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1、函数奇偶性一、单选题1.己知/(X)是定义在(2-6,a)上的奇函数，且“力在0,)上单调递减，则不等式f(3x-l)(l-4x)的解集为()(12123、21(2a-ybMcLvjJd42 .下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增的是()A.y=4xB.y=xsinxC.y=x2+xD.y=x+l3 .偶函数/O)在区间-2,-1上单调递减，则函数/()在区间工2上()A.单调递增，且有最小值/B.单调递增，且有最大值了C.单调递减,且有最小值f(2)D.单调递减，且有最大值2)4 .己知定义在R上的偶函数，(力满足，对于任意占，x2(yo,0)且工产士，都有Iy(K)-f(x
2、2)-x2)v,d=log2y,b=(403),c=(0.42),则下列不等式成立的是()A.abcB.cbaC.cabD.bca5 .函数f(x)=x2T的图象关于()a.X轴对称b.y轴对称c.坐标原点对称d.直线y=轴对称6 .如果函数/(x)=Y+bx+c对于任意实数，都有/(2+f)=(2),那么()A.2)(1)(4)B.D(2)(4)C.4)2)(I)D.贝2)仅4)勺U)7 .下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+lB.y=x3C.y=-D.y=dX8.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的罚，x2(-,O(x2),有，/)(xJo且2)=o,则不等巧
3、一芭式叨立o的解集是()a.(e,-2)52,*)B.(-2,0).(0,2)5xC.(-2,0)(2,+)D.(-,-2)j(0,2)9.定义在R上的偶函数f(),对任意牛毛0，*0)区工毛)，有JJ)O,则()jfIX2A.f(-2)v(I)VfB./(l)(-2)(3)C./(3)/(-2)/(1)D./VAI)/(-2)10.若定义在R的偶函数f(x)在(y,0上单调递增，且f(-2)=0,则满足V(X)0的X的取值范围是()A.(00,2)-(0,2)B.(-2,0)lj(2,+)c.(2)lj(2,+)D.(2,2)11 .定义在R上的奇函数/(x),当x0时，/(x)=x2-3x
4、+1,那么，(一3)的值是()A.1B.-1C.19D.-1912 .函数f。)=log”(gx2+1-3q(0且1)的图象()A.关于X轴对称B.关于Iy轴对称c.关于直线y=对称D.关于坐标原点对称13 .已知定义在/?上的函数/*),满足人1)+/(力=0,/(5刈=，(5+助，H/(1)=2022,则/(2020)/(2021)=()A.2026B.4044C.-2022D.-404414 .已知函数“力是定义在R的奇函数,满足f(x+l)=f(r+l),当x0,l时，f(x)=BT,则2021)=()A.e-1B.0C.1-eD.2019二、填空题15 .若奇函数“力的定义域为R,/
5、(x2)=-(x),且当X一1。)，/(x)=-+2x2,贝=.16 .己知y=(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x3+2xt则在x0时，/(x)=ex+x,则力在R上的解析式为.三、解答题18 .己知函数/(无)=。一亍、是R上的奇函数，acR.(1)求的值.(2)用定义证明：函数/(力是R上的严格增函数.19 .己知定义在(TI)上的函数力=(1)证明/O)是增函数；(2)解关于f的不等式f(l)+)020 .己知函数/*)二?1是定义在(7,1)上的奇函数，且/2)=4l+x25(1)求m8的值；(2)用定义证明/*)在(T,l)上是增函数；(3)解不等式：-i)+fo.参
6、考答案I.B【分析】先根据奇函数求出的值，再利用抽象函数的单调性即可求出不等式的解集.【详解】解：因为/（%）是定义在（2-6m）上的奇函数所以2a6+4=0,得：a=2又外,在0,2）上单调递减所以/（力在（-2,2）上单调递减由f（3x-l）（l-4力可得：f-23x-l2L、23、-21-4x4。3(U0,据此分析可得答案.【详解】对于任意X,x2w(-,0)且XHX2，都有/(%)-/(%)(%得/(x)在(-8,0)上为减函数，因为/(X)为R上的偶函数，则/(x)在(0,*CI)上为增函数，且log=2,432,00,4240.420,所以c8v4.故选：B.5. B【分析】先看函
7、数的定义域，再看函数的奇偶性，结合函数的奇偶性，来研究函数的图象的对称性.【详解】函数/(X)的定义域是实数集R，关于原点对称，/(r)=(T)2T=X*-1=/(%)，是偶函数，函数/(X)图象关于y轴对称，故选:B.【分析】根据给定条件可得函数%)图象对称轴为x=2,再借助对称性、单调性即可比较判断作答.【详解】因函数f(x)=+bx+c对于任意实数/都有/(2+f)=(2),则其图象对称轴为=2,且/(X)在2,+)上递增，于是得/(2)f(3)Vf(4),而f(l)=f(3),所以/(2)f(l)f(4).故选：A7. B【分析】对选项运用奇偶性和单调性的定义，结合常见函数的奇偶性和单
8、调性，判断即可.【详解】对于A,y=+定义域为R,因为/(-X)Wf(X),J(-)-,所以此函数为非奇非偶函数，故y=x+l为其定义域上的增函数，但不是奇函数，排除A,对于B,y=/是奇函数且是增函数，故B正确，对于C,y=-为奇函数，但只在(一8,0)和(O,+oo)上分别为增函数，不是整个定义域X上的增函数，排除C,对于D,y=x4为偶函数，排除D.故选：B.8. D【分析】根据已知可得函数A)在(-,O上单调递减，由/(X)为偶函数，可得/V)在(0,+8)上单调递增，进而可得f(2)=f(-2)=0,然后利用单调性即可求解不等式.【详解】解：由对任意的*，甬(Y,O(.x2),W)*
9、)2时，/(x)0,当一2x2时，U)0,因为药3o.uo所以I八或八，x0所以x-2或OVXV2,BPX(-qo,-2)(0,2).故选：D.9. C【分析】由已知得单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，然后可得大小关系.【详解】解:因为对任意不与0，+8)(士工与)，有二Jg)2)(3),所以f(Df(-2)(3).故选：C.10. B【分析】根据函数奇偶性即单调性解不等式.【详解】因为定义在R的偶函数/(力在(y,o)单调递增，且f(-2)=0,所以/(x)在(0,+8)单调递减，K(2)=0,/、0fxO由双“)可得小)02i,-2x0所以满足*(x)O上的函数解析式，结合-
10、3)=-f(3),即可求解.【详解】由题意，定义在R上的奇函数“力，当x0时，/(x)=x2-3x+1,所以/(-3)=-/(3)=-(32-33+l)=-l.故选：B.12. D【分析】先根据/(-幻=-/。)可得答案.【详解】因为9Y+l9f,所以/(x)的定义域为XWR,因为/(T)=】og(V9x2+1+3xj=Iogrt19x2+1-3x=-W,所以/(%)为奇函数，故外的图象关于原点对称,故选：D.13. C【分析】根据题意可知函数是奇函数，进而推导/V)的周期，然后求出函数值即可.【详解】/(一工)+/(工)=。,二/(一%)=一/(%),./(幻是奇函数，QXWR,.J(O)=
11、O./(5一X)=/(5+x),.(-x)=(10+x),IX)=-f()由I；、/二,(外=/(20),./3的周期为7=20.f(-X)=/(10+X),/(l)=2022,/(O)=O././(2020)-/(2021)=/(0)-/(1)=0-2022=-2022.故选：C【分析】根据奇函数的性质求出。=1,再根据己知条件得出，(力是以4为周期的函数，即可求出.【详解】因为(同是定义在R的奇函数，且当x0,l时，/(x)=ex-l,所以/(O)=I=O,解得”1,又/(x1)=f(-x+1),则/(x2)=/(-x)=-/(%),所以/(x+4)=-f(x+2)=(x),所以力是以4为
12、周期的函数，所以,(2021)=f(505x4+l)=l)=e7.故选：A.15. -8【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及f(x+2)=-(x)分析可得函数/(%)为周期为4的周期函数,据此计算可得答案.【详解】根据题意，/O)是定义域为R的奇函数，贝Uf(-x)=-/。)，又由f(x)满足/(x+2)=-f(x)=f(-x),所以x+2+2)=-(x+2)=-(-x)=f(x),即/(x+4)=(x),所以函数/(x)为周期为4的周期函数；则/(1)=/(，当Xw7,0),/(x)=-+2x2,/ 得 可以 所故答案为：-三O16. f(x)=x3+2x【分析】任取x0,求出/(-幻，再借
13、助奇函数的定义即可计算作答.【详解】DxvO,则一x0,而当x0时，f(x)=x3+2xtTt?f(-x)=(-)3+2(-x)=-x3-2x,因函数V=/*)是定义在R上的奇函数，BP/(-X)=-/U),贝J-f(x)=-Y-2x,整理得/()=x3+2x,所以在x017. /(x)=0，4=0-ex+Xx0【分析】由奇函数的定义可得0)=0,由己知区间上的解析式，计算x0时，/(x)的解析式，可得所求的解析式.【详解】解：当X=O时，/(0)=0,当x0,则/(-x)=e-x,又/(x)为奇函数，.(x)=-(-)=Yr+X，e+x,xO/(-V)=O,X=O.-e-v+Xx018.(1
14、) I(2)详见解析.【分析】(1)根据/(x)=-温是K上的奇函数，由/(T)=成立求解；任取不毛火，且MVX2,判断，(内)-/(/)的符号即可.(1)2解：因为函数/(x)=-喜是R上的奇函数,所以/(r)=f(x),即。一落K=”汨722x2所以2。=+2x+l2+1解得a=h2由(1)知：/()=-r-,2+1任取,2R,且不0,因为为出，所以2再-2*20,所以/(x)-(w)o,即小)七)，所以函数/(%)是R上的严格增函数.19.(1)证明见解析%)【分析】(I)利用定义法，任取5再1,作差/()-(z),与0比较，即可得出结论；(2)判断函数为奇函数，从而不等式f(-)+f)
15、o即为-i)(),再根据函数的单调性列出不等式，即可得解，注意函数的定义域.则占)一=T_T=(；1+：口+为)，,-1X1x21,/.x1-x20,l+x；0,X.-lx1x20,./(x1)-(x2)0,J(X)在(Tl)上是增函数;(2)解：因为/(T)=言=-/5),所以函数/(力为奇函数,由/_1)+/(。0,得-i)v-/=/(-z),f()在(一1,1)上是增函数，.Tvr-lvl,解得：0p所以不等式解集为20.(1) a=,Zj=O：(2)证明见解析；畤【分析】(I)根据奇函数的定义及给定函数值列式计算作答.(2)用函数单调性定义证明单调性的方法和步骤直接证明即可.(3)利用
16、(1),(2)的结论脱去法则,解不等式作答.(1)因数/(%)=字当是定义在(-U)上的奇函数,则f(-)+f=o,即l+x-(r)+bt+力_2b_1+(-)2+l+x2l+x22解得/?=0,即有/(J=-j=f,解得4=1,所以。=1,b=0.由知,由X）=l + x2,x1,x2 (-1,1), x1 x2 ,frxf(r-XWXa+,)-2(l+k)(X1一占)(1一%X2)“玉广八、一病一0一(i+d)(i+W)-a+%；)。+,)因TVXlV2V1,则X0，而(l+xj)(l+后)0，因此，/()-()即/(x1)/(x2),所以函数r在（-1,1）上是增函数.(3)由己知及(1),(2)得：/(r-l)(O0(r-l)(-)-l-ll,解得0g,所以不等式-l）+/0的解集为：（0，）.
