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1、第四章随机变量的数字特征第01讲离散型、连续型随机变量的数学期望第一节随机变量的数学期望1.1离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望(定义1)：设离散型随机变量X的分布律为P(X=Xk=Pk,k=l,2,.若级数ZXm绝对收敛，则称级kl数ZXkPk的和为离散型随机变量X的数学期望(简称期望或均值)，记作E(X),即k-lE(X)=SXJV【例题计算题】甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为X,Y,其分布律分别为X:23P0.40.10.5Y123P0.10.60.3试比较甲乙两射手的技术.【思考】X与Y属于什么类型的随机变量？比较甲乙两射手的技术是什么意思？正确答案分析题意，可知是
2、通过求解X与Y的数学期望来比较两位射手的技术(数学期望是随机变量取值的平均值)分别计算X和Y的数学期望，有E(X)=l0.4+20.l30.5=2.1E(Y)=l0.l+20.630.3=2.2由于E(Y)E(X),所以射手乙的技术更好.几种重要的离散型随机变量的数学期望(1)0-1分布分布律：PX=1)=p,PX=O=1p,Opl数学期望：E(X)=lp+0(l-p)=p.(2)二项分布设随机变量XB(n,P),即有分布律为：pli=P(X=k)=Cknpk(l-p)n-k,k=0,1,2.,n,0pl数学期望:E(X)=XR=ck-py-k=Xkipk-pk1uiKen-KyH噂黄%r”p
3、广=噂C缉gp广Ir-*=nPcLtPi(1-pk,=11ppC-p)b=nPUO(3)泊松分布设随机变量X-P(N),则其分布律为：pk=PX=k)=e-iK?,k=0,1,2,数学期望为：E(X)=SXj)LSkAeYJIb-OK!&Z4M=e，=e-V*=eJ=JLS(k-l)i【例题计算题】设随机变量XB(n,0.08),已知E(X)=1.2,求参数n.正确答案X服从二项分布，可知E(X)=np,又题目给出E(X)=1.2,则有np=n0.08=1.2,求得n=1.2/0.08=15.定理1设X为离散型随机变量，分布律为PX=xJ=Pk,k=l,2,.令=g(X),若级数Eg(XIjP
4、k绝对收敛，则=g(X)的数学期望存在，并且有E(Y)=EgQC)=g(xk)pk【例题填空题】设随机变量X的分布律为X-1012P0.10.20.30.4令Y=2X+1,则E(Y)=.正确答案。手写板图示E(Y)=(-1)0.l+l0.2+3O.3+50.4=-0.1+0.2+0.9+2=3【例题填空题】设离散型随机变量X的分布律为X123P0.10.20.7则E(X2)=I正确答案手写板图示E(X2)=l0.l+40.2*0.7=0.1-K).8-.3=7.21.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望(定义2)：逡连续型随机变量X的概率密度为f(X),若广义积分匚l(x)Ch
5、-绝对收敛，则称该广义积分的值为该连续型随机变量X的数学期望(简称为期望或均值)，记为E(X),即EGV)=J【例题计算题】.2l.X、csmX.设随机变量X的概率密度为人力=J20,反他求：(1)常数c；(2)E(X).正确答案(1)7(k=ECs2xdx=EC()Ck褥Jc=2.(2)jf(X)=*x(x)dx=j-xsin2xrfrOyFX几种重要的连续型随机变量的数学期望(1)均匀分布设随机变量X服从区间a,b上的均匀分布，概率密度为W = 0的指数分布，概率密度为f 2el 数学期望为)=Jox0,x0,E(X)=Jx*(x)dx=Joxexdx(3)正态分布设随机变量XN(,2),
6、概率密度为-oX -H30/(x)=-riF,yJ2则其数学期望为dr令【例题计算题】设随机变量X的概率密度为、2r,Oxl1.l=0其他；/()=LF求E(X).正确答案J手写板图示(1)E(X)=J；xf(x)dx=J；X-2xdx=2X2dx=2+x3=2y(l-0)_2一3E(X)=4ydxxdx=-Xoxe，Cdx-晨Xerd()=*以XdexfUxMe-x)=xex-j%edx-J-xe-定理2设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),并且随机变量Y=g(X),则当积分绝对收敛时，Y=g(X)的数学期望存在，并且有-V-JOerdx匚以X)Zr(X油E(Y)=EBX)=Cg(x)
7、A(X班注意：若已求得随机变量Y的概率密度f(y),则Ea)=匚必。如重要结论：一般地，若圆的直径的测量值X服从区间a,b上的均匀分布，则其面积的数学期望为E(三)=E(/)=匚了/小可亨.&=?廿+J)可参考教材P124的例9.【例题计算题】X,Oxl,设随机变量X的概率密度为/()=2-x,Kx2,10,其他求EIIX-E(X)Q【思考】如何处理绝对值的问题？正确答案JKg=匚MX班=fxx+J：H2-x)dr=+卜-#)：=1矶IXFX)I/IX-叫=ClX-IIxdruiX-II(2r)dx=Ca-X)XdX.f(x-l)(27)=M(4L5)Tr三iI三1JT尸1E(y)=fj%=S
8、(f=SiWtr(416)j7)M尸】【例题计算题】已知二维随机变量(X,Y)的分布律为XY12310.10.20.120.30.10.2求E(X)、E(Y).正确答案手写板图示E(X)=l0.4+20.6=1.6E(Y)=lO.4+2O.3+3O.3=1.9(2)如果(X,Y)为二维连续型Ia机变量，其概率密度为f(X,为，fx(x),f(y)分别为X、Y的边缘概率密度，则(4X7)(4X8)E(X)=匚Ma)(IX=J匚x(/y)kME(Ir)=MG)的=匚匚yf(y)dxdy.【例题计算题】设二维随机变量(X,丫)的概率密度为/(,y)=5, 其他求E(X).正确答案手写板图示E(X)=
9、J二XfX(x)dxfx(x)=J：f(x，y)dy/%e(X)dyOWXWl=to其他_2x/；=e-E)d-(y-5)OWXWl=lo其他2xe-g|；=OWXSlto其他OOWXWI其他E (X)定理4设g(x,y)为连续函数，对于二维随机变量(X,Y)的函数g(X,Y),.若(X,Y)为二维离散型随机变量，级数Z20jj)为绝对收敛，则JT,n=Xg(xi,yPpr(4.1.9)Ul1(2)若(X,Y)为二维连续型随机变量，且积分JYJrg(K,y)(x,j)dxdy绝对收敛，则te(X,r)=匚匚虱XJ)/(XJ)dxd(4.1.10)【例题计算题】设二维随机变量(X, Y)的概率密
10、度为 八W)=Ia其他求：(1)常数c；(2)E(X+Y)；(3)E(XY).正确答案Q)J二匚/(声由=fJ：CTk妙=4C=L+(2*(X+K)=匚匚(x+y(&加曲=W尺峥由廿也Z中翔+丝卜L(3)E(M=匚仁(xy)(x,y)dxdy=1%)；d=为:产Xf：加)=。1.4 数学期望的性质性质1设C是常数，则E(C)=C.性质2设X是随机变机，C是常是，则E(CX)=CE(X).性质3设X,Y均为随机变机，则E(X+Y)=E(X)+E(Y).性质4设X、Y为相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y).推广：当多个随机变机X,X2,.，Xn,1)22相互独立时，E(X】Xa.XB
11、)=E(Xi)E(X2)E(Xn).【例题单选题】设随机变量X服从参数为1/2的指数分布，则E(2X-1)=().A.OB.1C.3D.4正确答案C答案解析参数为人的指数分布为连续型分布，其概率密度为/(x)=c00,其“jl.x0数学期望为l,因而E(2X-1)=E(2X)-1=2E(X)-1=2X21=3,故选C.第03讲方差、协方差与相关系数第二节方差2. 1方差的概念定义3设X为随机变量，如果EX-E(X)2存在，则称之为随机变量X的方差，记作D(X),也就是D(X)=EX-E(X)2,而称、衣5为标准差.D(X)反映了X取值的波动性大小.离散型随机变量的方差箝=I%-E(醐；(421
12、)血-(fPj(424)-当X为连续型随机变量时，有。=匚(x)dx-U二V(X)(Lj.(4.2.5)【例题计算题】lxv-lrO.设随机变量X的概率密度为/(x)-1x,0xl.0.其他.求D(X).正确答案EGn=匚切(x)dr=x(l+工声+x)dx(+Kr-)t0注意这里应用了奇偶函数的性质一一在区间1,1上，f(X)是偶函数，而Xf(X)是奇函数，因而有EqO=Uv()(k=fN()也=。由于E(X2)=J3x2(x)dx=2(l+x)dr+l2(l-x)dx1=%所以D(X)=E(X2)-E(X)2=16.注意：连续型随机变量方差的计算，一般要结合其自身的性质，如L(x)dr=l
13、,可参考教材Pl30例19.2.2 常见随机变量的方差1 .0-1分布设随机变量X服从01分布，其分布律为P(X=1=p,Px=l-p0pl则X的方差为D(X)=p(l-p),推导过程参见教材P13L2 .二项分布设随机变量XB(n,p),分布律为PLP(X=i)=Cy(I-P)I,*=0工MoPx6fWb-a9，则X的方差为ZXX) =,推导过程参见教材P133.5 .指数分布设随机变量X服从参数为人的指数分布，概率密度为/()=0,0, XO,则X的方差为ZXX)三-L,推导过程参见教材P133-134.6 .正态分布设随机变量XN(u,o?),概率密度为“3,-X+则X的方差为D(X)=
14、。2,推导过程参见教材P134.【例题计算题】设二维随机变量(X,Y)的概率密度为/(M)-2,*X，0?frf皿；以0.匚也(jr)drfVdr：Z)W联。_囤-1Y的概率密度为4S-匚/(2)亍Ia,L据此计算出Y的数学期望与方差，即:H他E(T)=匚MS),=fW砂=LQoErA即)=M=332.3 方差的性质性质5设X为随机变量，C是常数，则D(C)=0,D(X+c)=D(X)性质6设X为随机变量，C是常数，则D(CX)=CaD(X).当C=-I时，D(-X)=D(X)性质7设X与Y为相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)推广,设X】，/,，Xa,ne2为相互独立的随机
15、变量，则D(XHX8+.+Xa)=D(X。+D(X8)+D(Xa).常用结论：(1)设X”X2,.,X”，n三2为相互独立的随机变量，且均服从OT分布，即有PXi=l=p,PXi=0=l-p,i=l,n,Opl设X=X+X2+Xn则XB(n,p),并且E(X)=npD(X)=np(l-p)参见教材P137例27.(2)设有随机变量X,如果E(X)=,D(X)=2,则？=工2日的数学期望和方差分别为aE(Y)=O,D(Y)=1参见教材P138例28.(3)设Xl,X2,.,Xn,为相互独立的随机变量，并且E(X1)=U,D(X1)=2,i=l,2,1n.如果令X=Xi，则有及J)=EtEXJ=挣
16、(X)=外丽=整斗露HxJWWf本结论及其推广参见教材P138例29.几种重要的随机变量的分布与数字特征对照表表4-1分布分布律或概率密度数学期望方差离散型X服从参数为P的OT分布PX=1)=PX=O=10plPP(l-p)X服从参数为n,P的二项分布XB(n,p)PX=Ud(I-P)I,fr=O.nOpo连续型X服从区间a,b上的均匀分布XU(a,b)/(X)-0,其他0+b212X服从参数为人的指数分布X-E()-4T”:T1_1不X服从参数为口，O?的正态分布XN(,2)x)=7”02参见教材P139表4T.第三节协方差与相关系数3.1协方差定义4设(X,Y)为二维随机变量，并且E(X)
17、、E(Y)存在，如果E(X-E(X)(Y-E(Y)存在，则称其为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X,Y).即：Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)对于二维离散型随机变量(X,Y),随机变量X与Y的协方差为：Cot(XZ)=XLE(醐E-E(Y)pfft=lJ=I对于二维连续型随机变量(X,Y),随机变量X与Y的协方差为：COV(X,7)=匚匚二-E(X)W-E(r)l(x,y)*B协方差的常用计算公式：COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)COV(X,X)=E(X?)-E(X)a=D(X)【例题计算题】设二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D是由X轴、y轴
18、以及x+y=l所围成的平面区域，求CoV(X,Y).【思考】D的图像是什么样的？面积为多少？根据以上信息解出联合概率密度，进而求出边缘密度、E(X).E(Y)、E(XY)并最终求得CoV(X,止确答案J(X,Y)的概率密度为29xeD90其他.E(X).E(Y)、E(XY)分别为2x(l-x)dx芭=仁匚贝U)dxdy=012xjdr=(，亨)卜-2W=(*=(1T)&=Tory沁飘Xr)=(广知办C=Cl(I-),0, D (Y) 0,则称Cw(X9K)b()D(n为随机变量X与Y的相关系数，记为P.cov(x,r)jrD(x)(n-:量指标.相关系数是两个随机变量之间线性相关性强弱相关系数
19、的性质性质15l性质16Ipl=I的充分必要条件是：存在常数a,b,使得PY=aX+b=l,a0.相关系数的绝对值表示两个随机变量线性相关性的强弱.(正相关性的强弱、负相关性的强弱、无线性相关性)随机变量之间不相关(定义6)：设随机变量X与Y的相关系数Pn=0,则称随机变量X与Y不相关.在D(X)0,D(Y)0的条件下，随机变量X与Y不相关的充分必要条件是：Cov(X,Y)=0.注意：独立一定不相关；不相关未必独立原因：不相关表示随机变量之间不存在线性关系，独立表示随机变量之间不存在任何关系.例外情形：二维正态分布对于服从二维正态分布的随机变量(X,Y)而言，不相关与独立性是一致的.【例题综合
20、题】设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：E(X),E(Y)；(2)D(X),D(Y)；(3)Cov(X,Y),px.【思考】绘制随机变量的取值范围所围成的图形，分别求出X与Y的边缘密度后再进一步求出数学期望和方差；也可以直接通过(X,Y)的概率密度求出数学期望与方差.以第一种方法举例.注：本题为参考教材P145例36,属于较为典型的综合题.正确答案画出图形计算X与Y的数学期望:M8-=/=：勰E=J二M(X)Ck=J；x4/dr=EOr)=J二yf(y)d,=J)1-/冰计算X与Y的方差:(2)改犬)=t()AC=Jh“d=(，)卜：.R2)=tr2W(r必=Jy4-)=卜-:m=3DW=
21、E(炉H双孙，=AG)$ZXr)=M与-所2=；-信j=盘【计算X与Y的协方差与相关系数(3)E(AT)=匚匚W(KjMx=C(J：W84卜=#dX=54484Cv(Xr)E(T)-E(X)K(K)-：X看土.c/。法匕=J：x-E(X)V(x)dr注意到：一阶原点矩就是数学期望，二阶中心矩就是方差.混合原点矩与混合中心距(定义8)：设X与Y为随机变量，若E(XkY1)存在，k,1=1,2.,则称其为X和丫的k+1阶混合原点矩.若E(X-E(X)k(X-E(X)存在，则称其为X和Y的k+1阶混合中心矩.协方差COV(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.1 .协方差矩阵的定义定义9设二维随机变量(
22、X1,X2)的四个二阶中心矩存在，记作cll=EX1-E(X1)2=D(X1)=Cov(X1,X1)c12=E(X1-E(X1)(X2-E(X2)=Cov(Xl,X2)c2i=E(X2-E(X2)(X-E(X1)=Cov(X2,X1)C22=EfX2-E(X2)2=D(X2)=Cov(X2,X2)则称矩阵C=(C,)=(;为二维随机变量(X1,X2)的协方差矩阵.协方差矩阵的概念可以推广到n维随机变量的情形.n维随机变量的协方差矩阵(定义10)：设n维随机变量(X,X2,.,Xn)的二阶中心矩cij=E(Xi-E(Xi)(Xj-E(Xj)=Cov(Xi,Xj),i,j=L2,.,n存在称矩阵为
23、n维随机变量(X“X2,.,Xn)的协方差矩阵.协方差矩阵是对称矩阵，其主对角线上的元素C对为X,的方差.【例题计算题】设(X,Y)的协方差矩阵为3j,求X与Y的相关系数P【思考】考虑二维随机变量的协方差矩阵的特点，每个元素所代表的意义.cov(y)正确答案由于D(X)=4,D(Y)=9,Cov(X,Y)=-3,有P11-一r三三-(-3)/(2X3)=-1/2.本章小结一、理解离散型随机变量及连续型随机变量的数学期望的定义.掌握离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望的计算.熟记数学期望的性质，记住随机变量函数的数学期望公式，会计算较简单的随机变量函数的数学期望二、理解方差、标准差的定义，熟练掌握方差计算公式：D(X);E(X2)-E(X)了，熟记方差的性质，掌握方差的计算.三、对二维随机变量(X,Y),了解随机变量X,Y的协方差的定义及其性质，并会计算协方差.四、了解随机变量X,Y的相关系数的定义及其性质.知道协方差和相关系数均是随机变量间线性关系密切程度的度量，会求相关系数.知道随机变量相互独立与不相关的联系与区别.知道当(X,Y)服从二维正态分布时，X,Y相互独立与X,Y不相关等价.
