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1、专题06椭圆、双曲线、抛物线（含直线与圆锥曲线的位置关系）（考点清单）目录一、思维导图2二、知识回归2三、典型例题讲与练4考点清单OL直线与圆锥曲线的位置关系4【考试题型1】直线与圆锥曲线的位置关系的判断4【考试题型2】根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数5考点清单02：中点弦问题5【考试题型D中点弦问题5【考试题型2】中点弦问题6考点清单03：弦长（椭圆、双曲线）7【考试题型D求弦长（定值）7【考试题型2】求弦长（最值或范围）9【考试题型3】根据弦长求参数9考点清单04：弦长（抛物线）11【考试题型1抛物线非焦点弦问题11【考试题型2】抛物线焦点弦问题12考点清单05：圆锥曲线中的三角形（四边
2、形）面积问题13【考试题型D圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（定值问题）13【考试题型2】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（最值或范围问题）14考点清单06：圆锥曲线中的向量问题15【考试题型1】圆锥曲线中的向量问题15考点清单07：圆锥曲线中的定点问题16【考试题型D圆锥曲线中的定点问题16考点清单08：圆锥曲线中的定值问题17【考试题型1】圆锥曲线中的定值问题17考点清单0%圆锥曲线中的定直线问题18【考试题型D圆锥曲线中的定宜线问题18一、思维导图弦长二、知识回归知识点OL相交弦中点(点差法)：直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理
3、该式子。主要有以下儿种问题：(1)求中点坐标；(2)求中点轨迹方程：(3)求直线方程；(4)求曲线；,pwz、1+2y+y中点M(Xo,),=-2y0=2知识点02t点差法：2222设直线和曲线的两个交点A(x,弘)，B(X2,%)，代入椭圆方程，得工+1=1;+=l;ab-ab将两式相减，可得:L01=O;yFjyf)；a1b2a2b2最后整理得：1=-*H=1=”为b(x1+x2)(x1-x2)bX0同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=anI=攵.，.&b-(xl+x2)(x1-x2)b-X0设直线和曲线的两个交点A(%,y),B(x2,y2),代入抛物线方程，得y2=2vy=Ipx
4、2,y,-2p将两式相减，可得(M-%Xy+K)=2p(x-x7);整理得：O=J-2%+/2知识点03：弦长公式A8=J(Xl电)？+(必一H)2=(+k2)-x2)2=12xi-x2=(1+A2)(x,+x2)2-4xix2(最常用公式，使用频率最高)% + %)2 -4)，%知识点04：三角形面积问题直线反方格 i+，=Saabp=JaMM =-TiTF_ 1。一汽 +制石 |5 %+时2A -s% =；恒用E-yJ=cy-%=MJS/dA?+/。2)ICl a2A2-ib2B2 A2 + B2知识点05：焦点三角形的面积直线AB过焦点FaBF,的面积为而J(2A2+0252-C2)c2
5、=a2A1+b2B2注意：A，为联立消去X后关于V的一元二次方程的二次项系数知识点06：平行四边形的面积直线A8为y=依+小，直线CD为丁=依+?d=M=与展1+Z:-IA8=Jl+k。-x2=Jl+1（2）2-4x12=Jl+k2J（-*）:-4，*=J+k2SA.=I制d=G含二61J注意：a，为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.知识点07：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关
6、系统一变量，最后消元得出定值。常考题型：与面积有关的定值问题；与角度有关的定值问题；与比值有关的定值问题；与参数有关的定值问题；与斜率有关的定值问题三、典型例题讲与练考点清单01：直线与圆锥曲线的位置关系【考试题型1直线与圆锥曲线的位置关系的判断【解题方法】联立+判别法【典例1】（2022上黑龙江哈尔滨高二哈尔滨七十三中校考期中）双曲线上一工二1与直线942y=-,+mWGR）的公共点的个数为（）A.0B.1C.0或1D.0或1或2【典例2】（2023上高二课时练习）对不同的实数小，讨论直线/：y=x+?与椭圆/=1的公共点的个数.【专训lD（2023上辽宁大连高二大连二十四中校考期中汜知椭圆
7、Uty2=,直线/：A2y+=0,4-则/与C的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.以上选项都不对【专训12】（2023上高二课时练习）已知抛物线C：V=2x,直线/过定点（0,-2）.讨论直线/与抛物线的公共点的情况.【考试题型2根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数【解题方法】联立+判别法【典例1】（2023上黑龙江哈尔滨高二哈尔滨三中校考期中）已知双曲线E5-V=,直线/：y=去+1,若直线/与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上，则k的取值范围是（）A.k-B.-Bk昱3333C.Ar3D.-300)的渐近线方程为y=,一个焦点到该渐近线的距离为(1)求C的方程；(2)是否存在直线
8、/,经过点M(l,4)且与双曲线C于A,B两点，M为线段AB的中点，若存在，求/的方程；若不存在，说明理由.【考试题型2中点弦问题【解题方法】韦达定理法【典例1】(2022上浙江高三诸暨中学校联考阶段练习)已知点40,1),8(0,T),直线AW与直线加的斜率之积为-4求点M的轨迹方程；(2)点N是轨迹上的动点，直线AM,BN斜率分别为人,取满足片：e=3：1,求MN中点横坐标而的取值范围.【典例2】（2023上高二课时练习）过点A（6,l）作直线与双曲线f-4）3=16相交于3,C两点，且A为线段BC的中点，求这条直线的方程.【专训14】（2022高二课时练习）已知直线/：x-y+，=0与双
9、曲线/-=1交于不同的两点A,B,若2线段AB的中点在圆Y+丁=5上，则加的值是.【专训12】（2022高二课时练习）已知双曲线工一）2=1,求过点4（3,-1）且被点A平分的弦MN所在4直线的方程.考点清单03：弦长（椭圆、双曲线）【考试题型I】求弦长（定值）解题方法弦长公式AB=J（I+&?）（Xl+x2）2-4%/22【典例1】（2023上江西赣州高二校联考期中）己知椭圆C：+=1,直线/与椭圆C交于AB两点.124（1）若M,N是椭圆C的短轴顶点，48与M,N不重合，求四边形AMBN面积的最大值；若直线/的方程为x=my+l,求弦的长（结果用加表示）.【典例2】(2022上.湖北武汉高
10、二武汉市第十七中学校联考期中)己知双曲线C的焦点在X轴上，焦距为4,且它的一条渐近线方程为y=当X.(1)求C的标准方程；(2)若直线=1与双曲线C交于A,B两点,求A8.【专训(2023上四川乐山高二统考期末)己知双曲线与-亡=l(0)的左焦点为耳(T0),过点入a6作倾斜角为150的直线交双曲线于AB两点.(1)求的值；求|明.【专训12】(2023上甘肃武威高二校考期中)已知椭圆的两焦点为的(-1,0),鸟(1,0),P为椭圆上一点，且2忸闾=IP制+|P段(1)求椭圆C的标准方程；斜率为Z=I的直线过椭圆。的右焦点，交椭圆AB两点，求AB线段的长.【考试题型2】求弦长(最值或范围)【解
11、题方法】AB=J(I+/)(x1+x2)24xix2【典例1】(2023上辽宁葫芦岛高二校联考期中)已知椭圆C:5+，=1(。人0)的焦距为4,短轴长为2.(1)求C的长轴长:(2)若斜率为T的直线/交。于A,8两点，求IAM的最大值.【专训11】(2023上江苏无锡高二锡东高中校考期中)已知椭圆“：,+左=1(八60)焦距为2应,过点斜率为A的直线/与椭圆有两个不同的交点A、B.(I)求椭圆用的方程;(2)若A=LI岗的最大值.【考试题型3】根据弦长求参数【解题方法】AB=(1+2)(X+x2)2-4xlx2【典例1】(2022全国高二期中)已知双曲线=1过点(IG),给出以下2个条件:离心
12、率为2,与双曲线上-炉=有相同的渐近线.3(1)选一个条件，求出双曲线的方程.(2)直线/与直线4x-2y-l=0平行，/被C截得的弦长为46，求直线/的方程.【典例2】(2023上山东荷泽高一统考期中)已知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，长轴长为2&，离心率为立.2(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/的斜率为1,经过点M(V),且与椭圆C交于A,B两点,若A8=半，求，值.【专训7】(2。23湖南益阳安化县第二中学校考三模)已知双曲线C-=H若直线/的倾斜角为60,且与双曲线C的右支交于M,N两点，与X轴交于点P,若IMNI=孝，则点P的坐标为.【专训1-2】(2023上广东广州高二校考期
13、中)已知椭圆E：J+=i(力0)的一个顶点为A(0,l),焦距为26.(I)求椭圆E的方程；(2)过点?(0,-2)作斜率为女的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,且忸CI=半，求女的值.考点清单04：弦长（抛物线）【考试题型11抛物线非焦点弦问题【解题方法】AB=J（I+F）（X+x2）2-4xix2【典例1】（2023全国高一随堂练习）如图，直线y=x-2与抛物线丁=2相交于A,B两点.(1)求证：OALOB求IAM【典例2】（2023全国模拟预测）抛物线具备有趣的光学性质：由焦点射出的光线经过抛物线反射后，会沿着平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线V=4x的焦点为凡AB为抛物线的过点尸
14、的一条弦，若从点尸发出的光线分别在点A和点B反射后得到的两条平行直线之间的距离为5,则IABl=.【专训11】(2023下陕西西安高二校考开学考试)已知抛物线2=2内(”0)的准线方程是l=-；.(1)求抛物线的方程；(2)设直线)，=灯4-2)代工0)与抛物线相交于历，N两点,若IMNl=2M，求实数攵的值.【考试题型2抛物线焦点弦问题【解题方法】AB=x+x2+p【典例1】(2023上河北衡水高二衡水市第二中学校考期中)若抛物线f=20,(pO)的焦点为尸，直线/：y=2x+与抛物线交于4,B两点，且IAF卜忸Fl=|,则IM=()A.4B.3C.2D.至【典例2】(2023上河南高二校联
15、考期中)已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线方程为=2.(1)求C的方程；(2)若直线/：y=x+2与C交于A,8两点，求弦AS的长.【专训11】(2023浙江模拟预测)过抛物线Uy2=4X的焦点F的直线与C交于M,N两点，从点M,N分别向准线/作垂线，垂足分别为M，乂，线段MM的中点为A(TJ),则弦MN的长为.考点清单05：圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题【考试题型D圆锥曲线中的三角形(四边形)面积(定值问题)【解题方法】面积公式+弦长公式+点到直线的距离【典例1】(2023上广东广州高二广州市育才中学校考期中)己知P是圆O:/+y2=9上一动点，尸点在X轴上的射影是。，点M满足。M=T
16、MP.(1)求动点M的轨迹E的方程：(2)若A是椭圆E的右顶点，过左焦点F且斜率为也的宜线交椭圆七于用C两点，求SC的面积.2【典例2(2023上重庆沙坪坝高二重庆南开中学校考期中)已知抛物线V=X与直线x=my+l相交于A、8两点，O为坐标原点.(1)求证：OAA.OBx(2)当SAOB=J记时，求?的值.22【专训11】(2023上江苏宿迁高二统考期中)己知双曲线Cj-/=1(40,60)的一条渐近线为了二%，且双曲线C的虚轴长为20.(1)求双曲线C的方程；(2)记。为坐标原点，过点。(0,2)的直线/与双曲线C相交于不同的两点M、N,若心。MN的面积为2&，求直线/的方程.【考试题型2
17、】圆锥曲线中的三角形(四边形)面积(最值或范围问题)【解题方法】面积公式+弦长公式+点到直线的距离+基本不等式+一元二次函数【典例1】(2023上四川成都高三成都七中校考期中)已知抛物线F:V=4”的焦点为尸，过抛物线上除原点外任一点尸作抛物线准线的垂线，垂足为直线/是NMQ的角平分线.(1)求直线/与抛物线交点的个数；(2)直线/与抛物线的准线相交于点N,过N作抛物线的切线，切点为Q(不与P点重合)，求aNPQ面积的最小值.【典例2】(2023全国模拟预测)已知入，B分别为椭圆八上+与=1的左、右焦点，过点F2的直线4与4b2椭圆T交于A,8两点，且的周长为4+2J.(1)求椭圆的标准方程；
18、(2)若过点尸2的直线4与椭圆，交于G。两点，且4Lz,求四边形4C3O面积的取值范围.【专训11】(2023上河北石家庄高二石家庄一中校考期中)在平面直角坐标系中，有两个圆G：(x+&)y2=1和圆C?:(X-J)+y2=1一动圆?与两圆一个内切，一个外切.(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程；(2)若直线)，=丘+(0vZ 0力 0)的渐近线方程为y = I【典例1*2023上辽宁高二校联考期中)已知双曲线C:Aa右顶点为(1,0).(1)求双曲线C的标准方程；(2)过E(0,2)的直线/与双曲线C的一支交于M,N两点，求EM&V的取值范围.【专训11】(2023广西柳州二模)已知抛物线U=2
19、py经过点P(-2,l),过点。(-1,0)的直线/与抛物线C有两个不同交点A8,且直线Rl交X轴于M,直线M交X轴于N.(1)求直线/斜率的取值范围；(2)证明：存在定点T,使得的=4gf,QN=QT且J+=4.4考点清单07：圆锥曲线中的定点问题【考试题型U圆锥曲线中的定点问题【解题方法】韦达定理【典例1】(2023上江西抚州高二临川一中校考期中)已知分别是双曲线C:小=IS 0)的左、右焦点，点A是C的左顶点，直线y=G(X-I)与C只有一个公共点.求C的方程；(2)直线/与。交于M,N两点(M,N异于双曲线C的左、右顶点)，若以MN为直径的圆经过点A,求证:直线/恒过定点.【专训1-1
20、(2023上广东广州高二广州市育才中学校考期中)已知椭圆C:J+/=l(ab0)的焦距为2,且经过点小!).(1)求椭圆C的方程;(2)经过椭圆右焦点广且斜率为依AHo)的动直线/与椭圆交于A、B两点,试问X轴上是否存在异于点尸的定点T，使得直线TX和TB关于X轴对称？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由.考点清单08：圆锥曲线中的定值问题【考试题型H圆锥曲线中的定值问题【解题方法】韦达定理【典例1】(2023上浙江高二校联考期中)已知双曲线摄-，=l(0,30)的右焦点网2,0),离心率为手.(1)求双曲线的方程；(2)过点P(g,)直线与双曲线交于A8两点，设直线AE,8尸的斜率分别为
21、K内依&工0),求证：4+七为定值.【专训11】(2023上安徽阜阳高二阜阳市第三中学校考期中)在平面直角坐标系XO)，中，已知椭圆22FZ2C:二+=l(ab0)的离心率为丑，且右焦点F到直线1.X=-的距离为6#.ab2c(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆C上的任一点明(气,又)，从原点。向圆加：(1-/)2+(旷-%)2=8引两条切线，设两条切线的斜率分别为(桃2HO)，(/)求证：女儿为定值；(/7)当两条切线分别交椭圆于p,Q时，求证：I。尸产+IOQF为定值.考点清单09：圆锥曲线中的定直线问题【考试题型U圆锥曲线中的定直线问题【解题方法】韦达定理【典例1】(2023全国模拟预测
22、)已知在平面直角坐标系XOy中，抛物线M：y=2的焦点F与椭圆cJ+lgb0)的一个顶点重合，抛物线M经过点QU,点P是椭圆C上任意一点，椭圆C的左、右焦点分别为斗鸟，且N耳P5的最大值为年.(1)求椭圆C和抛物线M的标准方程；(2)过抛物线M上在第一象限内的一点N作抛物线M的切线，交椭圆C于AB两点，线段A8的中点为G,过点N作垂直于K轴的直线，与直线OG交于点E,求证：点E在定直线上.【专训(2022下江西高三校联考阶段练习)已知抛物线C:V=2,A(xpy,),Wx2,%)是C上两个不同的点.(1)求证：直线yy=N+x与C相切；(2)若。为坐标原点，OA。3=-1，C在A,8处的切线交于点P,证明：点P在定直线上.
