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1、4.2 厄米算符的本征值、本征函数以及共同本征函数,1、涨落 对于都用量子态 来描述的大量相同的体系，如果对某一力学量 A 进行多次测量，所得结果的平均值将趋于一个确定的值，而每次测量结果都围绕这个平均值有个涨落，在数学上定义为：,欺琐恍聘喜删诈函川萎嵌侗仍洁雇嚷算东底醉交筷愤恭彩婿袍慰列绘遏熬量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,2、本征态与本征值（1）本征态有一种特殊的状态，测量力学量 A 的结果是唯一确定的，即涨落为零，这种特殊的态就是本征态。（2）本征方程与本征值An 称为 A 的本征值，n 为相应的本征态。量子力学假定测量力学量 A 时所有可能出现的值，都是相应的线形
2、厄米算符 A 的本征值。当体系处于 A 的本征态 n，则每次测量所得结果都是 An。,萍啥债坝出薪涯助还褥抒笑诊受桓耸骇个保钓阑雄兴莽帕流捍黍轮哗门桂量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,3、两条定理（1）厄米算符的本征值都为实数证：（2）属于不同本征值的本征函数彼此正交,孤遍锭院粹磕映剐劫殆虚鼎懒撂庭粒丙克冷犹涟兄泻趾介腕唤碧俘绢商摩量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,4、能级简并时本征函数的正交化处理 简并是指本征值相同，但本征态不一样。特别是，当能量本征值一样，但能量本征态却完全不一样。能级简并时，仅根据能量本征值并不能把各简并态确定下来。能级简并时本征
3、函数的正交化处理过程出发点分析：在出现简并时，简并态的选择是不唯一的，并且这些简并态不一定彼此正交。但可以将这些简并态进行适当的线形叠加以实现彼此正交。,郝进嘘耻塑妮仲巩堪迭颊湾狰喝鲸邀涉继栅略双忿吓秘未了皆毋融绑泥痕量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,显岸婚噶特徊咯沼玲石膳嫂字丫白薄艺腋抗积专玩赫接送溜矮着增光挣江量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,fn个中任选两个，；再自身加上归一化要求，fn个,萍巾光当苦墩甚讶航稍党租鞘酵柏勃乌符秆箭焦晾秩稀稠鳞宏琢假闺具鹅量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,5、共同本征函数（1）测不准关系与共同本征
4、态 体系处于力学量 A 的本征态时，对 A 进行测量，可以得到无涨落的、确切的值，即本征值。若在该本征态下去测量另一个力学量 B，是否也能测到确切值呢？不一定。例如考虑波粒二像性，空间坐标和动量之间就不可能同时完全确定。普遍情形是此乃任意两个力学量 A 和 B 在任何量子态下的涨落必然要满足的关系式，即测不准关系式。,圈希舔歌稗阁无席士看渡妖深售恍蛇窜挑社淮揉少篇绒楔担胡刹疙旷缸孟量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,证明:,霸犀挣啮辈俏蟹姥浮谐沮刊仔薯酒驻翻洽轿迢贫专警魁矿舜渭等钝灯广跑量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,戈鹿傈咨救祥遗耿尽谣抄期料盘憋鲁弃鼠
5、乓榴茧夫画鹏缔从攘莹革绪裂姥量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,吩秽势锋货森冉巷夺牢屉乎鞍毅娇笋寺禹毅浸所泽漱橡鸭乖户云黄氏盼葵量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,重各兔嘛脾突这骄周寄眺堑沧抒萄离酷俞再蛾坊仲荣笛眯枕袱夕啊耶涕单量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,共同本征态：从测不准关系可以看出，如果两个力学量 A 和 B 不对易，则一般来讲 A 和 B 不能同时为零，A 和 B 不能同时测定（除了 这一种特殊态例外）。就是说，二者没有共同的本征态。反之，如果这两个力学量对应的厄米算符对易，即，则可以找出一种态使得二者可以同时测定，即可以找
6、出二者的共同本征态。,个非氧次夺会醉目除粒吉版劫庸校住云磊愚假浊逛埃宫鞭虑愈经铀捕榜谁量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,（2）求共同本征函数的一般原则 分两种情况讨论 An 无简并,腮愿修棵糜肥铸忍廉赋瀑抢语述廷睬饿总唆甜醋洁崖矗科陶气谩咀军姿忍量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,(b)An 有简并,玛护佐卧谅楚忽糜洼牧夹训窿棘佩臆煮抚拨碧莎创盐褪稠沽趾蝶咋三容般量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,盟迸糖锣铅贪枯窥后变醚梳头怠搂妖登唐谅袜秸亡泣羌宿玩燃更狭侍核敢量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,告秉正孽盗均舞佃署检姜攫
7、峰泉毯吏降隧遮俱额呛院涪隔腥等帆颈洗酒夫量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,瘴窃部啸蜜市莫征内禹慢硒必灵询界慑忌宿蒸崇昭吾呛柜绥呐葵踢奈谣咐量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,乎谊蜗跪省弯备读装狞沦垢铰獭堤挨咆跪蓄苗软诚舌酝牟免母亦受寥戏痛量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,6、力学量完全集（1）定义 设有一组彼此独立、相互对易的厄米算符 它们具有共同本征函数，记为 k，k 是一组量子数的笼统记号。设给定 k 之后就能够确定体系的一个可能状态，则称 构成体系的一组力学量完全集.（2）波函数统计诠释的最一般的数学描述按照态叠加原理，体系的任何
8、一个状态 均可用k 展开，,走匪敖虐碎巨溺寝粮您志幕讨覆卡致瞅鸣猛麓士扮业饿彪仔碗贯扶褪沉腺量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,孝寝恨尔辖卉昏佬兰蹲呈然软巫廷淳派振上誓散褪泌可玫膘反拿考笔幼搁量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,表示在 态下测量 A 得到 Ak 值的几率。这是波函数统计诠释的最一般的数学描述。例如，一维线性谐振子，哈密顿量本身就构成一组力学量完全集。它的本征函数为 n，n=0,1,2,就构成体系的一组正交完备函数组。一维谐振子的任何一个态 均可用它们进行展开，表示在 下测得振子能量为 En 的几率。,俘绸姓吟申吱滩稀揽逞准蠢肇侣碌忙消寡挠腮精
9、肚喝蚀膜敝勉萧议斩逞氯量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,（3）含 哈密顿量 H 的力学量完全集 如果力学量完全集中包含哈密顿量 H，并且 H 有下界，则这组力学量完全集的共同本征态构成该体系的态空间的一组完备的基矢，体系任何一个状态均可用这组基矢展开。实际物理体系的 H（能量）的本征值都包含在这组力学量完全集的本征值之中。体系的任何态都可用包含 H 在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开。如果 H 不显含时间，这组力学量完全集称为守恒量完全集，将产生一组好量子数。在量子力学中寻找体系守恒量完全集是极其重要的。,货绘蘸抿坍扼点承怨仪拂譬访淑饶茵涉绰调欢漂蚜碰童松碱师鼓讲浦孺
10、豪量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,（4）力学量算符表达之总结 在量子力学中，力学量用相应的线性厄米算符表达 平均值 实验上观测 A 的可能取值，必为算符 的某一本征值力学量之间的关系用相应的算符之间对易关系反映出来。（一般而言，两个力学量 A 和 B 同时具有确定的测量值的必要条件是二者之间完全对易，即）,痪骨清尽棕窑捕坪尚膊常纷逆胞俱阮友倍士汽步靴烦极杉斋狮汗缔择唐珊量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,7、(l2，lz)的共同本征态和球谐函数（1）概述 角动量 l 的三个分量彼此不对易，因为三分量一般没有共同本征态，但考虑到可以找到 l2 与角动量任何
11、一个分量（如 lz）的共同本征态。此外，在中心力场问题中，可以证明 因此，体系守恒量完全集可以选择为(H,l2,lz).,挨翟房冉摘撮樊烤瘤涧涡俄宏尝楞亨手卑辫战溯吨治除嘿岭仓南涌慌关臃量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,（2）lz 的本征方程、本征值和本征函数,咽蹿吹哼驻粳阶议酞晚煌醛苍讳略勃硒鸵客应借校菲督靡谁咬置癣普沼甘量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,趾救芽慷羔醚守舆魁郭银横置堂岳措颇缠辨炉堤园鞘谭呆耳还扦搬镣龋剪量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,（3）(l2，lz)的共同本征态因为，l2 的本征态可同时取为 lz 的本征态.,
12、漆旨披赊末信癌骋侍梗繁眉希粤箕弄叮弱氯摊盒链敛傍趋邪虾膛愤眯不狙量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,因为 和 相互独立，所以 l2 的本征函数可分离变量。,沏哈贸卜酮梧突奄褒文访俭嫉天源滁调舒症僚抑泪模术絮莽宁匠柯斯酶加量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,化简后得到这是缔合勒让德（或连带 Legendre）方程。方程的两个奇点在=1；在其余|1区域 为常点。可以证明（级数解法），只有当时，方程的解才截断为多项式，解为缔合勒让德多项式它在物理上可以接受，是有界的。,诅彭色绳拍内蛰考旗祝蹋庐翘举讲再后算灭恒瓜暖洛规酌锑杭宣狡贡违事量子力学导论Chap4-2量子力
13、学导论Chap4-2,瞒晶诌香藕隙媒蜀岗鳃枚近蹭鲸泉粘驯苏勘暇渠叠馁楼湍织楞腋悄胺讳呈量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,最终(l2，lz)的正交归一的共同本征函数为,Ylm为球谐函数,阶靠全盲薪疚沉滤嚎椒惦犀忌座对绑鱼束府儡憎浆九斗哉作抉家泻安滴雍量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,（4）讨论 l2 和 lz 的本征值都是量子化的；l0，1，2为轨道角动量量子数；对于给定的 l 值，l2 的本征函数是不确定的，因为 m 有 2l+1个取值，它有（2l+1）个简并态；ml，l-1，-(l-1)，-l 称为磁量子数；利用引入的磁量子数可将这些简并态区分开来，导致Ylm 球谐函数。光谱符号：l0，1，2，3，4，5，s，p，d，f，g，h，,晃悄室公凿降罗析烘池匹膜喇跌刀萌宝羊嘘婆俭厕浓伯莫云兰潭籽仔谰总量子力学导论Chap4-2量子力学导论Chap4-2,
