以建立比拉贝判别法更为精细有效的判别法,但这个过程是无限的.,从上面看到,拉贝判别法虽然判别的范围比比式或,复习思考题,得最慢的级数.是否存在发散得最慢的级数？,3.总结判别法使用规律.,
