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1、数量关系（全二十四讲）主讲：李委明目录数学运算2第一讲：代入排除法2第二讲:十字交叉法3第三讲：数列与平均数（上）5第四讲：数列与平均数（下）6第五讲：工程问题7第六讲：浓度问题9第七讲：牛吃草问题10第八讲:边端问题12第九讲：行程问题（上）13第十讲：行程问题（下）14第十一讲：几何问题16第十二讲：年龄问题19第十三讲：容斥原理（上）20第十四讲：容斥原理（下）22第十五讲：排列组合（上）23第十六讲：排列组合（下）25第十七讲:统筹问题27第十八讲：比赛问题28第十九讲：抽屉原理29第二十讲：时钟问题30数字推理32第二十一讲:做差数列32第二十二讲：做商数列、多重数列33第二十三讲：
2、分数数列、察次数列34第二十四讲:递推数列35数学运算第一讲：代入排除法【自测题1】（浙江2011-57）一个三位数的各位数字之和是16o其中十位数字比个位数字小3。如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大495,则原来的三位数是多少？（）A.169B.358C.469D.736【自测题2】（广东201L8）三个运动员跨台阶，台阶总数在100/50级之间，第一位运动员每次跨3级台阶，最后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级，最后一步还剩3级台阶。第三位运动员每次跨5级台阶，最后一步还剩4级台阶。问这些台阶总共有（）级？A.119B.121C.1
3、29D.1311知识点n“代入排除法”是数学运算题型当中最重要的技巧，这种方法结合题干与选项双向判断，是处理行测“客观单选题”最为行之有效的方法。n“代入排除法”广泛运用在多位数问题、不定方程（组）问题、同余问题、和差倍比问题、年龄问题、行程问题、周期问题等等题型。n“代入排除法”还可以利用数字的基本特性来完成，这就要求广大考生掌握基本的数字特性，特别是对倍数的判断。1例题精讲【例1】（吉林2011甲级6,吉林2011乙级-6）大小两个数的和是50.886,较大数的小数点向左移动一位就等于较小的数，则较大的数为（）。A.46.25B.46.26C.46.15D.40.26【例2】（上海2011
4、B-61）韩信故乡淮安民间流传着一则故事一一“韩信点兵”。秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信率1500名将士与楚军交战，战后检点人数，他命将士3人一排，结果多出2名；命将士5人一排，结果多出3名：命将士7人一排，结果又多出2名，用兵如神的韩信立刻知道尚有将士人数。己知尚有将士人数是下列四个数字中的一个，则该数字是（）。A.868B.998C.1073D.1298【例3】（浙江201L55）甲、乙各有钱若干元，甲拿出1/3给乙后，乙再拿出总数的1/5给甲，这时他们各有160元。问甲、乙原来各有多少钱？A.120元200元B.150元170元C.180元140元D.210元110元【例4】（四川事业
5、20116）水果店运来一批石榴和苹果，其中苹果的重量占总重量的9/20,苹果比石榴少200千克，运来石榴（）千克。A.2000B.1800C.1100D.900【例5】（重庆村官2011-92）三个连续自然数的积是其和的21倍，则这三个数中最小的是（）A.3B.4C.7D.12【例6】（河南选调2011-41）小李到商店买了一个书包和一个羽毛球拍，在付钱时，他漏看了羽毛球拍价位个位上的“0”，准备付158元。售货员说：“您看错了单位，应该付410元才对J那么一个书包的单价是多少元？A.158B.130C.98D.88【例7】（河北事业单位2011-18）饭店购进了三种蔬菜，其中白菜的重量占2/
6、7,黄瓜的重量和其他两种舔菜重量之和的比是2：3,黄瓜比白菜多12千克。共购进蔬菜（）千克。A.35B.75C.105D.150【例8】（河北事业单位20II-II）把张纸剪成8块，从所有的纸片中取出若干块，每块各剪成8块，再从所有纸中取出若干块，每块各剪8块如此下去，到剪完某一次后停止，所得的纸片总数有可能是（）块。A.2（X）8B.29C.201（）D.2011I本讲答案：BABCCCCBCC第二讲：十字交叉法2课前自测【自测题I】（江苏2006B-70）某体育训练中心，教练员中男占90%,运动员中男占80%,在教练员和运动员中男占82%,教练员与运动员人数之比是多少？（）A.2：5B.1
7、：3C.1：4D.1：5【自测题2】某单位共有员工25人,他们的平均年龄为28岁，其中男员工的平均年龄为30岁，女员工的平均年龄为25岁，问男员工比女员工的人数多多少？（）A.2人B.3人C.4人D.5人1知识点“十字交叉法”是数学运算题中一种经典的技巧，对符合使用条件的试题有近乎“秒杀”的效果。这种方法实际上是一种简化方程的形式，凡是符合下图左边方程的形式，都可以用右边的“十字交叉”的形式来简化：+Z?/;=（+）r=Ba-r_1例题精讲例1（陕西2008-14）某班一次数学测试，全班平均91分，其中男生平均88分，女生平均93分，则女生人数是男生人数的多少倍？（）A.0.5B.1C.1.5
8、D.2【例2】某超市购进西瓜1000个，运输途中碰裂一些，未碰裂的西瓜卖完后，利涧率为40%,碰裂的西瓜只能降价出售，亏本60%,最后结算时总的利润率为32%,碰裂了多少西瓜？（）A.80B.75C.85D.78【例3】（河北选调2009-57）车间共有40人，某次技术操作考核平均成绩为80分，其中男工平均成绩为86分，女工平均成绩为78分,该车间有女工多少人？（）A.16B.24C.25D.30【例4】（河北选调2009-47）一只松鼠采松籽，晴天每天采24个，雨天每天采16个，它一连几天共采168个松子，平均每天采21个，这几天当中晴天有几天？（）A.3B.4C.5D.6【例5】某公司20
9、11年前三季度营业收入7650万元，比上年同期增长2%,其中主营业务收入比上年同期减少2%,而其它业务收入比上年同期增加10%,那么，该公司20H年前三季度主营业务收入为多少？（）A.3920万元B.4410万元C.49（）0万元D.5490万元【例6】（国家2011-76）某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁IIA和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁？（）A.34B.36C.35D.37I本讲答案：CDCADCCC第三讲：数列与平均数（上）2课前自测【自测题1】如果某一年的七月份有5个星期四
10、，它们的日期之和为80,那么这个月的3号是星期几？（）A.星期一B.星期三C.星期五D.星期日【自测题2】（湖南长沙事业2010-57）甲、乙两个数的和是218,如果再加上一个数丙，这时三个数的平均数比甲、乙两数的平均数多5,那么数丙是（）oA.140B.130C.124D.1271知识点n基本知识点：总和=平均数X个数n等差数列中：平均数=中位数=（首数+尾数）21例题精讲【例【】（河北选调2009-53）一个房间里有IO个人，平均年龄是27岁。另一个房间里有15个人，平均年龄是37岁。两个房间的人合在一起，他们的平均年龄是多少岁？（）A.30B.31C.32D.33【例2】（吉林201（7
11、）某班一次期末数学考试成绩，平均分为95.5分,后来发现小林的成绩是97分误写成79分。再次计算后，该班平均成绩是95.95分。则该班人数是（）A.30人B.40人C.50人D.60人【例3】（北京2011-75）某学生参加了六次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多2分，比后两次的平均分少2分，如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得几分？（）A.1B.2C.3D.4【例4】（石家庄事业单位2011-92）1（）个连续自然数的和是205,那么其中最小的自然数是多少？（）A.14B.15C.16D.17【例5】（安徽2008-12）某日小李发现日历有好几天没有翻，就一次
12、翻了6张，这6天的日期加起来数字是141,他翻的第一页是几号？（）A.18B.21C.23D.24【例6】四个连续自然数的积为1680,它们的和为（）A.26B.52C.30D.28I本讲答案：CCDBACBA第四讲：数列与平均数（下）2课前自测【自测题I】（安徽2010-7）在101中5的倍数的所有数的平均数是（）。A.52.5B.53.5C.54.5D.55.5【自测题2（重庆村官2011-98）某7个数的平均数是16,去掉一个数，剩下的6个数的平均数是17,问去掉的数是（A.12B.IOC.14D.131知识点n基本知识点：总和=平均数X个数n等差数列中：平均数=中位数=（首数+尾数）2
13、1例题精讲例1（2011年917联考-58）小赵、小钱、小孙、小李、小周五个人的收入依次成等比，已知小赵的收入是3000元，小孙的收入是36（K）元，那么小周比小孙的收入高：（）A.700元B.720元C.760元D.780元【例2】（江苏201IC类-31）已知数据23、25、26、27、28、24、20、33、35、46,用这10个数分别减去其平均数.所得10个数值的和为？（）A.3B.2COD.-3【例3】（国家2012-78）某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少？（）A.6
14、02B.623C.627D.631【例4】（北京社招2009-12）训练时，若干新兵站成一排，从一开始报数，除了甲以外其他人报的数之和减去甲报的数恰好等于50。请问共有多少名新兵？（）A.10B.IlC.12D.13【例5】（深圳教育2010B-17）已知有若干个连续的奇数：1,3,5,7,9,11,13所有奇数的和减去该列奇数中的某个奇数得到608,则被减去的奇数为（）A.17B.19C.21D.23【例6】（上海2010-58）次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如下图所示，若按照这种规律依次增加定数量的宝石，则第10件工艺品的宝石数为（）颗。A.229B.231C.238D.245
15、【例7】（北京社招2009-25）一次数学考试满分是100分，某班前六名同学的平均得分是95分，排名第六同学的得分是86分，假如每人得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学最少得多少分？A.94B.95C.96D.971本讲答案：ABBCBBABC第五讲：工程问题2课前自测【自测题1】某工人原计则10个小时完成的工作，8小时就全部完成了，他的工作效率比原计划高了（）A.20%B.125%C.25%D.75%【自测题2】（国家2009/10）一条隧道，甲单独挖要20天完成，乙单独挖要10天完成，如果甲先挖1天，然后乙接甲挖1天，再由甲接乙挖1天，两人如此交替，共用多少天挖完？（）A.14B.16
16、C.15D.131知识点n工程总量=工作效率*工作时间n我们在工程问题中，常常利用“转化归一法”把工程量化为一个便于计算的数字或者把单位效率设为11例题精讲【例1】（上海2012A57）某车间三个班组共同承担一批加工任务，每个班组要加工100套产品。因为加工速度有差异，一班组完成任务时二班组还差5套产品没完成，三班组还差10套产品没完成。假设三个班组加工速度都不变，那么二班组完成任务时，三班组还剩（）套产品未完成。A.5B.80/19C.90/19D.100/19【例2】（江苏201IB类88）修一条公路，假定每人每天的工作效率相同，计划180名工人1年完成，工作4个月后，因特殊情况，要求提前
17、2个月完成任务，需要增加工人多少名？（）A.50B.65C.70D.60【例3】（安徽20119）某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9小时可以完成一项生产任务。如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前1小时完成任务；如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提前1小时完成任务。如果同时交换甲和乙，丙和丁的岗位，其他人不变，可以提前多少小时完成？（）A.1.4B.1.8C.2.2D.2.6【例4】（重庆法检2011-69）某项工程项目由甲项目公司单独完成需要15天，由乙项目公司单独完成需要18天，由丙项目公司单独完成需要12天。现因某种原因改为：首先由甲项目公司做1天，其次由乙
18、项目公司做【天，最后由丙项目公司做1天，然后再由甲项目公司做1天，如此循环往复，则完成该工程项目共需（）天。1 2A.14-B.14-3312C.13-D.13-33【例5】（河南选调2011-44）水池上装有A,B两个注水管，单开A管40分钟可以注满整个水池，若两管同时注水3.5分钟，可注满水池的1用，那么单开B水管需要多少分钟注满水池？（）A.280/3B.60C3785D.68【例6】（湖南法检2011-47）加工一批零件，甲单独完成需要24天,乙单独完成需要30天。现在甲乙两人一起加工这批零件，但甲中途因故离开，最后这批零件从开始到结束共花了20天，则甲离开了（）A.8天B.9天C.1
19、0天D.12天1本讲答案：CADDBBAD第六讲：浓度问题2课前自测【自测题1】（安徽2009-11）当含盐30%的60千克盐水蒸发为含盐40%的盐水时，盐水重量为多少千克？（）A.45B.50C.55D.60【自测题2】（江苏2010C-3L山西2009-97）将10克盐和200克浓度为5%的盐水一起加入一杯水中，可得浓度为2.5%的盐水，则原来杯中水的克数是（）。A.570B.580C.590D.6001知识点“溶液问题”是一种非常典型的“比例型”计算问题，抓住“溶液”、“溶质”和“溶剂”三者的关系，是解题的基础和关键：溶液=溶质+溶剂；浓度=溶质溶液；溶质=溶液X浓度；溶液=溶质浓度1例
20、题精讲【例I】（安徽2011/0）一满杯纯牛奶，喝去20%后用水加满，再喝去60%。此时杯中的纯牛奶占杯子容积的百分数为（）0A.52%B.48%C.42%D.32%【例2】（河南选调2011-43）瓶子里装有20%的酒精1千克，现分别倒入I（X）克和500克的甲、乙两种酒精，此时瓶子里的酒精浓度变为13%。若甲酒精是乙酒精浓度的3倍，那么甲酒精的浓度是多少？A.1%B.3%C.5%D.7%【例3】（成都事业单位20II-U）从装满140克浓度为85%的盐水杯中倒出60克盐水后，再倒入盛满并使之混合均匀。这样反复二次后，杯中盐水的浓度约是（）oA.85%B.14.29%C.33.33%D.27
21、.76%【例4】（山西政法2009-103）甲、乙两个容器中分别装有17%的酒精溶液400克，9%的酒精溶液600克，从两个容中分别取出相同重量的酒精溶液倒入对方容器中，这时两个容器的酒精浓度相同，则从甲容器倒入乙容中的酒精溶液的克数是（）。A.2（X）B.240C.250D.260【例5】（湖南2009-113）有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装同样多的糖水。先从甲桶内取出杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶中取出杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶。请问此时甲桶内的糖水多还是乙桶内的牛奶多？（）A.无法判定B.甲桶糖水多C.乙桶牛奶多D.一样多核心提示在浓度问题”中，有一类题型不涉及具体溶液总量
22、，只涉及溶质与溶剂的相对比例。这类问题非常抽象，我们一般令其中那个“不变量”或者“相等量”为一特值，从而简化计算。【例6】（河北政法2010-13）两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是3：1,另一个瓶子中酒精与水的体积比是4：1,若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？（）A.31：9B.7：2C.31：40D.20：11【例7】（广东2008-12）一杯溶液，每次加同样多的水，第一次加水后浓度为15%,第二次加水后浓度为12%,请问第三次加水后浓度为多少？（）A.8%B.9%C.10%D.11%ACDBDBDAC第七讲：牛吃草问题【自测题1）（山西政法2
23、009-99）一片草地（草以均匀速度生长），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃10天，则这片草可供190只羊吃的天数是（）0A.11B.12C.14D.15【自测题2】（江苏2009-78）有一池泉水，泉底均匀不断涌出泉水。如果用8台抽水机10小时能把全池水抽干，或用12台抽水机6小时能把全池水抽干。如果用14台抽水机把全池水抽干，则需要的时间是（）。A.5小时B.4小时C.3小时D.5.5小时1知识点“牛吃草问题”是一类经典的、常考不衰的数学运算题型。这种题型源自于小学奥数，但最有效的做题方法并不是小学奥数当中的方法，而是利用核心公式列方程组来解题。其本质为“比例型工程问题”与“追及型行
24、程问题”的结合。核心公式：y=（N-x）*T1. “y”代表原有存量（比如“原有草量”）；2. “N”代表促使原有存量减少的变量（比如“牛数”）；3. “x”代表存量的自然增长速度（比如“草长速度”）；4. “T”代表存量完全消失所耗用时间。1例题精讲【例I】（安徽201L14）某招聘会在入场前若干分钟就开始排队，每分钟来的求职人数一样多，从开始入场到等候入场的队伍消失，同时开4个入口需30分钟，同时开5个入口需20分钟。如果同时打开6个入口，需多少分钟？（）A.8B.10C.12D.15【例2】（北京201181）假设某地森林资源的增长速度是一定的，且不受到自然灾害等影响，那么若每年开采Il
25、O万立方米，则可开采90年，若短年开采90万立方米则可开采210年。为了使这片森林可持续开发，则每年最多开采多少万立方米？（）A.30B.50C.60D.75核心提示当题目中有牛有羊时，需要将其全部转换为牛或者羊，再代入公式进行计算。【例3】有一块草地，每天草生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么这片草地可供IO头牛和60只羊一起吃多少天？A.6天B.8天C.12天D.15天核心提示如果解方程组算得X为负，说明存量不是自然增长而是自然消亡的。【例4】有一水池，在某次大雨后灌满了一池水，水在池底以均匀的速度渗
26、走进入深层地下水。如果想把水池的水抽干，8台抽水机需要3小时，5台抽水机需要4小时。如果想在6小时之内抽干水，至少需要多少台抽水机？A.4B.3C.2D.1核心提示如果草场有面积区别，如“M头牛吃W亩草”时，N用“M/W”代入，此时N代表单位面积上的牛数。【例5】有三块草地，面积分别为5、6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长的一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？（）A.8B.9C.10D.121本讲答案：BADDBCA第八讲：边端问题2课前自测【自测题1】（河南招警201150）把一根钢管锯成5段需要8分钟，如果把同样的钢管
27、锯成20段需要多少分钟？（）A.38B.40C.48D.64【自测题2】（福建秋季事业单位2011-66）有48辆彩车排成一列。每辆彩车长4米，彩车之间相隔6米。这列彩车共长多少米？（）A.360B.474C.480D.4871知识点边端问题是一类特殊的计数问题，这类问题建立在几何意义的模型之上，需要考生通过平面几何的思维和想象力来理解，才能有效完成答题。其中：理解与牢记各类题型当中的1关系”，是解答“边端问题”的关键。边端问题包括“植树问题”、“方阵问题”、“排队问题”、“爬楼问题”、“锯管问题”等等。1例题精讲【例I】（重庆村官2011-95）将一根钢管截成3段需要12分钟，如果每截一次所
28、需的时间相同，那么将这个钢管截成4段需要（）分钟A.20B.16C.18D.24【例2】（重庆选调2010-78）长度为250米的马路上每隔5米植树棵，则该条路上共有树木几棵？（）A.50棵B.51棵C.52棵D.53棵【例3】（安徽2011-8）某学校的全体学生刚好排成一个方阵，最外层人数是108人，则这个学校共有多少名学生？（）A.724人B.744人C.764人D.784人【例4】（陕西事业2010-110）某部队阅兵，上级要求其组成一个正方形队列。预演时上级要求将现有队形减少一行一列，这样将有35人被裁减。那么，原定参加阅兵士兵有多少人？（）A.289B.324C.256D.361【例
29、5】（江苏2009-74）有一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人,中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是（）oA.296人B.308人C.324人D.348人【例6】（山东2009-107）某单位有78个人，站成排，从左向右数，小王是第50个，从右向左数，小张是第48个，则小王小张之间有多少人？（）A.16B.17C.18D.20【例7】（河南招警2011-44）在某条街道上，沿街店面的门牌号码是这样的：在街道一侧从1开始，依次用连续的奇数排号；对面的侧则用连续的偶数。小王家的店面是79号，如果从这条街的另一端开始排号，则他家的店面是163号。那么他家店面的街道这一侧共有多少个店面
30、？（）A.122B.121C.120D.119【例8】（内蒙古2009/3）李先生去10层楼的8层去办事，恰赶上电梯停电，他只能步行爬楼。他从第1层爬到第4层用了48秒，请问以同样的速度从第1层爬到第8层霜要多少秒？（）A.112B.96C.64D.481本讲答案：ABCBDBBCBA第九讲：行程问题（上）2课前自测【自测题1】（深圳事业2010A-27）成大妈早上8点从A镇乘坐时速16千米的乡村客车出发去C镇赶集，途径B镇在亲戚家吃饭，歇息了1个小时，接着从B镇换成时速40千米的公路客车去C镇，下午3点到达C镇，已知A、C两镇相距180千米，问A、B两镇距离？（）A.40B.50C.70D.
31、80【自测题2】（江苏2009A21）A、B两山村之间的路不是上坡就是下坡，相距60千米。邮递员骑车从A村到B村，用了3.5小时；再沿原路返回，用了4.5小时。己知上坡时邮递员车速是12千米/小时，则下坡时邮递员的车递是（）。A.10千米/小时B.12千米/小时C.14千米卜时D.20千米/小时1知识点n核心公式：路程=速度时间；n常用方法：列方程、解方程；n解题关键：找准“量间二维关系”，快速列方程，精确解方程。1例题精讲【例I】（河北201038）小张和小王同时骑摩托车从A地向B地出发，小张的车速是每小时40公里，小王的车速的每小时48公里。小王到达B地后立即向回返，又骑了15分钟后与小张
32、相遇。那么A地与B地之间的距离是多少公里？A.144B.136C.132D.128【例2】（上海2011B63）一辆汽车从A地出发按某一速度行驶，可在预定的时间到达B地，但在距B地180公里处意外受阻30分钟，因此，继续行驶时，车速必须增加5公里，才能准时到达B地。则汽车后来的行驶速度是（）。A.40公里/小时B.45公里/小时C.50公里/小时D.55公里/小时【例3】（四川2010-7）某快速反应部队运送救灾物资到灾区。飞机原计划每分钟飞行12千米，由于灾情危急，飞行速度提高到每分钟15千米，结果比原计划提前30分钟到达灾区，则机场到灾区的距离是（）千米。A.1600B.1800C.205
33、0D.2250【例4】（北京2011-72,北京社招2009-20）骑自行车从甲地到乙地，以IO千米/时的速度行进，下午1点到乙地：以15千米/时的速度行进，上午H点到乙地，如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？A.11千米/时B.12千米/时C.12.5千米/时D.13.5千米/时【例5】（河南选调2011-46）小明从家到学校时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从学校回家时，前1/3时间乘车，后2/3时间步行，结果去学校的时间比回家所用的时间多2小时。己知小明步行每小时行5千米，乘车每小时行15千米，那么，小明从家到学校的路程是（）千米。A.17（）B.150C.I（X）D.9（
34、）1本讲答案：ADCBBBB第十讲：行程问题（下）2课前自测【自测题1（安徽2011-5）甲、乙两人同地同向直线行走，其速度分别为7千米/时、5千米/时。乙先走两小时后甲才开始走，则甲追上乙需（）。A.4小时B.5小时C.6小时D.7小时【自测题2】（河北事业单位20H-IO）一条单线铁路全长500千米，每隔25千米有一个车站，甲、乙两列火车同时从两端出发，甲车每小时行135千米，乙车每小时行驶65千米，为保证快车正点运行，慢车应给快车让路，为使等候的时间尽量短，乙车应在出发后第（）个车站等候甲车通过。A.5B.6C.7D.101知识点n比例原则：1 .时间相同，则路程与速度成正比；2 .速度
35、相同，则路程与时间成正比；3 .路程相同，则时间与速度成反比。n相遇追及、流水行程问题核心公式：合成速度=速度1速度2n双人环形运动:第N次迎面相遇时，路程和为N个全程（反向运动）第N次背面追上时，路程差为N个全程（同向运动）n双人往返运动：第N次迎面相遇时，路程和为2N-1（奇数列）个全程第N次追上相遇时，路程差为2N-1（奇数列）个全程1例题精讲【例1（浙江2011-52）A大学的小李和B大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于A、B两校之间。现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇。问A、B两校相距多少米？（）A.1140米B.980
36、米C.840米D.760米【例2】（上海2012A-60）一艘船从A地行驶到B地需要5天，而该船从B地行驶到A地则需要7天。假设船速、水流速度不变，并具备漂流条件，那么船从A地漂流到B地需要（）天。A.40B.35C.12D.2【例3】（河北事业单位2011-21）自动扶梯以匀速自下向上行驶，甲每秒钟向上走1级梯，乙每秒钟向上走2级梯，结果甲30秒到达梯顶，乙20秒到达梯顶，该扶梯共有（）级。A.40B.60C.80D.100【例4】（深圳市2011-8）英雄骑马射箭，路遇猛虎，相距50米，适逢箭矢已尽，遂驱汗血宝马逐之，意欲生擒。今知宝马步幅较猛虎为大，宝马2步值猛虎3步，然猛虎动作较宝马迅
37、捷，宝马奔跑3步之时猛虎已经狂奔4步，则英雄追上猛虎之时，汗血宝马跑了（）米。A.320B.360C.420D.450【例5】（江苏2（HIB类-90）甲乙两人从运动场同一起点同时同向出发，甲跑的速度为200米/分钟，乙步行，当甲第5次超越乙时，乙正好走完第三圈，再过1分钟时，甲在乙前方多少米？（）A.105B.115C.120D.125【例6】甲每小时速度35千米从A地去B地，乙的速度是每小时15千米从B地去A地，两人相向而行，第三次和第四次相遇两人的距离是I（X）千米，问A、B两地距离是多少？A.50B.100C150D.250【例7】（深圳市2011-7）甲乙两人从P,Q两地同时出发相向
38、匀速而行，5小时后于M点相遇。若其他条件不变，甲每小时多行4千米，乙速度不变，则相遇地点距M点6千米；若甲速度不变，乙每小时多行4千米，则相遇地点距M点12千米，则甲乙两人最初的速度之比为（）。A.2：1B.2：3C.5：8D.4：31本讲答案：BBDBBDDDA第十一讲：几何问题2课前自测【自测题1】（江苏20IlC类.34,江苏20IIB类91）过长方体一侧面的两条对角线交点，与下底面四个顶点连得一四棱锥,则四棱锥与长方体的体积比为多少？（）A.1：8B.I：6C.1：4D.1：3【自测题2】（浙江2011-54）已知一个长方体的长、宽、高分别为10分米、8分米和6分米，先从它上面切下一个
39、最大的正方体，然后再从剩下的部分上切下一个最大的正方体。问切除这两个正方体后，最后剩下部分的体积是多少？（）A.212立方分米B.200立方分米C.194立方分米D.186立方分米1知识点n几何问题一般涉及到几何图形的边长、周长、面积、表面积、体积等相关变量，我们首先需要掌握最基础的几何公式，定位相应公式进行计算：n对于不能直接利用公式的题目，我们往往通过“割”、“补”或者“平移”变成规则图形，然后利用公式进行计算：n几何问题有很多重要的特性，很多题目可以利用这些几何特性来解答。1例题精讲【例1】（江苏2010A26）一个正方体与其内切球体的表面积的比值是（）。A.lB.3/C.611D.2【
40、例2】（国家2012-80）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如下图所示己知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米？（）A.I82B-242C.36D.72【例3】（北京社招2010-80）某单位计划在一间长15米、宽8米的会议室中间铺块地毯，地毯的面积占会议室面积的一半。若四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的宽度为多少？（）A. 3米B. 4米C. 5米D. 6米【例4】（2010年425联考-91）个正三角形和个正六边形周长相等，则正六边形面积为正三角形的（）倍。A.2B-1-5C.3D.2【例5】如右图所示：三个半径为5cm的圆，每个圆都过另外两个圆的圆心。请问阴影部
41、分的面积之和为多少平方厘米？A.29.25B.33.25C.39.25D.35.35【例6】（湖北2009-100）在右图中，大圆的半径为8,求阴影部分的面积是多少？A.120B.128C.136D.144一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，贝J:1 .所有对应角度不发生改变2 .所有对应长度变为原来的m倍3 .所有对应面积变为原来的而倍4 .所有对应体积变为原来的ri?倍【例7】（深圳教育2010A-56）等边三角形的每条边增加1/3倍，则它的面积增加了（）倍。A.I9B.13C.7/9D.4/3【例8】（山西政法2009-97）如图，正方体ABCD-AlBICQE为棱CC的中点，如果将正
42、方体的棱长扩大到3倍，则四面体E-AIBD的体积扩大为原来的多少倍？（）A.3B.9C.18D.271本讲答案：BBCCCBCBCD第十二讲：年龄问题2课前自测【自测题1）（河北招警201033）甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问多少年前，甲、乙的年龄之和是丙、丁年龄之和的2倍？（）A.4B.6C.8D.12【自测题2】（云南村官2009-20）前年，父亲年龄是儿子年龄的4倍；后年，父亲年龄是儿子年龄的3倍。父亲今年（）岁。A.32B.34C.36D.381知识点一般来说，年龄问题通过方程法解答最为有效，而“年龄差不变”是题型的核心所在。1例题精讲【例I】（2011年424
43、联考41）刘女士今年48岁，她说：“我有两个女儿，当妹妹长到姐姐现在的年龄时，姐妹俩的年龄之和比我到那时的年龄还大2岁。”问姐娟今年多少岁？（）A.23B.24C.25D.不确定【例2】（北京201L85）一个三口之家的年龄之和为99,其中，母亲年龄比父亲年龄的3/4大7岁，儿子年龄比母亲年龄的1/5大7岁。问多少年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍？（）【例3】（河北2009-118）在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁。家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子。父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁。四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁，现在儿子多少岁？（）A.3B.4C.5D.6【
44、例4（内蒙古2009-10）哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在年龄的和是30岁。问哥哥现在多少岁？A.15B.16C.18D.19【例5】（北京应届2007-16）爸爸、哥哥、妹妹3个人，现在年龄和为64岁。当爸爸是哥哥年龄3倍时，妹妹是9岁，当哥哥是妹妹年龄2倍时，爸爸34岁。现在爸爸的年龄是（）岁。A.34B.39C.40D.42【例6】（北京应届2008-15）甲、乙两人年龄不等，已知当甲像乙这么大时，乙8岁；当乙像甲这么大时，甲29岁。问今年甲的年龄为几岁（）A.22B.34C.36D.431本讲答案：BBCBACCA第十三讲：容斥原
45、理（上）2课前自测【自测题1（上海2012A-61）某班有50位同学参加期末考试，结果英文不及格的有15人，数学不及格的有19人，英文和数学都及格的有21人。那么英文和数学都不及格的有人。A.4B.5C.13D.17【自测题2】（重庆法检2011-66）某专业有学生50人，现开设有A、B、C三门选修课。有40人选修A课程，36人选修B课程，30人选修C课程，兼选A、B两门课程的有28人，兼选A、C两门课程的有26人，兼选B、C两门课程的有24人，A、B、C三门课程均选的有20人，那么，三门课程均未选的有（）人。A.1B.2C.3D.41知识点n公式法：适用于“条件与提问”都可以直接代入公式的题
46、型：n图示法：”条件或者提问”不能完全使用公式代入时，利用文氏图求解。1例题精讲核心提示两集合容斥原理公式：的个数+的个数一的个数=-的个数【例1】（河南事业201053）某小学某班学生总数为52人。在一次考试中有46人语文及格，有44人数学及格。若这次考试中，语文和数学都不及格的有4人，那么这次考试语文和数学都及格的人数是：A.22B.28C38D.42【例2】（河北2OII9）某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，3。人具有高级职称，12人兼而有之.没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员是多少人？（）A.13B.IOC.8D.5【例3】（黑龙江2010-50,广东2008-13）某单位派60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色稚子.其中有12人穿白上衣蓝穆子，有34人身黑稚子，X人身黑上衣，那么身黑上衣黑裙子的有多少人？（）A.12B.14C.15D.29IAUB
