《《概率论与数理统计》习题及答案 填空题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率论与数理统计》习题及答案 填空题.docx（15页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、概率论与数理统计习题及答案填空题概率论与数理统计习题及答案填空题填空题1.设事务，AB都不发生的概率为0.3,且()()PB08PA=,则，AB中至少有一个不发生的概率为.OPABPA二解：()1()BPAB=1()PA()PB()PAB=+0.8()0.3PAB=+=()0.IPAB=()()1()10.1=0.9PABPABPAB=2.设()0.4,()0.7PAPAB=,那么(1)若，AB互不相容，则()PB=;(2)若，AB相互独立，则()PB二.解：(1)0()PA()PB()()PBPABPAB=+()OPA()0.70.40.3PABPAB=(由已知AB=)(2)()PB()()
2、PA()PABPAB=+0.70.4()()PAPB=+0.30.4()+PB=10.6()PBO.3()PB2=3.设，AB是随意两个事务，则()()()PABABABAB=.解：()()()()(0(0()PABABABABPAAABABBA()0()PABBABAB二()()()()()0.PABBBABPABABP=4.从0,1,2,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为.解：设A二取4个数能排成一个四位偶数，则4541041()PAl()PA142CC=5.有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9,从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为.解：设
3、A二能拼成三角形，则3533()PAIOC=6.袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为.解1：由抓阉的模型知乙取到黄球的概率为25.解2：设A二乙取到黄球，则1201191301201501492()PA5CCCCCC+=或201930202()PA=504950495+=7.设事务，ABC两两独立，且1,()PA()PB()PC2ABC=,()916PABC二,贝I()PA=.9()163()3()PAPA解：0()PB()PCO()()OPABCPAPABACPBCPABC=+2=216()PA16()PA30+=l
4、.3()PA=4或()PA=4,由1()PA21()PA4=.8.在区间(0,1)中随机地取两个数，则事务两数之和小于6/5的概率为.解：设A=两数之和小于6/5,两数分别为，Xy,由几何概率如图A发生0OIXly65xy+2111(1)52()PAISS二阴正1725=9.假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为.解:3A=iA=取到i等品，122AAA+23223312()()0.3+l()()()()0.60.33PAAPAPAAPAPAPA=+10.设事务，AB满意：Il(I)(I),()33PBAPBAPA=,
5、贝J()PB=.Ollyx65xy=解：OO()(PBA)()PAl()PA()PAPABPABPAB=1()PA()PB()l()PAPAB+=11()PB1391313+=(因为111()()(/)PAPBA339PAB=)5()PB9=.11.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为，第三次才取得正品的概率为.解：设iA二第i次取到正品，1,2,3i二则363()10(5PA=或3123123123123()()()0)PAPAAAPAAAPAAAPAAA=+654465436645310981098109810985=+=123
6、4361()0.1109810PAAA=12.三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；其次个箱子中有3个黑球，3个白球;第三个箱子中有3个黑球，5个白球.现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为;已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为.解：设iA二取到第i箱l,2,3i二，B二取出的是一个白球3111(35133553()PB()()68120iiPAPBA=+=222()()203653()()PB53120PAPBAPAB=13.设两个相互独立的事务A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则()PA二.解：由()(
7、)PABPAB二知()()PABPBA=即()PA()()PB()PABPAB=故()PA()PB=,从而()PA()PB=I,由题意：2()()()PAPB()PA9PAB=,所以1()PA=3故2()PA=3.(由，AB独立A与B,A与B,A与B均独立)14.设在一次试验中，事务A发生的概率为p.现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为,而事务A至多发生一次的概率为.解：设BA=至少发生一次()1(1=),nPBpCA二至多发生一次1()PC(I)(lA+)nnpnpp=+15.设离散型随机变量X的分布律为0(0,1,2,3)2PXkkk=,则A=,(33)PX=.解：OllllO()
8、123452345kAAAAPXKA=+=+=6077A=16065(3)l(3)157777PXPX=16.设(2,),(3,)XBpYBp,若59PX=,则PY=.解：(3,) YBp(2,)XBp22()(1)0,1,2kkkPXkCppk=020225(1) 1(0)1(1)133()(1)0,1,2,3.kkkPYkCppk=(I二)9PXPXCppp=24(l)9p=213p=13p=33219(1)1(0)1(1=)1()二327PYPYP=.17.设()XP,且(2)PXPX=，则PX=2(03)PX=解：122(l)2(0)l!2!2PXee=02(1)1(O)110!PXP
9、Xee=22(03)(1)2PXPXe=18.设连续型随机变量X的分布函数为0,0,()Sin,0,21,2xFxAxxx二则A=,I6PX=.解：()FX为连续函数，221imx()limx()()2FxFxF+=lsinl2AA=.1(|)()()6()sin666662PXPXFF=.19.设随机变量X的概率密度为22,0()fx0,0,xAxexx二则A二,X的分布函数()Fx=.102Adx=解：22222000()fXdx2xxxAxedxAxexedx+=A2220001()12244XXXAAXdeee+=4A=.222222000()fXdx441(2=21),0()0,Ox
10、xxxuxxedxueduxxexFxx=+=20.设随机变量X的概率密度为2,x01,Ofx,.x=其他现对X进行三次独立重复视察，用Y表示事务(1/2)X出现的次数，则(2)PY=.解:X3,)YBP,其中112220011()224pPXxdxx=232139(1)316464PYCPP二=21.设随机变量X听从,aa上匀称分布，其中Oa.(1)若(1)13PX=，则a二；(2)若(1/2)0.7PX=，则a二；(3)若(III)(IIl)PXPX=,则a=.解：1,20,E,()fxxaaa=其它1(1)Illlll(I)(1)3.32222131aPXdxaaalaa=(2)2111
11、15()0.7()0.7222(211)l=424aPXdxaaa=aaPX=+=+=(3)(|ID(|IDiiKIII)PXPXPXn=111(I1)22.222pXdxaaaa=222.设(,)XN,且关于y的方程20yyX+=有实根的概率为1/2,则=.解：20yyX+=有实根11404XX二1111114()()4()(0)4224PXF=二二=.23.已知某种电子元件的寿命X(以小时计)听从参数为1/1000的指数分布.某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为.解：Y=仪器正常工作时间，则0()fxxexx=15
12、(1000)(10001000)PYPXX二15(1000) (1000)P XP X=noooooo(ooo)oooxP Xedxe+=24.设随机变量X的概率密度为5 (1000)P Ye=l,32,9:0,5(PX1000)=13,6()fx,.XX二若若其他若k使得()23PXk=,则k的取值范围是.103解：1632()9kkPXKfXdxdxdx+=+12(63)323933kk=+=Ik=k的取值范围为1,3.25.设随机变量X听从(0,2)上匀称分布，则随机变量2YX二在(0,4)内的密度函数为()y=Yf解：1(0,2)()fx20x=其它2()0()y()()OOYPXyy
13、FPYyPXyy=二()()OoOOXXPyXyFyFyyy二1122111()()0422()()y400XXYYfyyfyyyfyFyy+=f(x)l36310当2YX二在(0,4)内时1()y4Yfy=26.设X听从参数为1的指数分布，则min(,2)XY=的分布函数()y=.YF解L()y()(min(,2)1(min(,2)X)YFPYyPXyPy二二1(,2)PXyy=1()()()y00()yl0210=12XyXPXyPXyFyFeyy=二解2：设X的分布函数为()x,2的分布函数为XF2()Fz,则1,0,()x,OjxXexFx=20,2,()1,2;ZFzz二2()ylL
14、l=()ly()yYXFFF0,0,1,02,1,2.yyeyy=27.设二维随机变量(，)XY在由1/,OJyxyx=和2xe=所形成的区域D上听从匀称分布，则(,)XY关于X的边缘密度在2x二处的值为.解：22111(O)ln2eeSdxxx=阴1(,)xy(,)fxy20D=其他()x(,)fXydyXf=120111,220xdyxex=其它.或12011(2)24Xfdy=28.设随机变量,XY相互独立且都听从区间0,1上的匀称分布,则DXlyx=yoe211(2)4Xf=(1/2)PXY+=.解：l0,1()xOXxf=其它l0,1()yOYyf二其它10,1(,)fXy()x()
15、yOXYxyff=其它111I=1()(,)fXydxdy22228S阴PXYS+=二阴29.设随机变量12,nXXX相互独立，且(1,),OpliXBp,1,2,in二,则lniiXX=.解：(1,)iXBp(,)BnPniiXX=30.设随机变量123,XXX相互独立，且有相同的概率分布(l)iPXp-,(0),1,2,3,IiPXqipq=+=,记121120,1,XXYXX+=+当取偶数，当取奇数232230,1,XXYXX+=+当取偶数，当取奇数则12ZYY二的概率分布为.0解：IlZPpqpq121223(1)(1,1)(1,1)PZPYYPXXXX=+=+=123123(1,0,
16、1)(0,1,0)PXXXPXXX=+=12322OXXX=pqpqpqpqpq+二+二独立(O)I(I)IPZpZqP二=二31.设X听从泊松分布.(1)若212EX=2IPXe=,则2EX二；(2)若，则(I)PX二.Ixyl12xy+=解：()0, 1, 2, !kP XKekk=(1) 2(l)l(0)1110!PXPXeee=2.=2222()DXEXEXEX=22246EX=+=+=(2)22212120(4)(3)0,3EX3=+=+=(I)IlPXee=32.设(,)Bnp,且X2,IEXDX=,贝IJ(I)PX=.解：(,)Bnp2XEXnp=111422DXnPqqPn=二
17、=04041431111()()2211(1)I=(O)(1)1=0()2,则a=；b=.216PXPXPXCC=33.设,Uab,且X2,+1/3EXDXb=解：,Uab242baXEXab=+=221()()42312aDXabba=13ab=34.设随机变量X的概率密度为221()fx,xxAex+=+,则A=,EX二,DX=解：222(1)12()(l)21122xdxxAedxAe+=22(1)12()211122XdXAedxA+二=IEX=,12DX三35.设X表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,则X的数学期望EX二.22解：(10,0.4)100
18、.4440.6=2.4XBEXnpDXnpq=22()2.416+18.4EXDXEX=+=36.设一次试验胜利的概率为P,现进行100次独立重复试验，当P二时，胜利次数的标准差的值最大，其最大值为.解：12p21100(1)100100(100)(=)252DXnPqPPppp=+二,DX有最大值为5.37.设X听从参数为的指数分布，且2(1)PXe=,则2EX=.解：10()OOxexFXX=2(1)1(1)1(I)PXPXFe=二21(l)2ee=L2111,24EXDX=,22111()442EXDXEX=+二+二38.设随机变量X的概率密度为，()fx,0,xaxbab=其他且22E
19、X=,则a=,b=.解:2222211()fXdx()222baxxdxbaba+=422344222211()()()()444bbaaxEXxfXdxxdxbababa=1(22222)24abab=+=+二解(1)(2)联立方程有：1,3ab-.39.设随机变量,XY同分布，其概率密度为22,01/,()fx,0,XX,则C=.二其他若(2)Y1ECX+二解：1132220022233XEXXdXEY=21(2)Y2(2)3ECXCEXEYC+=+二+二21(2)132CC+=40.一批产品的次品率为0.1,从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为，均方差为.解：设X表示所取产
20、品的次品数，则(5,0.DXB.50.1=0.5,0.45EXnPDXnPq=,453510010DX=41.某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为.解：设iX表示第i个人模到白球的个数，X表示10个人总共摸到白球数，则IOliiXX=012361101010iXP61812101010iEX=+二8101081OiEXEX=二42.有3个箱子，第i个箱子中有i个白球，4i个黑球(1,2,3)i二.今从每个箱子中都任取一球，以X表示取出的3个球中白球个数，则EX二,DX=.解：012362626664646
21、464XP3216(0)44464PX=二12132132326(1)44444444464PX=+=12112332326(2)44444444464PX=+=1236(3)44464PX326183642EX+=252696+23648XY的分布列为(1,DEX=2223185()888DXEXEX=二.43.设二维离散型随机变量(，)(,)P(l,0)(2,0)(2,1)0.40.2XYab若()0.8EXY二，a=，b=解：0.220.80.3EXYbb=+=0.4=10.40.2=0.Iabal+=44.设,XY独立，且均听从1,5N,若2(1)(1)DXaYEXaY+=+,贝!ja
22、=111EXaY+=解：2(1)(1)(I)ODXaYEXaYEXaY+=+=.11,OEXZaEYaYX+=+,lEZlDZ02aDYaa+=0,=DX=+.2令1=.(0,DZN222012221z.22zzEZedxzedz+=45.设随机变量X听从参数为的泊松分布，且已知(1)(2)1EXX=，贝I=解：EX22E(I)(2)(32)321XEXXEXEX=+=+=2222()p,Oxexdxdxexexex=+223212101+=+二二.46.设随机变量2,2UX,记1,1,1,2,0,1,RXkYkXk=则12Cov(,)YY=.解：12,2()x40Xxf=其它212111(1
23、,1)(0,1)(1)44PYYPXXPXdx=112011(1,0)(0,1)(01)44PYYPXXPXdx=0122111(0,0)(0,1)(0)2442PYYPXXPXdx=12(0,1)(0,l)0PYYPXX=.011130241411041411212jipp11101232121EY=+二201444EY=+二12111144EYY=二121212cov()YYEYYEYEY=Il11.84241,=47.设,XY是两个随机变量，且1/4,1/3XYDXDY=,则(3)YDX=.解：(3)Y(3)DY2cov(,3)XY96cov(,)DXDXDXDYXY=+=+991191
24、616144=3DY24XYDXDY=+二+三48,设1,2,1,4,0.6XYEXEYDX=,则2(2DEXY+=.解：(21)21Iexyexey+=+二,v(,)xyo.6xydxdy=COV(,)0.612=1.2XY=cov(,)0CY二，C常数(21)(2)2coV(2i),Idxydxdyxy+=+44cov(,)4441.23.22=DXDYXY=2+=+21)+=(21)(21)(2+3.214.2EXYDXYEXY+=+2=+.49.设随机变量X的数学期望为，方差为，则由切比雪夫不等式知(2)PX.解：2221(I2)44DXPX=YlY250.设随机变量12100,XXX
25、独立同分布，且0,10,iiEXDX=1,2,100i二,令100IllOOiiXX=,则10021()JiiEXX=.解1：OOiiEXXEXEX=11001()()100iiDXXDXXX=+111100199E()()100100iiiDXXXXX+=+22199()9910Oio100100=+22299()(ex)()OiiiExxxexx=100100221199()()10099010iiiEXXEXX=解2：设1100,XX为总体X的样本，则1002211()99iiSXX=为样本方差，于是2IOESDX=,即10021()1099990.iiEXX=51.设12,nXXX是总
26、体(，4)N的样本，X是样本均值，则当n时，有2()0.1EX2.解：二52.设12,nXXX是来自01分布：(1),(O)IPXpPXp=的样本，则EX二,DX二nXXn=liEXnEXn2ES=解：11,(l)iiiiEXpDXpqpp=211(1)IpDXnDXppnn=22i22i211111()1IniESEXnXnEXnEXnn=22(Inp)(l)lppnpppnn=+2244,()0.10.1440.()0,()OEXDXEXnnnnEXDXEXn=21(1)(1).IXnppnpppn=53.设总体12(),nPXXX为来自X的一个样本，则EX二,DX=.解：()iiXPEX
27、DXEXDXn=54.设总体12,UabXX,nXX为X的一个样本，则EX二,DX二.解：2(),Uab212abbaXEXDX=2XabEX+=2()12XbaDXn,=55.设总体2126(0,),NXX为来自X的一个样本，设22123456()()YXXXXXX=+,则当C=时，2(2).CY解:123456()()OEXXXEXXX+=+=2123456()()33iDXXXDXXXDX+=+=123123211()()1331DXXXDXXX+=+=123()(0,1)31XXXN+,456()(0,1)3XXXN+且独立213C=56.设1216,XXX是总体2(,)N的样本，X是
28、样本均值，2S是样本方差，若()0.95PXaS+=,则a=解：0.05()(1616)(15)0.95XPXaSPaPttS=二查t分布表0.05t4(15)1.750.4383.aa=57.设129,XXX是正态总体X的样本，记1126278911(),()63YXXXYXXX=+=+,92221271(),2()/,2iiSXYZYYS=则Z.解：设总体2(,)XN则2212(,)(,)623YNYN且12YY独立，122(0,1)YYN,而222(2)S.故12122222()(2)t22YYYYZSS=.58.设总体12,(O),nXUxxx为样本，则的一个矩估计为.解：221(2)
29、10,021232EXDXEXXdX=2222222()333EXDXEXDXa=+二=二其中2i211niaXn=59.设总体X的方差为1,依据来自X的容量为100的样本，测得样本均值为5,则X的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为.解：X不是正态总体，应用中心极限定理nXnEXXEXUn=XEXPUP=110(0,1)0.051iiN=/20.025()10.05/20.9751.96=使0.025()(11OlL96)0.951=EX的置信区间为11(1.96,1.96)(4.804,5,196)IOlOXX+=60.设由来自总体2(,0.9)N的容量为9的简洁随机样本其样本均值为5x二,则的置信度为0.95的置信区间是.解：/20.0255,0.9,9,10.95=0.05,1.96nu=故置信限为：/20.951.96=51.960.3=50.5883n=置信区间为(4.412,5.588)
