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1、微专题6基本初等函数、函数与方程高考定位1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型；2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现.【真题体验】1.（2023天津卷）若=L015=1.016,c=0.65,则,C的大小关系为（）A.cabB.chaC.abcD.hac答案D解析法一因为函数KX）=I.0N是增函数，且0.60.50,所以l.Ol6l.Ol5l,即ba；因为函数g（x）=0.6x是减函数，且0.50,所以0.65c.故选D.法二因为函数/）=1.0IX是增函数，且0.60.5,所以LOi61.015,三Pba；因为函数
2、（X）=-5在（0,+8）上单调递增，且1.010.6X）,所以1.0150.605,即c.综上，6c故选D.2 .（2023全国甲卷）已知函数x）=e（3Ip.记。=坐匕=/坐），C=caB.hacC.cbaD.cab答案A解析函数段）=e-（-l）2是由函数y=e和=一（X1尸复合而成的函数，y=e为R上的增函数，=（xI/在（-8,D上单调递增，在（1,+8）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，7U）在（一8,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减.易知7U）的图象关于直线X=I对称，所以。c,故选A.3 .（多选）（2023新高考I卷）噪声污染问题越来越受到重视相声压级来度量声音
3、的强弱，定义声压级4=20X1端，其中常数PoSO0）是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级dB燃油汽车1060-90混合动力汽车1050-60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车IOm处测得实际声压分别为pi,“2,则（）A.p22B.p2lp3c.p3=100poD.p100p2答案ACD解析因为4=20X1端随着的增大而增大，且Lp60,90,Lp250,60,所以Lpi2Lpz,所以pi20,故A正确；32LP3假设p210p3,则pollpol,1.PZ33所以l10,所以42Lp320,不可能成立，故B不正确;由LP=2
4、0XIg,得P=Pcl。?。因为Lp3=40,40所以3=810m=10。，故C正确；因为曙LP2 100)10jLPlPOIoG7lP2 lP =10+2 1u20 201 ”所以PIWlOOp2,故D正确.综上，选ACD.4 .(2021北京卷)已知r)=lgx一乙一2,给出下列四个结论：若Z=O,则火x)有两个零点；衣o,使得yu)有三个零点.以上正确结论的序号是.答案解析令yw=Ilg川一日一2=o,可转化成两个函数y=lgx,y=kx+2的图象的交点个数问题.对于，当Z=O时，”=2与y=lgx的图象有两个交点，正确；对于，存在M0,使户=辰+2与y=lgx的图象相切，正确；对于，若
5、A1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故正确.5 .(2023天津卷)若函数段)=公2一级一丫一公+1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为.答案(一8,0)U(0,1)U(1,+)解析(1)当。=0时，氏)=2xf+l=-2-f1=-(x+l)2W0,不符合题意；(2)当白0时，若24W0,即-2,O)U(O,2时，)=加一2-2+0-1=(一l)x2+(-2)x1,(i)当。=1时，yu)=-x1,不符合题意；(ii)当“l时，若Kr)有且仅有两个零点，则/=(02)2+431)=0,得-2,0)U(0,1)U(1,2,符合题意；当a2-40,
6、即a2或a2时，函数y=ax2-2x的图象开口向上，对称轴为直线x=,且(,3)；函数y=for+l的图象开口向上，对称轴为直线x=*且?1，当2X=垓时，y=q+lv.作出函数y=02-2X与y=2-0x+l的大致图象，如图(1),函数图象恰有两个交点，符合题意；(ii)当a=*r+l的大致图象，如图(2),函数图象恰有两个交点，符合题意.综上可得，(-8,0)U(0,1)U(1,+).【热点突破】热点一基本初等函数的图象与性质I核心归纳1.指数函数y=YO,且1）与对数函数y=logd（。0,且0l）互为反函数,其图象关于y=x对称，它们的图象和性质分OVaVI注两个函数图象的异同.2.幕
7、函数y=K的图象和性质，主要掌握4=1,2,3,例1(1)已知lg+lgb=0(00且Q比0且少#1),IOgU的图象可能是()AB44CD(2)(2023天津模拟)已知e=lg2,b=lg(ln2),C=In:是()A.cbaB.bacC.acbD.bcgU的图象关于直线y=x对称，b,a两种情况，着重关I，一1五种情况.则函数於）=出与g（x）=-J会则a,btC的大小关系且具有相同的单调性.故选B.(2)由e=lg2,得。=In(Ig2),因为ig2igT=,所以In(lg2)ln5,即ac,因为I=In/ln2lglg苏=T所以Ig(In2)ln今即bc9所以acb.规律方法1.指数函
8、数、对数函数的图象与性质会受底数。的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数。的取值范围.2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.训练1(1)(多选)(2023邯郸模拟)已知函数/)=log2(x+6)+log2(4x),则()A7U)的定义域是(一6,4)Byu)有最大值C.不等式y(x)0,解析(1)由题意可得C解得一60,即7U)的定义域是(一6,4),则A正确；fi.x)=log2(-X22x+24),因为=/2x+24在(一6,1)上单调递增，在(一1,4)上单调递减，又y=log2X在(0,+8)上单调递增，所以兀0在(一6,1)上单调递增，在(一1,4)
9、上单调递减，所以yU)max=(-l)=21g25,则B正确；因为40在(一6,1)上单调递增，在(一1,4)上单调递减，且共-4)=A2)=4,所以不等式於)4的解集是(-6,-4)U(2,4),则C错误；因为“X)在(-1,4)上单调递减，所以D错误.(2次x)和g(x)的图象如图所示：当01时，nia=0,=Sin爹,.a11,.Ma-ma=sn2=ya=y当21时，m=lga,Ma=1,Ma-maz=I-Iga=y0.热点二函数的零点I核心归纳判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在定理判断；(2)代数法：求方程yu)=o的实数根；(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=(x
10、)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.考向1函数零点的判断例2(2023赣州模拟)若函数段)=工一六，则方程/一%)一6=0的实根个数为()A.3B.4D.6C.5答案A解析由於）=x=0,x+, 0时的情况).g(x)有且仅有三个零点，则7U)和MX)的图象有且仅有三个交点.当。=0时，显然不成立;当GO时，由图可得，h()=2a2,解得；松；7TT当。0时，由对称性知一V44,四个实根XI,X2,X3,X4（X1X2T3X4）,则Xl+&+工3+/T4的最小值为.答案10解析作出於）的大致图象如图所示.由图可
11、知X1+x2=4,log2(-4)1=7(2)=4,得X=3或20,则5*420.又因为10g2(X3-4)+Iog2(44)=0,所以(X34)(X44)=1,所以13=+4,则制+$4=Ia44)+工匕+5,又X4一4(1,16),所以X3+%42；+5=6,当且仅当;s4）=六，即X4=6时等号成立.故Xl+x2+n+/x4的最小值为10.规律方法利用函数零点的情况求参数值（或取值范围）的三种方法一个零点，则C的取值范围是（4(0, 1) c.(o, 3 答案Dx-cfx0,训练2（1）（2023北京西城区模拟）设cR,函数段）=CC八若危）恰有2*2c,0.)B.OU1,+)D.0U+
12、8)xtx0,解析画出函数g（x）=u,o的图象如图所示,xc9x0,2x2c1x0.X,x0,可由g=!,xo分段平移得至易知当C=O时，函数五外恰有一个零点，满足题意；当c0时，图象往下平移，若当02cl时，函数有两个零点；若当2c21,即当时，/U）恰有一个零点，满足题意.综上，可得C的取值范围是0Uv+j.（2）（2023深圳模拟）定义开区间（m。）的长度为匕一口经过估算，函数九0=5-;l勺零点属于开区间（只要求写出一个符合条件，且长度不超过!的开区间）.答案（卞答案不唯一）解析因为y=*,y=一石都是减函数，所以TW=妥一石是减函数，又yu）=g_i=_go,娘=翳既。,府=翳朗。
13、即娟君0,（3）已知函数-NC若函数g（）=yU）7（zwr）有三个不同的1.-3X9XW0,零点XI,X2,X3.则XIX2X3的值为.答案0或Y解析yu）的图象如图所示：其中D=若函数g（x）=/U）一相R）有三个不同的零点XI,X2,X3,则=0或加=+.当m=0时，三个零点为一3，0,1,故XIX2X3=0,当机=1时，小于O的零点为一右大于。的两个零点之积为1，所以XIX2X3=一卷.热点三函数模型及其应用I核心归纳应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键:1 1）一般程序：文字语=数事=数Wffi=检W答解题关键：解答这类问题的关键是确切地写出相关函数解析式，然后应用函数、方程
14、、不等式和导数的有关知识加以综合解答.例5（2023青岛统测）在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度。（单位：千米/秒）满足公式V=Mln（1+知，其中M为火箭推进剂质量，m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量（单位：吨），W为火箭发动机喷流相对火箭的速度（单位:千米/秒）.当M=Sm时，0=5.544千米/秒.在保持w不变的情况下,若7=25吨，假设要使。超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则M至少约为（结果精确到1,参考数据:e27.389,In20.693）（）B.160 吨A.135吨C.185 吨D.210吨答案B解析当M=Sm时，o=5.544,5.544_5.544In
15、421n2,由。=Mn(1+朗+韵=8,得In(1+阳-2,所以1+会仁已2%7.389,解得MQI59.725QI60（吨）,即M至少约为160吨.故选B.规律方法1.构建函数模型解决实际问题的失分点（1）不能选择相应变量得到函数模型；（2）构建的函数模型有误；（3）忽视函数模型中变量的实际意义.2 .解决新概念信息题的关键（1）仔细审题，明确问题的实际背景，依据新概念进行分析；有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.训练3（2023南京调研）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%100%,当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的
16、某段时间内，可以用指数模型：S（F）=SoeK，描述血氧饱和度S随给氧时间f（单位：时）的变化规律，其中So为初始血氧饱和度，K为参数.已知So=60%,给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%,则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1,参考数据：/220.69,E3-1.10）A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9答案B解析设使得血氧饱和度达到90%,给氧时间至少还需要r1小时，由题意可得60eK=80,60e=90,两边同时取自然对数并整理，得K=In=ln=ln4In3=21n2In3,Kf=Inx=lnZ=In3In2,rlIAI/则t=1 3-In
17、221n 2-ln 31.10-0.69=1520.69-1.10则给氧时间至少还需要0.5小时.【精准强化练】一、基本技能练1.（2023新乡二模）若=2Lb=logo.2.3,c=Iog2OJ,则（）B.bacA.acbC.bcaD.abc答案D解析因为=22=l,0Z?=IogO.2O.3vlogo2O.2=l,c=log2O.3bc.2 .函数yx)=j2的零点有()A.2个B.3个C.5个D.无数个答案B解析yu)的定义域为(一5,5),令yU)=0,得SinX=。，x=k,kerL,又x(5,5),.x=0或x=,故r)有3个零点.3 .(2023济南模拟)自然数22023的位数为
18、(参考数据：lg2M).3010)()A.607B.608C.609D.610答案C解析因为Ig2223=2023Ig2g2023X0.3010=608.923,所以22023JMO608.923,即22023的位数为608+1=609.1 x+34 .(2023衡阳模拟)已知函数tU)=2x万+Ig,则()4JVA.D+-1)0C(l)-2)0答案D解析由题意可知危)的定义域为(-3,3),式一冗)=2一尸+IgMT=一121不+ig=7U),所以r）是奇函数，所以yu）+y（-X）=0,故a,B错误;又因为y(x)=2)-+lg=2x-+lg-1-3x106.3,所以八级地震释放的能量约为
19、七级地震释放的能量的105倍，故B错误；对于C,六级地震即M=6时,Ig于=4.8+1.5X6=13.8,解得E2=1038,所以官=瞒=103=100(),即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的IoOO倍，故C正确;对于D,由题意得lgn=4.8+1.5Mz=l,2,3,，9,10),所以art=104+,5n,所以厮+1=1048+15(肝D=IO63+15n,所以管=备苍=1R且G=100,故数列z是等比数列，故D正确.8.已知97M=IO,a=IOw-11,6=8加一9,则()A.aOZ?B.bOC.baOD.bOa答案A解析因为9zw=为,所以7=lg910,(Ig 10) 2
20、-lg9lg 11Ig 9lgl0所以=10w-Il=IOk)%1-ll=10,og9,0-IOlogIO11.因为Iog9IO-Iogioll=翳-意=(IgK)(譬)2Ig9lgl0=90,所以40.Z?=8log9,0-9=8,og9,0-8,o9,田石n1oIg-Ig9Ig10lg8-(1g9)因为log910-logs9=lg9-lg8=再获一(*32jg9)2(号2)2号1)2Ig9lg8=Ig9lg80A故选A.9.(2023汉中模拟)已知函数人幻是定义在(-8,0)U(0,+8)上的偶函数，且当2立一，02tB .4A.3C.5D.6答案D解析要求方程/(x)+*=2根的个数，
21、即为求y=()与y=2-1图象的交点个数.由图知两函数图象有3个交点，又由7U)在(-8,o)u(o,+8)上是偶函数，所以两函数图象在(一8,0)上也有3个交点，故一共有6个交点.10.(2023河北名校联考)已知函数段)=f+3x+l小I恰有4个零点，则a的取值范围是()A.(5,+)B.(l,5)C.(l,+8)D.(0,1)U(5,+)答案D解析当x=0时，0)=l0,所以X=O不是yu)的零点；当XWo时，由7U)=0,即*+3x+l-x=0,得=x+3./U)的零点个数等价于直线y=4与函数y=卜+5+3的图象的交点个数.利用V=X+的图象，通过变换作出函数y=x+3的大致图象如图
22、所示.人11.已知3-2-X3ylog33=l,则 x+y=,3- 2所以X=IOg32=l-log32,y=l,x+y=2-log?2.In(x)，x0,则00,解得2啦* .2-6x, xa恰好有1个零点,则实数。的范围为(A.(-,-2)C.(-,-2)U1)y 1D.-2, 答案C解析因为)+/(x)=4恒成立，则认0)=4,所以b=2,则r)=x33x+2,又/U)=/3x+2=(x+2)(x-I)2,则40的零点为一2,1.又函数y=2-6x的零点为;.当一2时，在(一8,旬上无零点，在m,+8)上有零点;，则打一2符合题意；当一24；时，力。)在(一8,0上有零点一2,在(4,+
23、8)上有零点;，则一2Wg不合题意；当gl时，z(x)在(一8,0上有零点一2,在(m+8)上无零点，则g1)的零点为可，函数8(%)=X10J-iv(xl)的零点为小则()AX1X2-XIX2B,xi+x211D .Xl R29C.XlR2Vl0a2IgXl答案ABD解析由题意可得xlg一幻一lgx=O(xl),令IgXI=QO,M1JXi=IOS代入方程可得八0,一i(yf=0Q0),变形为+土一1=0,令人=+卷-1,r0,可知函数力在(0,+8)上单调递减，又g(X2)=X2102X2102=0:-1=0(21),/.X2=r=lgXl,即Jn=I(X2.由X21Qv2-X2-10x2
24、=0,/.X2X1X2-XI=O,即x2+x=x2x1,因此A正确；x2+x=X21Q21+10=11,因此B正确；XIX2=10t2-IgXI,因此C不正确；令h(x)=IOra1),则厅(X)=10vln10-l0,；函数力(X)在(1,+8)上单调递增,(x)(l)=9,xi-X2=1Qv2-x29,因此D正确.15.(多选)(2023青岛适考二)已知函数兀r)=最+3x有四个零点Xi,x2f3f4(xx2x32C21l1B.-ra-h-eeee2C.1n(x1x2x34)-(x+x2+x3+4)=-6_.3一小.3+小D.右Xl=一寸,则X4=-答案BCD丫2解析由题意知会十-3一6=
25、0有四个不同的根，显然/W0,即2+&一。=(),令看即H-即 eVe3r 1=0.a=0f1X ，又 y=f=，y =1-x令y=0得X=I,故y=E=/在区间（-8,D上单调递增，在区间（I,+8）上单调递减,当 Xf+ 8 时，y=根据题意知e%f+1=O存在两根。，不妨设力，2,则满足0nf2,1力 2=R,即有力=就=含X2 X3 h=12 er2 ex3则由图象可知0XlX2l,所以xi+x22,故A不正确;由于方程eel=0的两根八，/2满足0f20,八a1所以4F，义(：)el0,211解得而唯+/故B正确;_X_X4_X2X3由力=瓦=M，2=的=百yp,XlX2X3X42_
26、L何西葩的薮I=(力2)=6两边取自然对数得ln(xx23X4)(XiX2X3)=Ine6=-6,故C正确;由 tt2 =X2 X4 X2X4 1,两边取自然底数得InX2+lnx4=X2+x4-3.,r.3-y5l3-ys3+5右X2=-2,则In+nx4=X4-寸一所以足心一心=Tn上乎一苧=In苧苧令相(X)=Inxx,xl,11Y所以m,(x)=-1=x0时，f(2)eev2Xl一二7.若12)=e?+1,则In状InX)-Jdnx2的解集为人241答案(be2)解析(x)f(xi)iey2X2XlX2Xl得X(x)xevX2(X2)X2ev2.令g(x)=(x)XeA,则g(xi)g
27、(X2),又X2X1O,所以g(x)在(0,+8)上单调递减，得g(lnX)=/(lnx)ln-xlnx2.因为g(2)=(2)-2e2=2,所以g(lnx)g(2),所以Olnx3e2,函数兀V)有两个不同零点，则。的取值范围为.答案e01)解析因为yu)有两个不同零点=)=o有两个不相等的实根，即ax+2加+e2=已加+2版+e2=0有两个不相等的实根，令f=xln4,则U+瑞+e2=0,f显然不为零，所以2b ef+e2 In a t因为(0,1),Z?3e2,所以一百70,所以0,e+e2令g(f)=1(fo),Itd(e,e2)贝”g(0=p，令h(t)=tet-(eze2)(rO),则ht)=d+tdet=tetO,所以力在(0,+8)上单调递增，又(2)=0,所以当f(0,2)时,W)V0；当f(2,+),(00,所以当f(0,2)时，g)0,故g(f)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增,所以g(f)min=g(2)=e2,所以一福泊，又b3e2,所以3,所以一竽W3,即Ina2一6,ae-6,又(0,1),所以ae?1).高中数学交流加群失败，微信扫码加我扫一扫上面的二维码图案，加我为朋更多资源请加联系，期待更多同行交流
