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1、平行四边形的性质及判定典型例题平行四边形的性质及判定（典型例题）1（平行四边形及其性质例1如图，O是ABCD对角线的交点（?OBC的周长为59,BD=38,AC=24,则AD=若?OBC与?OAB的周长之差为15,则AB=ABCD的周长=.O根据平行四边形对角线互相平分，所以OB=TBD,OC=i分析：AC,可得BC,再由平行四边形对边相等知AD=BC,由平行四边形的对角线互相平分，可知?OBC与?OAB的周长之差就为BC与AB之差，可得AB,进而可得ABCD的周长（r-j解2BeD中OA=OC=gAC,OB=OD=JBD（平行四边形的对角线互相平分）?OBC的周长=0B,0C,EC=D+AC
2、BC22=19,12,BC=59?BC=28口ABCD中,?BOAD（平行四边形对边相等）？AD=28?OBC的周长-?OAB的周长=（0B,0C,BC）-（0B,OA+AB）=BC-AB=15?AB=13?ABCD的周长=AB,BC,CD,AD=2（AB,BC）=2（13,28）=82说明：本题条件中的“？OBC占?OAB的周长之差为15，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15（例2判断题（1）两条对边平行的四边形叫做平行四边形（）（2）平行四边形的两角相等（）（3）平行四边形的两条对角线相等（）（4）平行四边形的两条对角线互相平分（）（5）两条平行线中，一条直线上任
3、一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离（）（6）平行四边形的邻角互补（）分析:根据平行四边形的定义和性质判断（解：错“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边（如图四边形ABCD,两条对边AD?BC（显然四边形ABCD不是平行四边形（错平行四边形的性定理1,“平行四边形的对角相等（”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角（错平行四边形的性质定理3,“平行四边形的对角线互相平分（”一般地不相等（矩形的两条对角线相等）（对根据平行四边形的性质定理3可判断是正确的（错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是:两条平行线中，一条直线上任一点到另
4、一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离（对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知（平行四边形的邻角互补（口例3（如图1,在ABCD中，E、F是AC上的两点（且AE=CF（求证:ED?BF（分析:欲址DE?BF,只需？DEC=?AFB,转证二?ABF?CDF,因ABCD,则有ABCD,从而有?BAO?CDA（再由AF=CF得AF=CE（满足了三角形全等的条件（口JL证明：?AE=CFAE+EF=CF+EF?AF=CE口在ABCD中AB?CD（平行四边形的对边平行）?BAC=?DCA（两直线平行内错角相等）AB=CD（平行四边形的对边也相等）?ABF?CDE（SAS）?AFB
5、=?DCE?ED?BF（内错角相等两直线平行）说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理（例4如图已知在?ABC中DE?BC?FG,若BD=AF、求证;DE,FG=BC（分析1:要证DE,FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质（考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH?AB（或DM?AC）,得到DE=BH、只需证HC=FG,因AF=BD=EH,?CEH=?A.?AGF,?C所以?AFG?EHC（此方法称为截长法（分析2:过C点作CK?AB交DE的延长线于K,只需证FG=EK,转证?AFG?CKE（A证法1:过E作EH?AB交于H?DE?BC?四边形DBHE是平行
6、四边形（平行四边形定义）？DB=EHDE=BH（平行四边形对边也相等）又BD=AF?AF=EH?BC?FG?AGF=?C(两直线平行同位角相等)同理？A=?CEH?AFG?EHC(AAS)?FG=HC?BC=BH+HC=DE=FG即CE+FG=BD证法2:.过C作CK?AB交DE的延长线于K.?DE?BC?四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）?CK=BDDK=BC（平行四边形对边相等）又BD=AFVAF=CK?CK?AB?A=?ECK（两直线平行内错角相等）?BC?FG?AGF=?AED（两直线平行同位角相等）又?CEK=?AED（对顶角相等）?AGF=?CEK?AFG?CKE（AAS
7、）FG=EKDE+EK=BC?DE+FG=BC口例5如图ABCD中,?ABC=3?A,点E在CD,CE=I,EF?CD交CB延长线于F,若AD=L求BF的长（分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得?C=?F=45?进而由勾股定理求出CF,再根据平行四边形对边相等，得BF的长（解：在ABCD,AD?BC口?A,?ABC=I80?（两直线平行同旁内角互补）？?ABC=3?A?A=45?,?ABC=I35?C=?A=45?（平行四边形的对角相等）?EF?CD?F=45?（直角三角形两锐角互余）?EF=CE=I在RtACEF中，CF=JcE2+EF）=（勾股定理）VAD=BC=IBF=CF-BC
8、=2-i0例6如图1,ABCD中,对角线AC长为IOCnb?CAB=30?,AB长为6cm,求ABCD的面积（口解：过点C作CH?AB,交AB的延长线于点H（图2）?CAB=30?CH=AC=10=5-22ZZ7?SABCD,AB?CH,65=30（cm2）口答:ABCD的面积为30cm2（口说明：由于二底X高，题设中已知AB的长，须求出与底AB相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点D的高，故选择过点C作高（口例7如图，E、F分别在ABCD的边CD、BC,且EF?BD求证：S?ACE=S?ABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形（证明:将EF向两边延长分
9、别交AD、AB的延长线于G、H.口ABCDDE?AB?DEG=?BHF（两直线平行同位角相等）？GDE=?DAB（同上）AD?BC?DAB=?FBH（同上）?GDE=?FBH?四边形BHED是平行四边形?DE=BH（平行四边形对边相等）?GDE?FBH（ASA）?S?GDE=S?FBH（全等三角形面积相等）?GE=FH（全等三角形对应边相等）?S?ACE=S?AFH（等底同高的三角形面积相等）?S?ADE,S?ABF口说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积（即S=a?ha（a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离（即对应的高，为了区别，可以把高记成ha,表明它所对应的底是a（
10、口例8如图，在ABCD中，BE平分?B交CD于点E,DF平分?D交AB于点F,求证分析BF=DE（目标）tBEDF为O理ADETZ2=Z3tN3ZI=Z2ttDEFBNB=NDNl=（42=1Bt22口ABCD证明:?四边形ABCD是平行四边形?DE?FB,?ABC=?ADC（平行四边形的对边也平行对角相等）?1=?3（两直线平行内错角相等）而N1=；NADC,Z2=ZABC?1=?2?2=?3?DF?BE（同位角相等两条直线平行）？四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义）？BF=DE（平行四边形的对边相等）说明：此例也可通过?ADF?CBE来证明，但不如上面的方法简捷（例9如图，CD的R
11、t?ABC斜边AB上的高，AE平分?BAC交CD于E,EF?AB,交BC于点F,求证CE=BF（分析作EG?BC,交AB于G,易得EG=BF（再由基本图，可得EG=EC,从而得出结论（证明：过E点作EG?BC交AB于G点（?EGA=?B?EF?AB?EG=BF?CD为Rt?ABC斜边AB上的高?BAC,?B=90?(?BAC,?ACD,90?B=?ACD?ACD=?EGABAC?AE平分？?1=?2又AE=AE?AGE?ACE(AAS)?CE=EG?CE=BF(说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用(2)本题也可以设法平移AE(连F点作FG?AE,交AB于G)口ABCD的周长为
12、32cm,AB?BC=5?3,例10如图，已知AE?BC于E,AF?DC于F,?EAF=2?C,求AE和AF的长(分析：从化简条件开始口?由ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长（Z=ZABCD的周长=32IAB=IOAB:BC=5:3BC=6?EAF=2?C告诉我们什么，AFIFCl*FAE+NC=180。AE1BCjEAF=2ZCC=60这样，立即可以看出?ADF、？AEB都是有一个锐角为30?的直角三角形（于是有DF=AD=BC=3再由勾股定理求出口解:ABCD的周长为32CnI即AB+BC+CD+DA=32?AB=CDBC=DA（平行四边形的对边相等）AB+BC=32=1
13、62又AB?BC=5?3AB=-5=105+3BC=7X3=653?EAF+?AFC+?C+?CEA=360?（四边形内角和等于360?）?AE?BC?AEC=90?AFC=90oAF?DC?EAF+?C=180?EAF=2?C?C=60?AB?CD（平行四边形的对边平行）?ABE=?C=60?（两直线平行同位角相等）同理?ADF=60?在RtZABE中，NBAE=30BE=-AB=5.AE=AB3=BE2=53(cm)在RtADF中，NDAF=30。DF=BAD=BBC=3.,.AF=AD3-DF2=33(Cm)说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一
14、种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为:从最复杂的地方开始(它虽简单，却很有效(2(平行四边形的判定例1填空题如图1,四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是理由是(2)如图2,D、E分别在?ABC的边AB、AC,DE=EF,AE=EC,DE?BC则四边形ADCF是理由是四边形BCFD是理由是分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：(1)根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC,BC平行且等于EF,从而得AD平行且等于EF,由判定定理4可得(2)由AE=EC,DE=EF,由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形，从而得AD?
15、CF即BD?CF,再由条件，可得四边形BCFD是平行四边形(解：(1)平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形(说明：平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法（例2如图，四边形ABCD中，AB=CD（?ADB=?CBD=90?（求证：四边形ABCD是平行四边形（分析:判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法，这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：（1）两组对边分别平行（I）从边看一（2）两组
16、时边分别相等从自着一组对边平行且相等的四边形是11J小用有一（4）两组对角分别相等平行四边形（In）从对角线看一（5）对角线互相平分因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法（证法一：?AB=CD（?ADB=?CBD=90?,BD=DB（?Rt?ABD?Rt?CDB（?ABD=?CDB,?A=?C（?ABD+?CBD=?CDB+?ADB即?ABC=?CDA（?四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）（证法二：?ADB=?CBD=90?,AB=CD、BD=DB(?Rt?ABD?Rt?CDB(?ABD=?CDB(?AB?CD（内错角相等两直线平行）？四边形ABCD是
17、平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（证法三：由证法一知，Rt?ABD?Rt?CDB（?DA=BC又?AB=CD?四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路（本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明（口例3如图，ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE=CF,BG=DH,求证:EF与GH互相平分（分析：只须证明EGFH为平行四边形（证明：连结EG、GF、FH、HE（?四边形ABCD是平行四边形?A=?C,AD=CB（?BG
18、=DH?AH=CG又AE=CF?AEH?CFG（SAS）?HE=GF同理可得EG=FH?四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）?EF与GH互相平分（平行四边形的对角线互相平分）（说明:平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法（口例4如图，ABCD中，AE?BD于E,CF?BD于F（求证：四边形AECF是平行四边c分析：由平行四边形的性质，可得?ABE?CDF?AE=CF进而可得四边形AECF是平行四边形（U7JL证明：ABCD中，ABCD（平行四边形的对边平行，对边相等）?ABD=?CDB（两直线平行内错角相等）AE?BD、CF?BD?AE?C
19、F?AEB=?CFD=90?ABE?CDF（AAS）?AE=CF?四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）说明:平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一例5如图，ABCD中，E、F分别在如、BC,且AE=CF,AF、BE相交于G,CE、DF相交于H求证:EF与GH互相平分分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都为平行四边形，所以可得AF?EC,BE?DF,从而四边形GEHF为平行四边形（口JL证明:ABCD中，ADBC（平行四边形对边平行且相等）?AE=CF?DE=BF?四边
20、形AFCE,四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平形四边形）?AF?CE,BE?DF（平行四边形对边平行）?四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）?GH与EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）说明:平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的（往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等（要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等（先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明（口例6如图，已知ABCD中，EF在BD上，且BE=DF,点G、H在AD、CB,且有AG=CH,GH与B
21、D交于点0,求证EGHF分析:证EF、GH互相平分GEHF为平行四边形（证明：连BG、DH、GF、EH?ABCD为平行四边形（JL?ADBC又AG=HCJL?DGBH?四边形BGDH为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）？H0,G0,D0=B0（平行四边形的对角线互相平分）又BE=DF?OE=OF?四边形GEHF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD,所以考虑用对角线互相平分来证明口例7如图，ABCD中，AE?BD于E,CF?BD于F,G、H分别为AD、BC的中点，求证:EF和GH互相平分（分析：连结EH,HF、FG、GE,只
22、须证明EHFG为平行四边形（证法一：连结EH,HF、FG、GE?AE?BD,G是AD中点（AGE=GD=iAD2?GED=?GDE同理可得HF=HB=BC,ZHFB=ZHBF2?四边形ABCD是平行四边形旦?ADBC,?GDE=?HBF?GE=HF,?GED=?HFB?GE?HF?四边形GEHF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）?EF和GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）证法二：容易证明？ABE?CDFVBE=DF?四边形ABCD为平行四边形旦?ADBC?G、H分别为AD、BC的中点JL?DGBH?四边形BHDG为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）?B
23、D和GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）？OG=OH,OB=OD又BE=DF?OE=OF?EF和GH互相平分（口例8如图，已知线段a、b与？,求作:ABCD,使?ABC=?,AB=a,BC=b,分析：已知两边与夹角，可先确定?ABC,根据判定定理2（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），再确定点D,从而平行四边形可作出（作法：作？EBF=?Q,在BE、BF上分别截取BA=a,BC=b,分别为A、C为圆心，b,a为半径作弧，两弧交于点D,?四边形ABCD为所求(*证明：由作法可知AB=CD,aBC=AD=b?四边形ABCD为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)且？ABC=?Q,AB=a,BOb口?ABCD为所求说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1)已知两邻边(AB.BC)和夹角(?B)(2)已知一边(BC)和两条对角线(AC,BD)(3)已知一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角(如?DBC,?ACB)(4)已知一边(CD)和一个内角(?ABC)以及过这个角的顶点的一条对角线(BD,且BD,CD)求作平行四边形(如图)完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法(
