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1、专题03直线的方程及其位置关系（考点清单）目录一、思维导图1二、知识回归2三、典型例题讲与练7考点清单01：斜率与倾斜角变化关系7【考试题型D斜率与倾斜角变换关系7考点清单02：求斜率或倾斜角的取值范围7【考试题型1】直线与线段有公共点，求斜率取值范围7考点清单03：斜率公式的几何意义的应用8【考试题型1】利用斜率的几何意义求代数值（范围）8考点清单04：直线方程8【考试题型1】求直线方程8考点清单05：两条直线平行与垂直关系10【考试题型D两条直线平行与垂直关系的判定10【考试题型2】根据两条直线平行与垂直关系求参数10考点清单06：根据直线平行，垂直求直线方程11【考试题型1】求平行，垂直
2、的直线方程11考点清单07：直线过定点问题12【考试题型1直线过定点问题12考点清单08：直线与坐标轴围成图形面积问题13【考试题型1】直线与坐标轴围成图形面积问题（定值）13【考试题型2】直线与坐标轴围成图形面积问题（最值）14考点清单09：易错点根据截距求直线方程15【考试题型1】易错忽略过原点的直线15考点清单10：对称问题16【考试题型11点关于直线对称点16【考试题型2】直线关于点对称问题（求4关于点尸（。力）的对称直线则42）.17【考试题型3】直线关于直线对称问题（两直线相交）17【考试题型4】直线关于直线对称问题（两直线平行）18【考试题型5】将军饮马问题19一、思维导图二、知
3、识回归知识点Oh直线斜率的坐标公式如果直线经过两点4(x,M),(x2,y2)(x1x2),那么可得到如下斜率公式：=%ZX2X(1)当玉二工2时，直线与X轴垂直，直线的倾斜角a=90，斜率不存在；(2)斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；(3)当凹=以时，斜率攵=0,直线的倾斜角=0，直线与X轴重合或者平行。知识点02：两条直线平行对于两条不重合的直线4，4,其斜率分别为K,&2,有/20K=%2对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(i)1i2=h成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；/与，2不重合.(2)当两条宜线不重合且斜率都不存在时，乙与，2的倾斜角都是90，
4、则J4(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：4”2=K=&或4，4斜率都不存在.知识点03：两条直线垂直如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于T；反之,如果它们的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直，即4L2=K22=-L对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点（D4U2UK/2=T成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；o且网工0（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直.（3）判定两条直线垂直的一般结论为：Z11=-1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零.知识点04：直线的点斜式方程己知条件（使用前提）直线/过点
5、PaO,%）和斜率Z（已知一点+斜率）图示/o,JL点斜式方程形式J-Jo=Z(X-Xo)适用条件斜率存在（注直线/若斜率不存在不可使用该形式直线方程）知识点05：直线的斜截式方程已知条件（使用前提）直线I的斜率为左且在y轴上的纵截距为人（已知斜率+纵截距）图示yVA, B不同时为04 + 32 o）叫做直线的般式方程,简称般式.说明：1 .A、8不全为零才能表示一条直线，若A、8全为零则不能表示一条直线.当30时，方程可变形为y,斜率为-一的直线.B=-x-f它表示过点（,一）BBB）C当5=0,A0时，方程可变形为AX+C=0,即X=-一，它表示一条与X轴垂直的直线.A由上可知，关于工、y
6、的二元一次方程，它都表示一条直线.2 .在平面直角坐标系中，一个关于X、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于X、y的一次方程.3 .解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.知识点08：两条直线的交点坐标直线乙：AX+q），+G=O（A?+厌0）和hAx+&y+c2=。（8+M0）的公共点的坐标的解一一对应.AX+gy+G=0A2x+B2y+C2=04与4相交o方程组有唯解，交点坐标就是方程组的解;4与4平行o方程组无解；1与4重合。方程组有无数个解.知识点09：两点间的距离平面上任意两点(,M),(/,%)间的距离公式为IPf2=(x2-x1)2+(
7、y2-y1)2特别地，原点0(0,0)与任一点P(,y)的距离IoPl=JX2+y2.知识点10：点到直线的距离、,IAr0+ByO+C|平面上任意一点6(%,%)到直线/：Ar+By+C=0的距离d=,九，.A+B知识点Ih两条平行线间的距离一般地，两条平行直线4：AX+4)+G=o(l2+,2)/2：A2x+B2y + C2 =0 （国+ 8；00 ）间的距离dq-c2a2 + b2知识点12：对称问题点关于直线对称问题(联立两个方程)求点尸(3,必)关于直线/：Ar+By+C=O的对称点Q(a,b)设尸。中点为A利用中点坐标公式得y+8、IA%+X+匕、八、jl.,n,n-rk,A(-,
8、2-)，将A(-,2一)代入直线/:AX+By+C=O中；2222须Qa=-I整理得：Pb2lc=o22比(令一1x1-aB三、典型例题讲与练考点清单01：斜率与倾斜角变化关系【考试题型1斜率与倾斜角变换关系【解题方法】图象法【典例1】（2023上福建泉州高二福建省德化第一中学校考阶段练习）直线4,2,Z3,的图象如图所示,则斜率最小和最大的直线是（）A.1,I3B.2,I3C.4,I2D.4,【典例2】（2023上江西南昌高二校考阶段练习）若直线/的倾斜角为。，且45o135o,则直线/斜率的取值范围为（）A.l,+）B.（,-1C.1,1D.l+）j（-,-1【专训（2023上河南南阳高二
9、校考阶段练习）已知直线小J4的倾斜角分别为30。,53。，125。，斜率分别为b%,则（）A. kik2k3B. k2kik3C. %khD. &_2），_5=04：6x+y_5=0不能围成三角形，则加的值可以是（）A.2B.2C.；D.22【专训11】（2023上江苏徐州高二统考期中）已知直线4+（加+1）丁+m一2=0，4：2a+4），+16=0平行，则这两条平行直线之间的距离为.【专训12】（2023上甘肃武威高二天祝藏族自治县第一中学校联考期中）已知直线4：以-y+2=0,I2:（+2）x-y-2=0.若“2,求实数。的值；（2）若4，3求实数的值.考点清单06：根据直线平行，垂直求直
10、线方程【考试题型1求平行，垂直的直线方程【解题方法】斜率相等或斜率相乘为T【典例1】（2023全国高二课堂例题）己知直线/的方程为3X+4），-12=0,求直线r的方程，使/满足:过点（T,3）,且与/平行；过点（-1,3）,且与/垂直；【典例2】（2023上广东广州高二华南师大附中校考期中）己知直线满足下列条件，求直线方程：（1）经过两条直线x+2y-5=0和3x_y_l=0的交点，且平行于直线5xy+100=0；【专训11】（2020上四川成都高二校考期中）已知直线/经过点P（-2,2）.（1）若直线/平行于直线3x-2y-9=0,求直线/的方程.若直线/垂直于直线3x-2y-8=0,求直
11、线，的方程.考点清单07：直线过定点问题【考试题型U直线过定点问题【解题方法】两条直线相交交点坐标【典例13.（2023上河北石家庄高二石家庄一中校考期中）不论左为任何实数，直线（2k1）%-仕+3），-（11）=0恒过定点，若直线皿+纺，=2过此定点其中孙是正实数，则1的最小tn2n值是（）21c27-21、27A.-B.C.D.4422【典例2】（2023上浙江高二校联考期中）设mR,若过定点A的动直线x+my=。和过定点B的动直线皿ym+2=0交于点P（XM,则以冏的最大值是（）A.-B.2C.3D.52【专训11】（2023上全国高二专题练习）己知满足24+人=1,则直线公+3y+b=
12、0必过定点（）【专训12】（2023上广东深圳高二校考阶段练习）点P（-2,-l）到直线/l+34）x+（l+l）y-2-4l=0（lR）的距离最大时，直线/的方程为（）A.3x+2y-5=0B.3x2y+8=0C.2x-3y-2=0D.2x-3yl=0考点清单08：直线与坐标轴围成图形面积问题【考试题型U直线与坐标轴围成图形面积问题（定值）【解题方法】三角形面积公式【典例1】（2023上山东高二校联考阶段练习）已知直线/与直线3x+4y-7=0的斜率相等，且直线/与两坐标轴在第一象限内所围成三角形的面积为24,则直线/的方程为（）A.3x+4y+12=0B.3x+4y+24=0C.3x+4,
13、-12=0D.3x+4y-24=0【典例2】（2022上湖南长沙高二校联考阶段练习）已知直线/:依-y+l+2Z=0（AR）.证明：直线/过定点；（2）若直线/不经过第四象限，求女的取值范围；（3）若直线/交X轴负半轴于A,交丫轴正半轴于3,/08的面积为S=4（。为坐标原点），求直线/的方程.【专训1-1（2022.江苏.高二专题练习）直线/经过两条直线/x+y-4=0和Cx-y+2=0的交点,且,试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.与直线2x-y-l=0平行，直线/在X轴上的截距为（1）求直线/的方程；（2）求直线/与坐标轴围成
14、的三角形面积.【专训12】（2022上北京西城高二北京市西城外国语学校校考期中）已知X。），平面上的直线x-y+l+2=0R,且/与X轴和），轴分别相交于点A,13.（1）当%0时，求）03面积的最小值.9（2）若&AOB的面积为万，求人的值.【考试题型2】直线与坐标轴围成图形面积问题(最值)【解题方法】三角形面积公式+基本不等式【典例1】(2022上四川成都高二校考阶段练习)已知直线/：-y+l+2Z=0(kR).若直线/不经过第四象限，求人的取值范围；(2)若直线/交X轴负半轴于点A,交了轴正半轴于点5,求；AOB面积的最小值.【典例2】(2023上河南洛阳高二校考期中)己知直线方程为(2
15、-帆)x+(2m+l)y+3加+4=0.(1)证明：直线恒过定点；(2)机为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？(3)若直线分别与X轴，丁轴的负半轴交于A、3两点，求JIoB面积的最小值及此时直线的方程.【专训1-1(2023高二课时练习)已知定点P(6,4)及定直线/:y=4x,点。在直线/上(。在第一象限)，直线PQ交X轴正半轴于点要使-OMQ的面积最小(O为原点)，求。点坐标.【专训12】（2022上湖南怀化高二校考阶段练习）已知直线/:-），+2+软=O（ZeR）.（1）若直线/不经过第三象限，求女的取值范围；（2）若直线/交X轴的负半轴于点A,交N轴的正半轴于点8,
16、0为坐标原点，设“。6的面积为S,求S的最小值及此时直线,的方程.考点清单09：易错点根据截距求直线方程【考试题型H易错忽略过原点的直线【解题方法】分类讨论【典例1】（2022上甘肃金昌高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）己知直线/过4（-21）,且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线/的方程是（）.A.x+2y=0或x-y+3=0B.xy-l=0或x-y+3=0C.X-y-l=0或x+y-3=0D.x+2y=0或x+y-3=0【典例2】（多选）（2023下河南周口高二统考期中）已知直线/过点P（4,5）,且直线/在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线/的方程为（）A.5x-4y=0B.x-y+
17、l=0C.x+y-9=0D.x+y+l=0【专训11】（2023上山东日照高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）过点P（2,3）且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为.考点清单10：对称问题【考试题型11点关于直线对称点【解题方法】中点坐标公式+斜率【典例1】(2023上陕西咸阳高二咸阳市实验中学校考阶段练习)直线心x+3y-l=0,直线乙的一个方向向量的坐标为(-2,6),直线L4x+初一2=0与直线2x-y+5=0垂直求,的值；(2)已知点P(T,-3),求点尸关于直线乙对称的点。的坐标.【典例2(2023上河南新乡高二统考期中)j5-4x+l+j5x2+4x+4的最小值为()A.1955
18、B. 3D. 22【专训11】(2023上北京大兴高二统考期中)如图，已知两点44,0),8(0,4),从点P(Zo)射出的光线经直线43反射后射到直线。8上，再经直线。3反射后射到P点，则光线所经过的路程9+mn+m等于B. 2)D. 25+10【专训12】(2023上福建龙岩高二校考阶段练习)平面直角坐标系上有A。),8(3,0)两点，直线/的方程为x+2y-8=0,直线/上有一点P,PA+P用最短，则P点的坐标为.【考试题型2】直线关于点对称问题（求关于点P（,。的对称直线4,则41，2）【解题方法】方法一：在直线上找一点A，求点A关于点尸对称的点5,根据/J2=K=e，再由点斜式求解；
19、方法二：由IJ/WL，设出的直线方程，由点P到两直线的距离相等4=&求参数.方法三：在直线，2任意一点（x,y）,求该点关于点尸对称的点（2-x,2力一y）,则该点（2。一羽一在直【典例1】（2023高二单元测试）直线2a），+3=0关于点A（5,3）的对称直线方程是.【典例2】（2023上高二课时练习）求直线3x-y-4=0关于点（2-1）对称的直线/的方程.【专训ll*2023上山东高二校联考阶段练习）直线L2x+3y+2=0关于点A（2,0）对称的直线方程为【专训1-2】（2022高二课时练习）已知直线/：y=3x+3,求：（1）直线/关于点M32）对称的直线的方程；直线-y-2=o关于
20、直线/对称的直线的方程.【考试题型3】直线关于直线对称问题（两直线相交）【解题方法】直线4：Ax+By+G=O（4+哥工。）和/：4r+3y+C=0（#+母（）相交,求4关于直线/的对称直线乙求出与/的交点户在4上任意取一点M（非P点），求出M关于直线/的对称点N根据P,N两点求出直线，2【典例1】（2023上安徽芜湖高二安徽师范大学附属中学校考期中）直线4：2x-y+l=0关于直线生x+y+2=0的对称直线方程为.【典例2】（2023全国高二课堂例题）求直线4：2x+y-4=0关于直线/:3x+4y-l=0对称的直线乙的方程.【专训11】（2022上高二校考课时练习）直线x-2y+l=0关于
21、直线yr=l对称的直线方程是一【考试题型4】直线关于直线对称问题（两直线平行）【解题方法】直线4：AX+耳y+G=O（吊+用HO）和/：AX+8y+C=0（A=+MO）平行,求关于直线/的对称直线4*2=K在直线乙上任取一点M,求点M关于直线/的对称点N,利用点斜式求直线4【典例1】(2022全国高三专题练习)已知直线-y+3=0,直线Lx-N-I=O,若直线4关于直线/的对称直线为4,则直线4的方程为.【考试题型5】将军饮马问题【解题方法】对称性【典例U(2023上江苏镇江高二统考期中)唐代诗人李颂的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮
22、马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系XOy中，设军营所在平面区域为(x,y)(x-1)2+V4,河岸线所在直线方程为+y=5.假定将军从点P(2,)处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马的最短总路程为.【典例2】(2023上河南洛阳高二校联考阶段练习)2023年暑期档动画电影长安三万里重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李顽的边塞诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河诗中隐含着一个
23、有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2,4),军营所在位置为8(6,2),河岸线所在直线的方程为x+),-3=0,则将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程的最小值为.【专训(2023上北京高二101中学校考期中)已知实数X,y满足x+y+l=O,则J(X-I)2+(y-l)2+J(x-2y+y2的最小值为()A.5B.22C.iD.25【专训1-2(2023上重庆九龙坡高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习)直线3x+4yT2=0分别交X轴和于点A,B,P为直线y=+l上一点，则IHAI-IPBl的最大值是.
