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1、数第1课时数列的概念1 .数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N或其子集1,2,3,n的函数f(n)数列的一般形式为a,a?,，a11,简记为aj,其中an是数列a11的第项.2 .数列的通项公式个数列an的与之间的函数关系，如果可用一个公式an=f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.3 .在数列aj中，前n项和Sn与通项arl的关系为：4 .求数列的通项公式的其它方法公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法.观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用
2、数学归纳法对归纳出的结果加以证明.递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.例L根据下面各数列的前n项的值，写出数列的个通项公式.24_81617337557,7791,2,6,13,23,36,1,1,2,2,3,3,解:(l)a=(-l)n2,Ll(2 -1)(2 +1)(2)a11=(37+6)2(提示：a2-a=1,aja2=4,包一a3=7,as-a4=l,.,an-an-=l3(n-2)=3n-5,各式相加得0n=l+l+4+7+10+(3n-5)=l+-i(-i3n-4)=(3n2-7m+6)2将一，2
3、,2,3,3,变形为手,竽等,1+(-1)*=2+变式训练1.某数列an的前四项为O,2,O,2,那么以下各式:ai=1+(-1)na11=Jl+(-1)an=(后(为偶数)Lo(为奇数)其中可作为an的通项公式的是()A.B.C.D.解：D例2.数列aj的前n项和S11,求通项.Sn=311-2S11=n23n+1解(l)an=Sn-Sn-(n2)a=S解得：加=卜37(2)an=(5S=D12/?+252)(nNi*),那么数列aj的通项公式变式训练2：数列a11的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn-l)=n, 为.解：Ig(S“T) = nS/l = 10nS“=10+L 当 n=l 时
4、，a=S = ll;=910n-1.故 an=( 9 10n- (n 2)例3.根据下面数列aj的首项和递推关系，探求其通项公式.(1) a = 1, an=2a1- 1(n2)(2) a = l, a= an,l+3n-(n2) a = l, an= 口册T(n2)n解:(Dan=2an + ln(an+l)=2(an + l)(n2), a1 + l=2.故：当n2时,an=Sn-Sn1=IOn-IOna+l=2n,an=2n-1.(2)an-(anan-)+(an-atl-2)+(a?a2)+(a2a)+a=3l+3-2+.+3?4-3+1=(3z,-1).2n-31,1n-22n变式训
5、练3.数列a11中，a=l,an+=包(nN*),求该数列的通项公式.%+2解：方法一：由an+i=-、得%+2_L_L=:，.-L是以L=i为首项，4为公差的等差数列.品+1册2aal2-=1+(n-I)：,即3n=an2n+1方法二：求出前5项，归纳猜测出a。=乌，然后用数学归纳证明.例4.函数f(x)=2x-2数列al1满足/(logz。；)=-2n,求数列al1通项公式.解：/(Iog2%)=2,0-2kg2t=-Inan=-2n得=yn2+nan变式训练4.知数列aj的首项a=5.前n项和为Sn且Sn+=2S11+n+5(nN).(1)证明数列a11+l是等比数列;(2)令f(x)=
6、ax+a2x?+aX1求函数f(x)在点X=I处导数f(1).解：由Sn+=2Sn+n+5,n2时，Sn=2Sn-+n+4,两式相减，得：Sn+-Sll=2(Sn-Sn-)l,即an+=2anl从而an+l=2(an+l)当n=l时，S2=2Si+1+5,a+a2=2a+6,又a=5,，a2=ll.1l=2,即all+1是以a+1=6为首项，2为公比的等比数列.册+1(2)由知an=3x211-l,/(x)=axa2x2.a11xn/.f,(x)=a2a2X.nanxn_1从而,(1)=a2a2.+nan=(32-1)+2(322-1)+.+n(32n-1)=3(2222+.+n2)-(l+2
7、+.+n)=3n2n+,-(2+.+2n)-=3(n-l)2n+,-+6第2课时等差数列1 .等差数列的定义：-=d(d为常数).2 .等差数列的通项公式：1 1)an=ad2 2)an=am+Xd3 .等差数列的前n项和公式：Sn=4 .等差中项：如果a、b、C成等差数列，那么b叫做a与C的等差中项，即b=5 .数列aJ是等差数列的两个充要条件是：(1)数列aj的通项公式可写成a11=pn+q(p,qR)数列aj的前n项和公式可写成Sn=an2+bn(a,bR)6 .等差数列aJ的两个重要性质：m,n,p,qN*,假设m+n=p+q,那么.(2)数列an的前n项和为Sn,S2n-Sn,S3n
8、-S2n成数列.例1.在等差数列an中,(l)a5=10,a45=90,求a6;(2)S2=84,S2o=46O,求S2s;82 WF d 一3(3)a6=10,S5=5,求as和Sg.解：方法一:15=+14J=1()a45=al+44d=fX)a6o=a+59d=13O.方法二：d=%s=%4=e,由an=a111+(n-m)Cina6o=a45+(6O-45)d=9O+15g=130.n-m45-1533(2)不妨设Sn=An2+Bn,.I22A+12B=84A=2*202A+20B=4608=77S11=2n2-17nAS28=2282-1728=1092(3)VS6=S5+a6=51
9、0=15,又6=6(+%)_6(q+10).15=6(+10)即a=-52而Ci=设色=36-1ag=a62d=16S8=!2=442变式训练1.在等差数列aj中，a5=3,a6=-2,那么a4+a5+ao=.解：Vd=a6-a5=-5,；a+a5+ao=产应=7(a5+2d)=-49例2.数歹Jan满足a=2a,all=2a一金(n2).其中a是不为0的常数，令悦=一art-a求证：数列b11是等差数列.(2)求数列a的通项公式.解：a11=2a-W-(n2)an-bn=-=-=-；(n2)ab,-bn-=-=-(n2)(w.-a)an_1-aa数列bj是公差为1的等差数列.a.b=-!=-
10、故由得：bn=(n-1)-=aaa即：一!-=-得：an=a(l+-)an-aan变式训练2公比为3的等比数列2与数列,J满足勿=3%,N,且q=1,(1)判断%是何种数列，并给出证明；(2)假设CJ=_L_,求数列C.的前n项和44+1h4为“z、解：1)TL=Ar=3*i=3,=1,即(为等差数列。例3.a11为等差数列，Sn为数列an的前n项和,S7=7,S5=75,Tn为数列2前n项和。求T11.n解：设an首项为a公差为d,由Sj=7al+-d=72.Slj=151+-yJ=75变式训练3.两等差数列(即、EJ的前n项和的比2=史坦，那么的值是()Su2n+7AA.竺B.竺C.要D.
11、史172527159解:B解析：%=*=+佝左=竺。以散色+)Sq25第3课时等比数列1 .等比数列的定义：卜=q(q为不等于零的常数).2 .等比数列的通项公式:an=aqn,(2)an=amqn-m3.等比数列的前n项和公式:Sn =qi) (9 = 1)(或 b=).4 .等比中项：如果a,b,c成等比数列，那么b叫做a与C的等比中项，即b2=5 .等比数列aj的几个重要性质：(1) mn,p,qN*,假设m+n=p+q,那么.Sn是等比数列an的前n项和且SnW0,那么Sn,S211-SvSsn-Szn成数列.(3)假设等比数列an的前n项和Sn满足Sn)是等差数列，那么an的公比q=
12、例1等比数列an中,a+an=66,a2an-=128,Sn=126,求项数n和公比q的值.解：an是等比数列,aan=a2an-:嘉等解得q=2或=64%= 64 %=2假设a=2,an=64,那么2qn=64/.qn=32q由Sn=皿*型3=3,-q-q解得q=2,于是n=6假设a=64,an=2,那么64q-=2,qn=qH32”由 Sn=KH=640 W%26l-g解得q=T，n=6变式训练L等比数列an中，ara9=64,a3+a7=2,那么a”=.解:64或1中a3a1=64-+“7=2。Ia3+a7=20=;或：6；q?=；或/=2,au=a7q2,a”=64或a“=lNT) =
13、40 q0),它的前n项和为40,前2n项和为3280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.解：假设q=l,那么na=40,2na=3280矛盾，六ql.，两式相除得：qn=8Lq=l+2a又.q0,.*.q1,a0an是递增数列./. an=27=aqnQj x811 + 2解得a=l,q=3,n=4变式训练2.等比数列aj前n项和Sn=211-1,an2前n项和为Tn,求Tn的表达式.解：(l).a+2a22=0,.公比q=-412又.S4-S2=J,8将q=一:代入上式得a=l,an=aqn,=(-l)n,(nN*)ann(-n6),那么等于()A.15B.16C.17D.18
14、答案：Do解析：由S.=324,Si=I44得q+a,T+4_2+q_3+i+T=180,再由Sft=326,.a=36,.,.Sn=；)=324,M=I8。例4.函数f(x)=(-1)2,数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的等比数列(qRl),假设a=f(d-l),a3=f(d+l),b=f(q-l),b3=f(q+l),(1)求数列aj,bl1的通项公式；设数列Cn对任意的自然数n均有：兽+皆+.+M=5+1)4w求数列Cn前n项和Sn.blbibn解：(1)a=(d-2)2,a3=d2a3-a=2d即d2-(d-2)2=2d,解之得d=23|=0,311=2(1)又b=(q
15、-2)2,b3=q2,b3=bq2即q2=(q-2q2,解之得q=3*b=1b11=31(2) L=(”+)an-nan=4n,cll=43nlbrSn=CI+C2+C3+Cn=4(l3o+23+332+.+n3n,)设S.=l3o+23z+332+.+n3n,3S.=l3,+232+333+.+n3nl(3-1)-25w=l+3+32+33+.+3n,-n3n=-2-3nnS11=2n3n-3n+l变式训练4.等差数列all的首项a=l,公差d0,且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列b11的第二项，第三项，第四项.求数列an与bn的通项公式；设数列Cn对任意正整数n,均有色+生+与+4=
16、%.|，求C+c2+c3+C2007的值.a瓦b3bn解：由题意得(a+d)(a13d)=(a4d)2(d0)解得d=2,a11=2n-l,bn=3n,.当n=l时，c=3当n2时，=-5=1)故c=23bll+,”“23-t2)/.cl+c2+c2oo7=3+23+232+.+232006=320t1 .在等比数列的求和公式中，当公比ql时，适用公式Sn=M=心，且要注意n表示项数；当q=lq时，适用公式Sn=na;假设q的范围未确定时，应对q=1和q,l讨论求和.2 .在等比数列中，假设公比q0且q，l时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项.3 .假设有四个数构成的函数，前三个
17、成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为xd,x,xd,支也再依题意列出方程求x、d即可.X4 .a与q是等比数列期中最活泼的两个根本量.第4课时数列求和求数列的前n项和，一般有以下几种方法：1 .等差数列的前n项和公式：Sn=-2 .等比数列的前n项和公式：当q=l时，Sn=.当qrl时，Sn=.3 .倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加.主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和.4 .错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.5 .裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列.(i)求它的前n项的和工.解J ,a
18、n=l + + + + 02那么原数列可以表示为:(21),(2扑(2g),(2-)-(2-前n项和3(2-1)+(2-(+(2?)+.+(2-击)=2n-llA + .+-!-r+2n-22M-I变式训练1.数列1,2,3，,4-!-前1）项的和为248161 n2 +nA. 一 +2nB.1 n2 +n ,+12 21 n2 + nC.+2nD.1 n2-尹+ 一答案:B。 解析：S =1 + 2 + 3 + 411+w+-+2 2:1 n(n +1) 11+ - = 122例 2求 Snn + 7 + 77+1 + 2 + 3 + + n解：V an1 + 2 + 3 + ( + l)s
19、n=2(i-ll-l.l-)变式训练2：数列aj的通项公式是an=Jn +yn + 假设前n项之和为10,那么项数n为（）B. 99D. 121A.11C.120A?C11nt-yn+1yrt+w+l*Sn=n+1,由J+l1=10,*J+l=11,.n=ll例3.设等差数列斯的前n项和为Sn,且Sn=（等）25N*）,bn=an2n,求数列b11的前n项和T11.解：取ni那么吁曾a.又S=（3+品）可得.（可+册）=（%+1）2222,.an-l(nN*)an=2n-1Tn=l2+322+523+(2n-l)22Tn=l22323+524+(2n-l)-2n+,一得：-Tn=2+23+24
20、+25+2+,-(2n-l)2n+,=2+-(2n-l)2n+,=-6+(1-n)2n+2Tn=6+(n-l)2n+2变式训练3设数列an的前n项和为Sn=2112,bn为等比数列，且a=b,b2(a2-a)=b.求数列a11和b11通项公式.设Cn=普，求数列Cn前n项和Tn.bn解：当n=l时a=S=2,当定2时，all=Sn-SnT=4n2,故通项公式为atl=4n-2,BPan)是a=2,d=4的等差数列，设b11的公比为q,那么bqd=b,d=4,，q=：,故bll=bq*1-I=Ar(2)VCn=(2n-D4z,-1bn24/:-1Tn=C+C2+.+Cn=l+34+542+.(2
21、n-l)4n,4Tn=14+342+543+.+(2n-3)4nn+(2n-l)4n两式相减3T11=；【(6-5)4+5*Tn=T(6，-5)4+5).例4.求Sn=I!+22!+33!+.+nn!.解：a1=nn!=(n+l)!-n!/.Sn=(n+l)!-l!=(n+l)!-l变式训练4.以数列的任意相邻两项为坐标的点Ptl(an.an+)均在一次函数y=2x+k的图象上，数列b11满足条件:bn=an+-an,且bO.(1)求证：数列b11为等比数列.(2)设数列anbn的前n项和分别为Sn、Tn,假设S6=T4,S5=-9,求k的值.解：由题意,an+=2ank，bn=an+-an=2an+k-an=ankbn+=a()+i+k=2a1)+2kzzz2b11Vb10,：,如=2bnJbn是公比为2的等比数列.(2)由知an=bn-kbn=b2n,Tn=一；)=,(2_1)12Sn=a)a2.an-(b+b2.bn)-nk=-nk=b(2n-l)-nk.S6=,163bl-6k=15blIS5=-931Z1-5k=-9解得:k=8
