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1、平面向量易错题解析1.你熟悉平面向量的运算和、差、实数与向量的积、数量积、运算性质和运算的几何意义吗？2.你通常是如何处理有关向量的模长度的问题？利用；3.你知道解决向量问题有哪两种途径？向量运算；向量的坐标运算4.你弄清“与“了吗？问题：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（1） 在实数中：假如，且ab=0,如此b=0,但在向量的数量积中，假如，且，不能推出.（2） 实数，且，如此a=c,但在向量的数量积中没有.（3） 在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.5.正弦定理、余弦定理与三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式
2、有什么特点？：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？向量可以平移。如A1,2，B4,2，如此把向量按向量1,3平移后得到的向量是_答：3,02零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4相等向量：长度相等且方向一样的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量也叫共线向量：方向一样或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条
3、直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！因为有)；三点共线共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如如下命题：1假如，如此。2两个向量相等的充要条件是它们的起点一样，终点一样。3假如，如此是平行四边形。4假如是平行四边形，如此。5假如，如此。6假如，如此。其中正确的答案是_答：45：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向一样的两个单位向量，为基底，如此平面内的任一向量可
4、表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标一样。：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使e1e2。如1假如，如此_答：；2如下向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D.答：B；3分别是的边上的中线,且,如此可用向量表示为_答：；4中，点在边上，且，如此的值是_答：0：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向一样，当0；当P点在线段 PP的延长线上时1；当P点在线段PP的延长线上时；假如点P分有向线段所成的比为，如此点P分有向线段所
5、成的比为。如假如点分所成的比为，如此分所成的比为_答：3线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，如此，特别地，当1时，就得到线段PP的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如1假如M-3，-2，N6，-1，且，如此点P的坐标为_答：；2，直线与线段交于，且，如此等于_答：或：1一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2，特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比拟类似).3在中，假如，如此其重心的坐标为。如假如ABC的三边的中点
6、分别为2，1、-3，4、-1，-1，如此ABC的重心的坐标为_答：；为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；3假如P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，如此，特别地为的中点；4向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，两点,假如点满足,其中且,如此点的轨迹是_答：直线AB例题1向量,且求 (1) 与; (2)假如的最小值是,某某数的值. 错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度; (2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论. 答案: (1)易求, = ;(2) = = 从而:当时,与题
7、意矛盾, 不合题意; 当时, ; 当时,解得,不满足;综合可得: 实数的值为.例题2在中,且的一个内角为直角,某某数的值.错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而无视对诸情况的讨论.答案: (1)假如即 故,从而解得; (2)假如即,也就是,而故,解得; (3)假如即,也就是而,故,解得 综合上面讨论可知,或或例题4向量m=(1,1)，向量与向量夹角为，且=-1，(1)求向量；(2)假如向量与向量=(1,0)的夹角为，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C为DABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求|+|的取值X围。解：(1)设=(x,y)如此由=得：cos=由=-1得x+
8、y=-1 联立两式得或=(0,-1)或(-1,0)(2)=得=0假如=(1,0)如此=-10故(-1,0)=(0,-1)2B=A+C，A+B+C=pB=C=+=(cosA,2cos2) =(cosA,cosC)|+|= = =0A02A-1cos(2A+)0当m0时，2mcos2q0，即f()f()当m0时，2mcos2q0，即f()f()例题6A、B、C为DABC的内角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2(1)当f(A、B)取最小值时，求C(2)当A+B=时，将函数f(A、B)按向量平移后得到函数f(A)=2cos2A求解：(1) f(A、B)=(sin2
9、2A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1 =(sin2A-)2+(sin2B-)2+1当sin2A=,sin2B=时取得最小值，A=30或60，2B=60或120 C=180-B-A=120或90(2) f(A、B)=sin22A+cos22()-= =例题7向量m为常数，且,不共线，假如向量,的夹角落为锐角，某某数x的取值X围.解：要满足为锐角 只须0且= = =即x (mx-1) 0 1当 m 0时x0 或2m0时，x ( -mx+1) 0 ，3m=0时只要x 0时，x = 0时，x 0，1用k表示ab;2求ab的最小值，并求此时ab的夹角的大小。解 1要求用k表示ab,而
10、|ka+b|=|akb|，故采用两边平方，得|ka+b|2=(|akb|)2k2a2+b2+2kab=3(a2+k2b22kab)8kab=(3k2)a2+(3k21)b2ab =a=(cos，sin),b=(cos,sin)，a2=1, b2=1,ab =2k2+12k，即=，ab的最小值为，又ab =| a|b|cos，|a|=|b|=1=11cos。=60,此时a与b的夹角为60。错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算一样，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2ab或|a|2+|b|2+2ab。例题9向量，求的值；假如，且，求的值解
11、,. , ,即 . . ，.例题10O为坐标原点，点E、F的坐标分别为-1，0、1，0，动点A、M、N满足，求点M的轨迹W的方程；点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，假如，某某数的X围解：， MN垂直平分AF又， 点M在AE上， 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距， 点M的轨迹W的方程为设，由点P、Q均在椭圆W上， 消去并整理，得，由与，解得 根底练习题=(2，1)，=(，1)，假如与的夹角为钝角，如此的取值X围是 A、 B、C、 D、答案：A点评：易误选C，错因：无视与反向的情况。2.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,如此P的轨迹一定通过
12、ABC的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心正确答案：B。错误原因：对理解不够。不清楚与BAC的角平分线有关。3.假如向量 =(cosa,sina) ， =， 与不共线，如此与一定满足 A 与的夹角等于a-bBC(+)(-)D 正确答案：C 错因：学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法如此来处理问题。O、A、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P线段AB上且 =t (0t1)如此 的最大值为 A3B6C9D12正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP|cosa最大时， 即为最大。中,如此的值为 ( )A 20 B C D
13、错误分析:错误认为,从而出错.答案: B略解: 由题意可知,故=.6.向量 =(2cosj，2sinj)，j()， =0,-1)，如此 与 的夹角为( )A-jB+jCj-Dj正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值X围在0，p。，那么 A B C D在方向上的投影相等正确答案：D。错误原因：对向量数量积的性质理解不够。如此向量的夹角X围是 A、/12，5/12 B、0，/4 C、/4，5/12 D、5/12，/2正确答案：A错因：不注意数形结合在解题中的应用。=(x1，y1)，=(x2，y2)，如此如下与共线的充要条件的有 存在一个实数，使=或=； |=| |； (+)/()A、1个 B
14、、2个 C、3个 D、4个答案：C点评：正确，易错选D。10.以原点O与点A5，2为顶点作等腰直角三角形OAB，使，如此的坐标为 。A、2，-5 B、-2，5或2，-5 C、-2，5 D、7，-3或3，7正解：B设，如此由而又由得由联立得。误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。，如此是的 条件。A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要正解：C假如如此，假如，有可能或为0，应当选C。误解：，此式是否成立，未考虑，选A。OAB中，假如，如此= A、 B、 C、 D、正解：D。LV为与的夹角误解：C。将面积公式记错，误记为，假如与的夹角为钝角，如此的取值X围是 AA、 B
15、、2，+ C、 D、-错解：C错因：无视使用时，其中包含了两向量反向的情况正解：A是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：假如不平行其中正确命题的个数是 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个正确答案：(B)错误原因：此题所述问题不能全部搞清。=，=，且，的夹角为钝角，如此的取值X围是_. 错误分析：只由的夹角为钝角得到而无视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的X围,导致错误. 正确解法:，的夹角为钝角, 解得或 (1) 又由共线且反向可得 (2) 由(1),(2)得的X围是答案: .A、B、C满足的值等于 C A25B24C25D24为方向向量的直线. 1假如过点A
16、的抛物线的切线与y轴相交于点C，求证：|AF|=|CF|； 2假如异于原点，直线OB与m相交于点P，求点P的轨迹方程； 3假如AB过焦点F，分别过A，B的抛物线两切线相交于点T，求证：且T在直线l上.解：1设A，因为导数，如此直线AC的方程：由抛物线定义知，|AF|=+，又|CF|=+，故|AF|=|CF|. 2设由得. 直线OB方程：直线m的方程:， 由得y=p，故点P的轨迹方程为y=px0. 3设如此因为AB是焦点弦，设AB的方程为：得由1知直线AT方程：同理直线BT方程：所以直线AB方程：，又因为AB过焦点，故T在准线上.18.如图，直线l与半径为1的D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，假如 求点P的轨迹方程； 假如轨迹上的点P与同一平面上的点G、M分别满足，求以P、G、D为项点的三角形的面积.解：点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆. 由 以CD所在直线为x轴，以CD与D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系.所求点P的轨迹方程为 G为椭圆的左焦点. 又 由题意，否如此P、G、M、D四点共线与已经矛盾 又点P在椭圆上， 又O是ABC所在平面内的一定点，动点P满足,，如此动点P的轨迹一定通过ABC的DA内心B垂心C外心D重心是两个不共线的非零向量, 向量满足.如此向量用向量一定可以表示为 CA.且. B. C.D., 或
