线性代数习题及答案.ppt

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1、第一章 行列式,习题一 二阶与三阶行列式,一、计算下列行列式1,2,二、利用行列式解下列方程组1,2,习题二 排列,一、计算下列排列的逆序数，并确定其奇偶性13746152,奇排列,2917368542,奇排列,3,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,4,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,二、确定,的值，满足,为奇排列，,为偶排列。,习题三,阶行列式,一、填空与选择题1若,为四阶行列式,展开式中某一项，则,之值及该项的符号为.,（A）,符号为正；,（B）,符号为负；,（C）,符号为负；,（D）,符号不定；,2在,展开式中，项,的符号为 负.,3在,阶行列式中，项,的符号为.,5若,阶行列式中

2、有,则该行列式的值为 0.,以上个元素为0，,4,阶行列式,展开式中，含,的项共 项.,6在函数,中，,的系数为 2.,二、用行列式定义计算下列行列式,1,2,习题四 行列式的性质,一、填空,若,则,二、计算下列行列式,1,2,3,4,(阶行列式）,三、解行列式方程,1,解：,2,习题五 行列式按一行（列）展开,一、填空,1若,则,2若,则,3设四阶行列式,的第三行元素分别为,当,时，第三行元素所对应的代数余子式依次为,，则,当第四行元素对应的余子式依次为,时，,二、计算下列行列式,1,2,按第一列展开,3,4,5.,习题六 克莱姆法则,一、问,满足什么条件时，方程组,只有零解？,二、方程组,

3、满足什么条件时，只有零解？,三、试讨论当,为何值时，方程组,有唯一解？有非零解？,四、当,取何值时，方程组,只有零解？有非零解？,自测题,一、填空题,1若,是5阶行列式中带正号的项，则,2已知三阶行列式中，第二列元素依次为1、2、3，,其对应的余子式依次为3、2、1，则该行列式的值为-2,3设,为实数，且,则,4在,阶行列式展开式中，冠以正号的项有 个.,5若,阶行列式,其中,为奇数，则,6设,则,7设,则,8若,则,9方程,的根为,10,二、单项选择题,1已知排列,为奇排列，则,分别为,（A）,（B）,（C）,（D）,2四阶行列式,（A）,（B）,（C）,（D）,3 是行列式,非零的充分条件

4、,（A）,（B）,（C）,（D）,中所有元素非零；,中至少,个元素非零；,中任意两行元素之间不成比例；,中非零行的各元素的代数余子式与其对应元素相等.,4设,为,阶行列式，则,在行列式展开式中的符号为,（A）正；（B）负；,（C）,（D）,5已知,阶行列式,阶行列式,则,阶行列式,（A）0；（B）-1；,（C）4,（D）-4,6设,则,（A）（B）,（C）,（D）,7已知四阶行列式中，,为负数，其它元素为正数，则,此行列式展开式中所有,正项的个数为,（A）24；（B）16；（C）12；（D）8.,8设,则下列各式中 不一定与,相等.,（A）,（B）,（C）,（D）,9设,阶行列式,而,阶行列式

5、,则,（A）1,（B）-1,（C）,（D）,10设,则,满足罗尔定理的区间为,（A）,（B）,（C）,（D）,三、计算下列行列式,1,2,3,四、计算行列式,所有元素代数余子式之和,五、已知数18055，83283，61042，48576，57776都能被23整除，试证行列式,也能被23整除,六、求解方程,第二章 线性方程组,习题一 消元法,一、用消元法解方程组,二、,方程组有解时 的取值，并求方程组的解,解：,时，方程组有解,且42，有无穷解,习题二 n维向量空间,一、向量,与向量,相等吗？应怎样表达,他们之间的关系？,不相等,二、设,求向量,，使,解：,三、,满足,求,解：,习题三 向量间

6、的线性关系,一、设,(1)当,为何值时，向量组,线性相关？,(2)当,为何值时，向量组,线性无关？,(3)当,线性相关时，,可否由,线性表示?,若能，求其表示系数.,(1),有非零解,时，线性相关,(2),时，线性无关,(3),二、试判断向量,可否由向量组,线性表出？若能，请试写出其一种表示法.,解:,令,三、判断向量 可否由向量组,线性表出？若能请写出一种表达形式。,解：,令,四、判断下列向量组是否线性相关，若相关，试找出其中一个向量，使得这个向量可由其余向量线性表出，并写出它的一种表示方式：,(1),解：,方程组只有零解,向量组线性无关,(1),解：,五、证明：若,线性相关，而,线性无关，

7、则：,(1),可由,线性表示；,（2）,不可由,线性表示.,证明：,线性无关,线性无关,线性相关,线性表示；,线性相关,存在一组不全为零的数，使得,成立,不妨设,线性表示；,(1),(2)反证：假设,可由,线性表示.,又,线性表示；,线性表示；这与,线性无关矛盾,不可由,线性表示.,六、设向量,是线性无关的一组四维向量，,则任意一个四维向量,都可以由,线性表示.,证明：,是四维的线性无关向量组,是五个四维向量,线性相关,可由,线性表示且表示方法唯一,习题四 向量组的秩,一、已知向量组,的秩为,证明:该向量组中的任意,个线性无关的向量都是它的一个极大无关组.,证明:设,是向量组中的任意,个线性无

8、关的向量,又,在,中任意 个向量线性相关,线性相关,线性表示.,(为 中除 的任意向量),线性表示.,该向量组中的任意,个线性无关的向量都是它的,二、证明：若向量组,线性相关，则向量组,也线性相关.,证明：,可由,线性表示,又,可由,线性表示,线性相关,也线性相关.,三、设,是,维列向量组,试证:,的充要条件是任何,维向量均可由,线性表示.,证明：必要性：,线性无关,个,向量，线性相关,可由 线性表示,充分性：已知任何,维向量均可由,线性表示.,可由,线性表示.,可由,线性表示.,可由,线性表示.,可由,线性表示.,可由,线性表示.,四、证明：若向量组,可由向量组,线性表出，,线性相关，则,也

9、线性相关.,证明：,线性相关，则,设,的一个极大无关组,可由向量组,线性表出，,可由向量组,线性表出，,线性相关.,习题五 矩阵的秩,一、设矩阵,若它的秩等于3，求,的值.,解：,二、计算下列矩阵的秩,（1）,（2）,三、设向量组,求其极大无关组.,解：,四、试求向量组,的秩和一极大无关组，并将其余向量用此极大无关组表示.,解：,习题六 线性方程组解的判定,一、,取何值时，方程组,有非零解？,解：,有非零解,二、,取何值时，线性方程组,有解？无解？,解：,时，有解,时，无解,三、方程组,问：当,为何值时，方程组有解？无解？,有解时，是唯一解还是无穷解？,解：,当,时，无穷解,当,时，无解,习题

10、七 线性方程组解的结构,一、求齐次方程组,的一个基础解系，并用此基础解系表示通解.,解：,二、求齐次线性方程组,的一个基础解系.,解：,三、求线性方程组,的全部解.,解：,四、,取何值时，线性方程组,有解，并求出全部解.,解：,当,时，有解,自测题,填空题,1.向量,则当 时，,线性相关；,当,时，,线性无关。,解：,2.设向量,那么这三个向量线性无关,3.设向量组,则该向量组的一个极大无关组是,4.设 为,矩阵，以,为系数矩阵的齐次线性方程组,仅有零解的充要条件是,的列向量组线性 无关.,解：,5.非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是其导出组,只有 零解.,6.设,阶行列式,，则线性方程组,

11、无 解.,解：,线性无关,7.方程组,有唯一 解.,中每一行元素之和均为零，且秩为,解：,8.设矩阵,，若,则以,为系数矩阵的齐次线性方程组的通解为,解：,（经过初等行变换此性质不变）,基础解系含有,二、选择题,1.若向量,与,线性相关，则,的取值为,（A）,（B）,（C）,（D）,为任意数.,2.向量组,的秩为,(A)1；(B)2；(C)3；(D)4.,3.设向量组,线性无关，则,的值为,(A),（B）,（C）,（D）,解：,可由 线性表示,4.设向量组(),().()是()的部分组，则下列断语正确的是,(A)若()线性相关，则（）也线性相关；(B)若()线性无关，则（）也线性无关；(C)若

12、（）线性无关，则()也线性无关；(D)()的相关性与（）的相关性没有关系.,5.若有一组,维向量,使得任一,维向量,都可由这个向量组线性表则：,（A）,（B）,（C）,（D）,解：,可由 线性表示,6.设矩阵,的秩为3，则,三者：,(A)都不为1；(B)都不为零；(C)互不相等；(D)都相等.,7.设方程组,有非零解，则,（A）,（B）,（C）,（D）,解：,8.若齐次线性方程组,有非零解，则,（A）,（B）,（C）,（D）,都有可能.,解：,有非零解,都有可能.,9.若齐次线性方程组,有非零解，,且系数矩阵的秩为,，则它的基础解系中含有向量的个数为：,（A）,（B）,（C）,（D）,三、计算

13、题,1.已知向量,.试求,用,线性表示的表达式.,解：,2.已知向量组,（1）试求该向量组的一个极大线性无关组与秩；（2）写出每个向量用极大无关组线性表示的表达式.,解：,为其一个极大无关组,3.求方程组的全部解,解：,四、证明题,1.设向量组,线性相关，且它们都不是零向量,求证：其中至少有两个向量，这两个向量中的每一个都可由其余向量线性表示.,证明：,线性相关,其中至少有一个向量可由其余向量线性表示,设：,都不是零向量,中至少有一项不为零,可由其余向量表示,至少有两个向量，这两个向量中的每一个都可由其余向量线性表示.,2.若齐次线性方程组,中方程个数,，则它有非零解.,证明：,所以方程组有非

14、零解.,第三章 矩阵,习题一 矩阵的概念,、填空题,1在矩阵中，所有元素都为零，则称该矩阵为 零矩阵，它的秩等于 0.,2数域,上两个矩阵相等的条件是 行数列数相等，,对应元素相等，,二、比较,阶矩阵与,阶行列式的区别与联系.,矩阵,行列式,1、数表 数（算式）,2、（）|,3、行数列数可同可不同 行数列数必须相同,4、相等条件不同,三、试确定,的值，使得,解：,习题二 矩阵的运算,填空题,1设,是,矩阵，若有矩阵,，使,，则,是_ 阶矩阵，,是_阶矩阵.,2设,当,与,满足条件_ 时,3设,是,矩阵，若,则,4设,是正整数，若,则,5设,，而,为正整数，则,二、选择题,1若,都是,阶矩阵，则

15、.,(A),(B),(C),(D),不确定.,2设,，则.,(A),(B),(C),(D),不确定.,3设,是,阶方阵，则下列命题中 成立.,(A)若,则,(B)若,则,(C)若,则,或,(D)若,则,三、计算题,1设,，求,解：,2已知,，求：,(1),(2),比较（）与（）的结果，可得出什么结论.,解：,3设,求与,相乘可交换的矩阵,解：,四、证明题,1设,是,阶方阵，若对于任意的,矩阵,使,，则,证明：,2若矩阵,与,可交换则,的任一多项式,与,可交换,证明：,习题三 可逆矩阵,一、填空题,1设,均为,阶方阵，且,若,，则,设：,可逆,2设,阶可逆矩阵,满足,则,3若,与,都是,阶方阵，

16、则 不可逆的充要条件是,4设 是 阶方阵，且，则,5设，则,二、选择题,1设 均为 阶方阵，若由 能推出,，则 应满足下列条件中的,(A)；(B)；(C)；(D).,2设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式中成立的是,(A)(B)(C)(D),3设 均为 阶方阵，且，则有,(A)(B)(C)(D).,4设，均为 阶可逆矩阵，则,等于,(A)(B)(C)(D).,设,5设 均为 阶方阵，则下列等式中成立的有,(A)(B)(C)(D),三、计算题,1设矩阵,若,，说明 可逆，并求出.,解：,2设，说明 可逆，并求.,解：,四、证明题,1设矩阵 可逆，求证伴随矩阵 可逆.,证明:,2试证：对任意 阶方阵

17、有.,证明:,当 时,当 时,的列向量是 的解向量,的基础解系的个数为,的列向量是线性相关,3设 阶方阵 和 满足条件，证明,为可逆矩阵.,证明:,习题四 矩阵的分块,一、填空题,1两个同阶矩阵分块相加时，分块方法必须,分块方式完全相同,2两个矩阵 和 进行分块相乘时，必须满足,左阵的列块数与右阵的行块数一致；,左阵对应子块的列数与右阵对应子块的行数一致；,3设分块矩阵，其中 均为二阶方阵，,是二阶零矩阵，若,则,4设 是三阶方阵 的分块矩阵，若,，则,5设 与 是两个 阶可逆矩阵，则由,，可推得,二、选择题,1关于矩阵 和 的乘积 的秩的判断正确的为,(A)(B)(C)(D),秩 秩 秩；,

18、秩 秩 秩,秩,秩,2设,则,(A)1(B)-1(C)(D).,3设 是 型矩阵，是 型矩阵，则下列结论中,不正确的是,(A)(B)(C)(D),有意义,秩,秩,秩,三、计算题,1用分块矩阵的乘法求,和,的乘积.,解：,2利用分块方法求矩阵,的逆矩阵.,解：,四、证明题,1、为 阶方阵，试证，若 则,证明,当 时，齐次线性方程组只有零解,当 时，齐次线性方程组有非零解,基础解系含有 个解向量,是,的解向量,2设 都是 阶矩阵，其中 并且,证明：,证明：,令：,即：,习题五 初等矩阵,一、填空题,1初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵,2设对5阶矩阵施行以下两个初等变换：,把第二行的3倍加,到,第三行，

19、把第二列的3,倍加到第三列，相当于这两个,初等变换,的初等矩阵分别是,3已知,，满足,则,4设 是 阶矩阵，是 阶可逆矩阵，,若 的每一列都是,方程组 的解，,则,二、选择题,1设 为同阶可逆矩阵，则,(A)(B)(C)(D),存在可逆矩阵，使,存在可逆矩阵，使,存在可逆矩阵 和，使,2设 均为1 2分块矩阵，其中,均为 阶方阵,是 阶单位矩阵，若,则 应满足关系式,(A)(B)(C)(D).,3设,则,(A)(B)(C)(D).,三、计算题,1用初等变换求,的逆矩阵.,解：,2设,求解矩阵方程,3将矩阵 表示成若干个初等矩阵的乘积.,四、证明题,1若 阶矩阵 满足,试证 可逆，并求出,证明:

20、,2设 和 都是 阶矩阵，证明：若，则 和 互为逆矩阵.,证明:,习题六 几种常用的初等矩阵,一、分析判断题（判断下列命题是否正确，并简述理由）,1对角矩阵与任意同阶方阵的乘积是可交换的.,存（数）量矩阵与任意同阶方阵的乘积是可交换的.,2上三角矩阵可逆时，其逆矩阵不一定是上三角矩阵.,3两个对称矩阵的乘积仍是对称矩阵.,?,4可逆的反对称矩阵的逆矩阵仍是反对称矩阵.,5偶数阶反对称矩阵一定是可逆矩阵.,6两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵.,?,7任意一个 阶方阵都可以表示为一个 阶,阶反对称矩阵之和.,对称矩阵与一个,8设 均为 阶方阵，则 互为逆矩阵的充要条件是,二、证明题,1试证：

21、对任意一个方阵，都有 是对称矩阵，,是反对称矩阵.,证明:,是对称矩阵,是反对称矩阵,2证明：奇数阶的反对称矩阵的行列式等于零.,证明,3试证：设 与 都是 阶对称矩阵，则 为对称矩阵,的充要条件是：,证明,必要性：,充分性：,自测题,、填空题,1设 为三阶方阵，且，则,2 已知,设,其中 是 的转置,则,3 设,则,4 设四阶方阵 的秩为2，则其伴随矩阵 的秩为0.,的不全为零的子式的最高阶数2,的每一个元素都是 的三阶子式，所以都为零,5 设,其中,则,6 若,则,二、选择题,1 设,均为 阶非零矩阵，且，则,(A)必有一个等于零；,(B)都小于；,(C)一个小于，一个等于；,(D)都等于

22、.,2 设 均为 阶方阵，则下列结论正确的是,（A）若 均可逆，则 可逆；,(B)若 均可逆，则 可逆；,(C)若 可逆，则 可逆,(D)若 可逆，则 均可逆.,3 设 为 阶方阵，运算 正确.,(A)(B)(C)(D),若 可逆,，,4 设 为 阶方阵，且，则必有,(A)的秩为；,(B),的秩为零；,(C)的秩和 的秩之和为,(D)的秩和 的秩相同.,是方程 的解,5 设 都是 阶可逆阵，则,(A);(B);(C)(D),6 设 是 矩阵，是 阶可逆阵，矩阵 的秩为,矩阵 的秩为,则,(A);(B);(C)(D),的关系依 而定,又,可逆,7 设 是 阶可逆矩阵，是 的伴随矩阵，则,(A)(

23、B);(C);(D),8 以下结论中正确的是,(A)若方阵 的行列式，则,(B)若 则,(C)若 为对称矩阵，则 也是对称矩阵；,(D)对任意同阶方阵 有,三、计算题,1 求矩阵 的秩.,解：,2 设，试利用矩阵的初等变换和伴随矩阵两种方法求.,解：1、,2、,3 设三阶方阵 的伴随矩阵为，且，求,解：,4 设，求 及.,解：,四、证明题,1 设 且，试证明：的充要条件为,证明：必要性：,充分性：,2 设，试证：可逆，且,证明：,3 设 为可逆矩阵，试证：（1）可逆，且,(2),证明,(2),第四章 向量空间,一、证明集合 是一个向量空间，并求它的一组基及其维数.,证明：,加法：,数乘：,满足

24、：,这个向量空间是 的解空间,维数：,习题一 向量空间,二、给定两个矩阵,的行向量组是,的两组基，,试问,向量组哪个是,的行(列),一组基.,解：,不是,不是,是,三、设,中的两个向量,线性无关，试将其扩充为,的一组基.,解：设,四、给定三维向量空间,的两组基：,与,(1)由基,到基,的过渡矩阵；,(2)求向量,在这两组基下的坐标.,解：,习题二 向量的内积,一、设,维实向量,的内积组成的行列式,，则,的充要条件是,线性相关.,证明：必要性,行向量之间线性相关,即,线性相关,充分性,线性相关,二、设,是 的一组基，试用施密特,正交化方法将其化成 的一组标准正交基，,在该标准基之下的坐标.,并求

25、向量,解：,在该标准基之下的坐标.,三、给定,正交，求非零向量,使,两两相交.,解：设：,四、不唯一,五、给定齐线性方程组：,求，其解空间的一组标准正交基.,解：,单位化：,正交化：,习题三 正交矩阵,一、若 均为正交矩阵，则 是正交矩阵，并问,是否是正交矩阵，,并证明你的结论.,证明:,则 是正交矩阵,二、设 是 的一个基，,为可逆矩阵，,则,是,的基.,证明：,是一个基，则,线性无关,任意n维向量均可由,线性表示,三、若 为 阶正交矩阵，.,证明：,其中 为行列式 中元素 的代数,余子式.,证明：,正交矩阵,四、是 中的两个向量，证明：,对任一 阶正交矩阵,均有,且 的夹角等于 的夹角,证

26、明：,正交矩阵,五、试证：若 是实对称矩阵，正交矩阵，则 也是对称矩阵.,证明：,六、证明：若 是 阶上三角正交矩阵，则 是对角矩阵,且主对角线上的元素是.,证明：,正交,上三角,下三角,上三角,是对角矩阵,自测题,一、选择题,1由 的基 到 基的过渡矩阵 为,(A)（B）（C）（D）,2 均为 阶正交矩阵，则,（A）都是正交矩阵；,（B）是正交矩阵，不是正交矩阵；,（C）不是正交矩阵，是正交矩阵；,（D）都不是正交矩阵.,3设 是正交矩阵，则,(A)（B）（C）（D）,4 维列向量 是 的标准正交基的充要条件是,（A）两两正交；(B）均为单位向量；（C）线性无关；（D）,5设，是二阶正交阵，

27、且 则,(A)（B）（C）（D）,6 的向量 在基,之下的坐标是,(A)（B）（C）（D）,7设向量，且 则,(A)（B）（C）（D）,二、填空题,1向量 经单位化后的向量,2若向量 是单位向量，则,3向量组,则向量,在这组基下的坐标是,4与,都正交的单位向量是,5设 为 阶正交矩阵，则,6 两个基,和,则,到基,的过渡矩阵,7向量,与向量,正交，则,三、计算题,1将向量,扩充成,一组基，并化为一组标准正交基,解：,为其一个极大无关组,设：,正交化、单位化,2、求线性方程组,的解空间的一组标准正交基.,解：,正交化,单位化,3已知 两个基,和,求由基,到基,的过渡矩阵和坐标变换公式.,解：,4

28、,是 一组基,试用施密特正交化方法将其化成 的标准正交基.,解：,正交化单位化,5 中两个向量,求非零向量,使 正交。,解：,设：,6给定,的基,（1）将其化为 的一组标准正交基,(2）求向量 在标准正交基,下的坐标.,解：,正交化单位化,四、证明题,1,与,都正交，试证,与,任意线性组合,均正交.,证明:,2若,是 一组标准正交基，证明：,也是的一组正交基.,证明:,3,是,一组基,证明：,与,都是 的基，,并求,到,过渡矩阵.,证明:,是基,是基,4 是正交矩阵，则 也是正交矩阵.,证明:,5 是 阶正交矩阵，若，则,证明:,6证明：若 维向量空间向量 与任意 维向量都正交，,则 是零向量

29、,证明:,与任意 维向量都正交，,与,都正交,第五章 特征值与特征向量,习题一 矩阵的特征值和特征向量,一、填空题,1数域 上的 阶矩阵 的特征值和数域 有关。,2若 是 的属于特征值 的特征向量，则,则也是,的属于特征值,的特征向量。,3若 是矩阵 的特征值，则 是_的根,4 阶矩阵 与_有相同的特征值,二、计算题,求下列矩阵在复数域上的特征值和特征向量,解：,解：,三、证明题,1若,阶矩阵满足,，则,特征值可能是或,证明：设,2若,阶矩阵,，存在自然数,，使得,，则,的特征值是,证明：,3如果,可逆，,是,的特征值，则,是,的特征值.,证明：,4证明：,证明:设,习题二 相似矩阵和矩阵可对

30、角化,一、填空题,1若,，则,，则,2若,，则,3若,4,可对角化当且仅当,与对角阵相似,5,阶矩阵,有,个互不相同的特征值是,可对角化的,充分条件。,6判别矩阵,可对角化的方法是：判断 是否有 个,线性无关的特征向量,二、1证明：设 是,阶方阵，且至少有一个可逆，则,证明：若 可逆,若 可逆,2证明：主对角线上的元素互不相同的上三角矩阵,必可对角化,证明：,有,个互不相同的特征值，可对角化,三、判别下列矩阵是否可对角化,复数域可对角化,实数域不可对角化,四、已知,，求,解：,习题三 实对称矩阵的对角化,一、求正交矩阵，使 为对角矩阵,解：,单位化,解：,二、证明题,1设 是 阶实对称矩阵，且

31、，证明：,存在正交矩阵，使,证明：设,2证明：反对称实矩阵的特征值是零或纯虚数,证明：,为 的任意特征值，,为 的属于 的特征向量,(1)两边转置,取共轭,(2),(2)右乘,(1)左乘,(3)+(4),3 是两个实对称矩阵，证明：存在正交矩阵Q，使,的充分必要条件是 具有相同的特征值,证明：必要性：,因为存在正交矩阵Q，使,所以,相似矩阵具有相同的特征值,具有相同的特征值,充分性：,具有相同的特征值,设,实对称矩阵,存在正交矩阵，,实对称矩阵,存在正交矩阵，,令,正交,自测题,一、填空题,1若 为 阶矩阵，有非零解则 必有一特征值为0,提示：,2若 是 特征值，则（为正整数）有特征值为,3若

32、 为 的特征向量，则 的特征向量为_,提示：,4若 阶矩阵 有 个属于特征值 的线性无关的特征向量，,则,提示：,5已知三阶矩阵 的三个特征值为1，2，3，则,的特征值为,提示：,6 阶零矩阵的全部特征向量是全体非零列向量,7若，则 _,提示：,8若 阶矩阵 与 相似，且，则,提示：,9已知,且,，则,提示：,10三阶矩阵 的三个互异特征值为，它们对应,的特征列向量分别为,则矩阵,的秩为3,二、选择题,1设 是非奇异矩阵 的特征值，则矩阵,有一特征值等于,（A）；(B)；(C)；(D).,2若 阶矩阵 的任意行中的 个元素的和都是，则,的一个特征值为（）,（A）；(B)；(C)；(D).,提示

33、：,3设 是 阶矩阵，是 的特征值，是 的分别,对应于 的特征向量，则（）,（A）当 时，一定成比例；,（B）当 时，一定不成比例；,（C）当 时，一定成比例；,（D）当 时，一定不成比例；,4设 阶矩阵 与 相似，则（）.,（A）(B)(C)（D),与 都相似一个对角矩阵.,5 阶矩阵 具有 个特征值是 与对角矩阵相似的,（A）充分必要条件；(B)充分而非必要条件；(C)必要而非充分条件；(D)既非充分也非必要条件.,6矩阵,与下列哪个矩阵相似（）,(C),7 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是,（A）有 个不全相同的特征值；,(B)方阵 有 个不相同的特征值；,(C)方阵 一定是对角矩阵

34、；,(D)方阵 有 个线性无关的特征向量.,(B)有 个不全相同的特征值；,(C)有 个不相同的特征值；,(D)有 个线性无关的特征向量.,8若 阶方阵 与某个对角矩阵相似，则（）.,（A）方阵 的秩等于；,9实 阶矩阵 为满秩矩阵，则（）.,（A）必有 个线性无关的特征值；,(B)必有 个线性无关的特征向量；,(C)必相似于一个满秩的对角矩阵；,(D)的特征值必不为零.,当 时,10设 是 阶矩阵，是 的特征值，是 的分别,对应于 的特征向量，对于不全为零的常数,有,（A）当 时，必为 的特征向量；,（B）当 时，是 相应于 唯一的,两个线性无关的特征相量；,（C）当 时，若 是非零向量，则

35、它必为 的,特征向量；,（D）当 时，必为 相应于 的两个,线性无关的特征相量.,三、计算题,1设,（1）试求矩阵 的特征值；,（）利用（1）的结果，求 的特征值,解：,（1）,（）,2,设实对称矩阵,求正交矩阵 使 为,对角矩阵,解：,3设 为 阶实矩阵，满足，试求 的,伴随矩阵 的一个特征值,证明：,的一个特征值,4已知三阶矩阵 的特征值为 矩阵（1）矩阵 的特征值和与 相似的对角矩阵；(2)行列式 和,解：,试求,（1）,的特征值,(2),5设,，求（1）的所有特征值与特征向量；,（2）判别 能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵，使 为对角矩阵；（3）计算,解：,可对角化,四、证明题,1若 阶矩阵 满足，则 的特征值仅能是1或,证明：,2设 满足 证明：的特征值只能是1或2,证明：,3设，在 上可对角化，,证明：在 上可对角化,阶方阵,多项式,证明：,在 上可对角化，,对角阵的和仍为对角阵,在 上可对角化,