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1、点集拓扑学畅想系列第一章：关系与映射第一节集合及其运算集合论的发展历程：集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在数学理论中得到了广泛的运用。集合的定义：公认定义：具有共同归属的对象的全体称为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。（集合的归属性指的是元素满足该集合的要求），我把该定义中的属性改成了归属，一个定义必须文字表达要准确，属性和归属性是两个完全不
2、同的概念，这里用归属性比较恰当。例如：三个没有共同属性的正交向量组成的集合bn,很显然只能用归属性定义集合，否者就会有矛盾，产生悖论。个人（本人）定义：我们在各种或者所有对象中按照某种要求进行抽样，把抽出的对象集中起来作为一个群体来研究，因此把所有符合或者满足要求的具有相同归属性的个体称为集合。所以群体之间是有归属性差异的，不会有两个完全一样的群体或集合。群体或者集合中的对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合，也可能是没有包涵关系的子集。当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幕集族。全集的一部分称为子集，幕集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母
3、代表，其中元素用小写代表。集合的表示方式：1枚举法一般在大括号里罗列出集合的元素，如下：a9b,c91,2,3,1,2,3,*,三,大象,人2文字语言描述法用文字语言来表达构成集合的要求：某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。3图示法4数学关系描述法或者数学语言描述法用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，或者用数学表达方式来抽象的替代构成集合的要求，为了便于数学分析与研究我们一般用这种数学表达方式来抽象的描述集合，如下：xXlM6或者巾X,啕对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论，比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句
4、话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。又比如：R=kk任M如果R是一个集合，那句?是不是这个集合的元素呢？也就是说=R?很显然R是这个集合中的元素与不是这个集合中的元邦B是矛盾，所以这样糠述欠妥，所以我们采脚面的分离模式表示盘就合理了R=kwXx任R,RuX同时说明一个集合不可能是该集合的元素集合的关系符号：(=3CUCD()如果在集合A中的某个元素a属于它那么记为A否则WA；如果集合B中的元素包含在集合A中我们记为BNA或者A=8,这时当A中元素有多的异于8中的元素时记为BuA或者An5;当A与3中元素相同时我们称它们相等记为A=B集合的运算：运算符号：交c,并u,差补A,A
5、uB=xA或者XM,AnB=xA月X1幕等律：ACA=AADA=A2交换律：AnB=BnAAuB=BuA3 分配律：AC(BUC)=(AC5)U(ACC),Ad(8cC)=(AdB)c(AdC)4 结合律：An(BnC)=(AnB)nC,Au(BuC)=(AuB)UC5 DMorgan律：A(3CC)=(A5)=(AC),A(6DC)=(A8)C(AC)6 AX(BCC)=(AX3)C(AXC)Ax(3UC)=(AXB)=(AxC)7 X-(X-A)=AnX,若AqX,则X-(X-A)=A8 ACB=AOAqBoAdB=B集合中的每个元素可能是一个集合，这样的集合有两种，第一种虽然集合中的元素
6、是集合但是该集合只做为一个对象或者个体，与集合中其它对象(这里的对象是集合)没有包含关系和没有共同的全集，我们把这样的集合一般不称为集族，比如集合，(一群人，一群大象，一群羊,一群人，一群大象，一群羊都是集合，而此它们都是作为集合中的一个元素而不是一个面，且集合之间没有包含关系，作为元素的各集合没有同的全集和一般集合中的元素循本质区别第二种是集合中的元素都是集合，但是这些集合有一个全集，它们和全集有包含关系，我们把由全集的部分子集作为研究对象构成的集合称为子集族。这种子集族中的元素和一般集合中的元素是有区别的，我们把全集X的所有子集放在一起称为幕集，用P(X)表示。点集拓扑学主要研究的是第二种
7、情况，下面给出指标集族的定义：子集族：给定一个集合X,XjqX,把X的所有子集拿来构成一个集合称为X的幕集P(X),把募集中有一部分子集或者全部拿出来构成一个集合，我们称为子集族。数列4=%Lz,数列可以看做定义域在正整数集或者子集上的函数或者映射，其中元素可以有相同的，但是数列中的元素必须是有序的，也就是说遵循正整数由小到大的排列顺序规律。而集合中的元素是无序的，互不相同的，这就是区别，但是有的集合中每一个元素也是可按自然数由小到大编序的，编序的集合称为集列，集列包括集族列，把其中元素进行编序而构成的集合为有标集合。下面给出有标集族的概念：给定一个集合人对于任意不同的J,存在不同的集合A,我
8、们把所有不同的Aj全体称为有标集族A=(Aj)止八称/为指标集，为有标集族中某个集合元素的指标，当任意4都是某个集合X的子集时，这时候的有标集族为有标子集族。同理我们把任意集合中的元素按自然数由小到大进行编号或者建立集合X到自然数集N之间的映射/,这时自然数集为指标集，这种有序有标集称为集列，这时指标集为自然数N,集列中的元素按自然数由小到大排列。当然有标集N也可以换作实数集，集族中的元素也可以按实数由小到大排列，这时集合中的元素形成一个序列。A=4：类似地，定义其并Uyr4(或UA)、交nA2(或nA),不定义。个集的交.与仃限集族仃相同的运算律，如DCMOrgan律A-LUAy=U(%-A
9、jA-efr=U片/八映射对应的集族性质：QerAz)=UzerA,)J(-&)=11rerf()r,(Lu4)=LU尸(玛)，尸(PUBy)=U尸(玛)幕集：任给集合X,X的所有子集作为元素构成个集合P(X)=AACX1称为X的塞集(powerset).X的密集的个元素是X的个子集.笛卡儿乘积任给两个集合XZ它们的笛卡儿乘枳(或卡氏积，Cartesianproduct)XXy指第个分量在X中，第二分量在Y中的有序对(,)构成的集(肛y)IxeX,yeY.两个有序对(叫M与(u,)相等当且仅当它们的两个分量分别相等，即a=4u=0.1 .若I=a1b,X=x,y,则4xX=(,x),(,t),
10、(,x),(,t).2 .实数集E与它自身的笛卡儿乘积RxR就是实平面.3 .任给集合X,Xx0=0xX=0.第二节集合中的关系对于集合X与y的笛卡尔集,存在它的一个子集RqXXy,子集R中的元素(x,y)R,我们说y是对于R二元相关记作为Ry,当X=Y时R称为X上的二元关系。若R是X到y的关系则：Rop=(y)yXX(x,y)M是y到X的关系，称为R的对偶关系。有(RJPyJ=R。集合X上的一个关系R如果是等价的那么必须满足三个条件：1自反的：A(X)=R,VxX,3(x,x)&即2对称的：KP=R,若XRy,且)火X3传递的：R。R=R,若xRy,yRz,则xRz(另外X上关系R称为反对称
11、的：Rw=(X)=idx,即(羽“)，,X)WR=X=y)。对于任意集合X如果他的子集R互不相交，所有子集的并为X,那么称R为X的一个划分中的等价类。如果笛卡尔积XXy的任意子集R互不相交，且所有子集R的并为笛卡尔XXy全集，那么R是Xxy的一个划分中的等价类，且集合R中任意的元(,y)互相等价，且和本身(,y)等价。恒同关系A(x)=Cr,jx,模P(素数)等价关系：modp=(x,y)eZZ3nZ9sJ.x-y=np,同枢关系等都是等价关系。（戈,）张/氏工外小于关系不是等价的它是传递的，不是对称的和自反的。R是X上的一个等价关系，存在X,集合卜=yX（x,）/?称为X关于R的等价类。我们
12、把（rxx叫作集合X关于R的商集，记作X/R。定律：如果R是非空集合X上的等价关系，则1 xX,WJxx,.x02 %,y关于R等价记Xyf则国=y3 ,yX,要么田=M要么国WIyI4 X=UXeXIxlOX上的一个等价类M是X上的某类划分中的其中一个部分，X的不同划分中X中的元素有不同的等价类，且各划分的各部分之间没有交集，所有部分的并为全集X,即X=UXeXx如下图是对集合X的两种划分：其中A是其中一种划分中的一个划分部分或者等价类或称等价类集，A中任何元素都是以A部分为等价的，A中的元素相对于A划分部分都称为同枉元，特别的A如果是点集那么里面的元素互称为点同胚，也有可能A本身就是由同胚
13、图形作为集合A的元素构成的集合。划分与同桩：集合的一个划分就是把一个集合进行等价关系分类，每个类别就是其中一个划分部分，这个划分部分由等价关系决定，这个类别称为等价类，等价类中的所有元我们称为同枉元，但等价关系不一定都是同胚关系。集合X的一个等价关系决定了某个划分中的一部分，反过来集合的一个划部分对应着一个等价关系。同枉指的是拓扑空间的图形满足拓扑不变性的映射关系的一类图形的搜集，一种同枉构成一个同胚集合，所有的同枉构成同枉点集或者同框图形集，同枉点集是把其中元素作为一个点处理，同胚点集中的等价关系不一定是同胚关系，比如索数集中每一个素数互为素数关系等价，也称为素数同胚点或元。图形同枉集里面的
14、每一个元为同胚图形，这个图形可以理解为一个集合。所有不同类型的同坯族的并是全集X称为同胚族全集。它相当于把同胚族全集X划分为不同类型的同胚集。使拓扑空间中的图形满足拓扑不变性的关系对应的映射称同枉映射，满足同枉映射的关系有多种，比如恒同映射，它是等价关系，不同的图形可能有不同的同枉，一个同枉集代表同胚族全集的一个划分部分，同胚相对于同胚关系互相等价。我们把在拓扑空间中满足图形的拓扑不变性的所有映射或者函数统称为同枢关系函数，满足同枉关系的映射为同枉映射，同枉映射的因变与自变是拓扑图形，图形在同坯映射下互为同桩，所以同林映射与同枉关系不是同一概念，同杨关系包涵所有同枉映射。(拓扑学的语言表达准确
15、性很重要)。等价关系不一定是同胚关系，等价类中的元我们也互称为同胚，等价类中的元为点时称为点同胚；同胚关系一定是等价关系。第三节映射映射是集合之间关系的一种术语，是在纯数学中讨论的一个基本数学概念，比如代数学，解析函数，微积分中都离不开映射，映射的应用是很普片的。映射由三部分组成：定义域，值域，对应法则，在定义域X中任意一个取值A按照某种对应法则/在值域y中都有唯一确定的值)，与之对应。然而在点集拓扑学里我们这样来定义映射:给定两个集合AB以及它们的一个关系RsAB,存在集合X=Ay=B,如果集合A中某个元素.rXf集合B中存在唯一的元素.vY,使得x,y对于R相关，BPxRy,我们称关与R建
16、立了A的子集X到B的子集Y的对映法则了,这时候我们称在关系R下建立了定义域X到值域Y的映射、广XfY,映射的原像称为定义域X,映射的像称为值域Y,记映射f.XY或广Ax品,XqA丫G8。在点集拓扑学中有时为了分析问题的方便把映射统一写成f.XY9这时候的映射/表示从集合X的某个子集到K的某个子集的映射。两个映射工X,人*2%相同，当且仅当=2,X=U，工二人。由广y求原像的过程是该映射的逆过程，记为rx设f:X-TY是映射.则f的图像graph(f)=(x,f(x)xX)是X到丫的一个关系，称为由f诱导的关系.特别的，graph(1x)=idx,即X上的恒等映射诱导X恒等关系.因此有时我们也把
17、X上的恒等映射1x写作idx函数：fy像：VAX,（八）=(xA原像：VBYy/-,(B)=rX(x)B-一一般不是映射，可能只属于关系！逆(inverse)：,KXo广()=X()BVBy0S)-,(ab)=1（八）U-,(b)-,(A)=1(),()尸(A8)=尸(4)尸尸（八）=(尸（八）)。AC相对于全集X说的。几种映射：单射:存在映射fXY,如果集合X中存在任意的不同元素X,按照对应关系了在集合y中都有不同的唯一元素V与之对映称之为单射。这里的单射不一定是单调映射或连1,X=O续映射，如分段函数/(x)=X,0X1,在定义域0,1内不连续不单调0,x=l满射：存在映射/：x-Y,如果
18、集合X中存在元素X,按照对应关系/在集合Y中都有唯一元素.v与之对映且y中没有多余的元素称为满射，像与原像基数的关系：cardf()CclrdfT(B)一一映射(双射)：/：Xfy即是满射又是单射称为一一映射，一一映射不一定是单调成连续，但是可逆映射。可逆映射：可逆映射必须左可逆和右可逆，如果映射f：Xy是单射那么左可逆g。/：xx=i(x)；若/：xy是满射则右可逆/。g：yy=i(y)；若/：xfy既是单射又是满射，那么右可逆同时左可逆，双射是可逆映射但不一定连续。常值映射：fXaf无论.、取X中何值，。都不变。恒同映射：QXX1()=/称为恒同映射，记为/(X)或i(X)映射的复合：/：
19、y，g：yz,则称g。广z为它们的复合函数，荀：xy,giyz,rzw,则/。心)=/=兀/(/1。力)=(g)/若是单粉:Xfy,存在映射g,AZX,当且仅当。g=ng=b则树为左可消。若是满Lxy,存在映物,11yz,当且仅当gaf(b)4任给4口乂,8口匕41尸一。尸(4),8&尸。尸一(3),/:4-8不是满射5任给的X的子集族队L，尸(U4A)=U4尸(4)6任给的Y的子集族,尸一(ru5)=r(B)厂(U百瓦)=UmF-7任给的BqR尸(y-8)=X-(8),XV是满射。证明：仅以3,4为例F（八）Bcx(x)硼旷（八）=B,A=/一(/（八）)U41,3得证对于4因为F（八）A)
20、由3我们知4尸-伊（八）)=1。F（八）设广Xfy,gZ是映射,令h=gT,H=(g0fY,H-=(gr*1H=GOF2H-=F-。G-证明2：HJF-oG”都是以P(Z)为定义域，P(X)为值域的映射，任给CP(Z)H-(C)=(gof)”(C)=xX4go(x)c=xX(-)c=xX(x)G-(C)J=rXxF-(G-(C)J=IXX*FG-(C)=FoG4-(C)类似的可以证明1.设/：X一y是映射.任给X的子集A把/的定义域限制在A上得到的映射称为/在A上的限制，记为力力：A一y；把/的值域限制在它的像集尸(X)上得到的映射称为/的值限制,记为俨：X一f-(x)此外用fo：尸(X)一y
21、记尸(X)在Y中的含入映射.显然/是满映射，/o是单映射，并且有/=,因此任何映射都可分解为个满映射和个单映射的复合.现在我们从映射的角度来看子集族的概念.回忆若集族人=(4力0中的每个元素也都是集X的子集,则称/为X的子集族.由于任何一个集族A=(4)拒7是它的并LM的子集族，因此只考虑子集族不会有什么损失.读者或许已经意识到了集X的个子集族(4)拒7本质上是指标集J到森集P(X)的一个映射/：J一p(),=.反过来，任何以P(X)为值域的映射/的像集都可以看做X的一个子集族。任给P(X)的一个子集族儿通过含如映射iP(X)可以把A看作一个以他自身为指标集的X的子集族。特别的空子集族0UP(
22、X)(作为指标集族)在含如映射下对应的子集族是关于X的空族，若qAqP(X),则就是，的一个子族任给AqP(X)作为集族A中所有元素(X的子集)的并可描述为UA=巾AA,xA特别的U。=。，若非空AqP(X),它中元素的交描述为DA=M任意AAxA注.任给集合X,由于0XX=0=XX0,从空集0到X或者从X到空集0都只有唯一的一个关系，即空关系0.当我们把空关系0看作0到X的关系时，由于0没有元素，空关系0满足命题1.16中的条件(FI)与(F2),因此它是一个从0到X的映射.当我们把空关系0看作X到空集0的关系时,若X不空，则空关系0不满足1.16中的条件(Fl),因此它不是一个从X到0的映
23、射.总结如下：空集0到任意集合X有唯一的映射；任意非空集到空集0没有映射.定义.若HWXXy是X到y的关系，SCyXZ是丫到Z的关系,X到Z的关系(xiz)XZY1(xiy)R并且(%z)S称为R与S的复合,记为SoR.1.任给集合X,(3j,x)xeX是X上的关系,称为X上的恒等关系，记为id.2 .任给集合X,WX=(gA)XXP(X)xeA是X到它的密集P(X)的关系.3 .(叫y)眼X股IV是肽上的关系，即严格小于关系.4 .(x,2)WiRX股2是眩上的关系，即小于或等于关系.5 .若R是X到V的关系,则AoP=(g,2)yXXlgMR是y到X的关系,称为R的对偶关系.R上严格小于关
24、系的对偶是严格大于关系;R上小于或等于关系的对偶是大于或等于关系.显然(op)op=R6 .设/：X一y是映射.则/的图像graph()=(x,(x)xeX是X到V的一个关系，称为由/诱导的关系.特别的，graph(lx)=id,即X上的恒等映射诱导X上的恒等关系.因此有时我们也把X上的恒等映射IX写作idx.命题：设XY是X到*J关系，存在映射rixy使得关系再秀导的图像函数graphR于graph(f)当且仅当礴足：1 任给的xX,存在yy,(x,y)R;2 若(x,yl)R且(x,y2)R则M=y2第四节集合的可数性及其与映射的关系基数：（申明：由于有关基数的定义存在很多问题，以后慢慢重
25、新完善，）对等：给定两个集合A8,如果AB之间存在一个一一对应，成者存在A到B的单射,且存在8到A的单射，我们称45的基数（M4加。/）是映射关联对等或等势，记为carclA=cardB.当两个集合中元素的个数的多少不一定相同时，如果他们之间建立一一对应关系时我们认为这两个集合元素个数等同。凡是两个有包含关系的集合等势称为同胚等势，同胚等势的两个集合的基数大小不一定相同，比如开区间（0,3）与开区间（0,6）很显然（0,3）u（0,6）,只有当这两个集合建立一一对应时才认为他们的基数同胚对等。再比如正整数集与偶数集可以同胚等势，但基数大小有别。例：自然数集与有理数集的基数是否对等？目前大家公认
26、自然数与有理数存在对应，所以基数对等或等势，本人认为自然数是有理数的真子集，他们之间不是同胚关系，一个是有理致密，一个是离散的，他们不可能建立一一对应，虽然可以通过所谓的蛇形串针法建立一一对应，但这种一一对应是不完备的，有缺陷的，理论上似乎可以，实际上把自然数致密到有理数的级别是不可能的，就算让自然数无限致密，自然数都是独立的个体,个体之间有间隙。我们认为他们都是可数集但不等势。定理：拓扑空间中两个图形如果属于同胚，那么可数性不变，即他们等势。在拓扑空间中一个同胚图形可以理解为一个点集,如一个半径为/的圆寂示所有属于该圆的点构成的集合，图形经过弹性变形，即在同坯映射下，得到另一个同枢图形，那么
27、这个集合的可数性不变。基数的对等指的是对同枉或一一对应而言的，基数可以理解为个数，但所有无限集的元素的个数都是无数个，有些时候两个集合中元素的个数明显不同但他们之间可以建立一一对应，所以无限集的基数用等势或者基数同枉来刻画，基数的大小用集合包含进行比较。有些无限集合是包含与被包含关系但它们可以建立一一映射的同胚关系，如上面的开区间（0,3）与开区间（0,6）,但是有些情况却不能是同胚关系，如偶数集和自然数集相对于整数集是真包含关系可以建立偶数集成者自然数集到整数集的嵌入映射的单射，所以互相不是同胚，他们的基数不等势的，无法建立同胚关系，但是可以建立一种扩延同胚关系，比如：函数y=2N,该函数的
28、定义域为自然数，而值域为自然数同胚的偶数集，我们把他称作偶数集相对于自然数集的同胚映射扩延，简称偶数扩延集，对于自然数与偶数我们称他们在自然数与偶数扩延集上是双射或同胚，其反函数也是双射或同胚，但是对于自然数集与偶数集本身不存在一一对应关系。偶数与自然数等势可以理解为扩延偶数与自然数等势，相当于实数集经过弹性变形后自然数的点全部对应在扩延偶数点上，同时说明必须要相当于两个偶数集的集合才能和自然数集建立一一对应，也就是说两倍偶数集的基数等于扩延偶数的基数。当然我们把有理数也可以进行扩延使其与其幕集一一对应。偶数集并上自然数1,可以建立到偶数扩延集的某个子集上的一一对应，与偶数集无法对应，因为他多
29、一个点1.不论是偶数集的扩延还是有理数集的扩延统称可数集的扩延，扩延的稠密性不变，当然还有不可数集的扩延，稠密性也不变，有理数集，无理数集，实数集都是无限稠密的，所以在同胚变换下稠密性发生变化基数不变，同胚包含关系不做比较，有真包含关系的不一定是同胚，比如上面说的两种情况。特别的两个集合存在一一映射，其中一个集合可数那么另外一个集合就算与那个可数集不是同胚关系我们说他也是可数的，比如有理数集与数轴上的有理点集是一一对应的但他们不是同胚，一个是数字集合一个是数轴上点的集合，但是我们按照同胚映射的定义认为他们是特殊同胚关系。比较两个集合元素的多少我们用包含关系加以区分，两个集合等势我们就说他们存在
30、一一对应或者他们是同胚关系，称基数相同。可数的定义：我们把与有理数集或其子集存在一一对应或同胚的集合称为可数集，特别的可数个可数集的并可数，可数集的事集可数但可数集与其号集的基数不对等即不存在一一对应或不是同胚关系；除此之外称为不可数集。同胚的集合指的是两个集合在同胚映射下互为同胚。比如自然数集与偶数集不属于同胚集，我们称他们的基数不对等，但都是可数集。我们称有理数集与数轴上的有理点集为一一对应对等，或一一对等。性质：（特别的，实数集的基数不可能与自然数的事集基数对等，因为它们不是同枉,不能建立双射，何况证明过程有错）1任意无限可数集可能相互等势也可能不等势，可数集与其幕集不等势，如果任意有理
31、开区间是同胚关系则相互等势否则不然，如自然数与偶数不等势（自然数与偶数是真包含关系但不是同胚所以不等势，），自然数与有理数不是同胚关系也不等势；任何不可数集可能相互等势或不等势，如果是同胚就一定等势，不可数集与其幕集不等势。可数集与不可数集不等势，因为可数集有洞，也就是间断点，比如缺少无理数，而实数集没有洞或间断点。特别的有理数是否和自然数等势我认为有理数是有理致密的，自然数是有理间断的所以不能等势，但是大家公认它们是等势的。2一条直线与直线上的任意非空开区间等势即是同胚关系，如果单从集合的包含关系分析它们的基数是不同的；任意无洞开平面邻域同胚等势；三维空间任意单连通开邻域同胚等势，比如同胚单
32、联通开球；高维空间任意单连通开邻域同胚等势。下面有一种蛇形串连法，把空间中的有理点串针似的通过伸缩蛇形鸾曲与自然数建立一一对应来达到基数对等，如下图。显然这种认为有不妥的地方，因为任意平面中的有理点要多于直线上的自然数点，所以这种蛇形串连方式是欠妥的不能成为判断可数与不可数的法则。3任意两个同胚图形基数对等或等势4我们认为任何集合的幕集要比该集合的基数大，6不可数集合的幕集的基数大于可数集的幕集的基数，任何等势的集合的幕集等势。如果cardACGZ/8是指A与B的某个真子集对等。当4B中元素的个数为有限个时称为有限集，当A3中元素的个数为无限个时称为无限集，在无限集中，如果A胃3,那么Card
33、AWeardB,比如A与B同时为同胚有理数集，或者同时为同胚实数集那么carclA=cardB,如果A为有理数集，8为实数集，那么CardAcardB如果carclACardB等侨于A的基数与B的某个子集的基数对等。两个基数相同的可数集或者不可数集它们元素的个数是否一样多呢？我们说基数等势的两个集合元素的个数相同指的是同胚或一一对应，实际上这两个集合可能是包含与被包含关系。注意两个同胚的集合它们的确密程度不同。我们说实数集与他的某个开区间基数对等指的是他们是同胚时。特别的偶数集与自然数集存在扩延同胚对应我们认为他们是扩延等势的。基数等势指的集合之间存在同枉关系或一一映射，之所以无限同胚基数对等
34、是因为它们都是无限的，元素个数都是数不尽的，所以两个这样的集合中总能找出对映的元索。不可数集的基数我们认为大于可数无限集。对无限集来说如果两个集合是同胚的那么它们同胚等势。目前认为如果一个集合4的基数与自然数N的基数对等即存在一一映射，我们称为可数集，即CGdA=N。但是通过上面的分析这种说法欠妥。实数包括有理数与无理数，所以包括有理划分与无理划分，我们称为不可数集。集合的分类：集合A = ,由上面的性质8可知Pfin(X)可数。推论：若集合X可数，则其事集P(X)可数。下面这些证明过程可谓挖空心思的想象：证明.只需说明NN可数.事实上映射f:NN-N1f(m,n)=2G居然是单射，因此NXN
35、可数.我想问一句当m,n取全部的自然数时，2m-3”还在自然数范围内吗？所以我们必须建立数集扩延的概念，规定可数集的扩延是可数集，不可数集的扩延是不可数集。那么T3属于自然数的扩延。(8)设AnInN)是一列可数集.因为An可数，存在单射f:An-N.定义f:jA-NN如下：f(x)=(n,f11(),其中相同的X可能在不同的A“中，所以ien=minmNxAj.容易验证f是单射.由上面的结论NXN可数，因此UAn可数neN推论.有理数集Q可数.证明.任给不为O的有理数X,把X写成最简分数p()q()(01)X=O的形式，其中q(x)21.定义f:Q-TZXZ如下：f(x)二4/、。、p(x)
36、qx),x0则f是单射.由于Z可数，ZXZ也可数，因此Q可数.由于Q可数，一个自然的问题是实数集R是否也可数？实数和无理数既不是可数集的同胚，又不能与可数集建立一一映射，既不是可数集的扩延，又不是可数集的增维，如果有理数是无限致密的那么无理数是无限高阶致密的，所以我们认为他是不可数的。这里大家可以体会无穷与高阶无穷大和无穷高阶无穷大,任意一个有理数我们可以通过开次方或无穷高阶次方来得到无穷多甚至无穷高阶的无穷多个无理数，这还不包括仁乃等特殊无理数，通过这些研究，你就会发现无理数无法用有理数方式表达，包括有理数扩延，增维等方式，称为不可数集实至名归。(等不等势要么是同胚要么存在一一映射，实数集与
37、自然数的幕集不是同胚也不能证明存在一一对应，所以基数不等势。然而下面是普片认为实数集与自然数的幕集等势的证明过程)：定理：任给集合X,不存在满射f：XfP(X).证明：X是集合X中的任意元素，在集合X中至少可以找到一个不包含A的子集，不同的X可以找到不同的子集且不包含J所以设映射/:XP(X),对于任意TX,/(x)是X的一个子集，且任意的工对应不同的/(x),因此/：XP(X)是X到P(X)某个子集上的一一映射，令A=xeXx任/(x)MX)很显然直观上不存在xX,使得f(x)=A,所以/不是满射，也可以用反证法来证明这一结论，假设/()=A,考虑以下问题：。是否属于A?如果4,由A的定义a
38、f()=A,矛盾；如果eA,由A的定义f()=A,仍然矛盾，这就证明/不可能是满射。这个定理表明集合X与他的幕集P(X)不等势，寡集含有更多的元素，特别的不存在从自然数集N到他的募集P(N)的满射，自然数集与他的嘉集不等势，但是由上面的性质8可以证明事集P(N)也可数。这一结论和下面的证明是截然不同的，下面认为事集P(N)不可数且自然数的募集与实数等势。证明.设/：X一。(X)足映射.任给x,/Q)是X的个子集.令A=xeXxf(x)P(X).我们证明不存在1X使得/(Z)=4因此/不是满射.下面用反证法来证明这一结论.假设/()=4考虑以下问题：a是否属于?如果aE4,由4的定义,a4f(a
39、)=,矛盾；如果。84由4的定义,/()=4仍然得到一个矛盾.这就证明了f不可能是满射.这定理表明集合X与它的基集。(X)不等势，曷集P(X)含有更多的元素.特别的，不存在从自然数集N到它的哥集P(N)的满映射,因此。(N)不可数.定理L31的证明方法称为Cantor对角线方法(diagonalargument).我们以X=N为例来说明这一名称的来由.任给N的子集A,建立一个由0,1个构成的序列如下：l,nA%,即心满足凡=K.显然N的不同子集对映不同(0,1)的序列，反过来任意一个(0,1)序列确立了N的一个子集卜N4=1或。，例如空集对映常值序列：0,00，设映射/：NP(N),任给N令(
40、O,即%”表示由/(zz)对映的N的子集确定的序列，把这些(0,1)序列排列起来我们得到一个无穷矩阵：。00，。01，。02aGaa220，21，。22.利用这个矩阵对角线定义一个(0,1)序列,配员,勿其中H:H=O这样序列确定的N的子集Nblt=1=Nann=Nbn=1,史/()这就是CawOr对角线方法中J于N的子集A,他与任何一个子集/()都不相同，所以/:NP(N)不是满射。对于单射f,XY两个无限集合都可数，那么不一定同时存在X到Y的单射和Y到X的单射。对于单射/：XfY,可知集合y中元素不比X中少，下面的Bernstein-Cantor-Schrder定理说如果Y的元素不比X的元
41、素少，X的元素也不比Y的元素少，则X,Y的元素一样多.为了证明这一结论，下面先给出拼接概念：设集合X,YtiiejX的一个覆盖，映射族fiAlYieJ称为相容的若对任意的zJJ,/(A.nA.)=/(AnA.),特别的若m/是X的一个划分，则任意的一族映射。：4一件/相容，若：A5c是一族相容的映射，则它们的拼接映射:=Uw=Xy,定义如下：F(X)=/GI若a定理：(BernSteiICantor,Schr6der)若存在单射/:XY及g:YfX,则X,Y等势。(注明，当集合XJ都是无限集，且存在包含关系，我们称这种等势为扩延或同胚等势)令8=(NXX,yW/(x)任给B中一点y0f交瞽作用g于/我们得到一个序列：Go)：yyv由于/：Xy与g：yx是单射，在序列Myo)中只要7就有果wwt,yHWyw,Y中所有出现在序列MyO)中元素构成一个集利用/小是单合，记为Gv0fX中所有出现在序列MyO)中的元素构成的集合记为Hv0,射则gJ%M与W分别是X,Y中两两不相交的子集族，令U=U,日乩Ow=UwsG.m任给的.v8,对映居L,是g.。到G、。的一个双射，这些映射拼接起来其就给出了一个双射：UV,由于/是单射，由于UW等势，所以/相对于集合UW是双射，因此有以下性质：xX(x)V,xt/,这等价于VXX(x)y/VUxXU,因为任给的
