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1、第十六章一维波动我们周围的许多现象都涉及到波。扔一块石头到池塘里，涟漪沿着水面向外移动。拍拍手，声波就会向外传播。全世界都能检测到大地震，因为地震会引起地震波在地球内部传播。一般来说，波是一种通过物质或通过真空传播（移动）的扰动。波最大的特点是不把物质从一个地方带到另一个地方。当一个波通过一个介质后，介质看起来就像它被扰动之前一样。每次你和一个体育场的其他球迷一起创造一个波浪时，你都证明了这一点（图16.1）。一旦你完成了你的一小部分站起来，坐下你就坐在同一个座位上；换句话说，你没有从体育场的一个位置移动到另一个位置。或者把一块石头扔到静止的池塘里，看着一片漂浮的叶子的运动：当岩石产生的波浪经
2、过时，叶子会起起落落，但不会离开原来的位置。一旦池塘再次平静下来，叶子就在它原来的地方。稍微想一想就会告诉你，池塘里的每一个水分子也是如此。正如我们将要看到的，动量和能量一-而不是物质一一是随波运动的。波是一种集体现象：一个坐满球迷的体育场可以产生一个绕着体育场传播的波；另一方面，一个人不能产生这样的波。人可以上下移动，也可以从一个地方跑到另一个地方，但这两种运动都不是波。因此，波永远不可能存在于空间的单个位置：单个水分子不会产生波一一水波需要大量的水。我在本章开头所举的例子一一水波、声波、地震波一一都是机械波，都是涉及粒子（暂时）位移的波。这种波需要一种介质来传播或通过。传播是由介质中粒子的
3、相互作用引起的。水波纹的媒介是水；拍手声的媒介是空气；地震波的媒介是构成地球内部的物质。有些波，如无线电波和光，不需要任何介质；它们可以通过真空传播，也可以通过介质传播。尽管这种非机械波在起源和性质上与我们在本章和下一章中所讨论的机械波大不相同，但它们具有机械波的许多性质。由于这个缘故，当我们在后面几章中讨论非机械波时，我们还要带去许多关于机械波的结果。图16.1球迷在体育场创造一个波浪。当旁边的人站起来举起手臂的时候，人们立刻站起来。由于一个人和下一个人之间的微小延迟，不是每个人都在同一瞬间起身，波以某种有限的速度绕着体育场传播。16.1用图形表示波假设一根绷紧的长弦的一端快速上下移动一次，
4、如图16.2所示。当绳子的末端升起时，它会拉起绳子的邻近部分。当相邻部分开始向上移动时，它拉上绳子的下一部分，而下一部分又拉上下一部分，以此类推。由于相邻的两段绳子相互拉动，绳子末端向上的位移就沿着绳子传递。当字符串的末尾向下移动时，在相反的方向上会发生类似的事件链。这种先向上再向下拉动相邻细绳的做法产生了一种波脉冲，这种波脉冲以恒定的速度沿着细绳传播而不改变形状。重要的是不要把脉冲的水平运动和弦的垂直运动混为一谈。脉冲通过的介质不沿水平方向运动。当脉冲通过弦线时，弦线上的每个粒子只上下移动一次。图16.3显示了一串珠子的垂直运动。石=O每个珠子执行相同的动作一一先上后下。然而，每个珠子在不同
5、的瞬间移动：首先是珠子1,然后是珠子2,然后是珠子3,以此类推。L：A*vectorsshowmotionofhandandstring在脉冲的前沿，每个珠子的运动是向上的；在图16.2沿字符串传播的波脉冲的产生16.1（a）使用图16.3中所示的轴选择,绘制位置-时间图，显示大焊珠位置的X和y分量如何随时间变化。（b）当磁珠位于脉冲前沿时，大磁珠的速度的X和y分量是正的、零的还是负的？对后缘重复此步骤。图16.3表明，波的运动不同于脉冲所通过的介质中粒子的运动。珠子只在垂直方向上移动，因此，需要记住的重要一点是：波（或单个波脉冲）的运动不同于传播波（或脉冲）的介质中粒子的运动。为了强调这一点
6、，我们将用字母C来表示波在介质中的波速（在这种情况下是沿着细绳），用Figure 16.4 Distinction between the wave function and displacement curves for a Uiangular wave puhe rupag3lng along string Pandlel to the x axil.(b) Waw function at t 0.5M (c) Duphcemtf nt curve for particle located atx 0(f) Displacement CIirve for partide located a
7、t fc4 l.0 mDf(m)字母V来表示介质中粒子的速度（在这种情况下是珠子的垂直运动）。*16. 2（a）是图16.3中脉冲的波速c常数？（b）（b）如果相邻珠子之间距离为5.Omm,则确定速度。如这个检查点所示：波脉冲沿着一串的波速C是恒定的。然而，弦的各个部分的运动并不是那么简单。当脉冲沿弦传播时，不同粒子的位移取决于时间和沿弦的位置。在任何给定的时刻，弦上不同的粒子有不同的位移。图16.2和16.3显示了沿着字符串的波脉冲的“快照”。每一张快照都显示了粒子在弦上的位移与其平衡位置的关系，这是一个瞬间位置的函数。例如，图16.4a显示了沿字符串移动的三角波脉冲的快照。这样的三角波脉冲
8、是通过先向上移动字符串的末端，然后更快地向下移动而产生的。快照叠加在一个校准的网格上，这样我们就可以从它们的平衡位置读出不同粒子的位移。图16.4a中的矢量DS表示质点在X=LOm处在瞬间t=0.94S处的位移，在波浪的背景下，位移用符号D来表示，初始位置总是作为粒子的平衡位置。在这一瞬间所有粒子位移的图形表示如图16.4b所示，它给出了作为沿着字符串位置X的函数的字符串的粒子位移的y分量（字符串的左端在x=0）图16.4b所示的函数称为波函数。波函数表示波在给定瞬间的形状，并在波沿弦传播时随时间而变化。在这一瞬间所有粒子位移的图形表示如图16.4b所示，它给出了作为沿着字符串位置X的函数的字
9、符串的粒子位移的y分量（字符串的左端在x=0）。图16.4b所示的函数称为波函数。波函数表示波在给定瞬间的形状，并在波沿弦传播时随时间而变化。16.3从图16.4a中,确定距离管柱末端LOm、1.5m和2.0m的点的位移。（d）在短时间间隔后拍摄的快照上，x=l.5m处的位移是大于、等于还是小于图16.4a所示的位移？表示图16.4a所示的波脉冲的另一种补充方法是把弦上一个质点的位移作为时间的函数来画出来。例如，图16.4C显示了X二0时弦末端位移的y分量作为时间的函数。图16.4C所示的函数称为位移曲线。该图显示，管柱末端在厂0时开始向上移动，在PO时达到最大位移约+0.50m0=0.50s
10、,然后迅速向下移动到初始位置，到达初始位置时大约0.63S0这是产生三角波脉冲沿弦传播的运动。波脉冲通过的任何弦的位移曲线对于弦上的不同粒子是不同的，你可以通过比较图16.4c和d.图16.4d显示了X=LO时质点的位移曲线m.位移保持为零，直到脉冲的前沿从X=O传播到x=L0。m.这发生在t=0.50s,在那一瞬间，脉冲的前沿开始提升X=LOm的粒子，直到它在t达到最大位移。二1.0秒图16.4a所示的脉冲的较陡的尾端使粒子迅速返回到t=l.0s和t=l.1s之间的平衡位置。为什么位移曲线是波函数的镜像？因为波脉冲是向右传播的，所以脉冲的前沿在波函数图的右边。另一方面，位移曲线在左侧具有较小
11、的t值（较早的时刻），在右侧具有较大的t值（较晚的时刻）。所以在图16.4C中，脉冲的前沿在左边。（为了说服自己，观察图16.4a中X=LOm处的粒子，并想象脉冲经过该粒子时该粒子的运动。绘制粒子位移随时间的变化曲线，并将结果与图16.4d比较。请注意，图16.4C和D有相同的形式：X=LOm的一个简单地向右移动。这告诉我们，这两个粒子在不同的瞬间执行相同的运动。16.4（a）从图16.4C和d中，确定脉冲从x=三0传播到X=LOm所需的时间。（b）根据你对a部分的回答，确定波的速度。根据介质相对于波动的运动方式，机械波分为两类。对于沿弦线传播的波，介质运动与脉冲运动垂直。这种波称为横波。在另
12、一种类型的机械波中，介质的运动与脉冲的运动是平行的，以这种方式运动的波被称为纵波。现在让我们更详细地看看第二种类型的波。考虑一个长螺旋弹簧，其端部如图16.5所示快速来回移动。当弹簧的左端向右位移时，每个线圈推动下一个线圈，使线圈一个接一个地向右位移。当左端被拉回到原来的位置时，每个线圈都会把下一个线圈拉回来。其结果再次是波脉冲传播到右边，与每个线圈暂时位移的方向传播的波脉冲。即使单个线圈的运动方向与波脉冲的传播方向一致，线圈的运动和脉冲的运动仍然是不同的。单个线圈来回移动，但波脉冲沿着弹簧以恒定的速度传播。纵波也可以用波函数和位移曲线来表示，但现在波函数看起来不再像传播波的快照。图16.6a
13、示出了在某一时刻tl沿弹簧传播的脉冲的快照，它叠加在一个标定过的网格上。相应的波函数如图16.6b所示-波函数给出了作为线圈位置函数的每个线圈位移的X分量。x=0之间的线圈而x=+0.20m未受扰动，因此位移DS在x=0之间为零且x=+0.2（线圈之间的X=+0.20米和X=+0.40m均向右侧位移。位移的X分量是正的，因为位移在正的X方向上。在x=+0.40m的右边，由于脉冲还没有到达弹簧的这一部分,所以位移仍然为零。图16.6c显示了x=0时弹簧端部的位移曲线。16.5（a）图16.6b中的脉冲是对称的,即使图16.6a显示弹簧拉伸部分的长度为0.15m,弹簧压缩部分的长度仅为0.05mo
14、解释图16.6b的对称曲线如何正确表示图16.6a所示的不对称情况。（b）假设弹簧末端不是向右移动，如图16.6所示，而是向左移动。这种扰动还会导致波脉冲向右传播吗？如果是，画出这个波脉冲在某个时刻t70的波函数。如果不是，那会发生什么？Figure16.5LongitudinalwavepulsepropagaiFigure16.6WavefunctionanddisplacementcurveforaIongitudwavepulsepropagatingalongaspring.V = Qy (C)Displacementcurveforcoillocatedatx=0DX(mm)图16
15、.5沿弹簧传播的纵波脉冲图16.6纵波脉冲沿弹簧传播的波函数和位移曲线。16.2波传播波脉冲不是物体，它没有质量因此对波动的描述与对物体运动的描述是非常不同的。为了研究波脉冲沿弦的传播，让我们考虑由短弦连接的珠子的集合。弦的质量相对于珠子的质量是可以忽略不计的。图16.7a显示了使波脉冲沿着一串珠子传播的力和加速度。(a)波脉冲沿珠串传播(b)珠3的自由体图(C)珠3的速度和加速度矢量图16.7a显示了当脉冲沿着弦传播时，这些珠子中的前十个。垂直的灰色线显示珠子的运动是完全垂直的。让我们把注意力集中在绳子上的第三个珠子上。在Tl,弦的左端开始向上移动，只有珠1从最初的位置被移动。图16.7B中
16、的顶部自由体图显示了施加在珠3上的两种接触力。如果弦紧，则FSc23和FSc43点在相反的水平方向。(这等于说，珠子上的重力相对于弦施加的接触力来说是可以忽略不计的，而且由于珠子没有加速，施加在珠子上的力的矢量和必须为零。)16.6回答这五个关于图16.7中Tl的情况的问题，假设串珠的右端附着在没有显示的墙壁o(a)如果F=5N,墙对最右边的珠子施加的力的大小是多少？(b)S的水平分量的大小是多少？(C)手施加在弦上的力的方向是什么？(d)与F(c43)级相比，这种力的大小如何？(e)这个波的横向和纵向部分有什么影响？这个检查点提出了一个重要的观点：如果把弦拉紧，相邻珠子之间所有接触力的水平分
17、量的大小等于弦中的张力几在T2处，脉冲的前缘已经传播到珠3。由于珠2的位移，F(c23)不再是水平的。2的位移也会使弦在2和3之间拉伸，因此F(c23)震级增大。F(c23)的水平分量的大小仍然等于T,但施加在珠3上的力的矢量和现在是非零的，垂直向上点。因此，珠3现在有一个非零的向上加速度，因此开始向上移动(图16.7c)。当它向上移动时，它会拉伸和改变连接它的弦的方向，从而使F(c43)的大小和方向发生变化。F(c43)的这些变化有两种影响：f(c43)开始减慢珠3,而反力f34开始加速珠4向上移动。在T3和T4之间的某个瞬间，F(c23)和F(c43)在大小和方向上又变得相等，相反(但这一
18、次，F(3dc23)向上，向左，F(c43)向下和向右，因此施加在珠3上的力的矢量和为零。当珠子继续向上移动时，力的矢量和开始反对珠子的运动(自由身体图在T4处)。因此，珠子慢下来，直到它停在T5。此时，珠子达到最大位移，施加在其上的力的矢量和向下指向。当珠向下移动时，施加在其上的力的矢量和减小。在T7,向量和再次指向向上，减缓了珠的向下运动，直到它在T8再次到达初始位置。一旦脉冲超过珠3,其周围的弦又是直的，则F(c23)和F(c43)的矢量和再次为零，因此珠子仍处于静止状态。16.7(a)注意，图16.7a中胎圈4在t4处的位移与胎圈3在t3处的位移相同。磁珠4在t4处的速度和加速度与磁珠
19、3在t3处的速度和加速度如何比较？(b)你用同样的方式上下移动两个不同字符串A和B的一端。假设产生的脉冲在串A上的传播速度是在串B上的两倍。弦A的一个质点的速度与具有相同非零位移的弦B的一个质点的速度如何比较？(c)描绘沿两串传播的脉冲，并指出两者之间的任何差异。(d)对于每根弦，考虑一个距离左端0.20米的粒子。为每个粒子画一个位移-时间曲线图，并指出两个曲线图之间的差异。请务必不要跳过检查点16.7,因为它提出了两个非常重要且有点违反直觉的要点：当弦的一个质点偏离平衡位置时，它的速度VS和加速度AS仅由初始扰动确定，与波速C无关。弦上的所有粒子都执行与初始扰动引起的运动相同的运动，而与波速
20、C无关(波速C只决定了它们一个接一个地执行这一运动的速度)。然而，如检查点16.7所示，脉冲的形状取决于Co对于给定的扰动，高波速产生的脉冲被拉长，低波速产生的脉冲被压缩得更厉害。然而，不管脉冲的形状如何，弦上的任何粒子达到一定的位移时，在脉冲的同一部分达到相同位移的瞬间，其速度和加速度与其他任何粒子相同。波速是由什么决定的？我们对图16.7的分析表明，波脉冲沿细绳的传播是由于每一细绳对相邻细绳施加的力。这表明波速与这些力的强度有关。因此，让我们研究一下，如果我们改变弦的张力的大小，会发生什么。假设在图16.7中的时刻t3,当磁珠3位于脉冲的前沿时，当磁珠的垂直位移为DS时，磁珠具有加速度a(
21、图16.8a)0这个加速度是由作用在珠子上的力的矢量和F引起的。如果我们现在增加张力的字符串(图16.8b),大小的水平分量的接触力增加相同的数额。由于接触力现在更大，施加在胎圈3上的力的矢量和达到与图16.8a中相同的值，但胎圈2的位移较小。换句话说，脉冲从一个珠子传播到下一个珠子需要更短的时间间隔。因此，弦的张力越大，波速越高。增加珠子的质量会产生相反的效果：对于给定的张力，增加每个珠子的质量会降低珠子的加速度。为了使这个较大的珠3具有与图16.8a中较小的珠3相同的加速度S,珠2现在必须移动得更远。因此，脉冲从一个磁珠传播到下一个磁珠需要更长的时间间隔(图16.4c)。增加珠子的质量对应
22、于增加连续弦每单位长度的质量。沿弦传播的波的速度c随弦内张力的增大而增大，随沿弦单位长度质量的增大而减小。这个结果是有道理的：更大的张力意味着更大的恢复力，因此更倾向于传递位移，导致更高的波速。如果质量越大，则传递位移的阻力越大，因此波速就越低。168两根弦，A和B,除了A中的张力大于B中的张力外，它们是相同的。假设你将每个字符串的左端快速地上下移动一次。对于每一条弦，画出(a)A上的脉冲沿着弦的长度行进到一半时的波函数。(b)粒子沿着弦行进到一半时的位移曲线。(b) String tension Increased 波传播的速度是 C,() Original WaVC图16.8张力和质量对波
23、速的影响。（八）自由体图显示FS23c和FS43C之间的夹角，这是在位移D轴处引起加速度a_l的要求。(B)当张力较大时，需要较浅的角度才能产生同样的条件，使波传播得更快。(C)当质量较大时，需要更锐角才能产生同样的条件，使波传播得更慢。内T的正弦运动。Bead 3 has acceleration d at dihcen因此：周期波的波长等于波速和波动周期的乘 积。请注意图16.9中弦的形状与第15章中表示简谐振动的曲线是多么相似。然而，图16.9中的形状将介质的位移表示为位置的函数，而第15章中的简谐振子曲线将位移表示为时间的函数。然而，如果你在波通过时聚焦在弦上的一个质点上，你会看到它的
24、上下运动是指针周期运动的延迟版本。因此，我们用来描述周期运动的一些量也可以用来描述波(振幅：介质中任何给定粒子从其平衡位置的最大位移；频率：介质中每个粒子每秒执行的周期数；周期：完成一个周期所用的时间间隔)。周期波在一段称为波长的距离上重复它自己，该距离由符号1表示。(图16.9所示)每当弦的左端执行一个完整的振荡时，波前进一个波长。如果那么波前进一段距离CT期(b)细绳张力增加(a)原始波(c)珠粒质量增加如果使一个字符串的末端执行一个周期运动，产生的波被称为周期波。图16.9显示了一种特殊类型的周期波，称为谐波，它是通过移动弦的末端使其谐振而得到的。其结果是一个正弦形状的波沿着字符串传播。
25、16.9绘制图16.9中字符串左端的位移随时间的变化。您的图形和图16.9中的波形之间存在哪些相似点和不同点？图16.9如果使一根弦的末端作简谐运动，得到的行波是正弦形的。在运动的一个周期内，波前进一个波长。与你所期望的相反，你的手上下移动得更快并不能产生更快的脉搏。图16.10显示了在相同的张力下在相同的字符串上产生的两个脉冲。图16.IOb中字符串的结尾比图16.IOa中的字符串移动得更快。两个脉冲在一个时间间隔At中的位移Ar相同，因此波速C对两个脉冲都是相同的。以非常好的近似，我们从实验上确定：沿着一根弦传播的波的速度C与每根弦的速度VS无关。C的值完全由介质的性质决定。如果波的速度取
26、决于粒子的速度，那么波脉冲的形状在传播时就会改变，因为波脉冲的某些部分会比其他部分传播得更快。然而，只要由波引起的位移不是太大，波的形状就保持不变（见图16.3）Figure 1.11 A wave pulse carries kinetic and potential energy. If there is no energy dissipation, the amount of energy in (b) is the same as that in ().Kinetic energy is due Potential energy is due to motion of string.
27、to stretching of string.(b)If no energy dissipates, total energy remains unchanged as wave travels.16.10 考虑一个沿弦传播的谐波。是由波的来源、由弦的性质、或两者：（a）一个粒子的振荡周期；（b）波沿弦传播的速度c；（C）波长；（d）一个粒子的最大速度V?图16.11说明了传播的波脉冲如何携带两种形式的能量：与单个粒子运动有关的动能和与脉冲通过时细绳拉伸有关的弹性势能。在第16.3节中，我们将看到，机械波总是携带等量的这两种形式的能量。16.11 图16.11中的波脉冲也带有动量吗？证明你的
28、答案。加，如图16. 12所示。Pulses add algebraically as JokDashed lines show shape of original pulses.16.3波的叠加波有一个显著的特性：两个波可以直接穿过彼此而不改变彼此的形状。图16.12显示了两个脉冲沿着一个字符串向彼此传播的一系列快照。当两个脉冲重叠，由两个波引起的位移代数相加，提供媒体服从胡克定律（见第8.9节）的组合位移。这种现象叫做波的叠加。如果两个或两个以上的波在符合虎克定律的介质中重叠，那么在任何时刻产生的波函数都是各个波函数的代数和。波重叠时，所产生的波可能具有非常复杂的形状，但当它们再次分开时，
29、每一个波仍然具有其原来的形状。波的叠加进一步区分了波和物体：两个物体不能在同一瞬间占据空间的同一位置，但两个波可以在同一瞬间占据同一位置。因为两个重叠波的波函数代数相加，当单个位移具有相同的符号时，合成的位移大于任何一个波的位移（图16.12）。当它们的符号相反时（图16.13）,具有较小位移的波减小了另一个波引起的位移。当两个波重叠在一起时，我们说这两个波相互 干扰，这种现象叫做干涉。相同符号的波的叠图16.12相长干涉。两个相反方向传播的脉冲如果以相同的方向（此处为向上）移动弦粒子，则会发生相长干涉。当两个脉冲交叉时，它们的位移以代数方式相加，产生的位移大于任一脉冲单独引起的位移。脉冲之间不相互作用：在它们分开之后，它们的形状保持不变。
