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1、第2课时直线与椭圆的位置关系殴课时作业选题明细表知识点、方法题号直线与椭圆的位置关系2,3,4,12弦的问题5,9,14直线与椭圆的综合问题1,6,7,8,10,11,13,15基础巩固221,线段AB为过椭圆q+2=1中心的弦，F(c,O)为椭圆的右焦点，a2b2则AAFB面积的最大值是(B)A.bJB.beC.abD.ac解析：SzuFB=Szaof+S2bo卜WlOFlIYa-YbI,当A,B为短轴的两个端点时，IYa-Yb最大,最大值为2b,所以aAFB面积的最大值为be.2.已知以F1(-2,0),F?0)为焦点的椭圆与直线x+3y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为(C).3
2、2B.26C.27D.42解析:设椭圆方程为mx2ny2=l(m0,n0,且mn),(mx2+ny2=1,由1LX+3y+4=0,消去X,得(3m+n)y2+8V3my+16m-1=0,=192m2-4(16m-l)(3mn)=0,整理得3m+n=16mn,即三+工=16.nm又c=2,焦点在X轴上,所以工-二4,mn由解得口弓,n=,所以长轴长为27.3.(2022浙江宁波高二联考)已知直线ky=xl,椭圆C：y+y2=l.若直线1与椭圆C交于A,B两点,则线段AB的中点的坐标为(B)AGq)BY)cd(-|,T解析:设直线1与椭圆C的交点A,B坐标分别为(x,y),(xz,y，联立fy=%
3、+1,X2,2消去y,得22+3x=0,则A=90,所以Xx2=-,y+y2=C+y=1，2X1+I+X2+I=(x+x2)+2=a所以线段AB的中点坐标为(岩,学)，即4.若直线mx+ny=4和圆0rx2y2=4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆小学1的交点个数为(A)94A.2B.1C.0D.0或1解析：由题意，得T2,所以m2n24,则-2m2,-2n2,所以点m2+n2P(m,n)在椭圆1+学1内，则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1有2个9494交占八、v2C5 .已知椭圆C:+y2=l的右焦点为F,直线l:x=2,点Al,线段AF交椭圆C于点B,若易=3,则I芯I等于(A)A
4、.2B.2C.3D.3解析：设点A(2,n),B(xo,y0).由椭圆C:/+y2=l知a?=2,b2=l,所以cl,即c=l,所以右焦点为F(l,0).由总1二3罚得(1,n)=3(x0-l,y0),所以1=3(xo-l),且n=3y,所以x=(,yo=11,4-y2=l,得BX(,”+(In)J1,解得胡二1,所以IG=J(1-2)2(0-n)2=lTT=2.6 .若点(x,y)在椭圆42+y2=4上,则S的最小值为(C)A.1B.-1C.-D.以上者B不对解析：设二元则y=l(x2).:4,消去y,整理得(k2+4)2-4k2+4(k2-l)=0,kx2)由A=16kL4X4(k2-1)
5、岭4)=0,解得k=竽,所以尸手7 .(多选题)设椭圆的方程为y=l,斜率为k的直线1不经过原点0,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点，下列结论正确的是(BD)A.直线AB与OM垂直B.若点M坐标为(1,-1),则直线1的方程为-4y-5=0C.若直线1的方程为y=x+l,则点M坐标为(3,引D.若直线1过椭圆焦点,则1AB-X =-4313不妨令A(0,1),B(-,-i),所以IABl =423 1答案:竽10 .若点0和点F分别为椭圆手+：二1的中心和左焦点,点P为椭圆上43的任意一点,则法丽的最大值为解析：由可得F(T,0).43设P(x,y),-2x2,则(FP=x2+x
6、+y2=x2x+3(l-)+x+3=i(x+2)2+2,当且仅当x=2时，OP而取得最大值6.答案：6能力提升11 .过椭圆C+g=l（abO）右焦点F的直线1:-y-3=0交C于A,Ba2b2两点,P为线段AB的中点,0为坐标原点,且直线OP的斜率为-则椭4圆C的标准方程为（C）,=lB.l6352Cy2=lD且竺=1474解析:直线1:-y-3=0中，令尸0,得x=3,所以右焦点F（3,0）.设A(x,y),B(x2,y2),则线段AB的中点P（鬻,空）,联立-y-y3=0,2v2+2-=1a2b2消去X整理得3+b2)y2+25b2y+3bTb2R,y*鬻|2=y+y2+23=az+b2
7、因为ko,i垃=_号_所以a2=4b2,X1+x24又a2=b2+c2,c2=3,所以a2=4,b2=l,2C所以椭圆C的标准方程为9+y2=l412 .（多选题）直线y=x+2与椭圆5+?二1有两个公共点，则m的值可以是（BD）A.1B.2C.3D.4fy=%+2,解析：由I式+_1Irn3可得(3+m)x2+4mx+m=0,因为直线与椭圆有两个交点，所以二(4m)2-4m(3+m)0,解得ml或m0,且m3,所以ml,且m3.13 .设椭圆中心在坐标原点，A0),B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k0)与线段AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点,若访=6后,则k的值为.2C解析：
8、依题意得椭圆的方程为+y2=l,直线AB,EF的方程分别为4x+2y-2=0,y=kx(k0).设D(x0,kx0),E(x,kx),F(x2,kx2),其中x1/1+4P.由ED=6。尸知,x0-=6(x2-o),得X。率63X1)卓产由点D在直线AB上知，xo2kxo-2=O,2XF，所以777,化简得24k2-25k6=0,解得k=；或k.l+2k71+4c238答案弼14 .椭圆(ab0)的离心率为鼻且椭圆与直线x+2y+8=0相交azbz2于P,Q两点,若IPQl=10,求椭圆的标准方程.解:因为e喙所以b2=,所以椭圆方程为x24y2=a2,与x2y8=0联立消去y,得2x2+16
9、x+64-a2=0,由0,得a232,由弦长公式,得IoUX64-2(64-a2),所以a2=36,b2=9,所以椭圆的标准方程为土弓，369应用创新15 .已知椭圆G+g=l(abO)的长轴长为22,离心率e萼,过点azbz2M(-2,0)的直线1与椭圆G交于不同的两点A,B.(1)求椭圆G的方程；若点B关于X轴的对称点为B，,求线段AB长度的取值范围.解：(1)由题意得2a=22,得a=2,a2c=l,所以b2-c-l=l,所以椭圆G的方程为5+y2=l.设A(x1,y1),B(x2,y2),显然直线1的斜率存在,设直线1的方程为y=k(x2),y=k(%+2),由小9得(2k2+l)x2+8kx+8k2-2=0,y+y2=1，由=64k-4(2k2+l)(8k2-2)0,得l-210,得k2,所以X+X2=812fc2+lX1X2工8k2-22fc2 + l,因为B(x2,-y2),8-16fc2(2c2 + 1)z,所以|AB，I=J(X1-X2)2(y1+y2)2,因为(x-2)2=(xx2)2-4x1x2=(羲不)Yy,+y2=k(xl+x2)+4k=k芸+4k含，所以WU店而需=孺因为0k2,所以l2k2+l2,所以IABL的取值范围为(,2.
