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1、1,Chapter 1,1.矩阵及运算;2.行列式的性质及定理1.2;3.矩阵A可逆存在n阶矩阵B,使得ABBAE;A非奇异(或非退化),即|A|0;A的等价标准形为E;A可表示为有限个初等矩阵的乘积;R(A)=n;齐次线性方程组AX0仅有零解;A的行(列)向量组线性无关;A的特征值均不为零。4.可逆矩阵的性质P36,2,5.特殊分块矩阵的逆矩阵 设A为m阶可逆矩阵,B为n阶可逆矩阵,C为任意mn(或nm)阶矩阵,则,6.矩阵的初等变换与矩阵的秩,3,Chapter 2,1.向量的线性组合;2.线性相关与线性无关;3.向量组的极大线性无关组与向量组的秩;4.齐次线性方程组AX0的基础解系;非齐
2、次线性方程组AXb的通解;5.Rn中的标准正交基及正交矩阵。,4,Chapter 4,1.特征值与特征向量;2.相似矩阵及性质;3.实对称矩阵的特征值及特征向量;4.矩阵可对角化的条件。,5,1.判断下列命题正确与否,并说明理由(1)若n阶矩阵A,B满足|A|=|B|，则A=B;(2)若n阶矩阵A,B满足ABBA,则|AB|BA|;(3)若n阶矩阵A,B满足|A+AB|=0A=-AB;(4)若n(1)阶矩阵A满足|A|=k,则|A+A|=2k;(5)若n阶矩阵A,B满足AB=E,则|A|=|B|;(6)若n阶矩阵A,B的元素均为整数,且AB=E,则|A|=|B|;,6,(7)二阶行列式等于零行
3、列式的两行成比例;(8)若n阶矩阵A,B的为对角阵,则|A+B|=|A|+|B|;(9)若A为奇数阶矩阵,则|A-AT|=0;(10)设A,B均为n阶矩阵,则AB不可逆的充分必要条件是A,B中至少有一个不可逆;(11)若n阶矩阵A,B满足AB=E，则AB=BA;(12)若A*为n(1)阶矩阵A的伴随矩阵,则|(2A)*|=2n-1|A*|.,7,解:(12)令B2A,则Bij=2n-1Aij,i,j=1,2,n.因此 B*=2n-1A*从而|B*|=|(2A)*|=2n(n-1)|A*|=2n(n-1)|A|n-1.,8,(13)若A,B均为n阶可逆矩阵,则A+B可逆;(14)若A,B均为n阶
4、矩阵,且A+B可逆,则A与B均可逆;(15)若A,B,A+B均为n阶可逆矩阵,则A-1+B-1为可逆矩阵;,解(15)A-1+B-1=A-1+A-1AB-1,=A-1(E+AB-1),=A-1(BB-1+AB-1),=A-1(A+B)B-1,因此矩阵A-1+B-1可逆。,9,(16)若n阶矩阵A的元素均为整数,则存在元素为整数的n阶矩阵B,使得AB=E的充分必要条件是|A|1;(17)若n阶非零矩阵A满足AB=0,则B=0;(18)若A是n阶矩阵,且|A|=1,则(A*)*=A;,(18)解:由|A|=1有A*A=|A|E=E,由(A*)*(A*)=|A*|E=E 有,则|A*|=|A|n-1
5、=1,(A*)*=(A*)-1,又由A*A=E有,(A*)-1=A,因此(A*)*=(A*)-1=A.,10,(18)若A是n阶可逆矩阵,则(A*)*=|A|n-2A;,解:由A*A=|A|E有,由(A*)*(A*)=|A*|E=|A|n-1E 有,|A*|=|A|n-10,(A*)*=|A|n-1(A*)-1,又由 A*A=|A|E有,A*=|A|A-1,因此(A*)*=|A|n-1(|A|A-1)-1=|A|n-2A.,11,(19)若A,B均为n阶可逆矩阵,则(AB)-1=A-1B-1的充分必要条件为AB=BA;(20)设A为sn阶矩阵,r(A)=s,则sn;(21)设A为sn阶矩阵,r
6、(A)=s,则方程组AX=有解;(22)设A为sn阶矩阵,r(A)=s,则方程组AX=有唯一解;(23)设A为sn阶矩阵,B为ns阶矩阵,r(A)=s,若B满足BA=0,则B=0;,12,(24)设A为sn阶矩阵,若A有一个n阶子式不为零,则线方程组AX=0只有零解;(25)若向量组1,2,s线性无关的充要条件是每一个向量都不能由其余s-1个向量线性表示;(26)n维向量1,2,n线性无关的充要条件是它们可以表示任一n维向量;(27)方阵A属于同一个特征值的特征向量必线性相关;(28)设0是矩阵A的特征值,则r(0E-A)n;,13,(29)设0是矩阵A的特征值,则齐次线性方程组(0E-A)X
7、0有非零解;(30)若n阶矩阵A的行列式等于零,则0是矩阵A的特征值;(31)可逆矩阵A与A-1有公共的特征向量;(32)设n阶矩阵A有n个互不相同的特征值,则A可以对角化;,14,(33)设n阶矩阵A的n个特征值相同,且A相似于 对角阵,则A是数量矩阵;(34)若矩阵A阶可以对角化,则A一定有n个 互不相同的特征值;(35)正交矩阵A 满足|A|=1;(36)正交矩阵A 的特征值为1。,解:(36)若实数是正交矩阵A的特征值,由A-1=AT有-1=,则=1.,但是考察矩阵,的特征值是虚数i.,15,2.设4阶行列式,(1)A11+A12+A13+A14;(2)2A31-3A32+A33+5A
8、34;(3)M14+M24+M34+M44.,计算:,16,解:,(1)A11+A12+A13+A14,=1A11+1A12+1A13+1A14,另解 2A11+2A12+2A13+2A14=a31A11+a32A12+a33A13+a34A14=0;,17,(2)2A31-3A32+A33+5A14=a11A31+a12A32+a13A33+a14A34=0;(3)M14+M24+M34+M44=-A14+A24-A34+A44=a14A14+a24A24+a34A34+a44A44,18,3.设n阶矩阵A满足A2-2A-4E=0,(1)证明：矩阵A可逆,求A-1;(2)证明：矩阵A+E可逆
9、,求(A+E)-1;(3)证明：矩阵A+2E可逆,求(A+2E)-1.,19,解:(1)由A2-2A-4E=0有 A(A-2E)=4E,因此矩阵A可逆,且 A-1=(A-2E)/4;(2)由A2-2A-4E=0有(A+E)(A-3E)=E,因此矩阵A+E可逆,且(A+E)-1=A-3E.,20,(3)由A2-2A-4E=0有(A+2E)(A-2E)=2A,由(1)知矩阵A可逆,则(A+2E)(A-2E)A-1=2E,即(A+2E)(E/2-A-1)=E,因此矩阵A+2E可逆,且(A+2E)-1=E/2-A-1.,21,4.设n阶矩阵A,B满足A+B=AB,证明:A-E可逆,并求其逆.,解:由A
10、+B=AB有 A=-(E-A)B 即(A-E)-(A-E)B=-E 从而(A-E)(B-E)=E 因此矩阵A-E可逆,且(A-E)-1=B-E.,22,5.设n阶矩阵A满足A2=A,证明E-2A可逆,并求(E-2A)-1.,解:由A2=A有(E-2A)2=E-4A+4A2=E,即(E-2A)(E-2A)=E,因此矩阵E-2A可逆,且(E-2A)-1=E-2A.,23,6.(1)设,若r(A)=3,求k的值;,解:,当k=1时,A的三阶子式全为0,即r(A)2.,因此取 k=-3.,24,解:,若r(B)=2,求k的值;,(2)设,B的三阶子式全为0,因此,25,7.设A,B为n阶矩阵,且满足A
11、B=0,则下列结论中正确的是()(A)A=0 且 B=0(B)|A|=0 且|B|=0(C)A=0 或 B=0(D)上述结论均不正确,8.设A,B为n阶可逆矩阵(n1),k为非零常数,则下列结论中正确的是()(A)(A+B)-1=A-1+B-1(B)(AB)-1=A-1B-1(C)|(kA+B)-1|=k-1|A-1+B-1|(D)(AB)T-1=(A-1)T(B-1)T,D,D,26,9.设A,B为n阶矩阵,则下列结论中正确的是()(A)(A+B)(A-B)=A2-B2(B)(AB)2=A2B2(C)由AC=BC必可推出A=B(D)A2-E=(A+E)(A-E),10.设A,B为n阶矩阵,k
12、为正整数,则下列结论中不正确的是()(A)|AT+BT|=|A+B|(B)|AT+BT|=|A|+|B|(C)|(AB)k|=|A|k|B|k(D)|AB|=|BA|,D,B,27,11.设A是n阶矩阵,则|A*|A|=(),12.设A是n阶矩阵,则|(2A)*|=(),C,C,28,13.已知 则|A|中的一次项系数是(),(A)22(B)-22(C)1(D)-1,13解:将行列式按第一行展开时,|A|=-A11+xA13-A14 因此|A|中的一次项的系数为A13,即,B,29,14.如果矩阵A,B,C则均为n阶方阵,且ABC=E,则有()(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(
13、D)BCA=E,15.如果矩阵A满足A2A,则()(A)A=0(B)A=E(C)A=0或AE(D)A与A-E中至少有一个不可逆,D,D,30,16.设3阶方阵A=(1,2,3),其中i,i=1,2,3为A的列向量,且|A|=2,记B=(1,1+32,3),则|B|=()(A)-2(B)0(C)2(D)6,16.解：|A|=|(1,2,3)|,|B|=|(1,1+32,3)|,D,=|(1,32,3|,=3|(1,2,3)|,=32=6.,31,17.向量组1,2,3线性相关,1,2,4线性无关,则()(A)1必可由2,3,4线性表出(B)2必不可由1,3,4线性表出(C)3必可由1,2,3线性
14、表出(D)4必不可由1,2,3线性表出,D,32,18.已知向量组1,2,3,4中2,3,4线性相关,则()(A)1,2,3,4线性无关(B)1,2,3,4线性相关(C)1可由2,3,4线性表出(D)3,4线性无关,B,33,19.向量组1,2,s 线性无关的充要条件是()(A)1,2,s 均不为零向量,(B)1,2,s 中任意两个向量的分量成比例,(C)1,2,s 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表出,(D)1,2,s 中有一部分向量线性无关。,C,34,20.向量组1,2,3 线性无关,则下列向量组中线性无关的是()(A)1+2,2+3,3-1,(B)1+2,2+3,1+22+3
15、,(C)1+22,22+33,33+1,(D)1+2+3,21-32+223,31+52-53.,C,35,21.n维向量组1,2,s(3sn)线性无关的充要条件是()(A)存在一组不全为零的数k1,k2,ks,使得 k11+k22+kss=0,(B)1,2,s中任意两个向量都线性无关,(C)1,2,s中存在一个向量不能表示为其余向量的 线性组合,(D)1,2,s中任意一向量都不能表示为其余向量的 线性组合.,D,36,22.若A=(aij)mn,AX=0是方程组AXb的导出组,则下列结论中正确的是()(A)若AX0仅有零解,则AXb有惟一解,(B)若AX0有非零解,则AXb有无穷多解,(C)
16、若AXb有无穷多解,则AX0有非零解,(D)若AXb有无穷多解,则AX0仅有零解。,C,37,23.在非齐次方程组AX=b中,未知量个数为n,方程个数为m,且R(A)=r,则()(A)当r=m时方程组AX=b有解.(B)当r=n时方程组AX=b有唯一解.(C)当m=n时方程组AX=b有唯一解.(D)当rn时方程组AX=b有无穷多解.,A,38,24.已知1,2是非齐次方程组AX=b的两个不同的解,1,2是其导出组AX0的一个基础解系,c1,c2,是任意常数,则方程组AX=b的通解必为(),B,39,25.已知1,2,3,4是齐次方程组AX=0的一个基础解系,则此方程的基础解系还可选用()(A)
17、1+2,2+3,3+4,4+1.(B)1+2,2+3,3-4,4-1.(C)1,2,3,4的等价向量组1,2,3,4.(D)1,2,3,4的等秩向量组1,2,3,4.,C,40,26.设A,B是n阶非零矩阵,且AB=0,则A,B的秩满足()(A)必有一个等于0(B)两个都小于n(C)一个小于n,一个等于n(D)两个都等于n,27.设A,B均为n阶矩阵,且AB,则()(A)E-A=E-B.(B)A与B有相同的特征值和特征向量.(C)A与B有相似于一个对角阵.(D)对于任意常数t,必有 tE-A tE-B.,B,D,41,29.设三阶矩阵A的特征值为-2,-1,2,矩阵 B=A3-3A2+2E,则
18、|B|=()(A)-4(B)-16(C)-36(D)-72,30.设三阶矩阵A的满足|3A+2E|=0,|A-E|=0,|3E-2A|=0,则|A*-E|=()(A)5/3(B)2/3(C)-2/3(D)-5/3.,D,A,30.解:由|3A+2E|=0,|A-E|=0,|3E-2A|=0有A的特征值=-2/3,1,3/2,则|A|=-1,A*的特征值为|A|/,即3/2,-1,-2/3,从而A*-E的特征值为1/2,-2,-5/3.则|A*-E|=5/3.,42,31.设矩阵 则A的特征值为(),(A)3,3,-3(B)1,1,7(C)3,1,-1(D)3,1,7.,32.三阶矩阵A的一个特
19、征值=2,1,2是A的属于=2的特征向量,已知1=(1,2,0)T,2=(1,0,1)T,向量=(-1,2,-2)T,则A=()(A)(2,2,1)T(B)(-1,2,-2)T(C)(-2,4,-4)T(D)(-2,-4,4)T.,A,C,解32.由=1-22有A=A1-2A2=21-42=2,43,33.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是矩阵A与对角阵相似的()条件(A)充分必要(B)充分但非必要(C)必要但非充分(D)既非充分也非必要.,B,34.设二阶矩阵A的特征值1,2,1=(1,-1)T是A的属于1=1的特征向量,则矩阵A=(),44,解：设2=(x1,x2)T,根据题意有1T2=0,
20、即 x1-x2=0因此2=(1,1)T.设 P=(1,2),则P-1AP=diag(1,2).,45,35.设4阶矩阵AB,A的特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5,则|B-1-E|=()(A)24(B)-24(C)-32(D)-32.,解:矩阵B的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5,设(B)=B-1-E,则()=-1-1=1,2,3,4,因此|B-1-E|=24.,B,46,36.设三阶矩阵A的特征值为-1,0,1,且B=A3-4A2,则|B+4E|=()(A)15(B)-15(C)4(D)-4.,解:矩阵A的特征值为-1,0,1,设(A)=A3-4A2+4E=B+4E,则()=3-
21、42+4=-1,4,-1,因此|B+4E|=4.,47,37.设1,2是n阶矩阵A的特征值,设1,2分别是A的属于1,2的特征向量,则()(A)当1=2时,1与 2必成比例,(B)当1=2时,1与 2必不成比例,(C)当12时,1与 2必成比例,(D)当12时,1与 2必不成比例。,D,48,38.设A,B是n阶方阵矩阵,则下述结论中不正确的是()(A)若AB,则ATBT,(B)若AB,且A可逆,则A-1B-1,(C)若AB,且A可逆,则A*B*,(D)若AB,且A、B可逆,则A、B均相似于单位矩阵E.,39.设A,B是n阶方阵矩阵,且AB,则下述结论中不正确的是()(A)R(A)=R(B)(
22、B)|A|=|B|(C)E-A=E-B(D)|E-A|=|E-B|.,D,C,49,40.设A,B是同阶可逆矩阵,则()(A)AB=BA(B)存在可逆矩阵P,使得 P-1AP=B(C)存在可逆矩阵C,使得 CTAC=B(D)存在可逆矩阵P、Q,使得 PAQ=B,D,解:由于A,B是同阶可逆矩阵,则 AE,BE。即存在可逆矩阵P1,Q1,使得P1AQ1=E,P2BQ2=E.因此 P1AQ1=P2BQ2,从而 P2-1P1AQ1Q2-1=B令 P=P2-1P1,Q=Q1Q2-1,则 PAQ=B,50,41.设A,B是n阶实对称矩阵,则AB的充要条件是()(A)R(A)=R(B)(B)A、B具有相同
23、的特征值(C)A、B都合同于对角阵(D)A、B具有相同的正负惯性指数,42.设A,B是n阶实对称矩阵,且AB,则()(A)R(A)=R(B)(B)A、B具有相同的特征值(C)AB(D)|A|=|B|,D,A,51,43.设n元二次型 f(X)=XTAX,其中ATA.如果该二次型通过可逆线性替换 X=CY可化成 f(X)=YTBY,则以下结论中不正确的是()(A)AB(B)AB(C)AB(D)R(A)=R(B),C,44.设A是n阶实对称矩阵,则A是半正定矩阵的充要条件是()(A)矩阵A的顺序主子式全大于或等于0,(B)矩阵A的正惯性指数小于n,(C)矩阵A的特征值均大于或等于0,且至少一个为0
24、,(D)R(B)n.,C,52,45.解方程,解:由原方程可得,53,另解:由原方程可得,54,46.解方程,解:由原方程可得,55,46.当a是为何值时,方程组有无穷多解？并求出通解.,56,解:由原方程组可得方程组有无穷多解时,由于,57,当a=2时,有,因此,取x3=0可得特解,原方程组的导出组为,相应的基础解系为,原方程组的通解为,其中c为任意常数。,58,47.设向量组1,2,3,4线性无关,试确定下列向量组是否也线性无关。(1)1=1-2+33,2=-1+2-43+24,3=1-2+3+44(2)1=2+3-4,2=21+3+4,3=1+22-24(3)1=-1+3,2=22-23
25、,3=21-52+33,59,(1)解:由已知有,设存在实数k1,k2,k3,使得k11+k22+k33=0,即,60,因此,即存在非零实数k1,k2,k3,使得k11+k22+k33=0,因此向量组1,2,3线性相关。,61,(1)解:设存在实数k1,k2,k3,使得 k11+k22+k3 3=0即 k1(1-2+33)+k2(-1+2-43+24)+k3(1-2+3+44)=0(k1-k2+k3)1+(-k1+k2-k3)2+(3k1-4k2+k3)3+(2k2+4k3)4=0因此，,即存在非零实数k1,k2,k3,使得k11+k22+k33=0,因此向量组1,2,3线性相关。,62,(2
26、)解:设存在实数k1,k2,k3,使得 k11+k22+k3 3=0即 k1(2+3-4)+k2(21+3+4)+k3(1+22-24)=0(2k2+k3)1+(k1+2k3)2+(k1+k2)3+(-k1-2k3)4=0因此，,即k1=k2=k3=0 时k11+k22+k33=0,因此向量组1,2,3线性无关。,63,(3)解:设存在实数k1,k2,k3,使得 k11+k22+k3 3=0即 k1(-1+3)+k2(22-23)+k3(21-52+33)=0(-k1+2k2)1+(2k2-5k3)2+(k1-2k2+3k3)3=0因此，,即k1=k2=k3=0 时k11+k22+k33=0,因此向量组1,2,3线性无关。,64,48.利用正交替换将二次型化成标准形：,解:二次型的矩阵A为,矩阵A的特征多项式为,65,因此A的特征值为1=1,2=6,3=-6.,对1=1解方程组(E-A)X=0 得基础解系1=(2,0,-1)T;对2=6解方程组(6E-A)X=0 得基础解系2=(1,5,2)T;对3=-6解方程组(-6E-A)X=0得基础解系3=(1,-1,2)T;将1,2,3对单位化,得,66,令P=(1,2,3),则有,P-1AP=diag(1,6,-6).,因相应的正交替换为得,二次型的标准形为,
