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1、函数模型及其应用一、高考要求：1、利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幕函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2、收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用。3、数学应用问题形式多样，解法灵活。在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问题。解答此类题型主要有如下三种方法：(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；(2)列
2、式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决二、基础训练1 .一等腰三角形的周长是20,底边y是关于腰长X的函数，它的解析式为.2 .我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶，若每销售100元国家要征附加税为X元(税率姗)，则每年销售量减少IOX万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税
3、额不少于112万元，则X的最小值为.3 .已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要损失10%,要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的L以下，则至少需要重叠块玻璃板.34 .某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)=40Q-!-Q2,则总利润L(Q)的最大值是20万元.三、典型例题例1、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水泊净：次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的L,用水越多洗掉的农药量也越多，但2总还有农药残留在蔬菜上.设用X单位量的水游选：次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗
4、前残留的农药量之比为函数/Cr).(1)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；(2)试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质；(3)设f(x)=-,现有a(a0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平l+x2均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?例2、据气象中心观察和预测：发生于Y地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度V(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线1,梯形OABC在直线1左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).(1)当t=4时，求S的值；(2)将S随t变化的规律用数学关系式表
5、示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.例3、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图210中(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图210中(2)的抛物线表示.图210(1)写出图中(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=/(力；写出图中(2)表示的种植成本与时间的函数关系式。=g(Z);(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/
6、IO2,kg,时间单位：天)课后作业1.某机床在生产中所需垫片可以外购，也可自己生产，其中外购的单价是每个LlO元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元.设该厂每月所需垫片X个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是x.2 .某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用,当截取的矩形面积最大时，矩形两边长X,y应为分别为.3 .某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系如图所示，下列四种说法:前三年中，产量增长的速度越来越快；前三年中，产量增长的速度越来越
7、慢；第三年中，产品停止生产；第三年中，这种产品产量保持不变.其中说法正确的是（填序号）.4 .某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20-0.lx2,x（0,240）,若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量为台.5 .某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的关系用如图所示曲线表示.据进一步测定，每亳升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为小时.6 .某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品，已知经销
8、甲商品与乙商品所获得的利润分别为P（万元）和Q（万元），且它们与投入资金X（万元）的关系是：P=,Q=JG:42（a0）.若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元，则a的最小值应为.7 .某种商品进货单价为40元，若按每个50元的价格出售，能卖出50个，若销售单价每上涨1元，则销售量就减少1个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应定为元.8 .某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：如一次购物不超过200元，不予以折扣；如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500
9、元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款元.9 .某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x吨.（1）求y关于X的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.10 .某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不
10、能低于51元.（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为X个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（X）的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）11 .一位牧民计划用篱笆为他的马群围一个面积为1600?的矩形牧场，由于受自然环境的影响，矩形的一边不能超过am,求用最少篱笆围成牧场后矩形的长与宽.12 .某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量X（t）与1t产品的价格P（元t）之间的关系为：p=24200-1X2,且生产Xt的成本为R（元），其中R=50Ooo+20OX.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）
