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1、word第五章 数列学习要求:1.了解数列和其通项公式、前项和的概念2.理解等差数列、等差中项的概念,会用等差数列的通项公式、前项和公式解决有关问题.3. 理解等比数列、等比中项的概念,会用等比数列的通项公式、前项和公式解决有关问题.一、数列的概念1.定义 按照一定顺序排列的一列数,数列里的每一个数叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第一项,第二项,第项,第一项也叫首项.一般地,常用来表示数列,其中是数列的第例如,数列 第1项是1,第2项是3,第3项是5,第项是,数列记作数列的第项与项数之间的关系,如果可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.例如,数列通项公式是.项和对
2、于数列称为这个数列的前项和,记作.即的与的关系例1 数列的前项和,求数列的通项公式解析: 由得所以,当时当满足公式所以数列的通项公式为历年试题2014年试题的前项和,求I的前三项;II数列的通项公式解析 :III当当时满足所以数列的通项公式为2007年试题数列前n项和I求该数列的通项公式;II判断39是该数列的第几项.解: I当当时满足所以数列的通项公式为(II)设39是该数列的第项,如此,,即39是该数列的第10项二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于一个常数,这个数列就叫等差数列,这个常数叫做公差,记为,即等差数列的一般形式为设是首项为,公差为
3、的等差数列,如此这个数列的通项公式为项和公式设是首项为,公差为的等差数列,为其前项和,如此或如果称等差数列,就称为与的等差中项,如此注:一般证明一个数列是等差数列时,经常是按它们的定义证明为常量5. 等差数列的性质1在等差数列中,间隔一样抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等差数列.对于等差数列数列也是等差数列,数列也是等差数列数列也是等差数列例2如在等差数列中,求解析:构成等差数列,因为,所以2对等差数列,假如均为正整数,且,如此如例3在等差数列中,求解析:因为,即所以,例4设为等差数列,其中,如此A24 B127 C 30 D33解析:解法一 由等差数列的通项公式知解法二为等差数列,所
4、以也是等差数列,所以,是与的等差中项,例5在等差数列中,如果,如此_解析:,由得例6等差数列中,假如如此其前项的和 A. B. C. D.解析:是等差数列,所以,由得,由得,又,所以,选B历年试题2013年试题等差数列中,假如,如此A. 3 B. 4 C. 8 D. 12解析:2012年试题一个等差数列的首项为,公差为,那么该数列的前项和为 A. B. C. D. 解析:由得选A2011年试题等差数列的首项与公差相等,的前项的和记作,且.求数列的首项与通项公式;数列的前多少项的和等于? 解析: 等差数列的公差又即,所以,又,即,所以,即数列的通项公式为设,又,即,解得舍去所以数列的前项的和等于
5、. 2009年试题面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列,公差为,求的值;在以最短边的长为首项,公差为的等差数列中,102为第几项?解析:I由条件可设直角三角形的边长分别为其中如此,得三边长分别为故三角形三边长分别是.公差(II)以3为首项,1为公差的等差数列通项公式为故第项为2008年试题等差数列中, 求数列的通项公式; 当为何值时, 数列的前项和取得最大值, 并求该最大值.解析: 设等差数列的公差为 由 得又所以 数列的通项公式为即 解法一:数列的前项和当时,取得最大值.解法二:由知 令所以数列前5项的和最大,最大值为三、等比数列1. 等比数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与
6、它的前一项的比都等于一个常数,这个数列就叫等比数列,这个常数叫做公比,记为,即等比数列的一般形式为设是首项为,公比为的等比数列,如此这个数列的通项公式为项和公式设是首项为,公比为的等比数列,为其前项和,如此或如果称等比数列,就称为与的等比中项,如此或注:一般证明一个数列是等比数列时,经常是按它们的定义证明为常量5. 等比数列的性质1在等比数列中,间隔一样抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等比数列.对于等比数列数列也是等比数列,数列也是等比数列数列也是等比数列例7如在等比数列中, 如此 A. 8 B. 24 C. 96 D. 384解析:是等比数列,因为,选C2对等比数列,假如均为正整数,
7、且,如此如例如在等比数列中,求解析:,即例8设等比数列的各项都为正数,假如,如此公比q=A3 B2 C -2 D-3解析:由等比数列的通项公式知例9设等比数列的公比=2,且如此A8 B16 C 32 D64解析: 由等比数列的通项公式知例10在等比数列中,假如,如此的公比_解析:,又,所以,即,填例11等比数列中,那么它的前项和_解析:由,可求得公比,从而所以,填例12等比数列的各项都为正数,前3项的和为14I求该数列的通项公式;II设求数列的前20项的和解析: I 设等比数列的公比为,如此(舍去)所以数列的通项公式为II如此例13 设为等差数列,且公差为正数,成等比数列解析: 由为等差数列知
8、由此得历年试题2015年试题假如等比数列的公比为,如此A. B. C. D. 2014年试题等比数列中,假如,公比为,如此_2015年试题等差数列的公差,且成等比数列I求数列的通项公式II假如数列的前项和,求.2013年试题公比为的等比数列中, I求;II求的前项和解:I由得,即,解得II2012年试题等比数列中, I求;II假如的公比且,求的前项和解析:I因为为等比数列,所以,又,可得,所以II由,得,由得,解方程组,得或由,得或舍去所以的前项和2010年试题数列中,1求数列的通项公式2求数列前5项的和解析:1由得所以是以2为首项,为公比的等比数列,所以,即22006年试题等比数列中, I求该数列的通项公式;II求该数列的前7项的和解析: I因此该数列的通项公式为II该数列的前7项的和25 / 25