2019工业预测控制.docx

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1、工业预测控制电气自动化新技术丛书序言第6届电气自动化新技术丛书编辑委员会的话序前后第1章绪论11.1 预测控制的发展背景11.2 预测控制的变量选择21.3 工业预测控制的基本结构41.4 常用的数学知识61.4.1 确定性过程61.4.2 随机过程714.3最小二乘估计原理91.5工业预测控制的数学模型101.5.1 多变量系统模型111.5.2 动态模型与稳态模型1716本书内容编排18第2章状态估计与开环预测202.1 投影理论212.1.1 线性最小方差估计和投影222.1.2 新息序列和递推投影公式242. 2Kalman滤波器和预报器252.1.1 Kalman滤波器262.1.2

2、 KaIman预报器302.1.3 2.3时变系统、有色噪声和噪声相关情形322.3稳态Kalman滤波器与预报器362-4基于阶跃响应模型和Kalman滤波器的开环预测392. 4.1稳定型CV的开环预测403. 4.2积分型CV的开环预测43第3章稳态目标计算方法453.1 实时优化和外部目标463.2 稳态目标计算的经济优化和目标跟踪问题474. 2.1稳态目标计算的经济优化方法475. 2.2稳态目标计算的目标跟踪问题523.3 稳态目标计算的可行性判定与软约束调整533.3.1 可行性判定与软约束调整的加权方法543.3.2 3.2可行性判定与软约束调整的优先级方法573.3.3 软

3、约束调整与经济优化的折中623.4 线性与二次规划633. 4.1线性规划算法描述634. 4.2二次规划算法描述68第4章稳定过程的双层结构动态矩阵控制725. 1开环预测模块731.1.1 开环动态与稳态预测值741.1.2 开环预测误差764.2 稳态目标计算模块764. 2.1将约束统一为关于MV稳态增星的形式775. 2.2引入辅助变量和松弛变量.将约束统一为不含MV稳态增量的等式形式796. 2.3软约束的优先级排名和每个优先级约束的确定807. 2.4稳态目标计算的可行性阶段828. 2.5稳态目标计算的经济优化阶段：不含软约束情况849. 2.6稳态目标计算的经济优化阶段：含最

4、低优先级软约束情况854.3 动态控制模块864.4 动态矩阵控制的等价形式954.4.1 无约束动态矩阵控制95第5章含积分输出的双层结构动态矩阵控制1045.1 开环预测模块1055.1.1 被控系统数学模型1055.1.2 稳定型CV部分1065.1.3 积分型CV部分1075.2 稳态目标计算问题描述1105.2.1稳定型CV部分的稳态预测模型HO5.2.2积分型CV部分的稳态模型与约束Ill5.3多优先级稳态目标计算算法HS5.3.1将约束统一表达为关于MV稳态增量的形式1155.3.2软约束的优先级排名以及每个优先级约束的确定1185.3.3稳态目标计算的可行性阶段1185.3.4

5、稳态目标计算的经济优化阶段：不含软约束情况1215.3.5稳态目标计算的经济优化阶段：含最低优先级软约束情况1225.4动态控制模块1225 .4.1动态控制的设定值124XI6 .4.2动态控制算法1255. 5仿真算例127第6章基于状态空间模型的双层结构预测控制1396. 1干扰模型与可检测性1391.1.1 不可测扰动模型1401.1.2 增广模型的可检测性1411.1.3 积分型输出的扰动模型1446.2 开环预测模块1466.3 稳态目标计算模块1486.3.1将约束统一表达为关于控制摄动稳态增量的形式1496.3.2稳态目标计算的可行性阶段1516.3.3稳态目标计算的经济优化阶

6、段：不含软约束情况1536.4 动态控制模块1546.5 其他备选方案1616.5.1消除稳态工作点1616.5.2将被控输出作为状态1636.5.3将操作变量作为状态1666.6能控性、能观性、可镇定性、可检测性167第7章输入输出模型参数辨识1707.1 工业过程的测试1707.1.1 1.1测试信号1707.1.2 过程测试与数据采集1767.1.3 数据预处理17772最小二乘参数辨识的基本原理1787.3非参数化输入输出模型辨识1817. 3.1待辨识模型的描述1817.3.2数据处理1837.3.3模型辨识方法18574仿真研究195第8章状态空间模型的子空间辨识法1998. 1子

7、空间辨识常用的投影与矩阵分解理论1998. 1.1投影理论1998. 1.2QR分解和SVD分解2018.2子空间辨识基本原理2038.2.1问题描述2038.2.2子空间矩阵方程2058.2,3子空间辨识的基本思想2078.3几种典型的开环子空间辨识算法2098.3.2N4SID方法2118.3.3PO-MOESP法2118.4开环辨识实验与仿真研究2128. 4.1Shell重油分储塔模型2128.4.3燃料电池模型2158.4.4连续搅拌反应釜模型2178.4.5三容水箱系统实验2198.5闭环子空间辨识223第9章双层结构预测控制的无静差特性2289. 1基于状态空间模型的目标跟踪问题

8、2289 .2基于状态空间模型的动态控制和无静差特性23110 3双层结构动态矩阵控制的无静差特性2389. 4无静差控制的基础即动态稳定性的研究现状239第10章双层结构预测控制的非线性和自由度变换24310.1 非线性变换方法24310.2 变自由度的双层结构预测控制24710.3 氯乙烯分储塔应用实例248第1章绪论一种控制理论，如果符合了数学和服务应用的双重标准，就会有发展价值。模型预测控制(ModeIPrediCtiVeCOntr“MPC),简称预测控制，是约束多变量控制的代表性方法，是流程过程先进控制中最值得信赖的方法。滚动优化策略是MPC与预先计算控制律的最优控制的主要区别。这里

9、的滚动优化，是指在每个控制周期都进行优化，这样就能将优化结果建立在过程实际、实时工况的基础上。滚动优化是容易想到的，就像走路和下棋中要滚动优化一样，是一种比较自然的做法，但只有20世纪70年代计算机在过程控制中得到推广后，在过程控制中具体实现滚动优化才成为现实。MPC在过程控制中的影响很大，英国学者J.M.Maciejowski在其具有很大影响力的专著PredictiveControlwithCon-Straints(PrenticeHall,2002)中，开篇点题地指出：对工业控制工程产生重大影响的先进控制技术唯有预测控制(原文：Theonlyadvancedcontrolmethodolo

10、gywhichhasmadeasignificantimpactonindustrialcontrolengineeringispredictiveCOntrOL”;见其Chapter1,Introduction1.1,Motivation)o对已有的MPC1是应该区分理论研究和工程算法的(在第9章将进一步称为“MPC中的数学问题”和“工业MPC算法有一段话，绝对不能概括所有的MPC,但确为工业MPC的核心价值观：”在每个采样时刻，基于被控过程的实际测量值，优化从当前时刻开始到未来某个时刻的控制作用序列，使得未来一段时间的被控输出跟踪其设定值的偏差最小；仅实施控制作用序列中的第一个值，下个时刻

11、基于更新的测量值进行同样的优化”。近40年来，不管是在工业实践上，还是在理论研究上，MPC都得到了很大的发展，在有些问题的研究上已经成熟。1. 1预测控制的发展背景寻求一种能利用计算机的计算能力有效处理系统约束的优化控制算法促成了预测控制的产生和发展.可以这么说，预测控制起源于工业应用，起源于解决实际控制问题，并且是在工业界首先有成功应用后才有相应的理论研究的。因此沿着已有论文的出版顺序并不能完全了解模型预测控制早期发展的轨迹：一见参考文献56本书中所涉及的工业过程主要是指流程工业过程，如炼油、化工、冶金、造纸、水泥等工业生产过程，MPC通常被应用于这些工业过程的某些生产单元。MPC也称滚动时

12、域控制(ReCedingHOriZOnCOntrol,RHC),是一类基于模型的控制算法的总称。预测控制在过去近40年中被成功地应用于过程控制领域，已经成为过程工业解决有约束多变量控制问题的标准方法。预测控制可以处理各种约束，并把各种要求以软约束和目标函数等形式结合到控制中加以考虑，它通过提高过程控制的动态性能，减少过程变量的波动幅度.经常将生产过程推进至关键约束条件（质量或经济上的）边界上运行，实现卡边控制。目前，在工程应用中使用最为广泛的是基于输入输出模型结构的MPC算法（模型形式包括参数模型和非参数模型），其中最为成功的是美国AspenTechnology公司的DMCplus技术。在工业

13、优化控制技术中，预测控制通常位于体系结构的中间层。这有些类似于一所大学，具有学校、学院、系所等从上而下的管理结构，预测控制相当于学院级。预测控制经常被称为多变量协调控制。预测控制是实现上级优化结果的有效手段，原因在于其处理约束的能力；如果采用PID等底层控制，则难以处理大量约束，尤其是“卡边”的约束。对一个实际被控过程，如果不采用预测控制等先进控制手段，则可能存在前馈、串级、均匀、比值、分程、超前滞后补偿、运算（加减乘除）、选择逻辑（高选、低选）等各种复杂的组态；而采用预测控制后，这些复杂的组态将大大减少。预测控制基于被控对象的模型，采用数学规划方法，可以“统一”地代替复杂组态的功能，并且能获

14、得更好的效果。总之，预测控制的主要发展背景（或称主要应用领域、主要优势领域）就是流程过程先进控制和约束多变量控制。1.2 预测控制的变量选择一般工业过程的输入输出结构如图1-1所示。工业过程的输入通常可分为两类，一类是可控输入（控制输入），也称为操作变量（ManiPUlatedVariable,MV）;另一类是不可控输入，即干扰变量（DiStUrbanCeVariable.DV）,包含可测干扰和不可测干扰。动态控制的目的就是克服DV的影响，并使被控变量（ContrOlIedVar-iabletCV）具有期望的动态特性。对于可测DV,在其到CV的模型已知的前提下即可通过前馈加以补偿，故可测DV有

15、时也称为前馈变量（FeedForwardvariable,FF）o但是，对于不可测DV,只有其作用到被控过程并反映出来后，才能通过反馈方式抑制其影响。变量选择就是确定MV,DV和CVo典型的MV包括回流流量、再沸器流量或热负荷、压缩机转速等。MV通常为常规底层控制回路（PID为主）的设定值，如果过程动态过于缓慢，则可使用阀位作为MV,但要考虑阀的非线性问题。MV的数量受限于实际系统的可自动调节的阀门等执行机构的数量。典型的DV包括进料流量、进料温度、进料组分等。要尽量将所有的可测DV都包含在控制器设计中，即便它们在另一单元或DCS系统。输入，MV 检入，DV图1-1工业过程的输入输出结构典型的

16、CV包括流量、液位、温度、压力、成分等。对同一个变量，其真实值可以作为CV1而其PID设定值可以作为MV1该PlD对应的阀门开度也可以作为CV。MPC中某些CV可能没有跟踪设定值的要求，只要处于一定的范围内即可。CV分可测与不可测两种，本书仅考虑可测CV1不可测CV的处理可能涉及软测量等技术。通常.CV的个数不等于MV0若系统进入稳态后，对输入做一阶跃变化，某CV在一段时间后重新进入到新的稳态，则称此CV为稳定(Stable)CV0若系统进入稳态后，对输入做一阶跃变化，某CV经过一段时间后保持匀速上升或匀速下降，则称此CV为斜坡(Ramp)变量或者积分CV。在MPC的工程实现中，一般可设定积分

17、CV与所有输入之间呈现积分特性。如果一个变量不受被控过程中其他变量的影响，则称其为独立变量(IndependentVariable,IndepV),反之称为依赖变量(DependentVariable,DepV)0故IndePV的任何改变都来自被控过程之外，如由控制器改变MV、人扳动阀门等。MV和DV都是IndepVt而CV一定是DepVoIndepV不限于MV和DV1DepV也不限于CV0不可能所有的IndepV都作为MV和DV,更不可能所有的DepV都作为CV。对一个实际工业过程，MVxDV.CV的选择要兼顾操作的平稳性、安全性及经济效益的优化等,故是一个复杂的问题，就像医生诊断病情一样，

18、不可能有统一的定律。以一个分镭塔顶温度、回流流量组成的环节为例。可以选择回流液阀门开度作为MV,而回流流量和塔顶温度为CV0如果采用了PID控制回流流量，则可以选择回流流量PID的设定值作为MV1而回流流量和塔顶温度及阀门开度都可作为CV。如果采用了串级PID控制塔顶温度，温度PlD为主回路、流量PID为副回路，则可以选择塔顶温度PiD的设定值为MV1而回流流量和塔顶温度及阀门开度都可作为CVo这些就像医生采用了不同的治疗方案一样，药方也会随之不同。在具体的预测控制工程实现中，移除一些原有的组态、增加一些原来没有的底层控制组态、重新整定PID控制回路等，都是可能需要做的工作。这些工作的主要作用

19、是使预测控制的被控系统呈现更“容易控制”的动态特性（如线性特性）。这些工作与控制算法的功能（是否有积分处理、是否有非线性变换）、模型辨识方法、控制结构选择、具体工艺流程（响应速度、安全性）等都有关系，是个无限可延伸探讨的话题。对于具体的系统模型，输入通常指IndePV,输出通常指DepV,比如：多变量系统指多于一个IndepV和/或多于一个DepV的系统；多入多出系统表示多于一个IndePV、多于一个DepV的系统。1.3 工业预测控制的基本结构MPC的核心技术价值是以通过模型对工业过程进行认知达到降低被控系统输出方差为主要目的，从而使系统有能力向效益约束边界靠拢（即卡边操作），实现生产系统综

20、合效益的增加。早先的MPC是一种单纯意义上的控制算法，只能实现输出方差的降低，而卡边操作（即MPC的设定点选取）通常由工程技术人员根据经验现场调节。工程技术人员经验水平的差异，导致MPC项目实施良莠不齐。近年来,随着预测控制技术与理论的逐步完善，在实际应用中，预测控制多以双层结构出现,即在常规的控制功能之上增加了一层稳态优化功能稳态优化最主要的功能就是替代了工程技术人员的经验进行精确地实现设定点的自动寻优：一见参考文献96本书的主旨，是对双层结构MPC（Double-layeredMPC;见参考文献口，8.12,15,18,23,26,30,32,33,34,35,38,39,41,42,51

21、,53,55,57,58,61,70,72,73,75,76,80,87,90,91,92,94,95,97等）进行详细的论述。双层结构MPC是工业MPC中从20世纪90年代开始的主流技术，由于其具有一个基于稳态模型的设定值优化和一个基于动态控制模型的设定值跟踪（设定值优化的完成先于设定值跟踪），故称为双层。在预测控制中，先于设定值跟踪而进行设定值优化的思想，可以追溯到1980年（见参考文献3刀），而在整个控制理论中产生双层的思想必然是根深蒂固的事情（比如参考文献69,89）o所以，关键是如何将这种思想系统化地实现。MPC在具体实现中，往往作为实现其顶层优化器优化结果的工具。这个顶层优化器通常

22、称为实时优化（Real-TimeOptimization.RTO）oRTO通常采用非线性稳态模型，优化周期为小时级、不固定；双层结构MPC基于控制器所用模型，在设定值优化和跟踪中分别取其稳态和动态形式,控制周期为分钟级、常固定；双层结构MPC输出的结果，是底层以PlD为主的控制回路的设定值，这些底层回路的控制周期都是秒级的。如图1-2所示为由“RT。+双层结构MPC+PID+被控对象”组成的系统。双层结构MPC是指由稳态目标计算（完成基于稳态模型的设定值优化）和动态控制（完成基于动态控制模型的设定值跟踪）两个模块组成的MPC。图1-2中预测模块（也称开环预测模块）是从稳态目标计算和动态控制两个

23、模块中抽取的，完成开环稳态和开环动态预测值的计算、估计问题。单独设置预测模块使得双层结构MPC更清晰,也能使其他两个模块的描述更简洁。全局优化（H级）多变量 约束控制 （分钟级）实时优化（RrO）同/吁化实时优化（RTO）（小时级） 八 倒测模块双层结构fti测控制全流程优化(PlanLwideOptimization)如此看来，由“RTO+双层结构MPC+PID+被控对象”组成的系统，是一个多周期、多目标、包含各层次模型、优化的复杂系统（这个问题在第9章结尾处还要讨论），在本书中称为递阶结构预测控制系统。工厂乃至车间的一体化管理与控制要求处理一类新型的系统。这类系统具有分层递阶的结构C下层的

24、动态系统的控制与上层近于运筹调度的系统相结合，这类复杂的大规模优化与控制，不仅有广阔的应用领域，而且其理论至今基本上没有解决,见参考文献67递阶结构预测控制系统是一类重要的、其理论问题远未解决的系统。本书的附加目标是通过还原实际应用的MPC算法，推进对递阶结构预测控制理论的研究。采用多周期、多目标、包含各层次模型、优化的递阶结构控制，是一个逐渐形成的理念，但其非常符合管理上的常规模式，就像一所大学有校级、学院级、系级管理结构，并最终落实到教师的具体执行一样。这种自上而下的结构有多种背景，如此看来，研究递阶结构预测控制系统可能还有未预见的价值。注解Ll尽管双层结构MPC有很多的应用、其算法具有多

25、样性并且较成熟，但其稳定性、可行性等理论研究有本质的难度。MPC中，稳定性、可行性等理论研究成果丰富，甚至是渐近成熟的，主要是针对单层结构（或者初步扩展的）MPC的研究，对此近年来有一些MPC的综述性论文（见参考文献28,29,64,86）进行了深刻的总结，有很大的借鉴意义。早在20世纪90年代初，有学者评价（见参考文献3）之前那些很难研究稳定性的、主要与工业MPC有关的算法为“Playinggames”。这种观点无所谓对错，但与其说rtPlayinggames,的MPC很有创造性，不如说其更能体现人的思维的直观性，至少其理论深度很不够一尽管逻辑足够复杂。这样，摆在MPC研究者前面的路可以有三

26、条：使那些实用的MPC不再“Playinggames”；使那些漂亮的理论实用化；将漂亮的理论和“Playinggamesw融合。1.4 常用的数学知识本节特别服务于需要对本书内容进行精细研究的读者。令V（k）=VkeRn表示变量V在第k个采样时刻的值，视具体情况采用Vk或者v（k）,只要不引起混淆即可。令v（k）kZ表示数据点列，其中Z表示整数集，可限制kNO。令VkkZvGZ表示点集，k既可以表示采样时刻，也可以仅表示序号（如：向量的第k个分量），但对后者一般k二1。本书对过程、信号与系统的阐述，同时涉及随机和确定两种情况。当阐述随机过程、信号与系统时，确定性过程、信号与系统作为特殊情况并不

27、影响推导结果。如果过程（信号、系统）的变化具有明确的规律性，则称为确定性过程（信号、系统）。多数时候过程（信号、系统）的变化具有偶然性，人们无法预知下一时刻将会发生什么情况，则称其为随机过程（信号、系统）。针对具体的问题，有时将信号与系统分解成“确定性的”和“随机的”两个部分。数据点列v（k）kwz在随机的情况下称为随机序列。1.5 .1确定性过程本小节部分内容参考了参考文献88O噂4IVji=LL+1,，NJMvl.vl+1,vneFT表示门维实向量空间中的向量组，其中，Vi可以是行向量或者列向量。所谓由n维实向量组V，张成的空间，记为spanU是指包含所有Vna、（VaiR）的n维实空间的

28、子空间。对一个矩阵XRmn其行空间i=L是指由X的行向量张成的空间，列空间是指由X的列向量张成的空间，故行空间是n维实空间的子空间，列空间是m维实空间的子空间。当X行满秩时，列空间等于R巾；当X列满秩时，行空间等于Rl由于一个矩阵X6RmXn总可以表示一个m维实空间的子空间和一个n维实空间的子空间，因此X总是某些子空间的表示矩阵。一个子空间的表示矩阵不是唯一的，但是所有表示矩阵在表示该子空间的意义下应是等价的。对n维实空间的两个列向量Vi,vj,称仝vVj为Vi与Vj的内积；如果=0.则称与VJ正交（或者垂直），记为*_LVj。相互正交的非零向量必是线性无关（或线性独立）的。对n维实空间的两个

29、子空间X,Y如果X的任一向量与Y的任一向量的内积都为零（如针对行向量的情况，XY=0）.则称X与Y正交（或垂直），记为X，Y;X的正交补空间，记为XL是指所有与X正交的向量张成的空间。如果X是列空间的表示矩阵，则（XL）TX=0、Xt（X-l）=O0如果X是行空间的表示矩阵，贝J（XL）XT=0、X（X-l）t=0o一个n维实向量V在n维实空间的子空间X上的投影，记为v,是指X上距离V最近的点，即XVdrgminXeXiIV-XIl,其中符号Il-表示EUdidean范数（向量元素二次方和的开方值）。由于V-XV与X上的任一向量都正交，即（V-V）IX,这里的投影也经常称为正交投影。一个空间在

30、另一个空间上的投影的定义是以上投影定义的推广，将在子空间辨识一章描述。对任意XWRmXn（mNn,XTX可逆），XtA（XTX）TXT称为X的左伪逆。对任意XWRmXn（mMn,XXT可逆），XtAXT（XXT）T称为X的右伪逆。左伪逆和右伪逆统称为Moore-Penrose伪逆。分块矩阵求逆公式：如果A、B、A仝A-DB7C均为适维非奇异矩阵，则jADIjI=,A-1-IDB-*1（1-1）ILCBJjL-B,C-,B,+B-,C-,DB,J奇异值分解（SingUlarValueDecomposition.SVD）:对任意实矩阵A1总可以表示为A=QVR,其中，Q,R为正交方阵（QQ=I、R

31、TR=I）、V为与A同样维数的对角矩阵。V的对角线元素为奇异值，从左上开始向右下逐渐减小。1.4.2随机过程本小节部分内容参考了参考文献60o随机过程的两个最基本的数字特征是均值和自相关函数。如果一个随机过程的统计性质不随时间改变,则称它为平稳随机过程。在实际应用中，往往对“统计性质”的了解局限到均值和自相关函数这两个数字特征上，这意味着放松了对于平稳性的要求，从而提出了“宽平稳随机过程”的概念。本书的平稳随机过程都是指宽平稳随机过程。对一个平稳随机过程，均值和自相关函数有“一个样本集合的平均值”和“很长一段时间的平均值”之分。如果这两种平均值是相等的，则称该平稳随机过程为各态历经的。本书后面

32、讨论的随机过程都是指各态历经的平稳随机过程。对各态历经的平稳随机过程，标量点列lv(k)kNO的均值和自相关函数可计算为vaEv(k)4%v(k)八;L-rv()4Ev(k)v(k+)公Iim9-11v(k)v(k+)(1-3)L-8L-2|+Ik=E如果V为向量，则其不同分量vi和Vj的互相关函数可计算由Tlr()仝Ev(k)V(k+)仝Iimv(k)v(k+)ViijlL-21k=llij(1-4)与以上概念对应，方差函数、协方差函数和互协方差函数定义为(1-5)(1-6)仝E(v(k)-)2仝Iim(v(k)-)vvjL+1k=ovCV(T)仝E(v(k)-v)(v(k+)-v)1L-L

33、lL-2T|+1kT|(v(k)-v)(v(k+)-cv.v,()=E(vi(k)-v.)(vlii+)-v.)仝Iim(v(k)-)(V(k+)-)(1-7)1.L-2+1k=nVijVj若CVT(T)=OV(-,),则称片(k)与(k)互不相关(或不相关)。若%=0或者Pg=。，则5,Vj(T)=%,vj()0当L有限时，得到相应的样本估计结果。比如：1.vEv(k)4rov(k)(1-8)c()仝(v(k)-)(v(k+)-),0(1-9)ZL-+1k=0iVijVj特别地，v0)=Ly,其中V”Vi(O)-1,Vi,Vi(L)-v.,因此若C=Vj(O)=O,则称vNk)-,j和Vj(

34、k)正交(或者垂直)，记为(k)-i)-Lvj(k)同理，vi(k)(Vj(k)-vpo考虑各态历经的平稳随机过程,对n维实空间中的两个点列(v(k)和w(k),其中v(k)和w(k)都是列向量，定义互协方差阵Cvw()4(v(k)-v)(w(k+)-w)jCv1.w,()Cv.w)-CVMT)Il1Cv2.w,()Cv2,W2()-：I(1-10)I：,cv11-w11()IlL()-cvn,wn,1()cvw()1JvwIn1vnwn如果CVW(T)=0，(-,),则称v(k)和w(k)不相关，这是前面不相关定义的推广。相应地，G(T)定义为v(k)的协方差阵；CV仝品(0)定义为v(k)

35、的方差阵；CM仝Ca(O)定义为v(k)和w(k)的协方差阵。这些矩阵的命名是按照对角线元素的。特别地，Cv.w(0)=lvwt其中V=v(0),v(1),-,V(L).W=w(0),w(1),w(L)1因此若CVW=0，则称v(k)-v和w(k)正交(或者垂直)，记作(v(k)-v)_Lw(k)同理，v(k)(w(k)-w)1并称山为v(k)在w(k)上的投影,记为v=proj(v(k)w(k)o确定性过程的正交、垂直、投影的概念与随机过程的相应概念是一致的。此外，在模型辨识或对辨识结果进行分析时，很多情况下都会用到平均功率谱密度的概念。某个信号在某个频率处的平均功率谱密度表示该频率的能量的

36、“无限时间平均”，简称谱密度。谱密度函数是谱密度与频率的关系方程。令v(k)为一平稳随机过程，则其谱密度函数v()与自相关函数rv()构成了一组傅里叶变换对.即8fv()=rv()ei=(1-11)Ir(T)=v()ekd称为Wiener-Khintchine公式，其中为频率。令W(k)为另一平稳随机过程，定义W(k)与V(k)的互谱密度为8册w(3)=:rvw()e-i(1-12)k43最小二乘估计原理最小二乘估计(LeastSquareEstimation)是一种经典的估计方法，最早的应用可以追溯到18世纪，大约在1795年，由高斯(K.F.Gauss)在他著名的星体运动轨道预报研究工作中

37、提出。最小二乘估计的基本原理是让实际观测值与基于估计模型的预测值之间的偏差的二次方和最小，由此得名“最小二乘”。最小二乘估计原理的启发性例子和算法如下所述。例1.1对一个未知长度为的物体进行N次测量，设每次测量物体长度为h，i=1,，N,求真实物体长度8的估值。设每次测量误差为&，则有关系Ii=+i,i=b,N选择的估值使测量误差二次方和泰小化，即J=f=I1-）2i=1i=1置,INj=-22h-三O则有的最小二乘估计为工NIi/是N次测量结果的算术平均值,与常识是Ni=一致的。最小二乘估计在随机过程框架下为最小方差估计。1.5工业预测控制的数学模型为了实现工业过程的动态优化控制，需要建立工

38、业过程的相对精确的数学模型直接的方法是研究工业过程的机理（白箱，VVhitebOX）模型，但这非常困难，因为大多数工业过程的机理都很复杂。如果只关心过程的外特性，即把过程看作是黑箱（blackbox）,根据过程的输入输出数据信息，辨识得到等价的外特性模型则相对容易得多（见图1-3）o正因为如此，大多数的MPC控制策略均通过辨识方法得到工业过程的数学模型，将之作为控制器的核心部件内置于控制器中。MPC是一种复杂工业过程控制和优化的有效手段，但前提是要得到相对准确的工业过程数学模型。获取工业过程的数学模型是MPC实施过程中最困难的阶段。实际的工业过程都是非线性的，线性是相对的。常规情况下，生产过程

39、运行在系统的稳态工作点附近，但这些稳态工作点并不是随意选取的，而是满足系统稳态关系条件（即稳态模型）的点的集合，该点集可形成平衡面。并非所有的非线性系统都存在平衡面，但对于大多数的工业生产过程，平衡面是存在的。平衡面中的每一个点理论上都可以作为系统的平衡点。但在实际生产过程中，生产的目标是使经济效益最大化，而且每个变量都有期望的约束条件，这时运用优化理论可以得到最佳的平衡点。作为最有效的多变量控制手段，MPC的作用就是使多变量控制系统运行在最佳的平衡点上。对于流程工业自动化，大多数的生产过程在平衡点附近可以看作是线性的，并可以按照线性系统的建模与控制方法处理，但某些生产过程的非线性非常强，这时

40、线性系统的理论则不适宜，应采用非线性建模与控制方法1.5.1 多变量系统模型MPC是一种基于优化的控制策略，能够非常自然地处理约束和多变量（Multivariable）控制问题。多变量工业过程是指被控过程包含多个输入变量和/或多个输出变量。流程工业的控制对象通常是多变量过程，输入与输出之间的关系不是一对一的。这里，一个容易忽略的事实是：对同一个过程，取多一些变量与取少一些变量相比，前者可能更容易实现控制器，满足控制要求。假使一个系统应该具有10个输入10个输出，则人为取5个输入时，可能或者造成自由度降低，或者供前馈的信息减少；而人为取5个输出进行优化，则未必能够反映对另外5个输出的要求。假设要

41、建立水、空气污染程度（输出）和工业发展状况（输入）之间的关系模型，则同时考虑相邻几个地区的模型可能更好些，毕竟水和空气是流通的；也许加入风向、风速和降雨量等作为干扰变量，更科学些。在这个关于污染的例子中,如果考虑的因素不够，甚至难以得到有效的模型。所以，从科学性的角度看，不能担心变量多。模型预测控制中，使用最多的模型是线性经验模型38,简称线性模型。线性模型大致可以分为两大类：输入输出模型和状态空间模型；或者基于另外一种分类方法：参数化模型和非参数化模型。状态空间模型属于参数化模型，而输入输出模型包括：非参数化的输入输出模型、输入输出参数化模型。下面以离散时间模型为例,给出几种常用的模型形式。

42、1 .状态空间模型在理论上研究成果最丰富的，恐怕要属状态空间模型了。对线性时不变离散时间系统，其状态空间方程为尸Xk1=AU（k+BUk+k（1.13）lYk=C字k+D蜘+品其中，vx=x-xt,Uu=u-ueq.Vy=y-y,eq.%,yeJ为x,u,y）的稳态工作点（平衡点）；UkWRnrycRn和XkRfl分别为过程的输入（包括MV和DV）、输出和状态；A、B、C、D为系统参数矩阵；小ERw为零均值过程噪声；kRn/为零均值量测噪声（关于噪声的各种名字因具体场合而不同，但通常无本质区别）且需足Ep=I-QSi0,K=（1.P=q（1-14）其中，KPq为Kronecker符号。这表明k

43、和k都是白噪声。考虑如下的状态空间方程(也称为积分状态空间方程)：(1-15)其他符号的意义以及(1-16)k+-AW+Bek+与Cyk=CrXk+DUUk+其中，=I-ZT为差分算子即Ax(k)=(k)-(k-1)lr,(k)的性质同前。方程(1-15)可以变换为(xk4,1=Axk+Bu+11k*yk=Ck+Dk+&这种形式的好处是利用u.y(k)的增量数据进行辨识时，不会加强噪声的不利影响。采用增量数据进行辨识的好处是不需要知道U,y(k)的稳态工作点。省略和T,将式(173)和式(1-16)统一表示为fxk+l=Axk+Buk+kIyk=CXk+DUk+&该模型与如下模型具有同样的一般

44、性：(xk+1=Axk+Buk+EkIyk=CXk+DUk+F&其中，E、F为系统参数矩阵。也就是说，式(1-18)并非是比式(1-17)更一般的描述，因为如果11k和&是白噪声，则k仝Erlk和Wk仝EG也是白噪声。模型(1-17)与如下模型具有同样的一般性：因为Ek = EI Xk + 1 = Axk + BUk + E Iyk = Cxk + Duk + Fk0 PI Ef)k 和卜& = 0 F(1-19)k 10Fk,本质上式(1-18)和式(1-19)具有同样的形式。由第2章的讨论可知，即使要求11k和&不相关,即要求式(1-14)中S=0,对线性状态空间模型的描述而言也没有带来更

45、多的特殊性。2 .ARX模型ARX(AutoRegressionwithexogenousinput)模型是一种输入输出参数化模型O与非参数化模型相比，参数化模型的结构是紧凑的，且可以准确地表示线性系统。直接省略y.U前的U或A,则ARX模型的数学表达式为A(q-,)y(k)=B(q-,)u(k)+(k)(1-20)其中,UWRnU、yR%和WeRny分别为输入(即eXogeneousinput)、输出和零均值过程噪声；A.B(q7)为相应的多项式矩阵。当y.u前省略的是A时，式(1-20)也称为ARIX(AutoRegressionIntegralwithexogenousinput)模型。

46、注意U可能包括MV和DV,DV包括可测干扰和不可测干扰。ARX模型具有以下特点：(1)可以直接表示稳定、不稳定动态过程，较之下面介绍的非参数化模型适用范围更加广泛。(2)准确度与阶次有关，在模型辨识过程中需要指定模型的阶次。当Hk)=A(qT)e(k)、且A(qp可逆时，得到(1-21)y(k)=A(q,)1B(q1)u(k)+e(k)这个模型被称作OE(OutputEquation)模型。记A(q1)=1+A1q,+Aq-nB(q,)=B0+B1q-,+Bmqm其中，(AltAn)的维数为nyXny,B0,B11，Bm)的维数为nyXn,皆为常数矩阵。当E(k)=0且A(q-)可逆时，得到从U到y的矩阵分式描述，即y(k)=G(q,)