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1、教学讲义教师学生上课时间检查签名教学目标1.理解一元二次方程的概念；2.会用因式分解法解一元二次方程.重点、难点重难点：一元二次方程的判断；一元二次方程的解法.知识要点解析一元二次方程基本知识：1 一元二次方程：方程两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次.一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0a0这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0a0后,其中ax2是二次项,a是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数；c是常数项强调：一元二次方程的一般形式中的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不
2、出现,但二次项必须存在,而且左边通常按未知数的次数从高到低排列,特别注意的是的右边必须整理成0.注意：判断某个方程是否为一元二次方程,必须满足：整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2 三个条件.特别注意一元二次方程的左右两边不应有分母和根号中出现未知数.例题与练习例1将方程3xx-1=5化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数与常数项 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0a0因此,方程3xx-1=5必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等例2将方程x+12+x-2x+2=1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次
3、项系数；常数项 分析：通过完全平方公式和平方差公式把x+12+x-2x+2=1化成ax2+bx+c=0a0的形式巩固练习1判断下列方程是否为一元二次方程？3x+2=5y-3 x2=4 3x2-=0 x2-4= 2 ax2+bx+c=0例3求证：关于x的方程m2-8m+17x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程 分析：要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+170即可 证明：m2-8m+17=m-42+1m-420m-42+10,即m-42+10不论m取何值,该方程都是一元二次方程练习:1.方程2a4x22bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方
4、程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 2.当m为何值时,方程x4m2-2+27mx+5=0是关于的一元二次方程3关于x的方程a-1x2+3x=0是一元二次方程,则a的取值范围是_4a满足什么条件时,关于x的方程ax2+x=x-x+1是一元二次方程？5关于x的方程2m2+mxm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？例4.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0的一个根,求代数式2007的值练习:关于x的一元二次方程 x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值巩固练习：1方程axx-b+b-x=0的根是 Ax1=b,x2=a Bx1=b,x2= Cx1=a,x2= Dx1
5、=a2,x2=b22已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根b0,则= A1 B-1 C0 D23方程x+12+xx+1=0,那么方程的根x1=_；x2=_4如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根,求a-b2+4ab的值5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a0中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证：-1必是该方程的一个根6在一次数学课外活动中,小明给全班同学演示了一个有趣的变形,即在2-2x+1=0,令=y,则有y2-2y+1=0,根据上述变形数学思想换元法,解决小明给出的问题：在x2-12+x2-1=0中,求出x2-12+x2-1=0的根2 一元二次方程的解法：1、
6、因式分解法：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积；对于一般的一元二次方程,可分解为,所以.2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：1将方程的右边化为零；2将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；3令每一个因式为零,得到两个一元一次方程；4解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0.4用分解因式法解一元二次方程的注意点：1.必须将方程的右边化为零；2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.5数
7、学思想：整体思想和化归思想.2、直接开平方法：一般地,对形如的方程,根据平方根的定义,可解得,这种解一元二次方程的方法叫开平方法.对于ax2十bx十c0,先将左边配成完全平方,右边为一个非负数,后用开平方法解,这样的方法叫配方法.3、配方法：针对二次项系数为1的一元二次方程一般将二次项和一次项移到方程的左边,而把常数项移到方程的右边,两边同加上一次项系数一半的平方,再用直接开平方法来解. 若二次项系数不为1,则先将二次项系数化为1,在进行配方.4、公式法：一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0a0,如果b2-4ac0,那么方程的两个根为x=这个公式叫做一元一次方程的求根公式.例题与练习分
8、解因式法:例1解方程 110x-4.9 x2=0 2xx-2+x-2 =0 5x2-2x-=x2-2x+ 2= 2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？练习：1下面一元二次方程解法中,正确的是 Ax-3x-5=102,x-3=10,x-5=2,x1=13,x2=7 B2-5x+5x-22=0,5x-25x-3=0,x1=,x2= Cx+22+4x=0,x1=2,x2=-2 Dx2=x 两边同除以x,得x=1例2已知9a2-4b2=0,求代数式的值 分析：要求的值,首先要对它进行化简,然后从已知条件入手,求出a与b的关系后代入,但也可以直接代入,因计算量比较大,比较容易发生错误 解：原
9、式=9a2-4b2=03a+2b3a-2b=0 3a+2b=0或3a-2b=0,a=-b或a=b当a=-b时,原式=-=3 当a=b时,原式=-3例3我们知道x2-a+bx+ab=x-ax-b,那么x2-a+bx+ab=0就可转化为x-ax-b=0,请你用上面的方法解下列方程 1x2-3x-4=0 2x2-7x+6=0 3x2+4x-5=0 分析：二次三项式x2-a+bx+ab的最大特点是x2项是由xx而成,常数项ab是由-a-b而成的,而一次项是由-ax+-bx交叉相乘而成的根据上面的分析,我们可以对上面的三题分解因式 解1x2-3x-4=x-4x+1x-4x+1=0x-4=0或x+1=0x
10、1=4,x2=-11下面一元二次方程解法中,正确的是 Ax-3x-5=102,x-3=10,x-5=2,x1=13,x2=7 B2-5x+5x-22=0,5x-25x-3=0,x1=,x2= Cx+22+4x=0,x1=2,x2=-2 Dx2=x 两边同除以x,得x=12下列命题方程kx2-x-2=0是一元二次方程；x=1与方程x2=1是同解方程；方程x2=x与方程x=1是同解方程；由x+1x-1=3可得x+1=3或x-1=3,其中正确的命题有 A0个 B1个 C2个 D3个3如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根,那么m-n的值为 A- B-1 C D14用因式分解法解下列方程1
11、3y2-6y=0 225y2-16=0 3x2-12x-28=04x2-12x+35=05x-3x+2=0； 65y2-4y=0； 33x-22-9=0；43xx-1=x-1；5x2-2x+3=0； 6x-72x+1+7=0；72x+32=12x； 8x-52-8x-5+16=05已知x+yx+y-1=0,求x+y的值6在一个长方形的空地中央布置一个正方形的花坛已知正方形的边长比长方形的长短5m,比长方形的宽短1m,且长方形的面积是正方形面积的2倍多5m2,求这个正方形的边长8今年初,湖北武穴市发生禽流感,某养鸡专业户在禽流感后,打算改建养鸡场,建一个面积为150m2的长方形养鸡场为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长am,另三边用竹篱围成,如果篱笆的长为35m,问鸡场长与宽各为多少？其中a20m课后作业1根据题意,列出方程：有一面积为60m2的长方形,将它的一边剪去5m,另一边剪去2m,恰好变成正方形,试求正方形的边长2若关于x的方程k2-4x2+x+5=0是一元二次方程,求k的取值范围3当m满足什么条件时,方程mx2+x=x2-x+1是关于x的一元二次方程？当m 取何值时,方程mx2+x=x2-x+1是一元一次方程？4.已知关于x的方程 的一个根为 ,则实数k的值为 A1 B.-1 C.2 D.-25.在实数范围内定义运算,其法则为：,求方程的解.6 / 6
