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1、一元一次方程知识点及基础训练知识详解：一、等式的概念和性质1、等式的概念：用等号来表达相等关系的式子,叫做等式。2、等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。若白=8，则k=O;。等式的性质2:等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式.若=b,则卬=加2,=2（加Ho）mm注意：（1）在对等式变形过程中,等式两边必须同时进行.即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边。（2）等式变形过程中,两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同。（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式具有对称性,即
2、：假如=h,那么人=;等式具有传递性，即：假如q=b,力=。，那么=c;判断题2）S=L是等式；2M3）等式两边都除以同一个数，等式仍然成立；。（4）若x=y,则X+4-=y+4-?;下列说法不对的的是（）A.等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式；B.等式两边都乘以一个数,所得结果仍是等式；.等式两边都除以一个数,所得结果仍是等式；D,一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加,所得结果仍是等式；回答下列问题,并说明理由.（D由勿+3=加一3能不能得到=。？。（2）由5ab=6b能不能得到5=6?（3）由肛=7能不能得到y=Z?（4）由x=0能不能得至Jx+L=1?XXX
3、下列结论中对的的是（）ftA.在等式3a-6=3Z+5的两边都除以3,可得等式a2=+5；。8.假如2=-工，那么A=-2;C.在等式5=0.b:的两边都除以0.1,可得等式JV=O.5;4).在等式7x=5x+3的两边都减去x3,可得等式6x-3=4x+6;根据等式的性质填空(1)。=4一小则=a+b;(2)3%一5=9,贝13%=9+;(3)6x=Sy+3,则X=;gx=y+2,则X=.用适当数或等式填空,使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及如何变形的Kl)假如2=3+x,那么X=;。(2)假如x-y=6,那么x=6+;假如3-y=2,那么一y=2-;(4)假如3x=24,那
4、么x=.4二、方程的相关概念1、方程：具有未知数的等式叫作方程。注意:定义中具有两层含义,即：方程必然是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必然有一个待拟定的数即未知的字母，两者缺一不可。2、方程的次和元：方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元。3、方程的已知数和未知数已知数:一般是具体的数值,如x+5=0中(X的系数是1,是已知数.但可以不说)。5和0是已知数，假如方程中的已知数需要用字母表达的话,习惯上有。、b.。、小、等表达。未知数:是指规定的数,未知数通常用x、y、Z等字母表达。如：关于x、y的方程0r-2by=c中，。、-2bC是已知数，Xy是未知数。4、
5、方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。5、解方程:求得方程的解的过程。注意：解方程与方程的解是两个不同的概念,后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程。6、方程解的检查：要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，假如左、右两边数值相等,那么这个数就是方程的解，否则就不是。下列各式中,哪些是等式?哪些是代数式,哪些是方程？。3a4;x+2y=8;5-3=2；x-y；O-=3;3/+y=0；2/-3/；c3a(2)2y-2=3;(3)32-5x1;。(4)一1一1二一2;“5)4x-2=-x;(6)-=1.52在y=l、),=2、y=3中,是方程y=
6、10-4y的解.三、一元一次方程的定义。1、一元一次方程的概念只具有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的方程叫做一元一次方程。这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数。2、一元一次方程的形式标准形式：奴+6=0(其中w,b是已知数)的形式叫一元一次方程的标准形式.。最简形式:方程0r=h(0,%人为已知数)叫一元一次方程的最简形式.注意：(1)任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式,所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证，如方程Y+2x+l=x2-6是一元一次方程。假如不变形，直接判断就出会现错误。(2)方程Or=。与
7、方程OV=Z?(#0)是不同的,方程OX=力的解需要分类讨论完毕。下列各式中：x+3；2+5=3+4;x+4=4+x;,=2：x2+x+l=3;-4=4-x;X2国=3；f+=M+2)+3.哪些是一元一次方程？下列方程是一元一次方程的是()(多选)2A.xj=lB.2=5C.x=0D.av+l=3E.2x+3=547.2R=6.28己知方程(6?-3)/+7=O是关于X的一元一次方程,求m,满足的条件。若伏-I)X2+伏-2)x+(A-3)=O是关于X的一元一次方程,求k。已知(IMT)X2+(%T)x+3=O是关于X的一元一次方程,求2的值。若(/-1*+(-l)x+2=0是关于的一元一次方
8、程,求4o若关于X的方程k+2)x2+4履-52=0是一元一次方程,则方程的解X=。求关于-的一元一次方程(k2-)xkl+(女一l)x-8=0的解.己知方程a-2)A1+4=0是一元一次方程,则=;%=.四、一元一次方程的解法1、解一元一次方程的一般环节(1)去分母：在方程的两边都乘以各分母的地小公僮数.。注意:不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，具有多项式时应加上括号.。(2)去括号：一般地，先去小括号,再去中括号,最后去大括号.。注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号.。(3)移项：把具有未知数的项都移到方程的一边,不含未知数的项移到方程的另一边.注意：移项要变号;不要丢项.。(4)合并
9、同类项：把方程化成好=b的形式.。注意：字母和其指数不变.。(5)系数化为1:在方程的两边都除以未知数的系数(0),得到方程的解X=.。注意：不要把分子、分母搞颠倒.2、解一元一次方程常用的方法技巧解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等。(1)基本类型的一元一次方程的解法解方程：6(l-x)-5(x-2)=2(2x+3)解方程：3(x-3)=5-2(2-5x)解方一程：2(4x-3)-5=6(3x-2)-2(x+l)解方程：=解方程：X-=解方程=9+233641Q-x12X解方程：里1一22=5解方程：ZL=I4332(3)具有多层括号的一元一
10、次方程的解法解方程:解方程:10-7x3(4)一元一次方程的技巧解法1I23I解方程：(2x-3)+历(3-2工)+可工=可解方程：3(x+l)-(x-l)=2(x-l)-(xl)五.实际问题与一元一次方程(这部分，建议基础不好的学生仅适当尝试做做)(1)、售价指商品卖出去时的的实际售价。(2)、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。进价指商品的买入价，也称成本价。(3)、标价指的是商家所标出的每件物品的原价。它与售价不同,它指的是原价。(4)、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几,则称将标价打了几折。(5)、盈亏问题:利润=售价一成本；售价=进价+利润：售价=进价+进价X利润率：(6)、
11、产油量=油菜籽亩产量X含油率X种植面积。(7)、应用：行程问题:路程=时间X速度：工程问题:工作总量=工作效率X时间：储蓄利润问题：利息=本金X利率X时间；本息和=本金+利息。一、列方程解应用题的一般环节(解题思绪)(1)审一审题：(2)设一设出未知数：根据提问,巧设未知数.(3)列一列出方程:设出未知数后，表达出有关的含字母的式子，然后运用已找出的等量关系列出方程.(4)解一一解方程:解所列的方程,求出未知数的值.(5)答一检查,写答案:检查所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检查后写出答案.(注意带上单位)二、一般行程问题(相遇与追击问题)行程问题基本类型(1)相遇问题：快行距
12、+慢行距=原距(2)追及问题：快行距-慢行距=原距1、从甲地到乙地,某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距彳千米，则列方程为。XX解：等量关系步行时间-乘公交车的时间=3.6小时列出方程是：=3.68402、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定期间早到15分钟；若每小时行9千米,可比预定期间晚到15分钟：求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系(1)速度15千米行的总路程=速度9千米行的总路程(2)速度15千米行的时间+15分钟=速度9千米行的时间一15分钟提酰：速度已知时，设时间列路程等式的方程,设路
13、程列时间等式的方程。方法一：设预定期间为X小/时，则列出方程是：15(x0.25)=9(x+0.25)X15X15方法二：设从家里到学校有X千米，则列出方程是：+=15609603、一列客车车长200米,一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相碰到两车车尾完全离开通过16秒，已知客车与货车的速度之比是3:2,问两车每秒各行驶多少米？提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。等量关系：快车行的路程+慢车行的路杼=两列火车的车长之和设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2X米/秒，5!163x+162=20O+2804、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的
14、人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km,骑自行车的人的速度是每小时10.8km。假如一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒,通过骑自行车的人的时间是26秒。行人的速度为每秒多少米？这列火车的车长是多少米？提酰：将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。等量关系：两种情形下火车的速度相等两种情形下火车的车长相等在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。解：（1）行人的速度是：3.6k时=3600米+3600秒=1米/秒骑自行车的人的速度是：1O.8km时=IO800米3600秒=3米/秒方法一：设火车的速度是X米/秒，则26（-3）=22
15、（-1）解得*4方法二：设火车的车长是X米，则x+22_x+263n266、一次远足活动中，部分人步行，另部分乘辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度是60千米/时，步行的速度是5千米/时,步行者比汽车提前1小时出发,这辆汽车到达目的地后,再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是60千米。问：步行者在出发后通过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）提醒:此类题相称于环形跑道问题,两者行的总路程为一圈即步行者行的总路程+汽车行的总路程=60X2解：设步行者在出发后通过X小时与回头接他们的汽车相遇,则5x+60（-l）=60X27、某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地
16、,这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定期间早4分钟到达B地,求A、B两地间的距离。（204解：方法一：设由A地到B地规定的时间是X小时，则12=15xXx=212a=122=24（千米）方法二：设由A、B两地的距离是*千米，则（设路程，列时间等式）XX204=1=24答：A、B两地的距离是24千米。12156060温磐提醒:当速度已知,设时间，列路程等式;设路程,列时间等式是我们的解题策略。8、一列火车匀速行驶,通过一条长300m的隧道需要2Os的时间。隧道的顶上有一盏灯,垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s,根据
17、以上数据,你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能,请说明理由。解析：只要将车尾看作一个行人去分析即可，前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长,后者仅为此人通过一个车长。此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。3004XX解：方法一:设这列火车的长度是，米,根据题意，得=300答：这列火车长300米。2010方法二：设这列火车的速度是X米/秒，根据题意,得20尸300=10*x=3010x=300答：这列火车长300米。9、甲、乙两地相距X千米，一列火车本来从甲地到乙地要用15小时,开通高速铁路后,车速平均每小时比本来加快了6。千米,因此从甲地到乙地只需要1
18、0小时即可到达，列方程得。答案：土一上=601015三、行船与飞机匕行问题：航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）21、 一艘船在两个码头之间航行,水流的速度是3千米/时,顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时,求两码头之间的距离。解：设船在静水中的速度是X千米/时,则3X（尸3）=2X（*3）解得=152（x+3）=2（15+3）=36（千米）答：两码头之间的距离是36千米。2、 架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米,顺风飞行需要2小时50分钟,逆风飞行需要3小时，求两城市间的距离。解：
19、设无风时的速度是X千米/时,则3X（x24）=2-（24）63、小明在静水中划船的速度为10千米/时,今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时,求该河的水流速度。解：设水流速度为X千米/时，则9（10x）=6（10+x）解得x=2答:水流速度为2千米/时.4、某船从A码头顺流航行到B码头,然后逆流返行到C码头,共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时,水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米,求A与B的距离。解:设A与B的距离是X千米，（请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程）当C在A、B之间时,X 40+7.5 + 2.5 7.5 2.520解得
20、X =1 20Xr4-r40当C在BA的延长线上时，+=20解得x=567.5+2.57.52.5答:A与B的距离是120千米或56千米。四、工程问题1 .工程问题中的三个量及其关系为:工作总量=工作效率X工作时间工作效率=转髓工作时间=篙舞2 .经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位L即完毕某项任务的各工作量的和=总工作量=1.1、一项工程，甲单独做要10天完毕，乙单独做要15天完毕,两人合做4天后,剩下的部分由乙单独做，还需要几天完毕？解：设还需要X天完毕,依题意,得(-+-)X4+-X=I解得x=51015152、某工作，甲单独干需用15小时完毕，乙单独干需用12小时完毕，若甲先
21、干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作，问:再用几小时可所有完毕任务？解：设甲、乙两个龙头齐开X小时。由已知得，甲每小时灌池子的L,乙每小时灌池子的J。列方程：-X2321121525510.5+(+)X=,+X=，X=X=0.5x+0.5=l(小时)2334636122五、市场经济问题1、某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.通过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生就餐.(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；(2)若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐?请说明理由.解：(1)设1个小餐
22、厅可供y名学生就餐，则1个大餐厅可供(1680-2y)名学生就餐，根据题意,得2(1680-2y)+y=2280解得：y=360(名)所以1680-2y=960(名)(2)由于960x5+360x2=55205300，所以假如同时开放7个餐厅,可以供全校的5300名学生就餐.2、工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价减少35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？解:设该工艺品每件的进价是X元,标价是(45+x)元.依题意，得：8(45+x)0.85-8=(45+X-35)X12-12x解得:x=155(元)所以
23、45+x=200(元)3、某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦则超过部分按基本电价的70%收费.(1)某户八月份用电84千瓦时,共交电费30.72元,求a.(2)若该用户九月份的平均电费为0.36元,则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？解：(1)由题意,得0.4a+(84-a)0.4070%=30.72解得a=60(2)设九月份共用电X千瓦时,0.40X60+(-60)0.4070%=0.36x解得x=90所以0.36X90=32.40(元)答：90千瓦时，交32.40元.4、某商店开张为吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60
24、元，八折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元?优惠价是多少？皿利润80%X-60利润率=TJr=Zr40%=X=105105*80%=84兀成本605、甲乙两件衣服的成本共500元,商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客规定，两件服装均按9折出售,这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元？解:设甲服装成本价为X元,则乙服装的成本价为(50x)元，根据题意，可列109x(1+50%)-x+(500-)(l+40%)90%-(500-x)=157x=3006、某商场按定价销售某种电器时，每台获利48元,按定价
25、的9折销售该电器6台与将定价减少30元销售该电器9台所获得的利润相等,该电器每台进价、定价各是多少元？(48+X)90%*6-6X=(48+X-30)*9-9XX=162162+48=2107、甲、乙两种商品的单价之和为100元，由于季节变化，甲商品降价10%,乙商品提价5%,调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%,求甲、乙两种商品的本来单价？W：x(1-10%)+(100-)(1+5%)=100(I+2%)X=208、一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少？解：设这种服装每件的进价是X元，则：X(l+40%)X0
26、.8-=l5解得x=l25六、调配与配套问题1、某车间有16名工人,每人天天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件.已知每加工一个甲种零件可获利16元,每加工一个乙种零件可获利24元.若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件.2、有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人,假如是甲工程队的人数是工程队人数的2倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？3、某班同学运用假期参与夏令营活动,提成几个小组,若每组7人还余1人，若每组8人还缺6人，问该班提成几个小组,共有多少名同学？4、某车间有28名工人生产螺栓和螺母,每人每小时
27、平均能生产螺栓12个或螺母18个,应如何分派生产螺栓和螺母的工人,才干使螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个螺母)？七、方案设计问题2、某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元,C种每台2500元.(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元,请你研究下商场的进货方案.(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元,销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多,你选择哪种方案？解:按购A,B两种，B,C
28、两种”,C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机X台，则B种电视机y台.(1)当选购A,B两种电视机时,B种电视机购(5O-)台，可得方程1500x+2100(50-)=90000x=2550-=25当选购A,C两种电视机时,C种电视机购(50-x)台，可得方程1500X+2500(50-)=90000x=3550-=15当购B,C两种电视机时,C种电视机为(50-y)台.可得方程2100y+2500(50-y)=900004y=350,不合题意可选两种方案:一是购A,B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台.(2)若选择(1)，可获利150X25+250X15=87
29、50(元)，若选择(1),可获利150X35+250X15=9000(元)故为了获利最多，选择第二种方案.【题01若关于X的方程2H”+3(-4)=0是一元一次方程，求的值.(S021已知(2m-3)x2-(2-3m)x=1是关于X的一元一次方程，则m=.【题03若关于X的方程(2-m)x2+(m-2)x-(5-2n)=0是一元一次方程,求小的解.【题04若关于X的方程(k-2)i,+5=0是一元一次方程,则=.0051若关于X的方程(k-2)/T+5=0是一元一次方程，则k=.若关于X的方程(k+2)+454=0是一元一次方程，则方程的解X=.35.已知2是关于X的方程-X-2a=0的一个解，则2a-1的值是.
