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1、人教A版(2019)选择性必修二第五章一次函数的导数及其应用章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1.如图是函数=/(力的导函数y=(力的图象,则下列说法正确的是()A.x=是函数y=冗)的极小值点B.当X=F或X=加寸,函数”X)的值为0C.函数y=()在(0,+)上是增函数D.函数y=/()在他,+00)上是增函数2.已知奇函数F(X)满足r(T)=l,则Iim以史必&二()Ar02XA.-lB.iC.lD-I223 .已知函数/(冗)=-皿-)+(心0),若关于工的不等式/(冗)0恒成立,则实数。的取值范围()A.(,e2)B.(0,l)C.Q1)D.(O,e)4 .若4e-lnx
2、皿恒成立,则实数。的取值范围为()XA.-,+B.l,+oo)C.e,+jD.e,+)5 .若函数r)=3+2-5x-2在区间(见加+5)内有最小值,则实数m的取值范围是()A.(-4,l)B.(-4,0)C.-3,l)D.(-3,l)6.设实数,0,若不等式e：2次-史史也0对0恒成立,则f的取值范围为()A. ,+co I B.2e J1A(1(1,+C.O,-D.0,.e)(e_2e_7 .设函数x)的导函数是r(x),且x).r(x)x恒成立,则()A(l)/(-1)C.I/(1)|/(-1)|8 .现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，己知单位面积的铝合金的价格是铁
3、的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径与高h的比值为()A.-B.-C.-D.-2334二、多项选择题9.已知定义在R上的奇函数/(x)满足“3-力=一1+力，且当x0,l时，/(x)=-2x,则下列说法正确的是()A.函数的一个周期为4B.当xl,2时，函数/(冗)的解析式为/(x)=2(2-九)一(2-X)3C.当x7,0时，函数/(力的最大值为延D.函数力在区间0,2023内有1011个零点10.若函数/(x)=X,g(x)=sinXW1J()A. y=f(x)g(x)为周期函数B. y=/(x)g(x)在(Og)上单调递增C.当工0时,/()g()恒成立Dy=/(%)-g(x)
4、的图象只有一个对称中心11 .已知函数f(x)=xnx+,g(x)=etx,若/(x)与g(x)的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，则实数。的取值可能是()A.eB.e+2C.3D.412 .已知正四棱锥的侧棱长是x,正四棱锥的各个顶点均在同一球面上，若该球的体积为g,当q,6时，正四棱锥的体积可以是()三、填空题13 .已知函数f()=e、-4+sinx,其中e是自然对数的底数,若/(2zz)+f(2)0,则实C数的取值范围是.14 .己知函数/()=sinx+(+l)2-ax(xR),若/(x)为奇函数,则曲线f(x)在点(O,(O)处的切线方程为.15 .某银行贷款年利率为按月计息利率
5、为小王计划向银行贷款元，己知贷款利息按复利计算(即每期的利息并入本金，在下一期中一起计息)，设按年计息与按月计息两种贷款方式一年后的还款总额(本金、利息之和)分别为小hf则小b的大小关系是.16 .已知函数y=-f_2x+3在区间凡2上的最大值为，则。=.四、解答题17 .已知函数f()=ax+x2-xlna(a0,al)(1)当时,求证：函数/(x)在(0,+oo)上单调递增；(2)若函数y=()-1有三个零点,求，的值.18 .已知函数/()=2-(+2)x+aln.(1)当2且0时,求函数/(x)的单调区间；(2)若=4,关于X的方程-机=O有三个不同的实根,求加的取值范围.19 .己知
6、函数/Cr)=/+/-/+,326(1)若F(X)在(g,2)上存在单调减区间,求实数机的取值范围；(2)若/(x)在区间。几+)上有极小值,求实数m的取值范围.20 .设函数x)=esimr,g(x)=e(?-2+e)其中e为自然对数的底数.当时,讨论函数F(X)=邛2在(OJ)上的单调性；2Jx)V2)(2)当。,1时,求证：对任意T,+),/(X)0(1)讨论函数/(力的单调性；(2)当=l时晨设网工)=/(同+(3-2)工-(1+1)1111,(22，函数8(/)有两个极值点X、X2(x1o,原函数为增函数.故D正确,C错误；故X=。不是函数/()的极值点,故A错误；当X=-。或x=b
7、时,导函数尸(力的值为0,函数“力的值未知,故B错误;故选:D.2 .答案：B解析：因为/(幻是奇函数,所以= l-D = l.22Iim/()+Al)=1im/I+-T)AE2x2-故选:B.3 .答案：A解析：因为。0,由/(x)=e671n(r-tz)+tz0,可得In6?-In(x-1)+10，所以,e*-M+x-lnox-l+ln(x-1),令g(x)=e”+X,其中XRMgx)=e”+1。,所以,函数g(x)在R上单调递增，由eF+x-l116fx-l+ln(x-l)pWg(x-lntz),gln(x-l),x-2x-1所以,x-lnIn(x-1),所以,lnVX-In(X-I)淇
8、中X1,令MX)=X-In(X-I),其中X1,则zz(x)=l-当lc2时,”(力0,此时函数hx)单调递增，所以,Mx)min=力(2)=2,所以,Ina2,解得OVa0,由e-lnx四e-,X得到OXeaV-JdnX-lnx+0r()，可变形为lne(e+1)*+I)InX0,即lnettv(ettr+l)(x+l)lnx,所以e”In%N一恒成立,即Ineav(ev+1)(x+l)lnx恒成立，XrI1令g(X)=(X+1)InMX0)，则g(x)=InX+-，X令h(x)=Inx+,则hf(x)=-4r=-7-，XXX当X(0,1)时,h,(x)0,即h(x)在区间(0,1)上单调递
9、减,在区间(l,+00)上单调递增，所以(x)Ml)=2O,即g(x)O在区间(0,+)上恒成立，所以g(x)=(x+l)lnx(x()在区间(),+)上单调递增，又Inear(ev+1)(x+1)M工,所以earx恒成立,也即axnX恒成立,又工0,所以W恒立,当X(0,e)时,G(x)0,当X(e,+00)时,G,(x)O,解得xl;令f(x)O,解得一gxl,所以/(X)在区间(-00,-|)内单调递增,在区间卜|,1)内单调递减,在区间(1,+00)内单调递增，所以函数的极小值=/=-5.若F(X)在区间(7,加+5)内有最小值,则极小值即最小值，所以机1加+5,解得1,令/*)=5,
10、可得3+%2-5+3=0,可得(x-1)2*+3)=0,解得x=-3或It由题得加-3,综上-3m00,2rxe2tr2xln(2x)=ln(2x)-eln(2x),设f(x)=xex,则不等式为f(2tx)/(ln(2x),ff(x)=(+l)eO,.J(X)在(0,+)上是增函数，.2txln(2x),即rN则生,令(x)=-(x0),2xX则g，(X)=I,X当X(0,e)时gx)(),g(x)递增,X(e,+)时g,(x)0恒成立,所以g(x)=苴片力_巧单调递增,故gg(f吗尸Tg(T,解得：2(1)2(-l),即(1)ll(-l)I.故选：D.8 .答案：D解析：设单位面积铁的价格
11、为小2。则造价vvr)=,+2rha+r2-3a=4ar2+,当Ocy时，v(r)0,函数时，v(r) 0 ,函数故M(r)=Sanr-2咚.令(*)=Sar-2=O,解得r-rr故当=似r)单调递增.时,造价最小，此时%=X=4r.故选D.r9 .答案：AC解析：由“3力=(T+x)得/(2-力=尤)，又因为f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x),/(2-x)=-(-x),/(4-x)=-f2-x)=f(-x),所以/(x)的周期为4,选项A正确；当xel,2时,2-x0,l,所以/(冗)=2-x)=(2-X)=2(2-x),选项B错误；当x0,l时，f(x)=-2x,/(x)=3x2-2
12、,令r()=0,得X=Jl时函数有最小值，又因为/(力为奇函数，故彳=-Jl时，函数/(x)在区间有最大值，卜。卜-，(同=竽，选项C正确;因为函数关于X=I对称，/(0)=/(2)=/(-2),一个周期内两个零点，3,2023有505个周期，共1010个零点，总计1012个零点，选项D错误.故选AC.10 .答案:BC解析：对于A,A(x)=f(x)g(x)=xsin%,(x+)=x+c)sin(x+d),当0时,h(x+)(x),故不存在非零常数。,使h(x+a)=h(x)成立，故力(X)不是周期函数,即y=*)g(x)不是周期函数,故A错误；对于B,y=f()g()=xsinX,/=si
13、nx+xcosx,当一岭时,八。则y=x)g(x)在(岭上单调递增，故B正确;对于C,令()=f()-(x)=x-sinx,0,x)=I-CoSX0,则x)在(O,+)上单调递增,所以0a)夕()=(),即/(/)8*),故C正确；对于D,()=()-()=-sinx,则(2k-x)+x)=(2k-X)-sin(2A-x)+(x-sinx)=2kZ故(x)关于点(E,E)对称,由于kZ,则对称中心不只一个,故D错误.故选：BC.11 .答案：BD解析：依题意，因为F(X)与g(x)的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，所以/(x)与-g(r)在(0,y)上有两个交点，即JdnX+l=Y+0r*
14、O)有两个不同实根，整理得。=lnx+H,只需满足直线y=与函数y=lnx+H*O)的图象有两个XX-,ex+1(ev+l)(x-l)交点即可.令力(X)=Inx+(0),则有=j-,所以x(O,l)时，XX(x)v0,(X)单调递减;当XW(L+oo时,h,(x)O,z(x)单调递增.所以人在X=I处取得小值力=e+l.所以只需e+l即可满足题设要求结合选项知选BD.12.答案：BD解析：因为球的体积为W兀，所以球的半径为尸=1.3设正四棱锥的底面边长为2，高为h,贝J2=xQO令V0, WW-;令UvO,解得2竺,169658081所以正四棱锥的体积可以*,I故选：BD.13.答案：一2,
15、01解析：易知/(-X)=ex+sin(-x)=-er+-sinx=-f(x),且xR,ee+ cos X = 2 + cos x 0即/（可为奇函数,Xr(x)=ev+r+cosx2e当且仅当X=O时取得等号,故/（可为增函数,对于/(2)+(2)o=2)-=所以24-a2=6Z-2,故答案为：一2,0.14 .答案：f(x)=2x解析：因为/(幻为奇函数，所以/(x)=-f(-x)即SinX+(+l)f-Or=sin(-x)+(al)x2+ax,解得a=-则/(x)=SinX+X,所以切点(0,0),fx)=Cosx+l,所以切线斜率k=f(0)=2,切线方程为f(x)=2x,故答案为：/
16、(x)=2.15 .答案：aO),则解析：按年计息：a-p(l+r)(rO),按月计息：b=p1+12a-h=p(l+r)-pl1+12=P(l+r)-120-/(r)=p(l+r)-1+-12(r0),广二p1一户还0,所以f(Z)Vf(O)=。，故ab.16 .答案：一工2解析：y=-2x-2,令y=()得X=T.令F(X)=-X2_2x+3,则/(x)在(o,7)上单调递增，在(T,o)上单调递减.若-l2,则函数y=Q)在区间,2上的最大值为IS1af(a)=-a2-2a+3=-f解得=-(a=-r)；若a-l,则函数y=/。)在区间。,2上的最大值为/(一1)=一1+2+3=4工?.
17、综上，a=-.17 .答案：(1)利用导数法求解单调区间即可证明；t=2解析：证明导函数在(0,ZO)上恒大于等于零即可.(2)把函数y=火工)-1有三个零点,转化为方程/(x)=rl有三个根求解,然后利用导数求出/(x)的极值,画出草图,数形结合求解即可.18 .答案：(1)答案不唯一,具体见解析；(41n2-8,-5)解析：(1)函数尤)=f-(a+2)无+alnx的定义域是(0,+oo),2ran”+*/弋2卜+k_当a0时,r()0在(l,+oo)上恒成立，/(力的增区间为1,48)(力的减区间为(0,l当0o在危)和(i,)上恒成立,r()o在仁上恒成立.0v2时,/(x)的增区间为
18、(0/和l,y)(x)的减区间为.综上所述,当v时力的单调递增区间为口,位),单调递减区间为(05；当06+3=2/二6吐-2)(1),/,(犬)0XXX由广(力0解得0冗VI或2x由广(力0,解得lx2.在(0/上/单调递增,在1,2上力单调递减,在2,+oo)上力单调递增，.(2)=41n2-8,(l)=-5,又当X趋近于+8时力趋近于+oo,当/在定义域(0,内趋近于O吐InX趋近于-,.X)趋近于-00,.y=(x)的图象与直线y=m有三个交点时加的取值范围是(41n2-8,-5)319.答案：(I)m-2(2)m2解析：(I)函数f(x)=LX竺2-+j_,求导得,(X)=X2+优一
19、,326因为函数/(X)在(；上存在单调减区间,则不等式f+gIvO在(；,2)上有解，1111313_即机X在(,2)上成立,而函数y=X在(上递减,显然x一,于是X2X22X23所以实数m的取值范围是m=2(2)由知,广(幻=0,即f+皿一1=0,解得玉=上Z,X2=/Z当X当时，/(戈)，当xXW时，f,MO/即函数/(X)在(-8,%),(W，+00)上单调递增,在*,)上单调递减，因此函数/(X)在处取得,当m0时,不等式成立，当“0时,解得0机也,则加变,所以实数m的取值范围是7也.22220.答案：(I)Fa)在(Og)上单调递增(2)证明详见解析解析：(1)当Q=C吐Fg(x)
20、ef22i+eJeX2,2f(x)=tH=-=-j(X)esnx2SlrLVe/、e2xsinx-x2cosxex入F(X)；=：；(2smx-xcosx)，72sin2x2sin2x)S(x)=2sinx-xcosx,(0)=0,(x)=2cosx-(cosx-xsinx)=cosx+xsinx,则当0X0,hx)单调递增，所以在区间(,)上/(x)0,也即(x)0,所以小)在(Om上单调递增.(2)当；/，2zl,2,与时,要证明：对任意X,+),/(X)Vg(X)即证明：对任意x,+),eAsinYe(加一2a+e)即证明：X三x,+),sinxO构造函数M(A:)=62-27+e-si
21、nx,M(0)=e-20(x)=2r-8sx,构造函数N(X)=2c-cosx,N(O)=T,N=吧-正0k4y22N(x)=2+sin%0,所以N(X)在0,”)上递增，故存在oW0,1,使N(%)=2也一8SX。=0，所以例(x)在区间(0,j),(x)0,Ma)递增.所以Ma)在区间0,长。)上的极小值,也即是最小值为M(J,(x0)=r-2+e-sinj，由得Xo=竺曳,代入得：2aM()=-2+e-sin/=-(l-sin2Xo)-2+e-SinXosin2x0-Sinx0+-2+e,4a004a令f=sin0,q则函数=_!_/一/+_!_一2+6的开口向下,对称轴=一=-2。-2
22、,-1,4a4a2a所以当f=正时J取得最小值-LL克+-L-2+e=-+e-2-24。224aSa2e-2a-e-2-0，22即M(而)0,所以对任意x,+),0r2-2tz+e-SinX0,从而对任意XeP+8)J(x)2(2)0解析：(1)理由如下:由)=eX-hr可得：函数定义域为(0+8)；r(x)=e-一.(x)=ev40r=e一在(0+8)上单调递增.=e-=-202二.存在唯一的小,使得r(x)=0,即e10-，=。.当X(0,小)时/()o.即函数元)=廿一欣在(0,0)上单调递减,在(/,go)上单调递增.故e与=0.e=;XO=-InXo：,于()mjn=ex-Inx0=
23、+x0,BP/W=+x0.XoXo因为函数y=+x在(L上单调递减，X12J.,.y-+l=2,P=-+2,n2.1 (2)由g(x)=lnx-*=hu-产，得：函数定义域为(0+8),g(x)=,g(力=4+时,g0;当X(芭,+00)时,g(x)1；(2,21n3解析：(1)函数/(x)=Bar2-(+)+in的定义域为(0,oo),r(x)=H+)+L37()XX当0“1,由/(x)0可得0L由/(x)0可得IVx1时,0L0可得0VXVL或无1,由r(x)011JW-x1,此时函数“X)的增区间为()(1,丑0卜减区间为(：).综上所述,当0l时,函数/(力的增区间为(0,)、(l,+
24、),减区间为(2)当=l时,g()=g；2+(l-6)-lnx淇中0,因为函数g(x)有两个极值点,则g，(无)=Jr-Inx-Tn有两个变号的零点，所以,直线y=%与函数(X)=InX的图象有两个交点(非切点)，z(x)=l-=-,0x1时,”(冗)l时,”(另0,函数(x)单调递增,则(x)的极小值为=1,如下图所示:由图可知,当机1时,直线y=相与函数MX)=x-lnx的图象有两个交点(非切点)，因此,加1；由于/(x)=x-lnx-m的两个变号零点分别为王、与，得根=FTn*，tn=x2-InX2所以工2-=In互,令&=r0,3,xXIn/把三=，代入W -凡=In上中可得v所以+”
25、此曲_rlnr,2t-X2=T令加今小,斗则小襦40,令0(f)=f-21nf-；,其中19(I)=O,则0,所以,函数p(f)p(3)=21n3,设业厕m,%D其中,t-r+1构造函数W=In”也二D淇中fL则丑)=1-卢”干一2孚+1,I，r+1t(z+l)(+1)-当=(22a)2一4O时,即当O2时,2(，)O且2()不恒为零，所以,函数Mr)在(Lyo)上为增函数,则M)M1)=O,合乎题意；当l,K(f)0,所以,函数Mf)在(LyO)上为增函数,则Mf)MD=o,合乎题意；当2时,则A=(2-24)2-40,设方程*+(2-2a)r+l=0的两根为乙、J，且乙0,所以必有0j小tt2=1当lfj时此时函数ME)单调递减,则攵&)攵(1)=。，不合乎要求.+)%2综上,a2,所以，t-2x1+x221n3
