第6讲方差分析正交分析.ppt

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1、第六讲方差分析（五）：正交实验设计及统计分析,一、多因素试验设计 多 因素试验 是指在同一试验中同时研究两 个 或两个以上试验因素的试验。多因素试验设计方案由该试验的所有试验因素的水平组合（即处理）构成。多因素试验方案分为完全方案和不完全方案两类。,（1）完全方案 在列出因素水平组合（即处理）时，要求每一个因素的每个水平都要碰见一次，这时，组合数等于各个因素水平数的乘积。例如以3种饲料配方对3个品种肉鸭进行试验。共有33=9 个水平组合（处理）。这 9个水平组合（处理）就构成了这两个因素的试验方案。,下一张,主 页,退 出,上一张,A1B1A1B2A1B3 A2B1 A2B2 A2B3 A3B

2、1 A3B2A3B3,全面试验优点：能全面考察试验因素对试验指标的影响能考察因素间的交互作用能选出最优水平组合全面试验的不足：人力、物力、财力、场地难以承受试验误差不易控制全面试验宜在因素个数和水平数都较少时应用,下一张,主 页,退 出,上一张,（2）不完全方案将某些水平组合在一起形成少数几个水平组合。目的：探讨某些水平组合的综合作用。,下一张,主 页,退 出,上一张,正交试验是在全部水平组合中选出有代表性的部分水平组合设置的试验,正交设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合 的一种高效率试验设计方法。,例如：影响某品种鸡的生产性能有3个因素：A因素是饲料配方，设A1、A2、A3 3个水平；B

3、因素是光照，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是温度，设C1、C2、C3 3个水平。这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。,可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映包含27个水平组合的情况，找出最佳的生产条件。,二、正交设计的基本原理,图中标有试验号的九个“()”，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。即：(1)A1B1C1(2)A2B1C2(3)A3B1C3(4)A1B2C2(5)A2B2C3(6)A3B2C1(7)A1B3C3(8)A2B3C1(9)A3B3C2,下一张,主 页,退 出,上一张,上述选择，保

4、证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次。对于A、B、C 3个因素来说，是在27个全面试验点中选择9个试验点，仅 是全面试验的 三分之一。从图中可以看到，9个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是3个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。,下一张,主 页,退 出,上一张,下一张,主 页,退 出,上一张,三、正交表及其特性,数学工作者制定，供选用2水平正交表：L8(27)、L4(23)、L16(215)等3水平正交表有L9(34)、L27(213)等特性：任

5、一列中，不同数字出现的次数相等 例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们各出现3次。,下一张,主 页,退 出,上一张,任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相等 例如 L8(27)中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出现两次；L9(34)中(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出现1次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。,下一张,主 页,退 出,上一张,在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B

6、、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时，B因素和C因素不同水平的效应相互抵消。所以A因素3个水平间具有可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有可比性。,下一张,主 页,退 出,上一张,正交表的类别 1、相同水平正交表 如L4(23)、L8(27)、L12(211)、L9(34)、L27(313)2、混合水平正交表 各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为混合水平正交表。如L8(424)表中有一列最大数字为4，有4列最大数字为2。也就是说该表可以安排一个4水平因素和4个2水平因素。再如L16(4423)，L16(4212)等都混合水平正交表。,下一

7、张,主 页,退 出,上一张,四、正交设计【例】在进行矿物质元素对架子猪补饲试验中，考察补饲配方、用量、食盐3个因素，每个因素都有3个水平。试安排一个正交试验方案。,若不考察交互作用自由度因素个数(水平数-1)=3*2=6L9(34)总自由度9-1=8，故可以选用若要考察交互作用则应选用L27(313)，此时所安排的试验方案实际上是全面试验方案。,1.选用正交表的原则：试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包括交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度。,1 号试验处理是 A1B1C1，即配 方I、用量15g、食盐

8、为0；2号试验处理是A1B2C2，即配方II、用 量 25g、食 盐 为 4g，；9号试验处理为A3B3C2，即配方III、用量20g、食盐4g。,下一张,主 页,退 出,上一张,2、正交试验结果的统计分析 单独观测值正交试验重复观测值正交试验因素间有交互作用,一.单独观测值正交试验结果的方差分析 总变异=处理间+误差处理间=A因素+B因素+C因素 SST=SSA+SSB+SSC+SSe dfT=dfA+dfB+dfC+dfe,用n表示试验次数；a、b、c表示A、B、C因素各水平重复数；ka、kb、kc表示A、B、C因素的水平数。本例，n=9、a=b=c=3、ka=kb=kc=3。,Ti为各因

9、素同一水平试验指标（增重）之和。如 A因素第1水平 T1=y1+y2+y3=63.4+68.9+64.9=197.2，A因素第2水平 T2=y4+y5+y6=64.3+70.2+65.8=200.3，A因素第3水平 T3=y7+y8+y9=71.4+69.5+73.7=214.6；,下一张,主 页,退 出,上一张,B因素第1水平 T1=y1+y4+y7=63.4+64.3+71.4=199.1,B因素第3水平T3=y3+y6+y9=64.9+65.8+73.7=204.4。同理可求得C因素各水平试验指标之和。,为各因素同一水平试验指标的平均数。如A因素第1水平=197.2/3=65.7333，

10、A因素第2水平=200.3/3=66.7667，A因素第3水平=214.6/3=71.5333。同理可求得B、C因素各水平试验指标的平均数。,下一张,主 页,退 出,上一张,计算：矫正数 C=T2/n=612.12/9=41629.6011 总平方和 SST=y2-C=63.42+68.92+73.72-41629.6011=101.2489,A因素平方和 SSA=/a-C=(197.22+200.32+214.62)/3 41629.6011=57.4289,B因素平方和 SSB=/b-C=(199.12+208.62+204.42)/3-,41629.6011=15.1089,C因素平方和

11、 SSC=T2C/c-C=(198.72+206.92+206.52)/3 误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSC=101.2489 57.4289 15.1089,下一张,主 页,退 出,上一张,41629.6011=14.2489,14.2489=14.4622,总自由度 dfT=n-1=9-1=8 A因素自由度 dfA=ka-1=3-1=2 B因素自由度 dfB=kb-1=3-1=2 C因素自由度 dfC=kc-1=3-1=2 误差自由度 dfe=dfT-dfA-dfB-dfC=8-2-2-2=2,列出方差分析表，进行F 检验,下一张,主 页,退 出,上一张,三个因素对增重的

12、影响都不显著原因：可能试验误差大 误差自由度小(仅为2)，灵敏度低 各因素对增重影响都不显著，不再进行各因素水平间的多重比较 直观从表中选择平均数大的水平组合成最优水平组合：A3B3C2。,二.有重复值正交试验结果方差分析【试验重复了两次，且重复采用随机区组设计，试对其进行方差分析。】用n表示试验(处理)号数，r 表示试验处理重复数。a、b、c、ka、kb、kc意义同上此例n=9、r=2、a=b=c=3、ka=kb=kc=3。,下一张,主 页,退 出,上一张,总变异=处理间+单位组间+误差(试验误差)处理间变异=A因素+B因素+C因素+误差(模型误差：交互作用)SST=SSt+SSr+SSe2

13、 dfT=dft+dfr+dfe2 SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1 dft=dfA+dfB+dfC+dfe1SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2 dfT=dfA+dfB+dfC+dfr+dfe1+dfe2,矫正数（校正数）C=T2/(r n)=1347.42/(29)=100860.3756,总平方和 SST=y2-C=63.42+68.92+92.82-100860.3756=1978.5444 单位组间平方和 SSr=T2r/n-C=(612.12+735.32)/9-100860.3756=843.2355,处理间平方和 SSt=T2t/r-C=(130.

14、82+156.12+166.52)/2-100860.3756=819.6244 A因素平方和 SSA=T2A/ar-C=(418.12+441.72+487.62)/32-100860.3756=416.3344,B因素平方和 SSB=T2B/br-C=(441.82+475.52+430.12)/32-100860.3756=185.2077C因素平方和 SSC=T2C/cr-C=(423.92+473.22+450.32)/32-100860.3756=202.8811,模型误差平方和 SSe1=SSt SSA SSB-SSC=819.6244-416.3344-185.2077-202

15、.8811=15.2012试验误差平方和 SSe2=SST SSr-SSt=1978.5444-843.2355-819.6244=315.6845,总自由度 dfT=rn-1=29-1=17 单位组自由度 dfr=r-1=2-1=1 处理自由度 dft=n-1=9-1=8 A因素自由度 dfA=ka-1=3-1=2 B因素自由度 dfB=kb-1=3-1=2 C因素自由度 dfC=kc-1=3-1=2,下一张,主 页,退 出,上一张,模型误差自由度 dfe1=dft-dfA-dfB-dfC=8-2-2-2-2=2 试验误差自由度 dfe2=dfT-dfr-dft=17-1-8=8,列出方差分

16、析表，进行 F 检验,首先检验MSe1与MSe2差异的显著性 若不显著，则计算合并误差 若F检验显著，说明存在交互作用,不能合并。本例MSe1/MSe21，MSe1与MSe2差异不显著，合并的误差MSe，即 MSe=(SSe1+SSe2)/(dfe1+dfe2)=(15.2012+315.6845)/(2+8)=33.09,F检验结果表明:矿物质元素配方对架子猪增重有统计学意义，另外两个因素作用无统计学差异；二个单位组间差异有统计学意义。,A因素各水平平均数的多重比较,多重比较结果表明：A因素A3水平的平均数显著或极显著地高于A2、A1；A2与A1间差异不显著。,此例因模型误差不显著，可认为因

17、素间不存在显著的交互作用。可由 A、B、C因素的最优水平组合成最优水平组合。A因素的最优水平为A3；B、C因素可任选一水平。可选B2及C2 最优水平组合为A3B2C2，即配方III、用量25克、食盐4克。因素间交互作用显著，应进一步试验，分析因素间的交互作用。,下一张,主 页,退 出,上一张,三.因素间有交互作用的正交设计与分析注意：表头设计和结果分析。【例】某一种抗菌素的发酵培养基由A、B、C 3种成分组成，各有两个水平，除考察A、B、C三个因素的主效外，还考察A与B、B与C的交互作用。试安排一个正交试验方案并进行结果分析。,蛋白胨 NaCl 琼脂粉,选用正交表，作表头设计 3个两水平的因素

18、和2个交互作用；各项自由度之和为：3(2-1)+2(2-1)(2-1)=5，因此可选用L8(27)来安排试验方案。正交表L8(27)中有基本列和交互列可利用L8(27)二列间交互作用列表来安排各因素和交互作用。,4因素及6个交互作用，自由度总和为416110，而L8(27)表却只有817个自由度，容纳不下，只能选用更大正交表的L16(215)来做表头设计，,如果将A因素放在第1列，B 因素 放在第 2列，查表可知，第1列与第2列的交互作用列是第3列，于是将 A与B 的交互作用 AB放在第3列。这样第3列不能再安排其它因素，以免出现“混杂”。然后将C放在第4列，查表可知，BC应放在第6列，余下列

19、为空列，如此可得表头设计。,下一张,主 页,退 出,上一张,(二)列出试验方案 根据表头设计，将A、B、C各列对应的数字“1”、“2”换成各因素的具体水平，得出试验方案表。,下一张,主 页,退 出,上一张,下一张,主 页,退 出,上一张,(三)结果分析 按所列的试验方案进行试验。总变异A因素、B因素、C因素、AB、BC、与误差变异5部分 SST=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSBC+SSe dfT=dfA+dfB+dfC+dfAB+dfBC+dfe,下一张,主 页,退 出,上一张,1、计算各项平方和与自由度 校正数 C=T2/n=6652/8=55278.1250,总平方和 SST=y2

20、-C=552+382+612-55278.1250=6742.8750A因素平方和 SSA=T2A/a-C=(2792+3862)/4-55278.1250=1431.1250,B因素平方和 SSB=T2B/b-C=(3392+3262)/455278.1250=21.1250 C因素平方和 SSC=T2C/c-C=(3532+3122)/4 55278.1250=210.1250 AB平方和 SSAB=T2AB/4 C=(2332+4322)/4 55278.1250=4950.1250,BC平方和 SSBC=T2BC/4 C=(3272+3382)/4 55278.1250=15.1250

21、 误差平方和 SSe=SSTSSASSBSSABSSBC=6742.87501431.125021.1250 210.12504950.125015.1250=115.2500,总自由度 dfT=n-1=8-1=7各因素自由度 dfA=dfB=dfC=2-1=1交互作用自由度 dfAB=dfBC=(2-1)(2-1)=1误差自由度 dfe=dfT-dfA-dfC-dfAB-dfBC=7-1-1-1-1-1=2,2、列出方差分析表，进行F检验,下一张,主 页,退 出,上一张,F 检验结果表明：A因素、AB交互作用有统计学意义B、C因素及BC交互作用无统计学意义。选出A与B的最优水平组合A与B各水

22、平组合的多重比较 先计算出A与B各水平组合的平均数：A1B1水平组合的平均数=(55+38)/2=46.50 A1B2水平组合的平均数=(97+89)/2=93.00 A2B1水平组合的平均数=(122+124)/2=123.00 A2B2水平组合的平均数=(79+61)/2=70.00,列出A、B因素各水平组合平均数多重比较表,下一张,主 页,退 出,上一张,因为 由dfe=2与k=2,3,4,查临界q 值,多重比较结果表明，A2B1显著优于A2B2，A1B1；A1B2显著优于A1B1，其余差异不显著。最优水平组合为A2B1。从以上分析可知，A因素取A2，B因素取B1，若C因素取C1，则本次

23、试验结果的最优水平组合为A2B1C1。,下一张,主 页,退 出,上一张,注意，此例因dfe=2，F检验与多重比较的灵敏度低。为了提高检验的灵敏度，可将F1的SSB、SSBC合并，得合并的误差均方，再用合并误差均方进行F检验与多重比较。,A A1 A2 B B1 93 246B2 186 140,C C1 C2 B B1 177 162B2 176 150,210 210180 180150 150120 12090 90 B1 B2 B1 B2,A,C,期 中 大 作 业,运用所学生物医学统计学知识设计一个实验并分析：体育锻炼对成年人心率的影响。(要求有原始数据)运用方差设计及分析找出所做实验的最佳条件(本科科研训练)查阅文献：找出其中所用医学统计学错误之处，分析其原因，并作出正确分析及解释。(注意：给出刊物原文，要求文献中文3篇，或英文两篇),选做其一,11月30日前交,下次课,计数资料的统计描述期末考试：初步定1月3号！,