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1、数学问题解决,一、什么是问题 二、什么是问题解决 三、数学问题解决的过程,一、什么是问题,1.问题是一个不稳定系统 2.问题是一种刺激情景 3.问题的含义,1.问题是一个不稳定系统 如果对某人来说，一个系统的全部元素、元素的性质和元素间的关系都是他所知道的，那么这个系统对于他来说就是一个稳定系统.如果这个系统中的某些内容是他所不知的，那么该系统对于他来说就是一个问题系统，即问题.如果这个问题系统的元素、性质和关系都是有关数学的，那么它就是一个数学问题.,问题具有主观性.一个系统能否成为一个问题，取决于认识该系统的主体.它对于有些人而言是问题，但对于另一些人而言则不是问题.例如：“已知直角三角形
2、的两条直角边的长度，求其直角边的长度.”对于绝大多数小学生而言是一个问题，但对于高中生而言则不成为问题.,2.问题是一种刺激情景信息加工理论从两个角度来认识问题：一是问题的客观方面；二是问题的主观方面.问题的客观方面是课题（task）的客观陈述称为课题范围（task domain任务领域）.,问题的主观方面是解题者对问题的客观陈述的理解，称为问题空间（problem space）.问题空间由任务的初始状态（即任务的给定条件）、目标状态（即任务最终要达到的目标）和中间状态（即任务从初始状态向目标状态转化的若干可能途径，每一个途径又由若干步骤构成）组成.如果我们把使问题从初始状态向目标状态转化的操
3、作称为算子（operator），那么问题空间是由问题的初始状态、目标状态和一些算子构成的.,例如：试求出8与5的和.问题空间的初始状态是已知数字8与数字5，目标是求它们的和.儿童的算子可能是：先将8个实物与5个实物放在一起，然后由1数到13；“8！”，伸出5个手指，逐个数手指，“9、10、11、12、13，等于13！”；8+5=8+（2+3）=（8+2）+3=10+3=13；8+5=（3+5）+5=3+（5+5）=3+10=13.,综上所述，我们可以把问题定义为：给定信息和目标之间有某些障碍需要克服的刺激情景.对解题者而言，一个刺激情景能否成为问题，关键是给定信息与目标之间是否有障碍.因此，同
4、一个课题范围对有的被试可能成为问题，但对另一些被试则不是问题.,3.问题的含义 问题是一种状态，在这种状态中，主体要去完成一个任务，而对于这个任务，主体没有完全确定的法则，没有易于理解的方法.问题对于主体而言表现出两个基本特性：认同性；障碍性.,（1）认同性 即主体接受并试图去解决这个问题.例3 一个不懂英文的作家看到下面的材料：Let be a polynomial of degree n such that for each.Find.(Singapore 1988)这个材料对他而言并没有成为一个问题，因为他一点不知道这些符号的意义.即使是一个英文很好的作家，如果他没有解决这个问题的倾向，
5、那么这个材料也不会成为他的一个问题.,（2）障碍性.即是说，主体最初的尝试是无效的，或者说主体利用已有的模式解决不了，没有旧模式可以利用.一个问题一旦可以轻易地用先前的经验模式来解决，那么它就不再是一个问题（Problem）.教科书上的很多习题（question），尤其是课堂练习，都可以直接用教师提供的模式去解答，这些习题不是真正意义上的问题.那些用来训练和巩固教师所讲的基础知识和基本技能的练习（exercises）,一般来说也不是问题.“真正”的问题则是可以用于培养学生的科学发现的能力和创新的意识.,我们可以从以下四个方面来理解问题:A它是非常规的，无现成的模式可套;有一支探险队急需过河，虽
6、然每个人都会划船，可是河边只有一条能载一个大人或两个小孩的小船，怎么办呢？探险队中仅有的两个小孩想出了一个办法，使全体队员都过了河.请问他们是怎样过河的？这是一个非常规问题，因为学生的数学认知结构里没有什么现成的法则、原理可以直接利用.它需要创造性思维才能解决.,B问题提供的仅仅是一种情景，被试可以从不同的角度去理解下面四个图形中，哪一个具有其它三个不具有的属性？第2个也具备其它三个不具备的属性：它是唯一一个不具备所述属性的图形.,C问题具有新奇性和可探索性，能激发学生的兴趣“五羊”足球队举行庆功晚宴，出席者两两碰杯一次，总共碰杯990次，问共有多少来宾出席晚宴？,D它是开放性问题.封闭性问题
7、（closed problem）:问题给出的条件往往都是用得着的，而且只用一次;问题的答案只有正确与不正确（包括不完整）两种，并且正确的答案是唯一的.以封闭性问题为基础的数学教学是有缺陷的.例如，记忆性较多，思考性较少；程序化的技能性思维较多，开放性的创造性思维较少；教学倾向于结果，忽视思维过程；重模仿，轻创造.因此，只要学生记忆力好，勤学苦练，再加上细心，就能在考试中取得好成绩，高分低能的现象便应运而生.,数学教学需要 开放性问题（open-ended question），又称构造性反应（constructed response），它要求被试创造一个反应.而封闭性问题则要求被试回忆、选择一个
8、反应.,开放性问题的特点是：结论开放:即同一个问题可以有不同的结论；条件开放:即条件可以不充分，可以多余，也可 以不够；思路开放:即强调解决问题的不同思路，被试可以按自己的思路、方法去解答，不必套用固定的解题程序.问题：如果你今天将200元存入银行，那么6年后的今天，这笔钱的本息是多少？,二、什么是问题解决,什么是问题解决，由于理解的层面不同，至今仍然没有统一的认识.1.桑代克认为问题解决是由刺激情境与适当反应之间形成的联结构成的，这种联结是通过试误逐渐形成的.,2.加涅把问题解决学习看成是八种学习类型中最高级和最复杂的一种类型，即以独特的方式选择多组规则，并且把它们综合起来运用，它将导致建立
9、起学习者先前不知道的更高级的一组规则.3.顿悟学习理论认为问题解决就是顿悟，即知觉重组.它是通过被试重新组织构建有关事物的形式而实现的.,4.现代信息加工心理学认为问题解决是一种以目标定向的搜寻问题空间的认知过程.5.英国学校数学教育调查委员会报 告数学算数认为，问题解决就是把数学应用于各种情形的能力.,6.全美数学教师理事会在行动的议程中对问题解决的意义作了如下说明：1.问题解决包括将数学应用于现实世界，包括为现时和将来出现的科学理论与实际服务，也包括解决拓广数学科学本身前沿的问题；2.问题解决从本质上说是一种创造性的动；3.问题解决能力的发展，其基础是虚心、好奇和探索的态度，是进行试验和猜
10、测的意向.,从数学的角度来看，问题解决中所指的问题包括实际问题（含数学应用题）和纯数学问题.要顺利地进行问题解决，首先，主体要接受并试图去解决这个问题，其态度应该是积极的；其次，由于问题对于主体的障碍性，主体利用已有的模式解决不了，没有旧模式可以利用，这就要求主体要创造性地综合运用已有的知识和经验.这里所说的创造性，并非仅仅是一般社会意义上的真创造，而主要是个人意义上的再创造.,数学问题解决就是主体创造性地应用数学去解决问题的学习活动.问题解决的价值：1.可以使主体充分发挥自己的潜能，创造性地解决新情境下的问题；2.可以使主体在实际情境中获取和构造数学，而不是机械地去复述数学；3.可以使主体体
11、验数学的思想方法，构建自己的数学观念；4.可以激发主体的自主性心理特征，即自尊、自信、自律和自我激励，培养主体对数学的兴趣.总而言之，问题解决已不仅仅局限于解答问题，而是一种全新的数学教育观念.,三、数学问题解决的过程,（一）一般的问题解决过程1.意识到问题的存在2.表征问题3.确定问题解决的策略并尝试某种解法4.评价与反思（二）数学问题解决的过程与策略1.波利亚模式；2.奥加涅相模式；3.舍费尔德模式,（一）一般的问题解决过程 1.意识到问题的存在 只有意识到问题的存在，有解决问题的需要，问题解决者才会有以后的一系列解决问题的行为，这是问题解决的先决条件.有三种因素影响着问题解决者意识到问题
12、的存在：1动机因素；2学习方式.；3问题解决者缺乏与问题相关的专业知识.,2.表征问题美国现代认知心理学家西蒙（H.A.Simon）认为“表征是问题解决的一个中心环节.它说明问题在头脑里是如何呈现，如何表现出来的.”要想使问题得以解决，问题解决者必须准确地表征问题，因为对问题的表征如何，极大地影响着问题解决的难易程度.表征（representation)（何小亚，2011）：是指在实物缺席的情况下，重新指代这一实物的心理表象或符号形式.,两个火车站相距160千米.某个星期六下午2：00，有两列火车分别从两个火车站出发相向而行，当火车驶出车站时，有一只鸟从第一列火车出发飞向第二列火车，到达第二列
13、火车后，又飞回第一列火车，如此反复，直到两车相遇.如果两列火车的速度都为每小时40千米，小鸟的飞行速度为每小时50千米，那么，在两车相遇之时，小鸟飞行了多少千米？,如果你把这个问题表征为一个距离问题，即依次求出小鸟在两列火车之间来回飞行的距离，再求出这些距离的总和，那么这就比较麻烦.但是，如果你把这个问题表征为时间问题，即不必理会小鸟每次来回飞行的距离，只关注小鸟在空中飞行了多长的时间，那么由小鸟的飞行速度就很容易确定出小鸟飞行了多少千米，即50160（40+40）=100（千米）.,有两种表征问题的方式：1.内部表征（或心理表征）从现代认知心理学的角度来看，问题解决者对问题的内部表征也就是形
14、成问题空间.问题空间=初始状态+目标状态+算子，它取决于问题解决者把问题提供的信息和他的认知结构中的信息整合的情况.问题解决者的认知结构影响着问题空间的构成.对同一问题而言，不同的问题解决者形成不同的问题空间，或同一问题解决者在不同时间也会有不同的问题空间.另外，问题的呈现方式也会影响问题空间的形成.,2.外部表征 即：把问题用图形、表格、模型等外部的形式表示出来.尽管工作记忆的容量十分有限（约59个信息项），但借助于外部表征，可以大大减轻工作记忆的负担，有利于问题的解决.1将内部表征写出来2画出示意图3列出表格4构造模型(例子见教材 P 162 164）,3.确定问题解决的策略并尝试某种解法
15、 在完成了对问题的表征之后，问题解决者就要来确定解决问题的策略（即解决问题的方案、计划或办法）。它决定着问题解决的方向与成败。同一个问题可以有不同的解决问题的策略，问题解决者确定以什么策略来解决问题，一方面取决于他自身相关的知识和经验，另一方面取决于他如何表征问题。对问题的表征不同，所选择的解决方法也不同.在确定了某种解决方案之后，接着就要执行这一方案，尝试解答。,4.评价与反思 当问题解决者确定并完成了某个解决方案之后，他还需要对结果进行评价,对解决问题的过程进行反思，也就是要对结果进行核查、验算，或者寻找能够证实或反驳这一解答的证据。对解决问题的过程的评价与反思可以使我们更好地理解某一方法
16、的实用性。仔细思考为什么一种方法在某种情境中不适用，有助于在其它情境中更好地运用。,（二）数学问题解决的过程与策略1.波利亚模式 乔治波利亚（G.Polya，1887-1985）是美籍匈牙利人，著名的数学家和数学教育家.他在怎样解题一书中提出了著名的“怎样解题”表，将解题过程分为：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾这四个阶段.（见教材 P166）,2.奥加涅相模式 前苏联数学教育家奥加涅相把解题过程分为 理解问题条件、制定解题计划、实施解题计划、研究所得的解 这四个阶段.（见教材 P167-168）,3.舍费尔德模式 美国数学教育家舍费尔德（A.Schoenfeld）将数学问题解决过程分为 问
17、题的分析和理解、解法的设计、对困难问题的解法的探索、对解进行检验这四个阶段，并对每一个阶段提出了指导性的建议.（见教材 P168-169）,尽管波利亚的问题解决过程方法得到广泛的推崇，但在应用其四个环节的探索思路于教学中的许多研究里，其效果并不明显。为此，Schoenfeld 提出：问题解决能否成功，不仅仅取决于Polya的思路探索方法，还受制于解题者的 知识范围（定义、规则、算法、技巧）、自我控制（计划、监测、评估、决定）、观念（信念）（数学观、解题信念）.,问题与思考：1.李广平是一名药厂质量检验员。有一次，他发现一瓶次品药混进了其它9瓶合格的药品中.如果次品药的外形和数目与合格药品一样，都是每瓶100粒，而且这瓶次品药中每一粒均比合格品轻1克，那么如何用天平将这瓶次品找出来？2.某栋大楼从一楼到二楼共有12级台阶.如果每一步只登上一级或两级台阶，那么从一楼到二楼一共有多少种不同的走法？3.如何提高学生解数学应用题的能力？,
