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1、人教A版(2019)必修第一册5.1.2弧度制2023年压轴同步叁考答案与试题解析一填空题(共5小题)1 .如图，点A,B,C是圆O上的点，且A8=2,BC=氓,ZCAB=120,则NAOB对应的劣弧长为_亚兀_.【分析】利用正弦定理求出NACB的大小，然后再求NAO8,最后求出NAoB对应的劣弧长.【解答】解：由正弦定理可知:AB 二 BCSinNACB SinNCAB2 二娓SinNACB =Sinl 20 0得 SinNACB=亚,22SinNACB=2R=2OBOB=2,A3=2,ZAOB=-,2NAoB对应的劣弧长：YZ兀_2故答案为：立_兀2【点评】本题考查弧长公式，考查计算能力，
2、是基础题.2 .已知球。的半径为2,圆Oi是一小圆，OtO=M,A、8是圆Oi上两点，若N4O5=,则A,B两点间的球面距离为_空_.23【分析】由题意知应先求出AB的长度，在直角三角形AOiB中由勾股定理可得B=2由此知三角形AO8是等边三角形，由此可以求出NAOB的值，进而利用弧长公式求A,8两点间的球面距离.【解答】解：由题设知OlO=OA=OB=I在圆。1中有OIA=Ol8=,又NAOiB=工2在直角三角形A08中由勾股定理可得AB=2所以在4A08中，OA=OB=AB=I,则4A08为等边三角形，可得NAo8=60由弧长公式=r。为半径）得A,B两点间的球面距离/as=用=2X型卫L
3、33故答案为空_3【点评】本题的考点是弧长公式，其考查背景是球内一小圆上两点的球面距，对空间想象能力要求较高，此类题是一个基本题型，求解方法固定先求两点间的弦长，再求球心角角，再由弧长公式求弧长.3 .半径为2cm,圆心角为60所对的弧长为_空_刖.3【分析】根据弧度制下的弧长公式，将圆心角化成弧度制后，代入公式即可求解.【解答】解：由题意，圆心角=A,3根据弧长公式=R,则IWi2得-（Cm）.故答案为：22L.3【点评】本题主要考查了弧长公式，属于基础题.4 .已知某扇形的圆心角为工，半径为3,则该扇形的弧长为.3【分析】由已知结合扇形弧长公式即可求解.【解答】解：因为扇形的圆心角为工，半
4、径为3,3则该扇形的弧长/=工3=.3故答案为：.【点评】本题主要考查了扇形的弧长公式，属于基础题.5 .已知某扇形的半径为1,圆心角为工，则该扇形的面积为_匹_.612【分析】直接根据扇形的面积公式可求出结果.【解答】解：该扇形的面积为S=L|a|，=X三X12=JL.22612故答案为：2L.12【点评】本题考查了扇形的面积公式应用问题，是基础题.二.选择题（共10小题）6 .已知半径为120Cm的圆上,有一条弧的长是144口,则该弧所对的圆心角的弧度数为（）A. 0.6B. 1.2C. -0.6D. - 1.2【分析】由弧长公式L=RB直接可以算出.【解答】解：由题意可得：L=144cw
5、,R=120cm,.Z=R,.=L=A=1.2阳.R120故选：B.【点评】本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题.7 .荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为170,则该秋千最大摆角所对的弧长为（）A.递U米B.笙L米C.13.6米D.198米99【分析】根据弧长公式计算即可.【解答】解：由题意得：最大摆角为0=17,半径R=8,18018由弧长公式可得：1=R=0L80四（米）.189故选：A.【点评】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题.8 .己知扇形的圆心角
6、为工ad，半径为5,则扇形的弧长为（）5A.上B.1C.2D.42【分析】根据已知条件，结合弧长公式，即可求解.【解答】解：扇形的圆心角为!ad，半径为5，5则扇形的弧长为5=1-5故选：B.【点评】本题主要考查弧长公式，属于基础题.9 .直线x+y+J=0截圆x2+）2=4所得劣弧所对圆心角为（）【分析】画出图象即可判断劣弧所对的圆心角为钝角，从而只能选A.【解答】解：如图，由图象看出直线x+.y+&=0截圆f+V=4所得劣弧所对圆心角为钝角.故选：A.【点评】本题考查了通过图象解决几何问题的方法，考查了计算能力，属于基础题.10 .角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位
7、制(Densenositionsystem),密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的一-,即2=3606000=6000密位.在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0-03,123密位写成1-23,设圆的半径为1,那么520密位的圆心角所对的弧长为()13冗B 26冗75, 75C.D.3几25【分析】先求密位5-20的圆心角，再代弧长公式求弧长.【解答】解：因为1密位等于圆周角的二6000所以密位5-20的圆心角为里-X2兀=空匚600075又圆的半径为1,GfrPl2llfl.M13互、,V13打所以弧艮I=75XI=75.故选：A
8、.【点评】本题考查弧长公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.211 .设圆心角为工的扇形的弧长为/,面积为S,则二=()3S【分析】根据扇形弧长、面积公式求解即可.【解答】解：设扇形的半径为八则ITr所以12=苧2,兀2.I22兀=1S3故选：D.【点评】本题主要考查扇形面积公式，属于基础题.12 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中卷一方田记载：“今有宛田,下周八步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长8步,其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（）A.8平方步B.6平方步C.4平方步D.16平方步【分析】利用扇形面积计算公式即可得出.【解答】解：
9、弧长8步，其所在圆的直径是4步，由题意可得：S=上X2X8=8（平方步），2故选：A.【点评】本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.13 .已知圆心角为3阳d的扇形的弧长为6,则该扇形的面积为（）A.3B.6C.9D.12【分析】由已知结合扇形的弧长公式先求出半径，然后结合扇形的面积公式可求.【解答】解：由题意得扇形的半径=且=2,3故该扇形的面积为3X4=6故选：B.【点评】本题主要考查了扇形的弧长及面积公式，属于基础题.14 .如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧AD长度是/i,弧BC长度是b,几何图形ABCD面积为S
10、,扇形BOC面积为S2,若乜=2，1219th Asian GamesHangzhou 2022C. 3A. 1B. 2D. 4【分析】由弧长比可得QA=2O8,再结合扇形面积公式得答案【解答】解：设NBOC=,由=2，得JOAJci=胆4=2,即IOAI=2O3,2IOBIIobI1n1p所以SL_万山村%oBljC）A艮|例2s2-ob2IobI2,4ob2-qb2,3IobI2故选：C.【点评】本题考查扇形弧长与面积公式的应用，考查运算求解能力，是基础题.15.刘辉（约公元225-295年），魏晋期间的数学家.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而
11、无所失矣.”“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章.割圆术的核心思想是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积.运用割圆术的思想得到sin6o的近似值为（）【分析】利用割圆术的核心思想将圆平分60份，每份即近似一个小三角形，表示其面积即可建立方程求sin60的近似值.【解答】解：将圆平分60份，每份即近似一个小三角形，该三角形面积与扇形面积近似，故sin6XC兀:I*。今Sin6。gT236030故选：D.【点评】本题主要考查了扇形面积公式的应用，属于基础题.三.解答题（共5小题）16 .弧长为的弧所对圆心角为匹，则这条弧所在的圆的半径为44【分析】
12、根据已知条件，结合弧长公式，即可求解.【解答】解：弧长为n的弧所对圆心角为工，4则这条弧所在的圆的半径为今=4.V故答案为：4.【点评】本题主要考查弧长公式，属于基础题.17 .如图，在平面直角坐标系My中，角的始边与X轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于X轴上方一点8,始边不动，终边在运动.（1）若点B的横坐标为三，求tana的值；5（2）若AAOB为等边三角形，写出与角a终边相同的角的集合；（3）若d0,空，请写出弓形48的面积S与a的函数关系式，并指出函数的3值域.【分析】（1）由题意可得B（4，1）,根据三角函数的定义得;55（2）同理可得B的坐标，然后由三角函
13、数的定义可得:（3）把弓形转化为扇形和三角形的面积之差，由导数可得函数的单调性，进而可得值域.【解答】解：（1）由题意可得8（1,1）,根据三角函数的定义得：tana=X=S;55X4（2）若AAOB为等边三角形，则8（1,返）22可得tanN408=X=V5，故X3故与角a终边相同的角的集合为：=9+2k兀，&WZ；(3)若clO,则S均形=工OtJ=La.,而SjoB=LxiXlXsina=Isina,j32222故弓形的面积S=S形Sjob=Lq.-sina,a0,2-,22j3j求导数可得S=/卷CoSa=/(1-COSa)0,故S在区间0,等上单调递增，s(0)=o,s(L)=2Lj
14、Z,334故函数的值域为：0,工巫34【点评】本题考查三角函数的定义和扇形的面积公式，属基础题.18. 1972年9月，苏步青先生第三次来到江南造船厂，这一次他是为解决造船难题、开发更好的船体数学放样方法而来，他为我国计算机辅助几何设计的发展作出了重要贡献.造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线，由于这条圆弧线的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线.如图，已知圆弧篇的半径r=29米，圆弧篇所对的弦长/=12米，以米为单位，建立适当的坐标系，并求圆弧篇的方程(答案中数据精确至J0.001米).【分析】以弦48所在直线为X轴，弦A8的垂直平分线为)
15、，轴，建立平面直角坐标系,设圆弧的圆心为C,连接Ae由题意利用勾股定理可求IoCl的值，可求圆心的坐标，进而可求圆瓠标的方程.【解答】解：如图以弦AB所在直线为X轴，弦AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设圆弧的圆心为C,连接AG则Hol=6,Hq=r=29,可得IoC1=、AC2-AO2=1292-62比28.373,即圆心的坐标为C(0,-28.373),所以圆弧窟的方程为f+(+28.373)2=292(-6x6,月0).【点评】本题考查了圆的方程的求法，考查了数形结合思想，属于基础题.19. （1）已知一个扇形周长为IOtvzn求该扇形的圆心角为多少时，扇形的面积最大？最大值是
16、多少？（2）已知关于X的方程22+b=0的两个实根为sin。和cos,且（?,九），求力的值和sin-cos的值.【分析】（1）设扇形的半径为，由题意可求扇形的弧长/=102八利用扇形的面积公式及配方法可得S璃形=空（rS）2,即可得解.42（2）由题意解方程可得b的值，可得w（2L,2L）,进而利用平方差公式，同角三角42函数基本关系式即可求解.【解答】解：（1）设扇形的半径为，则扇形的弧长/=102-，Sj形=上=工r（102r）=-r2+5r=-（r-）2,2242.当z=5时，此时扇形的圆心角=2,扇形的面积最大值为空5?.24（2）Y方程22+bJ=O的两个实根为sin和cos,4,
17、=b2-20,.sin+cos=-,Nsincos=,Or21，由有也-=1+,，解得b=5,此时=520,44XVsincos=-0,8为第一象限角，sin+cos0,可得e（2LfA）,42.*.sincos,.*.sin-cos=l-2sincos=2【点评】本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，考查了配方法的应用，属于中档题.20.如图，圆。的半径为5,弦AB的长为5.（1）求圆心角（0）的大小；（2）求扇形AoB的弧长/及阴影部分的面积S.【分析】（1）由等边三角形即可求解角.（2）利用弧长公式l=ar以及扇形的面积公式SVIr即可求解.【解答】解：（1）由于圆。的半径为r=5,弦AB的长为5,所以AAOB为等边三角形,所以=NAOB=（2）因为3rcrl5冗Il5打25冗Wi=r=-,Sffijf0B=ylr=yyC_V325F乂S4A0Bh7X5X5=,所以阴影部分的面积S=S扇-SMOB=Tj【点评】本题主要考查了弧长公式及扇形的面积公式的应用，属于基础题.
