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1、1,3 本征矢量和本征值,3.1 定义,一、本征矢量和本征值,对于算符A，若有非零矢量 满足下式,式中a为常数。则 称为算符A的本征矢量，而a为相应的本征值。,上式称为本征值方程。,本征值一般是复数，但也可以为0.,算符A虽然可以不加限制，但是量子力学中用到的主要是厄米算符的本征值问题。,耍已裁侈米走想颗垛怀卖扩敌蚌冯摸未盅很床盆镍音鸽楞来茵入乳驹静箩高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,2,二、厄米算符本征值问题的两个重要性质,1.在复空间中，厄米算符的本征值都是实数,已经知道 是实数,所以a必为实数。,2.厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互 正交,证设,但,啃墓碾勾熔蛤谴顾每移苹
2、漫缺玉改同永淮鬃推壤喉氏撑吻谴贸酮毙煽阅岸高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,3,则,又,由此得,即,但,所以,即厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互正交。,除罩羊涤仟殊鞠垢淮梦炕钓前晕涸新伙羊哲终求如拂阔努函她检绚总蛰互高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,4,若 是A的一个本征矢量，则 也是属于同一个本征值的本征矢量；,若 都是 A 的本征矢量且本征值相同，则它们的线性叠加 也是A 的属于同一本征值的本征矢量。,三、本征矢量问题简并性,厄米算符A属于本征值a的本征矢量有多少个？,这实际上是一个简并度的问题。,1.问题的提出,患恳誓嫁葫酉逝提挽之秽示扭磅驶腮戎迈孽庐匈隅稠堤
3、郊债谁乌权鬃酒作高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,5,所以算符A的属于同一个本征值 a 的本征矢量全体构成Hilbert空间中的一个子空间。这个子空间称为算符A的属于本征值a的本征子空间。,2.简并,本征子空间的维数 s 称为所属本征值的简并度。这个本征值或这组本征矢量称为是 s 重简并的。,当简并度为1时，通常称为无简并。,为了指出 s 维本征子空间，只需给出其中一组 s 个线性无关的本征矢量即可。,晋荧皂娥巾解削逛哉泼咎禾旭簧羽锨趋拉裕叛胆序笑砚一添衍润松沪佩窒高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,6,则A,B有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度。,3.相关的
4、定理,定理：若A,B两算符相似，即对于有逆算符R，有,证设已知A的全部本征值和相应的本征矢量，,利用，用R从左作用上式两边，得,即,莹追预敏扑味拜浆澄畴弦舍瘸短秩酶饯罩念缅这桑列称兑股淮撩两射摇辕高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,7,下面设A的一个本征值是s重简并的，属于这个本征值的s个线性无关本征矢量记为。由于R有逆，也必为线性无关。,所以算符B的属于本征值 的本征矢量至少为s个，即简并度不会比A小。另外利用 用同样的方法证明B的简并度也不会比A大。证毕。,因为R有逆，所以 不为零,所以所有 也都是B的本征值。,摈绸末恤唉购势淑弊期迭躯加廖拖啄到阳贮烽骂虚苛讣卧胞独晶江泣煽堆高量
5、3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,8,用反证法：,如果 线性相关，则存在，从而有,比如由此可以得到,因为R有逆，上式两边用 作用后有,这与 线性无关相矛盾。命题得证。,诧德崎夕快悼鹅弃集滩拢闺骤棚赖疮始陶否烃嘻锹罚杂瀑上赛饱锹理国砂高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,9,3.2 本征矢量的完全性,一.问题的提出,在一个确定的Hilbert空间中，一个厄米算符A的本征矢量的情况有两种：,1）不简并的本征矢量是彼此正交的；,2）s 重简并的本征值所对应的本征矢量构成一个s维的本征子空间，并与那些本征值为其它值的本征矢量正交。,如在上述s维子空间中选出s个互相正交的本征矢作为代表，
6、那么其线性叠加都是算符A的对应于同一本征值的本征矢量。,塔鼠场翁零列卖趋摇喉栖裴惯逐脉戊记蚀荆琳巡馋庞卿挝侄孙钎曼缮宾耙高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,10,在进行归一化后,算符 A 的所有不简并和简并的本征矢量为代表就构成了一个正交归一矢量集。若取不简并的本征值的简并度为1,则这个正交归一矢量集里矢量总数是所有本征值简并度之和。这个总数亦可能是无穷大。,问题：一个厄米算符A的本征矢量正交归一集在所 在空间中是否完全？,二、完全性和封闭性,一个确定的空间中，一组正交归一矢量集的完全性的含义是：,空间内所有矢量都能表为这个矢量集的线性叠加。,忠狱涕群奥要于邯撮际乏汁钦创疯吟挝馋全逝
7、喳厉嚼蔑灿全涛嘱畦堪汕掣高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,11,一组正交归一矢量集的封闭性的含义是，这个空间中不存在其它与集内所有矢量都正交的矢量（否则此矢量集应再加一矢量）。,二者的等价性是明显的。对于一般的Hilbert空间，二者是等价的。,对有限维空间予以证明：,定理：在有限维空间中，厄米算符的全部本征矢量 构成正交完全集。,证：设空间是n维的，厄米算符为A。我们只需证 明在A的本征矢量中有n个线性无关的即可。,折筏概蓬其帜栖典哺滁沼赐雄推馈镍芬主秸拿窄墅掖妙仰娟眩侨匿肛莎琳高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,12,A的本征值方程为,这组基矢共有n个。,为求，在此空
8、间中取一组已知的基矢,将矢量 按照这组基矢展开,其中。知道了一组 就知道了一个。,将 的展开式代入本征值方程，并用 与方程两边作内积，得,筏伐实垦武表爷荣调莆涉疮沼磊仅完酞物吧钝硼鲍族帕蹿落蛆运豫喘翔佛高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,13,上式是关于未知数 线性齐次方程组，可以写成,式中 是复数，对于给定的A，它们是已知的，而 是待求的。,会展开,(j=1)(j=2),式中a 是待定的本征值。这一方程有非零解的条件是系数行列式为0：,捅房文俩越瘟彩判世脯窖摄候杜葵蜒喊测酷坡墒凰翌炭留呵瘁逊耐蝉弗所高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,14,这是一关于a 的n次方程，称为久
9、期方程，有n个根,当这些根互不相同时，对于每一个根，上述方程有一组非零解；,所求得的那些根，就是厄米算符A的本征值。,当每个 都不同时，可得线性方程组的n组解,从而得到相应的n个本征矢量。,追撮块倾矽朱烃栋拽匿隆疯房渣迹虚什存书掷辨洲撰网御靛和魁擦铅役挎高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,15,前面已经证明过，当本征值不同时，厄米算符的本征矢量互相正交。因此证明了A 的这组本征矢量肯定可构成此空间的一组正交完全集。,总之，在n维空间中，不论厄米算符A的本征值有无简并，总有n个线性无关的本征矢量存在，总可以构成空间的一组正交完全集。,当系数行列式有等根时，如 是一个三重根，那么对于这个
10、a 值，不仅系数行列式本身为0，它的n-1,n-2阶的全部子行列式也都为0；,对于这样的a，齐次方程也有3个线性无关的。于是对于这个三重简并的本征值，空间中有3个线性无关的本征矢量存在，即有一个三维的本征子空间存在.,床狄胰牡窗算币夕驱衬萤牟袭示扶虑径澎状蔡瘤嫂厢赵埔皿泞绚竖湾纬背高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,16,当A的本征值没有简并时,这组 是完全确定的。而当有简并时，就有许多组这样的正交归一完全集存在，因为在本征子空间中，选取n个互相正交的矢量作为代表(不要求归一)，其选法是很多的。,三、基矢的选择,可用它们作为这个空间的一组基矢。,把一个厄米算符A的全部（彼此正交的）本
11、征矢量编上一定的次序（通常是按照本征值由小到大的次序）,就可以构成这个空间的一组正交归一完全集，它们满足完全性关系,思卷作陈遮正虑阔脯瓦霖依啃担每潭沂牢棘刨连征柴乒袍跑履为溃料薛亿高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,17,对于无穷维Hilbert空间，厄米算符具有离散本征值的情况，虽然没有经过数学上的一一证明，在物理上总是认为，厄米算符的全部线性无关的本征矢量可以构成此空间的完全集。进行正交化以后，完全性关系成立。写成通常的下标形式，有,在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去确定一组基矢，甚至用厄米算符的本征矢量去“构造”一个 Hilbert 空间，原因在此。,凿矗镑熄飘妇生河阵抿熄舷
12、私步甩闻估奥驮冠阉簿端峦熙弃啤蓄遮姐蚁垦高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,18,对于一个Hilbert空间，每一个厄米算符的全部线性无关的本征矢量都可以用来构成空间的基矢,即正交归一完全集（条件是厄米算符的定义域和值域都应是全空间）。,3.3 厄米算符完备组,一、基矢的选择问题,但是当此厄米算符的本征值有简并时，对应于这一本征值的线性无关的本征矢量的数目与简并度相同，这时由本征矢量所确定的基矢不是唯一的。,在简并的本征子空间中有多种选择。下面的任务就是设法消除这一不确定性。,绢簿征夏审绷碧蕉屹烹庙逊某垃赣卫灿绽慨棚巢坚治咸滑夜召霸纂襄绵藩高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值
13、,19,1.定理：,二、本征矢量完全性定理,当且仅当两个粒子的厄米算符互相对易时，它们有一组共同的本征矢量完全集。,证,设两个算符是A和B.,(1)必要性：完全集对易,设A和B有一组共同的本征矢量完全集，这时有,则,同样,因为 是完全的，所以有,淬幌毗雁层司漠氦历穴市克呐皆届饺暗乒方栈函贩糟拆畦皆血鳞硷篆式靖高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,20,(2)充分性：对易完全集,设AB-BA=0，且 是A的一套正交归一化的本征矢量完全集。我们将用后者构造同是A、B的共同本征矢量完全集。,显然,即 也是A的属于本征值 的本征矢量。,下面分两种情况讨论。,1A的本征值无简并,这时 与 属于同
14、一个一维本征子空间，它们只能差一个常数倍：,涅狡屏摸出哦嗓瞎臣盾电富女今托托冶琅拽恒糙办皱阂肢陈禾崇挺忧拜贺高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,21,即 也同是B的本征矢量，常数 就是B的本征值。,如果所有A的本征值都没有简并，则 就是A和B的共同本征矢量完全集。,2A的本征值有简并,新的问题：在A的2D以上的本征子空间中随便取一个矢量未必就是B的本征矢量。,设A的本征值aj有m重简并（无简并的前面已经讨论），在|i 中属于这一本征值的本征矢量是|j1,|j2,，|jm（不见的相互正交,但可以化成正交的），它们是在m维子空间中互相正交m个矢量的代表。,盯就绕骸八且颓茧禹盂琅浩侧戍否糖
15、救声倦灾穴届又翱通挪屋堕嘻岿涂邪高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,22,式中C是一组叠加系数。这种矢量应该具有m个（总维数要求）。,现在要在这个m维本征子空间中寻找一些也是B的本征矢量的矢量。设这种矢量是,用 同上式作内积，利用 得,上述矢量成为B 的本征矢量的条件是,这是一个 的线性齐次方程组，设其系数,竞技恰勋罢幸籍旗较渍秒酋嚣致检牲嚣臆胯赫缘呕祸及槐携缄沃饲妮参洗高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,23,这一方程组有解的条件是系数行列式为0，即,根据前面的讨论，b有m个根（其中可能有相同的）,对每一个，有一组解，即一个矢量。,于是我们求得了m个矢量,它们是A的本征矢
16、量（本征值为），同时又是B的本征矢量（本征值为）。,燥吐圾乐谷使航润申朝拔盛督正黑纳量咎氟勇味贼葱寄熊昂儡甘朵伏灼架高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,24,如果对于每个A的简并本征值都经过这样重新选取，就可以得出一个 A和 B的共同本征矢量完全集。至此定理已经证毕。,苑样窄诉渝块崎赃子粉欠办戴凰析韭曰烛嗣拎章踞荷仪醒灼贯编福孝逊育高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,25,上次课我们介绍了，对于对易算符A和B，如果算符A的本征值没有简并的话，A的本征态也是B的本征态；,如果算符A的本征值有简并的话，任选一个A的本征态未必就是B的本征态，必须进行适当的线性组合来寻找也是B算符
17、的本征态；,在求解组合系数从而求B算符的本征值时，如果此B本征值无简并，则A与B的共同本征矢量就确定了；,如果此B本征值仍然有简并，则A与B的共同本征矢量仍然具有任意性，还需要找另一个对易算符C。,因而出现这样一个问题，对于一个给定的体系，需要至少寻找几个对易算符，才能确保共同本征矢量是唯一的？,坎陆匹柒宛毕借捶摔顶莎戎哼侄拣终减竟岿锭嗓畅藉期抡魄工苑契濒忱矿高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,26,三、厄米算符完备组,定义：对于一个Hilbert空间，一组相互对易的厄米算符A,B,C,，它们只有一组完全确定的共同本征矢量完全集，而去掉其中的任意一个，都会使剩下的那些算符的共同本征矢
18、量完全集具有任意性，称它们为一组厄米算符完备组。,这一组本征矢量完全集构成这个Hilbert空间的一组基矢。这组基矢可以分别用它所属算符A,B,C,的本征值a,b,c,的数值来编号，或者用各自本征值的序号来编号。,其实，一个厄米算符的全部线性无关的本征矢量就已能构成空间的基矢。,厄米算符完备组所包含算符的最少个数？,物理空间的维数。,荆壹悉鬃敌朔伊漆掺晒扎吹菇兽徘厌屡降浦汝琶绘阻畜铆助容财暂蚕靠蹭高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,27,以后有时为了方便，我们用单一字母（如A）表示算符的完备组，用单一字母 表示它们的本征值的集合，用单一字母 I 表示各本征值序号的集合，而用 表示它们
19、的共同本征矢量，简单地写成,共同本征矢量的完全性关系简写成,增加更多算符的目的：,为减少其中的任意性，最后消除任意性，以便得到一组完全确定的基矢。,为何还要增加算符？,省贤翱次厚淘誓干藐非麦稠进槛默来贾猖翱耶巴绥孕陀累柏缔弘喳胆俺之高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,28,以上我们对有限维矢量空间的情况作了比较完整的讨论。但是在量子力学中更多的是无穷维的矢量空间。这种空间中厄米算符大体上有两种：,3.4 无穷维空间的情况,（1）具有离散的本征值谱，其本征值是可数的无穷多个；,（2）具有连续的本征值谱，具有不可数无穷多个本征值和 相应的本征矢量。,一、基矢的选择问题,对于这种厄米算符，
20、只需把前面讨论内容加以推广，把取和的上限推到无穷大，而不去仔细考虑由此带来的数学问题。,裂供级腊预例妨宇疯孽错草蓟肠逢错糜磺恨共革诗汉侵部庸栓避沦息德篆高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,29,正交归一关系为,全部本征矢量 构成空间的一组基矢，我们直接认为这组基矢是完备的，即,完全性关系为,是展开系数。,对于一个对易的厄米算符完备组A，本征矢量用 表示，满足,赂蝉款待橡敏钩焉娥中松雷碱扶绒敦土鬃雾遮渭珊跟袄绍吐巢攻椅普蚀经高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,30,这就是所谓的收敛问题。,在一般情况下，基矢这样安排：当 i 增大时，迅速减小。否则按照公式,归一化条件就很难满足
21、了。,二、连续本征值谱的情况,讨论一个无简并的厄米算符或一组对易厄米算符完备组A.由于其本征值是连续变化的，无法编号，只好用本征值本身来给本征值编号。本征值方程为,其中a 取某一区间内的全部实数，是一个连续的实变量。,载棉毕朴啪嘶碟郡诵醉域慈倪洲业别乙愤销胖温湍挎孟告捷粳亥搂的捧示高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,31,1.连续本征函数的正交归一关系,设任何归一化的矢量 都可以展开为这组 的叠加（用积分表示）,积分遍及本征值a的取值范围。,上式实际上利用了完全性关系,可以认为是展开系数，即矢量 在基矢 上的分量。这是一个a的连续函数，可以写出，其函数形式取决于矢量,火鳞五烘灼逞垫遍
22、匪颅悠洛寒镐挟瘪巳从简臀秘竖辨藻泵辅乱荔库沮挠诊高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,32,现在用本征左矢 作用上式，有,式中 是函数 在 那一点的函数值。,将其与函数定义式,比较，可见应有,这是一个很重要的关系，对应于连续本征值谱的情况。,糠秀晌戮厅杉脱搜竿怂怔腊状钝沫助暑齐源痴贼疚蝇雕纂喀彝邮艳糖硷胸高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,33,而对于离散本征值谱的情况，其正交归一关系为,可见，在连续情况下，本征值不同的两本征矢量仍然是正交的。但所有本征矢量的模都是由函数所描写的无穷大。,尽管如此，我们仍称之为归一化条件，只不过归一化为函数。,由于 函数的存在，这些连续本征矢
23、量自身的内积将为，但这种本征矢量同Hilbert空间中所有其它归一化矢量 的内积都是有限的，因为,梭掉傅世粤推檄灸叙湖噪恼躇魏姑终招瓶鞋慈智伶榴逛闯挽彰滚孔虾缕秤高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,34,在物理上，具有连续本征值谱的算符是绝对需要的，因而归一化为函数的本征函数也是必不可少的。,为此我们把严格定义的Hilbert空间加以扩大，把上述那些虽然本身的模并不有限，但与别的矢量的内积为有限这一类矢量包括进来。这样的空间称之为物理的或扩大的Hilbert空间。,扳肾挣洽楷纽趋惑辰蛇亡巢窄止绵龚酬虏枚冤鼓舒诊姻撅舰腑血仁猪绽你高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,35,2.离散和连续本征值谱同时存在的情况,在本课中，我们约定，作一般讨论时，使用取和形式或积分形式随意，正确理解即可。,在量子力学中，还有这样的算符，它的本征值谱在一个区间是连续的，在另一个区间是离散的（如能量本征值谱）。这种情况下完全性关系是,正交归一条件是,犹蛛联狂坑烂孤韩害愚降寅彰钎邯饿尹烟咬鹿挛揉涛腋夫朋榴距恰舀爬羌高量3本征矢量和本征值高量3本征矢量和本征值,
