6流体力学动力学规律都具有伽利略变换的不变性.docx

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1、流体力学动力学规律都具有伽利略变换的不变性对称性的研究在物理学中占有十分重要的地位，并已成为认识物质形体构造及其相互作用规律的基础。在物理学的研究中，基本物理规律（方程）所包含的对称性起着非常重要的作用。对称性分两大类：一类是时空对称性，它们是与描述物理事件的时空坐标变换（例如时空坐标的平移和Lorent变换）相联系的；另一类对称性是内部对称性。在场论中，它们是与不改变时空坐标的场的变换相联系的。这种变换称为内部空间的变换，物理学中的变换构成变换群。物理规律的对称性归结为基本方程在这些变换群下的不变性。现代物理的一个基本要求是描述自然规律的数学形式应与坐标系的选择无关,称为广义相对性原理或广义

2、协变原理，协变一词的含义是协调变化，如果一个物理规律的表达式（方程）在某种变化的前后保持其形式不变，则我们称物理规律对于这种变换是协变的，或者说具有某种协变性。我们知道，凡是能用张量形式表述的自然规律的数学表达式必然与坐标系的选择无关，这正是张量的重要作用。而这里的协变性与协变矢量、协变张量没有任何关联。在场论中可以对不同时空点的场作独立的变换，相应的群元素是时空坐标的函数，这种变换称为定域规范变换，常简称为规范变换。物理定律（方程）在定域变换下不变，我们就称为定律具有规范不变性。当物理规律（方程）在定域规范变换下没有不变性或者说在对物理规律（方程）进行定域规范变换时，物理规律（方程）发生变化

3、，不再具有不变性。为了保证描写的物理规律（方程）在某种对称变换下具有不变性，引入一个或一些新场，则可以恢复其规范不变性。这些场被称为规范场。亦即规范变换不是随意的，而是由被变换的物质体系的各种性质决定的，这些变换所遵循的规则使全体变换构成了一个规范场的规范群。为了得到在某种变换下保持不变的物理规律理论要求存在一种规范场，所谓规范场就是传递相互作用的场，不同的规范场传递不同的相互作用。不难看出，一个物理规律（方程）的对称性与其协变性、规范不变的关系是统一的,对称性是最根本的,共同的。规范不变和协变性是对称性的具体体现，协变性是一种对称性，规范不变性也是一种对称性，它们既有相同点又有不同点，一个物

4、理规律同时可以有多种对称性，如规范不变性和协变性。SU（N）变换首先是协变的，然后满足规范不变的，广义相对论既满足协变性又满足某种规范不变性。爱因斯坦认为：当我们的知识之圆扩大之时，我们所面临的未知的圆周也一样。我认为只有大胆的臆测（主观地推测、猜测、凭想象揣测），而不是事实的积累，才能引领我们往前迈进。流体力学有一些基本假设，基本假设以方程的形式表示。例如，在三维的不可压缩流体中，质量守恒的假设的方程如下:在任意封闭曲面（例如球体）中，由曲面进入封闭曲面内的质量速率，需和由曲面离开封闭曲面内的质量速率相等。(换句话说，曲面内的质量为定值,曲面外的质量也是定值)以上方程可以用曲面上的积分式表示

5、。流体力学假设所有流体满足以下的假设:质量守恒、动量守恒、连续体假设，在流体力学中常会假设流体是不可压缩流体,也就是流体的密度为一定值。液体可以算是不可压缩流体，气体则不是。有时也会假设流体的黏度为零，此时流体即为非粘性流体。气体常常可视为非粘性流体。若流体黏度不为零，而且流体被容器包围(如管子)，则在边界处流体的速度为零。一.连续性方程(质量守恒)的推导连续性方程可由四种方法得到，分别为拉格朗日法下对有限体积和体积元应用质量守恒定律、在欧拉法下对有限体积应用质量守恒定律及在直角坐标系中直接应用质量守恒定律。1.1L法有限体积分析取体积为7,质量为加的一定流体质点团，则有：tn=2、=0=-f

6、pd=f-d+fp-7=O(1)JrDtDfLDILDtJTDl因为速度散度的物理意义是相对体积膨胀率及密度随体导数，即：divv=-Jr(2)dDtW=氾十优氾十，氾+w氾=氾+WpDttxyzt代入式(1)得-7+p-r=(+vVp)+pdivv)fr=+div(pv)Jr=O(4)运用奥高定理JJJ(-=udydz+vdzdx+wdxdy=JjS(ucosa+vcos+vvcos)dS(5)=JJsMdS=JJsXdS得(华+div(pv)tr=Td+pvndS=O(6)上式即是连续性方程的积分形式。假定被积函数连续，而且体积7是任意选取的，由此可知被积函数必须等于零，即：+pdivv=

7、O+p=O(7)DtDtx1或空+div(6)=0o久+血=0(8)ttxi在直角坐标系中连续性方程为：字+华。+%必+且”=o(9)txyzrDp.uvwx/、或一=+)(10)Dtxyz连续性方程(10)表明，密度变化(随时间和位置)等于密度和体积变形的乘积。1.2L法体积元分析考虑质量为向2的体积元对其用拉格朗日观点，根据质量守恒定律有：O 。万 )=Jr 公 + (pJr D一Dz2Dr O ) Pn O-D/两边同除以0d,得-J-2dr+-2=0(13)dDtpDt或写成divu+=0(14)pDt上式表明要维持质量守恒定律，相对体积变化率必须等于负的相对密度变化率。1.3E法有限

8、体积分析着眼坐标空间，取空间中以S面为界的有限体积r,则称S面为控制面，T为控制体。取外法线方向为法线的正方向，为外法线方向的单位矢量。考虑该体积内流体质量的变化,该变化主要以下两方面原因引起。第一，通过表面S有流体流出或流入，单位时间内流出-奥高公式r(15)流入变化的总和为：p,ldS=npvdS=div(pv)Jr第二，由于密度场的不定常性(注意，欧拉观点下空间点是固定的，密度的变化只由场的不定常性刻画)，单位时间内体积工的质量将变化，变化量为：-f组ZZ(16)Jrt上述两者应相等，即JdiV(PU)d=-19苓d(17)由于体积了是任意的，且被积函数连续，则纵+div(0u)=O(1

9、8)1.4E法直角坐标系分析单位时间内通过表面EFGH的通量为:pudydz通过表面ABCD的通量为：(pu),.pu+-dxdydz_x_其他三对表面类似，另外，该控制体内质量的变化率为：-dxdydzt则+)+)+)三0(txyz特殊情况下的连续性方程：(1) 定常态：=O=div(pv)=Ot(2) 不可压缩流体：=0=divv=ODt下面将写出它在曲线坐标下的形式.因为据”一驷四+%回+典”中(20)HH3S(PW”2”3)I 8(。岭3乜)+ 3(夕匕两的3(21)H1H2H3两q2将(21)式代入矍=，(j*r)=j(与+山口()卜=O得到曲线坐标下连续性方程的形式为：3j1PSK

10、H/3)I式夕岭4吊)I附2)O(22)tHIH2&两q2q3二.欧拉方程的推导1755年，瑞士数学家L欧拉在流体运动的一般原理一书中首先提出这个方程。形如：xy00P国IyST)+01孙=fM(1)的方程称为欧拉方程，其中p,“2,P为常数。欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的某次相同。瑞士的欧拉采用了连续介质的概念，把静力学中压力的概念推广到运动流体中，建立了欧拉方程，正确地用微分方程组描述了无粘流体的运动。流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时或当流体相对于非惯性参考

11、坐标系静止时，称流体处于静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。流体静压强的特性1静压强的方向一沿作用面的内法线方向由上图可以推到出流体平衡微分方程式，即欧拉平衡方程P fxdpxdpSyP fzdpz当流体处于平衡状态时，单位体积质量力在某一轴向上的分力，与压强沿该轴的递增率相平衡。这里的fx、fyfz是流体质量力在X、y、Z轴上的投影，且质量力中包含以下两项：重力和惯性力。在这里如果假定fx、fy、fz仅仅是重力在三个坐标轴上的投影，那么惯性力在x、y、Z轴上的投影分别为:-dudt,-dv/dt和-dw/d

12、t。于是，上式便可写成xSPSySPz上式整理后可得:du1dpJx-d/poxdv_1dpd7=fypdw1dpT=J27-drpz将加速度展开成欧拉表达式ulluu1dpU+V+IV=f-tx3yzpxvvvv1dp一+U+VW=f-txzjypSyww1dp+U+V+W=f.-tx6zpz-+(vV)v=fVp-=-=-=O用矢量表示为P,对于恒定流动dtdt%,称为流动欧拉运动微分方程式。三.欧拉方程具有伽利略变换的不变性”对称是美的化身”。李政道教授认为：“物理定律一定是对称的，失去的对称性应该到物理真空中去找”。这足以说明，对称性是物理学中广泛存在的一种美的属性。对称性既是爱因斯坦

13、科学研究的一种方法论原则，又是他科学创造的一个美学思想。在理想流体力学中动力学基本方程是欧拉方程：+(vV)v=G-VP(1)P+-Vv2-Vx(Vxv)=G-VP2P下面证明欧拉方程在惯性坐标系变换下的协变性:在方程(1)中G、p、P、t是不变量，可直接变换为G、P、P、1；V变换v_3(v+u)_v,为v+u。其中u是常矢，故记一Ot一f(vV)v=(v,+u)V(vr+u)=(v,+u)Vv,再考虑算符V=ig+jg+kg的坐标变换，单位矢i、j、k都是不变量，可oxyz用KKkZ代入,y、Z用y、Z代入。但=7=Md(X渭)=(i)M，CXOXxCXxOXOX当算符所作用场量为压强P时

14、，t与X可认为是独立坐标，从而=0,=P=V,P,xxx,当算符作用于场量V时，t与X是相关的，=vt,从而Z=(IJL)乌tdtxVxx,/.V=(1)i，+j,+k,=V=Vzi,(2)vvx,y,zvxx匕+Sr将(2)式代入vV=(v,+u)V=(v,+u)(V,i,-)=vzV,+uV,-(v,+u)-v,x+Ux,v,x+Ux,=v,V,+uV,-M-=v,V,x,欧拉方程最终变换为：+(v/V,)v,=G,-7V,o可见欧拉方程在X系中的tP形式与在X系中形式完全相同。欧拉方程在惯性坐标系变换下协变是意料中的，因为欧拉方程是牛顿运动定律在流体力学中的表达，而牛顿运动定律对伽利略变

15、换是协变的，故对欧拉方程自然也协变。四.纳斯斯托克斯方程(N-S方程)在所有的惯性系都成立19世纪工程师们为了解决许多工程问题，尤其是要解决带有粘性影响的问题。于是他们部分地运用流体力学，部分地采用归纳实验结果的半经验公式进行研究，这就形成了水力学，至今它仍与流体力学并行地发展。1822年，纳维建立了粘性流体的基本运动方程;1845年，斯托克斯又以更合理的基础导出了这个方程，并将其所涉及的宏观力学基本概念论证得令人信服。这组方程就是沿用至今的纳维-斯托克斯方程(简称N-S方程)，它是流体动力学的理论基础。上面说到的欧拉方程正是N-S方程在粘度为零时的特例。普朗特学派从1904年到1921年逐步

16、将N-S方程作了简化，从推理、数学论证和实验测量等各个角度，建立了边界层理论，能实际计算简单情形下，边界层内流动状态和流体同固体间的粘性力。同时普朗克又提出了许多新概念,并广泛地应用到飞机和汽轮机的设计中去。这一理论既明确了理想流体的适用范围，又能计算物体运动时遇到的摩擦阻力。使上述两种情况得到了统一。首先根据动量定理推导与坐标系选取无关的微分形式的N-S方程：任取一体积为下的流体如图1所示，设其边界面为S,根据动量定理，体积7中流体动量的变化率等于作用在该体积上质量力和面力之和.以尸表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而P,表示作用于单位面积上的面力分布函数.则作用在上和S上的总质量力和面

17、力为其次，体积r内的动量是Jv3z于是，动量定理可写成下列表达式：pv = rpFpnS图1(1)利用公式为二Lp7ti得:4户加=Jr吟凉再利用的是高斯公式得：Jp“5s=左S=IdiVP加其中P是应力张量.将（2）和（3）式代入（1）式，整理得：f（p-pF-drP）=0Jrdt因r任意，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0,即。包二夕尸+divP（4）dt（4）式就是微分形式的动量方程，易见，它与坐标系的选取无关，下面将写出它在曲线坐标下的形式./、dvvvdq.vdq)vdq.因为八四%)，故N=不+嬴才+丽丸+嬴Fv z 1 v 11 ,=F (H Idql +t H1 两,1

18、 v“2的2(5)加+(加肉+vds2+加阳)tOs】dts2dts3dt上式中利用到等式：dS=HIdq、,ds2=H2dq2,ds3=H3dqy现在进一步处理（5）式右端的第二项ds,+ 根据定义有匕=Eds2dt匕=ds3 dt(6),dvv.vvv.故=+(V.HV,HV-,)dttsxs2s37va.v,又干If第的+唱+”=初砺(*+)KH、v2.Vrde.e7，+#2+3+K广+为f+匕彻两两两(7)考虑到设、dH、1dH、l=Le,-e-,两H2q2-H3q3e21H.匕表达式代入（6）式，得ds、s2s3匕彩3I匕匕犯qM片明3cHIH2q2HIH3HxH2两H1H.彻1IK

19、W加2INMI匕加2)H西H2q2H3q3v2vlH2v2v3H2vj2HxVjH3=-J：-H2H,qxH2H38%Haq2H2Hiq2用二电.+上四+旦四）乜西H2q2H.q.必一工也一上也H1H3两H2Hiq2H1H3qiH2H3彻、(11)因为y=匕4v2e2+v3所以电=0i,+e333,2df3速度匕的随体导数dv_vlvlcis1+8匕ds2+v1ds3dttsidts2dts3dt电+二生+上生+旦旦tHl两H2q2Hyq3同理可得d匕=8匕I*2杰II乞岭以2I加2杰3v2V,v2V2v2V3v2dttdsdts2dts3dttHdq、H2q2H3Jv3v3v3ds、v3ds

20、2v3ds3viv18匕v识匕。匕Ill1三I+I-一=一+I11+dttsxdts2dts3dttH、两H2q2H3q3所以（11）式可简化为v1v2Hv1v3dH、v21H2WH3HTH2的2+MH3血_HTH2的1_HlH3两Jv2V2V1H2dtH2H1qlH2Hjiq3H2H1q2H2H3q2Mdy3;V3V1Hyv3v2H3片Hx田H2dtH3H1两H3H2q2H3H1的、H3H23%至此，我们将包表示成曲线坐标系下的形式了.dt*在曲线坐标系下表示成:尸=+F2e2+F3ei最后，我们将divP表示成曲线坐标系下的形式.应力张量产:PllP2I “31P12P12 “32P13P

21、23，共九个量33,可以证明应力张量P是对称张量，所以也可以将尸写成(PkxPnP=PnPll。23“23”33/其在曲线坐标面上表示为T=p11+pl22+p31)的同样把支、尊、尊用（8）式代替得(P2H3)(H2H3)H10也两,两,H?q2H3q3)1(13)考叫吸飞吸等小喏1久/&)也风PE2Hj711oq2ri3aelocI两两两刎蚣e=fee“120与十r72r7320t2的Oql的久/也的eJgH2Hj“3103十230&33两两两因此可将(13)式化为:8(的M)=即为也+&也+也组L-1风雨2h3)西同理：S335oq、35任色)_凡“0也k山 q3 J -(p12H3H,

22、)p22 H2此 一 Y两+ ”出Pn 冽力 1 A d, I 讥22月341)H、, Hi qi )q2e28(P23H3HJ H u P221 ?F-一出豆菽卜。仍也)。(。3向2) NH &也 2乩两e(P23HHj一 HR量也JHiH(取也+人必 + “2 朋 I 闻 H2 q2 )q3将以上三式代入(12)式，得di”118(四&)(八4)hh2hX 两的2的3,Pn 8HPyx 叫Pn 犯 p33 H.H1H2 q2 H1H3 H1H2 两 H1H3 qi,1,(外兄3)(P22%) 1 8(P23H2)HxH2H. qxq2q31Pi2.238H?PIlAHP33H3CH1H2两

23、H2H.两3HlH2q2H2Hyq22J1P(P3123)I8(P23%)/门乩凡)-HsH2H3西q2+Psi犯p23H3PUGH、p22hHH两H2H3q2H1H34%至此，已将生、尸、divP全部表示成曲线坐标系下的形式，将其都代入(4)式，并考虑dt对应项相等原则，有/血v1v28H1v1v3dH田H2试11IdtH1H2q2HlH.H1H2西H3H1西J=+焉瓦身心必）+看（仇）+看出”）,Pi2犯、p3HH、p22H2p33HyHxH2q2H1H3邮hhi两h3h闻(dv2v2v1H2v2v,H2vi2HV?6H1三1=IdtH2H1H2H3的3HHq1H2H3q2)=PFr +S

24、(/243)+式l&H3H)+%pHHj闻3%,P12 明2 1 03 dH2 PIl IH、 P33 M+”也 也& H/3 q2匕 v3v d3v3v2 e43v 6H v1 h2 y1- + -sH3H2 q2 H3H1 HyH2 q3 )一可3 也 4) + 以 P23H3H1 + 两q2、at ”3HI 两L1=pFy +(15b)(15c)1P3841P23MPn犯P22犯H&两H2H.q2HiH38%仁切（15）式就是曲线坐标系下的N-S方程的具体形式.类似地，读者可以证明流体力学中的兰姆型的理想流体运动方程、柯西-拉格朗日定理、兰姆霍兹方程等流体动力学都满足伽利略变换，在此从略

25、。所有自然规律都只是近似的是表现我们现有知识状态的近似。数学感兴趣的规则也正是自然界所选择的规则。基本的物理规律是以美和有力的方式来描述的，这是自然界的基本特征。我想我正是和这一概念（优美的数学）一起来到这个世界的。这种对数学美的欣赏曾支配着我们的全部工作。这是我们的一种信条这对我们像是一种宗教，奉行这种宗教是很有益的，可以把它看成是我们许多成功的基础。凡是在数学上是美的在描述在基本物理学方面就很可能是有价值的。这实在是比以前任何思想都需要更加基本的思想，描述基本物理理论的数学方程中必须有美。今天我觉得在物理学中，人们最好的出发点是假定物理学务必要建立在优美的方程式上。应当学会在自己的思想中能

26、不参照数学形式而掌握物理概念，并尽可能地了解数学形式的物理意义。研究者在他把基本的自然规律以数学形式表达出来的努力中应当力争数学美。很有可能物理学的下一个进展是沿着这样的路线：人们首先方程,并且需要若干年的发展以找出这个方程背后的物理思想。抓住不变量与变换式之间的矛盾，并通过不断扩大变换的不变性，来解决二者的矛盾，从而达到改革旧理论，发展新理论的目的。进一步前进的方向是使我们的方程在越来越广泛的变换中具有不变性。五.流体力学中能量守恒定律在所有的惯性系都成立首先根据能量守恒定律推导与坐标系选取无关的微分形式的能量方程：图2任取一包含M点的体积为7的流体，设其界面为S,为S的外法线单位矢量，如图

27、2。则能量守恒定律可以表述为：体积7内流体的动能和内能的改变率等于单位时间内质量力和面力所作的功加上单位时间内给予体积7的热量，容易看到，体积内动能和内能总和是PU十一户其中U是单位质量的内能,而质量力和面力所作的功则是尸共而ea及fPJbS。单位时间内由于热传导通过表面5S传给子内的热量是ZRbS,其中人为热Jrn传导系数，故单位时间内由于热传导通过S传入的热量为左/5S。单位时间内由于辐射或其它原因传入汇的总热量为J/q加，其中g为由于辐射或其它原因在单位时间内传入单位质量的热量分布函数。能量守恒定律可以写为:+pFv+pnvS+fk-S+fpqTJtJsJr(1)根据公式9折=/，加（2

28、）,将上式中的随体导数改写为:+.d(吟P-U+-，小2/此外根据奥而公式将（1）中的面积分化为体积分:PnVBS=(nP)vS=JMPVwS=divPvk-S=Jdiv(kgradT)于是(1)式可以写为：l/172d.V2,pUHo力I2=pFv+tzv(Pv)r+JZv(kgradT)+pq因r任意，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0,即:(V22IlJp-+pF=pFv+Jzv(Pv)+div(kgradT、+PqdU虽然（2）式是微分形式的方程，但是不够简洁。下面我们推到更简洁的能量方程。因为P是对称张量，所以有:刎PM=揄暇（.）=曙+福由张量分解定理得：磔可以写成：*=%

29、+%=%+（-1加综）（4）OXix：JJ）其中为对称张量，%为反对称张量。从而（3）可以改写为:(5)(6),div(Pw)=匕*+pjjaij+pijsij又因为pijaij=O,则(5)可以改写为：diu(Py)=%W+pijsij2/du将(6)代入(2)得：1+PJ=pFv+vdiyP+P.S+div(kgradT)+pq(7)在0=夕户+divP式左右两边点乘速度矢量我，得:dtdvpv = pFv + vdivP 即: dt2p-=pFv + vdivP dt(8)将上式代入（3.7）得：P与=P:S+diu（kgradT）+pq（9）虽然（9）式也是微分形式的方程，但是为了更好

30、地写出曲线坐标下的形式，继续利用本构方程（在下一小节进行推导）写出另一种微分形式的方程。将本构方程尸=-p%+21%-g%bj+Z%代入P:S=p/.中有:P：S=PijSji=-p+2.-5u4yJ+AA=-P乐+2(J+心定义。=一(MUy)-+2S:S(10)为耗损函数并将其代入上式得:P:S=-pdivv+,divv当斯托克顿假设“=O成立时有尸：S=+。，将其代入（9）得:p+pdivv=+diykgradT)+pq利用连续性方程得:于是有:= + div (kgrad T) + pq(11)由热力学知识有：Tds=dU+pd-,S为嫡。将其代入上式得：P）d,P=+divkgrad

31、T+pq（12）到处我们已经推到出了我们所需要的能量方程了，下面将写出它在曲线坐标下的具体形式：先写出大u（依阳47）的具体形式，再写出。的具体形式就可以写出（12）的具体形式。E.JT1T.1T,1T.壬粕出因为gMdr=7q-G+7;-丁/+丁丁生，再根据Hl。1“2。%h31 (也也).网/也耳),a(.HM)右.=1十1+1H乩%加_div(kgradT) =1HiH2Hi(13)要写出。的具体形式必须先写出对称张量S在曲线坐标系下的形式。我们首先推导SUM2的表达式，过MO点做正交曲线坐标系（，），在坐标轴上取流体质点组成的线段元西（3s,0,0）,汉（0,b2，），物（0，/3），

32、如右图。于是:专营q+彩七+匕）K1.vxv2血M密 _1 HH2的21 H.%L 4 / bS（Lel+-e7+-e,+v.L+%-+v,Hlql闻两一两1 dHM）=（1 即 + v2 OH + v3 dH1 v2 vl dHH1 闻 HIH2 q2 HxHy 朋M 的、H1H2 q2+（1。匕 vI明1Hl 两 h3 a%代入代入上式得:明1H,-=-e.闻”3由此推出呜的）=（西琮西）呜柒能粉危舞可于是钎素幺西）=1 vl + ,2 Hi + v3 HiHl 闻 HiH2 q2 H1H3 q3其次我们有（“2）（西）=（1 v2 v1 HxHl 两 HiH2 q2）sxs2卜标1和2轮

33、换得：（西）4（加）=（10一：吁）3s、dtyH2q2HyH2q两式相加得:一誓= + 3中西）=1 d 彩 1 如 v1 Hx v2 H2 初砺+瓦丽一”也的2 HlH2闻6s6s?由此得：25=25=%返+JL史L_L%_二型dtH1两H2q2HxH2q2HiH2采取下标轮换得方法可得S22,*3及邑3，小，综合起来得到S在曲线曲线坐标下的形式:SJ叫I.胆I.犯HH2的2H&的3H2 q2 H2Hi H2Hi 两(14)1v,V,明，V.H+11%Hc“一也1v21切v1Hlv2H2Hl,H2q2H1H2q2HiH2两1+1v2v2H2v3HyH2,HyqyH2H3H2H3I+I加匕v

34、I犯HH1两HMl闻H3H211+巩匕必也)一的2(15)H1H2H32sl2=2s21=2=另外divv=分别将(14)和(15)式代入(10),即可得出“在曲线坐标系下的具体形式。将。在曲线坐标系下的具体形式和(13)代入(12)即可得出能量方程在曲线坐标系下的形式为Y小嬴用若嗡阍骞H初)其中“由(14)和(15)决定。根据上面的推导可以看出，流体中能量守恒定律在所有的惯性系都成立，伯努利方程是能量守恒定律在流体中体现形式，所以伯努利方程在所有的惯性系都成立。经典力学中的相对性原理实际上就是指协变性问题，力学相对性原理类似于“脚”，伯努利方程等具体的物理方程类似于“鞋”，这样就容易理解它们

35、之间的关系了。爱因斯坦认为,评价一个理论美不美，标准是原理上的简单性。这里的简单性是指逻辑简单性，即在科学理论中，作为逻辑出发点的彼此独立的初始命题(假设或公理)的数量要尽可能的少，通过逻辑演绎概括尽可能多的经验事实。因为“理论的前提简单性越大，它所涉及的事物种类就越多，它的应用范围就越广，给人们的美感就越深”。爱因斯坦把逻辑简单性作为建构科学理论的方法论原则，也作为科学创造的一个美学思想。因为简单性是秩序感的表现，它使人易于把握事物的特征，具有重大的审美价值。雷诺数(雷诺准数)是表征流体流动情况的无量纲数。根据雷诺数可区分流体的流动状态(层流或湍流)，此外，也可用来确定物体在流体中流动所受到的阻力。雷诺数体现了惯性力与粘性力量级的比。当雷诺数较小时，粘滞力对流场的影响大于惯性，流场中流速的扰动会因粘滞力而衰减，流体流动稳定(层流)；而当雷诺数较大时，惯性对流场的影响大于粘滞力，流体流动较不稳定，流速的微小变化很容易发展（增强）形成紊乱及不规则的紊流流场。雷诺数是判别流动特性的依据；雷诺数越小则粘性力影响越显著；雷诺数越大则惯性力影响越显著。从广义的角度来看，当流体相对于背景空间（外界环境，参考系）的速度大于流体内禀的信号速度（流体内禀的声速）时：则体现为雷诺数较大（惯性对流场的影响大于粘滞力），则流体流动变得不稳定。