三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型（解析版）.docx

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1、三角形中的重要模型弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾:弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。模型1、弦图模型(1)内弦图模型：如图1,在正方形ABC。中，AE_L3尸于点BhLCG于点凡CG工

2、DH于点、G,DHYAE于点“，则有结论：AABE/ABCFQACDGQRDAH、S正方形abco=4Sa日s+S正方形EFG(2)外弦图模型：如图2,在正方形ABCO中，E,F,G,H分别是正方形ABC。各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：AHECFGADGH；S正方形AeCD=45乙eab+S正方形efgh.(3)内外组合型弦图模型：如图3,2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.例1.(2023秋湖北九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的勾股弦图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如.如果大正方形的

3、面积是16,直角三角形的直角边长分别为小b,且/+/=而+o,那么图中小正方形的面积是()【答案】C【分析】根据大正方形的面积即可求得ez,利用勾股定理可以得到a?+/=。?，然后根据(a+/?)?=a2+2ab+b2=c?+勿求得即可求得的值，结合(力一。)？=a2-2ab+b1-C-Iab即可求解.【详解】解：团大正方形的面积是16,0c2=16,0a2+2=c2=16,团M+=H+10,0aZ?=6回小正方形的边长为：b-a,（b-a=a2-2ab+b2=c2-2ab=6-26=4.故选C【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理应用，熟记完全平方公式的灵活应用是解题关键.例2.（

4、2022安徽安庆八年级期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形ABCQ由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若NADE=NAED,AD=45,则AADE的面积为（）A. 24B. 6C. 25D. 2)【答案】A【分析】由已知得出4。=A石=AB,进而利用图形面积的割补关系解得即可.【详解】解：如图:回MoE=SAEO,AD=AE=AB,(三AEF=0ABF,0F0BE,EF=BF=BEt团GE=AH,画GEM=SJHAM,团MGE=(W/M,GEMHAM(AS4),SHAM=SGEM,SADE=SADH+SDGE,0AD=45,DH

5、=ZAH,AD2=DH2+H2,0AH=4,DH=8,BDG=GE=4,/.5DE=-48+-44=24.故选：A.22【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质正确表示出直角三角形的面积是解题的关键.例3.（2023山西八年级期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,8C=5,将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）SlA. 24B.D. 76【答案】D【分析】由题意0ACB为直角，AD=6,利用勾股定理求得BD的长，进步求得风车的外围周长.【详解】解：依题意

6、由ACB为直角，AD=6, 0CD=6+6=12,由勾股定理得，BD2=BC2+CD2, 0BD2=122+52=169,所以 BD=13,所以数学风车的周长是：（13+6）x4=76.故选：D.【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b,斜边为C,那么a2+b22.例4.（2022杭州九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了-幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形488,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为5,S2,S3.若5+S2+S

7、3=12,则下列关于51、S2、5?的说法正确的是（）A.S=2B.$2=3C.Ss6D.S+53=8RF【答案】D【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCDtEFGH,MNKT是正方形,得出CG=NG,CF=DG=NF,再根据三个正方形面积公式列式相加：Si+S2+S.=l2f求出G尸的值，从而可以计算结论即可.【解析】解：八个直角三角形全等，四边形A8CD,EFGH,MNKr是正方形，.CG=NG,CF=DG=NFSi=(CG+DG)2=cg?+DG?+2CGDG=GF?+2CGDG，S2=GF2,S3=(NG-NFy=NG2NF2-2NGNF,+S2+S3=GF2+2CGDG+GF?

8、+NG2NF2-2NGNF=3GF2=12,.,GF2=4,52=4,.S1+S2+S3=12,S1+S3=8,故选：D.【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出3GU=12是解决问题的关键.例5.(2023广东九年级专题练习)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经题时给出了“赵爽弦图”.将两个赵爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形WNPQ,记空隙处正方形ABCQ,正方形瓦6”的面积分别为R,S2(SlS2),则下列四个判断：S+S?=；S四边形MNPQR=2AF；若NEMH=30。,则S=3

9、S2;若点A是线段G”的中点，则351=4S2,其中正确的序号是【答案】【分析】设“赵爽弦图中，直角三角形的较短直角边为叫较长直角边为6,斜边为J则小正方形的边长为b-a,正方形ABCQ的边长为人，正方形“GH的边长为正方形MNPQ的边长为2r,由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可.【详解】设赵爽弦图中，直角三角形的较短直角边为。，较长直角边为b,斜边为J则小正方形的边长为b-a,正方形ABe。的边长为6,正方形瓦G/7的边长为。，正方形MNPQ的边长为2c,团S=/,S2=a11S四边形MM=（2c）2=牝2.si+s2=a2+b2=C2.0S1+S2=-S四边形MNPQ故正确；0AF

10、=b-a,0AG=FG-AF=a-（b-a）=2a-b.团DG=AD-AG=一（加一）=2（6。）.DG=2AF.故正确；0ZEAW=30o,NMHE=90,MH=小HE.即人=JJa.2=32.EISI=3S?.故正确；团点4是线段G尸的中点，AG=AF.2a-b=b-a,02Zj=3.4b2=92.04S1=9S2.故不正确；故答案是.【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为。，较长直角边为方，斜边为*用/,c表示出相关线段的长度，从而解决问题.模型2.勾股树模型作等腰直作正方形（华达作等边三角形作半画 角三角形哥拉斯树的起始图形）例L

11、（2022福建八年级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、。、。的边长分别为3,4,1,2,则最大的正方形上的面积是一.【分析】根据勾股定理可得：正方形产的面积=正方形A的面积+正方形B的面积，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形。的面积，从而得到正方形E的面积=正方形厂的面积+正方形G的面积，即可求解.由勾股定理得，正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+42=25,同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形。的面积=2?+产=5,.正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=30.故答案为：30【点睛】

12、本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键.例2.（2022浙江乐清市八年级期中）如图，在四边形ABCO中，B=D=90o,分别以AB,BC,CD,OA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S伊，S乙，S丙,S/来表示它们的面积，那么下列结论正确A.S甲=S丁B.S乙=S丙C.S甲一S乙=S丁一S丙D.S1+S=+S1-【答案】D【分析】连接AC,根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解.由勾股定理得A82+8G=AC2,AD2CD2=AC2,团甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D.【点睛】本题

13、考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系.例3.（2022河南八年级期末）如图，正方形ABCO的边长为2,其面积标记为S,以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,按照此规律继续下去，则Sg的值为（）【答案】A【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S,写出部分S.的值，根据数的变化找出变化规律（唯3）,依此规律即可得出结论.【详解】解：在图中标上字母E,如图所示.正方形ABCZ）的边长为2,ZXCDE为等腰直角三角形，：DE2+CE2=CD2DE=CE,：,S2+S2=S1.观察，发现规律：S=2

14、2=4,S2=Is1=2,S3=Is2=I,S4=Is3=Is,”“=当=9时，S=（m*=eJ,故选：A.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律S”=（gj”3，解决该题目时，写出部分S“的值，根据数值的变化找出变化规律是关键.例4.（2023春山东荷泽八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1,则第

15、2023代勾股树中所有正方形的面积为.第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树【答案】2024【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为2,再次求出第二代、第三代勾股树中所有三角形的面积，总结出般规律，即可进行解答.【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为。和A斜边长为c，根据勾股定理可得：a2+h2=c2,团C?=1,团第代勾股树中所有正方形的面积为=2+2+c2=c2+c2=2;同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为=2/+给2+c2=3c2=3；第三代勾股树中所有正方形的面积为=牝2=4;第代勾股树中所有正方形的面积为=5+l）c2=+1;团第2023代勾股树中所

16、有正方形的面积为2024.故答案为：2024.【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是仔细观察图形，根据勾股定理总结出变化的般规律.例5.（2023浙江八年级期中）如图，以RtZXABC的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为豆、S2,RtZA8C的面积S3.若$=4,S2=8,则m的值为.【答案】12【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得Sj的值.观察图形可得：-r(-a)2 + ,(-+53 = S1 +S2 + 【详解】解：设RtAABC的三边分别为a、b、c,则/+加=c2,（-c）2,J-,/?2+53=S1S2+-,C2,2888*a2+b2=C2-,2+,

17、h2=,c2,Si=Sl+S2=4+8=12,故答案为：12.OOO【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键.例6.（2022春浙江温州九年级校考开学考试）如图1,是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”.如图2,在R曲48C中，ZBAC=90,以其三边为边分别向外作正方形，延长EC,OB分别交GEAH于点N,S9K,连接KN交AG于点M,若消=77，则tanZAC3为（）图1图2【答案】B【分析】先证明ABC,WC,设AC=7,A8=7b,则tanACB=g,根据AKMSGNM,面积比等于相似比的平方可得GN:AK=3:4,根据Ak=

18、ACAK,表示出AK=/-,又GN=1a-7b,根据W=缆=9可得J。+4（2-4=0,解一元二次方程即可求得2的值，即tanNAC8的值.GNGM3a）a）a【详解】解：回四边形ABCO,ACPGAR/”是正方形.ZBCV=ZAC尸=90o,/BAC=ZNFC=骄,AC=CF:.ZACB=/FCN-ABgFNC.NF=AB设AC=7a,AB=7b,则tanZ4C5=g,.GN=GF-NF=Ja-Jb.ACHGF ：. AKMSgNM垦=21GM丫.AKAM4216=JaM）GNGM3NKBC=NE4C=90.ZACB+ZABC=ZABC+ZABK:.ZACB=ZABK.tanZACB=-=t

19、anZABK=CAB,/S、GNIa-Ib3Ib1 4 4a2-4ab = 3b2 ,A=迫=ZL京AClaa-4=0解得2=4或2=_2（舍）即tanAC8=4故选Ba3a3【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解元二次方程，正切，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.例7.（2023贵州遵义统考二模）如图1,毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.在图2中，NACB=90。，分别以RtABC的三条边为边向外作正方形，连接班，DG、BE,交AC于点Q,若NBAC=30。，BC=2,则四边形的面积是.【答案】53+33+

20、53【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求得AC,再证明一CQSBL史求得CQ,再利用梯形和三角形的面积公式求解即可.【详解】解：在RiACB中，0ZACB=9Oo,ZBAC=30o,Be=2,0AB=2BC=4,则AC=JAB2-BO?=2抠，团四边形ACQE是正方形，EIACOE,CD=DE=AC=23，国.BCQs一BDE,岑=器,即畀=7,解得CQ=36，DEBD232+2/3团四边形EQGD的面积为S梯区Ow5dcc=1（3-3+23）23+I232=53+3.【点睹】本题考查正方形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、梯形和三角形的面积公式等

21、知识，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解答的关键.例8.（2023秋浙江八年级专题练习）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图（如图1）,后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.【实践操作】（1）请叙述勾股定理；（2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件）【探索发现】（3）如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边

22、三角形，这三个图形中面积关系满足B+S?=S3的有一个；（4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，、S2,直角三角形面积为S3,请判断S、S2、S3的关系并说明理由.【答案】（1）在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；（2）证明见解析；（3）3；（4）S1+S2=S3【分析】（1）根据勾股定理的定义描述，即可得到答窠；（2）结合图2,根据大正方形面积等于四个三角形面积和小正方形面积之和的关系计算，即可得到答案；（3）设面积为，的正方形边长为a,面积为邑的正方形边长为b,面积为S3的正方形边长为c；根据题

23、意得：a2+b2=c2,再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解：（4）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、非阴影部分去除三角形后的面积，再根据阴影部分面积（5+邑）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积非阴影部分去除三角形后的面积，结合勾股定理，即可得到答案.【详解】(1)勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方;(2)如图2大正方形面积为：(a+b)2小正方形面积为：C2四个直角三角形面积之和为：4x；H团大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和0(a+/?)2=c2+4aba2+b2=C2,

24、满足直角三角形勾股定理；(3)设面积为SI的正方形边长为a,面积为S2的正方形边长为b,面积为S3的正方形边长为c；根据题意得：a2+h2=c2图6如图4：Sia21S2=h2,S3=C2051+S2=S3；如图5：2 7 - 2Z/l 1乃1 - 2=万1 - 8=-a2+-b2=-r(a2+b2=-c2Sl +S2 =S3 ； 8888如图6港X年=Var=V凡&=*M*+声邛(/+町=骨晒+&=&;团三个图形中面积关系满足E+S?=S.,的有3个故答案为：3；(4)以a为直径的半圆面积为：14-T=-2以b为直径的半圆面积为：l-f2=l2y2)822)8非阴影部分去除三角形后的面积为：

25、-f-Y-S3=-c2-S322)8国阴影部分面积(S+s?)=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积非阴影部分去除三角形后的面积051+52-S3=-(a2+2-c2)结合(1)的结论：a2+b2=c2(a2+b2-c2=OSl+S2=S3.88【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解.课后专项训练1.（2022云南九年级一模）如图是按照一定规律生长的勾股树：经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形照此规律生长下去，图（6）应在

26、图（5）的基础上增加的正方形的个数是（）A.12B.32C.64D.128【答案】C【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形以此类推可得图形的变换规律.【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，2x2=22=4图（3）比图（2）多出8个正方形，42=23=8:图（4）比图（3）多出16个正方形，82=24=16;图（5）比图（4）多出32个正方形，162=25=32;照此规律，图（n）比图（：）多出正方形的个数为：T故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：26=64；故答案为：C.【点

27、睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力.首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.2.（2022浙江初三期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若图2中阴影部分的面积为2,且AB+AC=8,则BC的长为（）a. 42B. 625 C. 413T【答案】B【分析】设AC=a,AB=b,BC=C根据勾股定理得到c2=a

28、2+b2,根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可求解.【解析】如图2：设 AC=a, AB=b, BC=c,则a+b=8,c2=a2b2,HG=c-b,DG=c-a,则阴影部分的面积S=HGDG=(c-b)(c-a)=2,:（ab）2=a2b22ab=64,ab=32-,S=c2-c（ab）ab=c2-8c32-=2,22解得C=6,C2=10（舍去）.故选：B.【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c23.（2023浙江杭州八年级阶段练习）如图,阳SABC中，138AC=90。,分别以BABC的三边为边作正方形ABDE正方形B

29、CFG,正方形ACH/,Al交CF于点J.三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGE/的面积为Si,四边形CH的面积为S2,若SlS2=12,SABC=4,则正方形8C/G的面积为（）A.16B.18C.20D.22【答案】C【分析】设8C=,AC=b,AB=Cf由正方形面积和三角形面积得S的物泮G-SA方影ACm=I6,即标-b2=16,再由勾股定理得尼=/,则/=16,求出c=4,求出b=2,则/=/+/=20,即可求解.【详解】解：iSBC=a,C=b,AB=cfSl=SjBCFG-SABC-SACJ,S2=SACHI-SACJ,0S/-S2=S正方形BCFG-SABC-SACJ

30、-S正方形AeHl+SaACJ=S正方形BCFG-4-S正方影ACHl=X1,0S正方形BCFG-S正方藏ACHI=16,即标炉=年，团RQABC中，回BAC=90,0a2-b2=c2f0c2=16,0c=4（负值已舍去），ElSdABC=T仪?=2b=4,团匕=2,a2=b2+c2=16+22=20,团正方形BCrG的面积为20,故选：C.【点睛】本题考查了勾股定理，设参数表示三角形的边长，根据已知条件求得。2=16是解题的关键.4. （2023春湖北黄冈八年级统考期中）“赵爽弦图巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为。，较短直角边长为人若必=8,

31、大正方形的面积为25,则EF的A.9B.9应C.3拒D.3【答案】C【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积即可解答.【详解】解：回三角形较长宜角边长为。，较短宜角边长为人，团四个三角形的面积为2岫，0=8,大正方形的面积为25,团小正方形的面积为25-2必=25-16=9,国小正方形的边长为3,EF=y32+32=18=32故选C.【点睛】本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，勾股定理，掌握小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积是解题的关键.5. （2022四川成都模拟预测）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载.如图1,

32、以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2.则图2中阴影部分面积等于（）C.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】DB.最大正方形的面积D.较小两个正方形重叠部分的面积【分析】根据勾股定理得到C? =M+从,再根据正方形的面积公式、矩形面积公式计算即可.【详解】解：如图，设直角三角形的较短直角边为小较长直角边为A斜边为C,由勾股定理可得，C2=a2+b2,=C2-b2-a(c-b)=a2-a(c-b)=a(a+b-c),较小两个正方形重叠部分的面积=。3+8-c）,团阴影部分面积=较小两个正方形重叠部分的面积.故选：D.【点睛】本题主

33、要考查了勾股定理的知识，解题关键是利用数形结合的数学思想分析问题.6. （2023春广东潮州九年级校考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就.如图所示的“弦图，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.直角三角形的斜边长为13,一条直角边长为12,则小正方形ABCD的面积的大小为（）【答案】C【分析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度，然后结合图形求得小正方形的边长，易得小正方形的面积.【详解】解：如图，根据勾股定理，Waf=yjEF2-AE2=7132-122=5所以A=12-5=7.所以正方形ABCQ的面积为：7x7=49.故

34、选：C.【点睹】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角边的长度.7. （2023春湖北武汉八年级统考期末）大约公元222年我国汉代数学家赵爽为周髀算经一书作序时介绍了“勾股圆方图，亦称“赵爽弦图，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCz）,中空的部分是小正方形瓦GH,连接EG,80相交于点O,BD与HC相交于点尸，若Go=GP,则直角三角形的边CG与BG之比是（）A.gB.C.y2-D.j3-y2【答案】C【分析】先证明AEDO且AGBO,得出OE=OG,再根据已知条件GO=GP,结合等腰三角形的性质、正方形的性质求得NCBG=22.5。=NPBG,进

35、而证明.BPG组.CPG,得出PG=CG=OG,设PG=CG=OG=BF=I,得到BG=B尸+FG=&+1，进而求解.【详解】解：团四边形EFG、ABCD是正方形，EH=FG,EHFG,NEGP=45。，ZBGP=90。，NCBD=45。，0ZDEO=ZSGOiZEDO=NGBO,团四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCQ,DE=BG,BF=CG,AEDOAGBO,团OE=OG,QGO=GP,NEGP=45。，0ZGOP=ZOPG=1(180-45)=67.5,0APBG=90-67.5o=22.5o,0/CBG=22.5o=ZPBG,团NPGB=NCGB=90。,BG=BG,但BPGJJPG

36、,0PG=CG=OG,设PG=CG=OG=B/=1,则EG=2OG=2,国FG=立型=也2Wr 故选:【点睹】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键.8. （2023春江苏泰州七年级统考期末）大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）.某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：AABC为等边三角形，AD.BE、。尸围成的DEF也是等边三角形.已知点。、尸分别是BE、CF、Al）的中点，若.ABC的面积为14,则J）EF的面积是（）图1图2AA. 1B. 2

37、C. 3D. 4【答案】B【分析】连接由题意知SABD=SAFC=S go，再由点。、E、尸分别是跖、CF、AO的中点，可得S BR =S DEF， S BDF=S W ,即可得出SABC= 7S由即可求解.【详解】解：连接3F,如图所示:点D、E、F分别是BE、CFAD的中点，SBDF=S.DEFSBDF=SABFABC为等边三角形，EF也是等边三角形，.AB=BC=AC,DE=EF=DF,ZABC=CB=NBAC=3,NFED=NFDE=NEFD=60。,.NABO+NCBD=60。，N/7乃是的一个外角，ZE4D+ZABD=60,ED是ABCE的个外角，；.NCBE+NBCE=60。，N

38、BAD=NCBE,ZABD=NBCE,NBAD=NCBE在AABO和ACE中，AB=BC,.ABDACE(ASA),NABD=ZBCe同理，可得AABZ泾ACA尸(ASA),.力加=S,.C=SEc，SABD=S.AFc=Sbec=2SDEF，,S、ABCSZJD+BCE+S,AFC+Sedf=7SPEF，SABC=I4,*,DEF=BC=解得&诋=2,故选：B.【点睹】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出SMC=7S,F是解题的关键.9. （2023河北石家庄校考二模）如图1,毕达哥拉斯树，也叫勾股树，是由毕达哥拉

39、斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.在图2中，NAeB=90。，分别以RtAABC的三条边为边向外作正方形,连接BE,DG,晶交AC于点Q.若C=30o,BC=则四边形EQGD的面积是（）A.+3B.23C.53+3D.小【答案】A【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求得AC,再证明.BCQsBDE求得CQ,再利用梯形和三角形的面积公式求解即可.【详解】解：在RIZkACB中，回NACB=90。，ZBAC=30o,BC=&，0AB=2BC=22,则AC=JAB2_5。2=G团四边形ACDE是正方形，0CDE,CD=DE=AC=戈，的BCQSLBDE,Ia丝=,即半=，,解

40、得CQ=3&-瓜,DEBD62+62团四边形EQGO的面积为：S梯形皿e+S=g36;+瓜6+16=2.故选：A.【点睛】本题主要考查正方形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、梯形和三角形的面积公式等知识，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解答的关键.10. （2023江苏扬州统考中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为、b,斜边长为。，若。-=4,c=20,则每个直角三角形的面积为.【分析】由题意知，a2+b2=c2,由6-=4

41、,c=20,可得/+（。+4=20?,计算求出满足要求的。，然后求b,根据每个直角三角形的面积为;而，计算求解即可.【详解】解：由题意知，a2+h2=c2,Z?-a=4,c=20,0a2（+4）2=202,解得=12,a=-6（舍去），0/?=16,国每个直角三角形的面积为:=96,故答案为：96.【点睛】本题考查了勾股定理.解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用.IL（2022秋四川成都八年级校考期中）“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了以“勾股图为背景的邮票（如图1）,欧几里得在几何原本中曾对该图做了深入研究.如图2,在3ABe中，ZACB=90。，分

42、别以4BC的三条边为边向外作正方形，连接跛CM,OGCM分别与AB,相DG交于点P,。.若ZA班;=30。，则须7的值为.（图1）（R12）【答案】3-l-l+3【分析】先用已知条件利用SAS的三角形全等的判定定理证出AEABg.CW,之后利用全等三角形的性质定理分别可得NE84=NCM4=30。，NBPQ=NAPm=,PQ=；PB,然后设P=1,继而可分别求出PM=2,PQ=与,所以QM=QP+PM=丹坦；证明RlAACB&RjOCG（HL）,从而得DG=AB=0,DG然后代入所求数据即可得的值.AE=AC【详解】解：在EAB和JCAM中，,NE48=NC4M,AB=AM.NEABCAM(S

43、AS),/.NEBA=NCMA=30,.NBPQ=ZAPM=60,NBQP=90o,/.PQ=；PB,AP=1,则AM=LPM=2,PB=小-,PQ=lfQM=QP+PM=曰42=当当在RI ACB和Rt ,DCG 中,CG=BCAC = CD,Rl .ACBRt DCG(HL),DG=6=E:.DG=AB=币，；.GM一岛3一5.故答案为：3-l2【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.12. （2022春安徽合肥八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，在MZkACB中0ACB=9（,分别以AC.

44、BC、AB为边,向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S/、S2、S3,请解答以下问题:图图（DSi、S2、S3满足的数量关系是.（2）现将尸向上翻折，如图，若阴影部分的S*6、S/=5、S样4,则S仃=【答案】Sl+S2=S37【分析】（1）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可证明.（2）设AACB面积为S,图中两个白色图形的面积分别为mb,根据（D得到S仆+S/+人=S内+力+5,整理之后即可代值求解.【详解】解：（1）在用ACB中，0ACB=9Oo,则A82=AC2+8C2,如图，在等边ZXACE中，AC边上的高EH=且AC同理：S2=BbO,S3=BaB2,aS+S2=S

45、3;44（2）设AACB面积为S,图中两个白色图形的面积分别为小b；团S+S2=S3,0Sa+S/+力=S内+a+tS,团S*Sz=S/S,0S=6+5-4=7.故答案为：（1）S+S2=S3;（2）7.【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，等边三角形面积计算.熟练应用勾股定理、正确计算等边三角形面积以及会用割补法求三角形面积是解题的关键.13. （2023湖北孝感统考三模）“勾股树是以正方形边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为.【分析】由已知图形观察规律，即可得