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1、专题04解三角形(第一部分)学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.在BC中，A=6O,B=75,a=2t则tlBC中最小的边长为()A.立B.亚33C.y2D.62 .己知二ABC中，a=4,=43,A=30o,则B等于()A.30oB.60C.60。或120。D.30。或150。二、多选题3 .在liBC中，已知。=2应=4,A=30。，则角8=()A.30oB.450C.120oD.135三、填空题4 .在SABC中，若A=Io5cC=30。力=1,则C=.5 .在取ABe中，若=1,C=60,c=J,则A的值为.四、单选题6 .在AABC中，内角A、B、C的对边长分别为八b、c,已知主丝
2、=色，且/“2=助,sCc则6=()A.4B.3C.2D.I7 .在中，内角A,B,C的对边分别是,b,c,已知sin(6-A)+sin(B+A)=3sin2A,且c=,C=p则Q=()A.1B.迈C.1或组D.叵3338 .在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是。，b,c.若a=2b,则空上学叱的值sinA为()A.B.-C.1D.:242五、填空题9 .在锐角/BC中，a2-b2=bc则角8的范围是,一三一一与+6sinA的取值范tanBtanA围为10 .在eABC中，内角A,8,C的对边分别为,A,c,若osinB=JJbcosA,匕=10,c=6,则BC边上的中线长是.六、解答题1
3、1 .在AABC中，角A8,C的对边分别为,b,c,若cos8+bcosA=2ccosC.(1)求角C的大小；若二ABC的面积为21.c=23,求“WC的周长.12 .记aA8C的内角A,B,C的对边分别是。，bc,已知sin5-55cosA=0.求A；(2)若=7,6=2,求tWC的面积.七、多选题13 .根据下列情况，判断三角形情况，其中正确的是A.a=8,b=16,A=30o,有一解B.b=18,c=20,B=60。，有两解C.a=5,c=2fA=90,无解D.a=30,b=25,A=150,有一解14 .在ABC中，角A,B,C的对边分别为,b,c,则()A.若A=30。，b=4,=3
4、,则A8C有两解B.若UmAtan8=1,则AABC为直角三角形C.若sin?A+sin?8+cos?CB,则SinASinBB. sin2A+sin2Bb,则。的值可能为（）A.25B.4C.23D.3十、填空题20 .在JlBC中，角4、B、。所对的边分别为a、b、c,且从+=+bc,则角A的大小为.十一、解答题21 .在三角形48C中，A,B,C所对的边分别为,b,a已知力=3,c=23,A=30,解这个三角形.十二、单选题22 .在，ABC中，内角A、B、C所对的边分别为。、b、J若=bsinA,则jABC的形状一定为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形23 .
5、ABC中，角A,B,C所对应的边分别为。，b,J已知a2+b2-（acosB+bcosA）2=labcosB,则ABC是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形24 .已知“15。的三个内角45,。所对的边分别为4匕若280。疝8=豆强，则该三角形的形状是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形D.直角三角形十三、多选题25 .在a48C中，角A,B,C的对边分别为,b,c,则下列条件能判断二ABC是钝角三角形的有（）A.acosA=bcosBB.ABBC=2aCa-bsinC._rk.C.=D.PcosC+CCOSo=bc+bSinA+sinB26
6、 .在dBC中，角48,C所对的边分别为,瓦c,已知SinA=2sinB,则下列说法正确的是（）A.若C=与，三c=22pB.若18C是等腰三角形，则SinB=巫J8C.若C=2B,则-ABC是直角三角形D.若C=g,贝Jc=十四、单选题27 .在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、J若ABC为锐角三角形，且满Sib2-a2=ac,则H-1的取值范围是tanAtanB28 .冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用
7、30。、45。、60。、90。、120。、150。等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了ZkABD,测得AB=5,BD=6,AC=14，AD=3,若点C恰好在边8。上，请帮忙计算SinzAC。的值()十五、多选题29 .在“WC中，若(+b)M+c):9+c)=9:10:ll,下列结论中正确的有()A.sinA:SinB:SinC=4:5:6B.tlC是钝角三角形C.工XBC的最大内角是最小内角的2倍D.若=6,则，ABC外接圆的半径为瓯730 .己知二48C中，角A,B,C的对边分别为,b,c,且a(sin4-SinB)=CSinCSin8,则下列
8、说法正确的是()A.C=-6B.若的面积为5,则。的最小值为2C.若=l,B=*则“IBC的面积为止叵D.若b=3,c=7,则满足条件的/BC有且仅有一个十六、填空题31 .在AABC中，内角A,B,C的对边分别为mb,c,若AABC的面积为S,且=l,4S=b2+c2-a2,则外接圆的半径为.十七、解答题32 ./BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知=7,h=2,A=60o.求SinB的值；(2)求C的值.参考答案：1. B【分析】易得C=45,再根据正弦定理计算最小角C的对边即可.【详解】由题意，C=180-60-75=45,故中最小的边长为。.,-r-n.ac.asinCX7
9、2店由正弦定理=：，故C=-J=音二F.snAsnCSinA332故选：B2. C【分析】根据已知条件利用正弦定理直接求解即可【详解】在“8C中，=4,=43,4=30。,由正弦定理得急bsinB4_43sin30osinB解得SinB=虫,2因为00vbvl500,所以5=60。或B=120。，故选：C3. BD【分析】宜接利用正弦定理计算即可.【详解】由=20=4,4=30。，得A又OOVB2.,/兀.=.c=7,C=t.113；3sin3当COSA0时，则有SinB=3sinA,由正弦定理得6=3,由余弦定理得/=2+b2一2出JCOSC,即7=/+(3)2-23g,解得=1,综上，。=
10、1或零.故选：C.8. A【分析】根据正弦定理求得正确答案.【详解】依题意湾,.-t3i11z2sin2B-Sin2A2b2-a2b111由正弦定理得；=；=2-1=2-1=一一.sin2a2UJ2)2故选：A9. 23,ll)【分析】由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得A,B的关系，结合锐角三角形条件可求A,B的范围，然后结合对勾函数的单调性可求.【详解】解：因为ar-h2=he&(T=tr+c2-2bccosA,所以c-2Z?CoSA=Z?,由正弦定理得SinC-2sinBcosA=sin3,所以5抽(4+8)2$11188$4=5抽8,整理得sinAcosB-sinBCO
11、SA=Sin3,即Sin(A-B)=SinB,所以A-4=A,即A=28,0-2又-48C为锐角三角形，所以02Bg,解得g8f,264011-3B-2故三4卫，sinAl,322r11,55z.,(cosBCoSA)N.A贝l+6sin=51+6snAtanBtanAISin3sinA)_sin(A-B)/.5sinB,.,.45=5；+6smA=+6snA=6snA+,sinBsinAsinBsinAsinA令=sinA,则/(f)=+6f在上单调递增，在(曰,f)上单调递减，又/(I)=I1,/图=竽，/(噜卜2屈故C)2而,11),即.故答案为：B3sinBcosA,B(0,11),.
12、sinBO,.sinA=-73cosA,即tanA二6，A(,11),.=y；。是边BC的中点，A0=g(A8+AC),.l.AD+2ABAC+ACj=-(b2+2ZjccosA+c2)=-(100+60+36)=49,.k4=7,即8C边上的中线长是7.故答案为：7.I1.(I)C=I(2)6+24【分析】（I）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得CoSC,由此可得C；（2）由三角形面积公式可求得必，利用余弦定理可构造方程求得+人，由此可得三角形周长.【详解】（I）由正弦定理得：SinACOSB+sinBcosA=2sinCcosC,.sin（A+B）=sin（11-C）=si
13、nC=2sinCcosC,C(,11),.sinCO,.cosC=i,则C=.(2)SABC=gabsinC=4ab=26,二8,由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=a+b-3ah=(a+b)2-24=12,解得：a+b=6,.iA8C的周长1.=+A+c=6+2G12. A=I也2【分析】(I)利用正弦定理将边化角，即可求出tanA,从而得解；(2)利用余弦定理求出c,再由面积公式计算可得.【详解】(1)在二48C中，由正弦定理=及asin5-石COSA=0,SinASinnsmC得SinASinB-币SmBCOSA=0，又在.,4BC中，sinB0,/.SinA=3cosA,*
14、tanA=/3,V0A力，C3,故有两解；C中，A=90,=5,c=2,=g77=07=IT,有解；D中，因三=一所以TnA_变昼_工，又ba,所以角B也只有一解.sinAsinBs,n-30-F故选:ABD.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,主要考查解三角形个数,难度一般.14. ABD【分析】对A,由正弦定理可判断；对B,化简可得COS(A+8)=0可判断；对C,由正弦定理化角为边，再由余弦定理可判断；对D,由正弦定理结合余弦定理可判断.【详解】对A,因为加inAvb,所以AABC有两解，故A正确；对B,因为tanAtanB=I,所以COSACOS8SinASin8=0,COS
15、(A+8)=0,A+=y,故C=,故B正确；对C,由sin?A+si112B+cos?Cl可得sh?A+si1128si?C,则/+/c?,所以cosC=+z,2r1,故三角形无解.对于选项Q：已知=2J,c=4,A=45o,由于。cs加A,即以顶点8为圆心,。为半径的圆与AC射线有两个不同交点，故三角形有两解.故选：BD.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形的解的情况的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.16. BC【分析】由题意画出图形，可知CSinBVaVc,求出。的范围，根据选项，得出结果即可.【详解】解:如图:要使.,ABC有两个解，则CSi
16、nBV。vc,即8sin28则b,进而利用正弦定理即可判断选项A；利用正弦定理角化边得a2+b2c2,利用余弦定理得COSC5时，ab,根据正弦定理得2RsinA2RsinB,整理得SinAsin,故A正确；对于B,因为sin?A+sii)2Bvsi/C,由正弦定理得片+/c?,222所以CoSC=-C-V0,因为0Cvc,所以巴C1BC是钝角三角形，故B正确；对于C,由acosA=bcosB,由正弦定理可得SinAcosA=SinBcosB,即sin2A=sin2B,所以A=B或2A+28=11,所以4=8或4+8=5,所以48C是直角三角形或等腰三角形，故C错误；对于D,由正弦定理得.cs
17、i11A1x-25应，即二sinCA,A为锐角，所以存在满足条件的45C有两个，D正确.故选：ABD【分析】根据题意，利用余弦定理求得CoSA=-万，即可求解.由余弦定理可得CoSAb2+c2-a2-be2bc22hc211【详解】BJa2=b2+bc+c2,h2+c2-a2=-hc,又因为A(U),所以A=竽.故选：C.19.BC【分析】分析可知C为钝角，利用余弦定理结合三角形三边关系可得出C的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】因为=应，b=22KoZ?,则cb4,因为11BC为钝角三角形，故。为钝角，且cos。=+户-=2+8M,2ab2ab由三角形三边关系可得8-cv+8,则vc3,
18、故JU0),整理得SinB=1.又因为08万，所以8=,故二ABC为直角三角形.故选：B【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，是基础题.23. B【分析】由题，利用正弦定理和内角和定理化简可得/+6一,2=2血os8,再利用余弦定理可得cos3=cosC,可得结果.【详解】由题，已知cr+b2-(acos+bcosA)=2abcosB,由正弦定理可得：sin2A+sin2B-(sinAcosB+CosAsinB)2=2SinASinBcosB即sin2A+sin2B-sin2(A+B)=2sinAsincos又因为Sin(A+B)=SinC所以sin2A+sin2B-sin2C=2si
19、nAsinBcosB即O1-Vtr-C1=2cbcosB由余弦定理：a2+b2-C2=2abcosC即cosB=cosC所以B=C所以三角形一定是等腰三角形故选B【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，解题的关键是在于正余弦的合理运用，属于中档题.24. B【分析】利用正弦定理和余弦定理化角为边可得答案.【详解】因为2cosCsinB=sinA,由正弦定理可得力COSC=，因为COSC=+-I,所以互二=，整理可得力=c.laba故选：B.25. BC【分析】对于A,由cosA=bcosB,利用正弦定理和二倍角正弦公式判断；对于B,由A88C=-ccos8=2判断；对于C,利用正弦定理和余弦定理
20、判断；对于D,由bcosC+ccosB=b,利用正弦定理和两角和的正弦公式判断.【详解】对于A,由cosA=Z?CoSB及正弦定理，可得SinACOSA=SinNCoS5,即sin2A=sin2B,所以2A=28或2A+23=万，所以A=B或4+8=,所以.4BC是等腰三角形或直角三角形，故A不能判断；对于B,由ABBC=-讹COS6=2，得COSB0,则B为钝角，故B能判断；对于C,由正弦定理=-=,得从+。2一/=一庆，则COSA=-，4=”，故C能判c+ba+b23断；对于D,由bcosC+ccos3=b及正弦定理化边为角.可知sin8cosC+sinCcosB=sin8,即SinA=S
21、inB,因为A,B为AABC的内角，所以A=B,所以ABC是等腰三角形，故D不能判断.故选：BC.26. BCD【分析】根据余弦定理和正弦定理即可得出答案.【详解】因为SinA=2sinB,由正弦定理得=M,对于A选项，由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC=4b2+b2-22bb(-)=lb2,C=币b,故A错误.2对于B选项，若.,ABC是等腰三角形，显然出b,又当b=c时，有=2=2c=6+c成立，显然此时不能构成三角形，则只能是=c,再根据=2Z?,由余弦定理得，CoS8=a2+c2-b24从+46-b2在ABC中，sinB=JI-COS?B=,故B正确.8对于C选项,若C=2
22、B,WJsinC=sin2B=2sinBcosB,又sinA=2sinB,则SinC=sinAcosB,又SinC=sinAcosB+cosAsinB,则sAsinB=O,在中，sinO,所以COSA=0,即4=；,故C正确.对于D选项，由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC=4b2+b2-22bb-=3b2fC=Gb,故D正确.2故选:BCD.27. A【解析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A、8关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围.【详解】因为Zj2=c,所以,-2ccosB=ac:.c-2acosB=asinC-2sinAcosB=sinA,sin(AB)-2sin
23、AcosB=sinA,.Sin(B-A)=SinA/.3-A=A,8=2Aml.11111l-tan24l+tan2A11、因此=-(tanA+),tanAtanBtanAtan2AtanA2tanA2tanA2IanA因为ABC为锐角三角形，所以0AZ,08=2A工,0C=兀一8-A=11-34N,囚A4,9tanA，解得SinzACO=三一J9故选：C.29. ACD【分析】由(+)M+c):e+c)=9:10:U,解得=4f,b=5tfc=6r,结合正弦定理和余弦定理，逐一求解四个选项可得答案.【详解】由(a+/?):(a+c):(/?+c)=9:10:ll,不妨设4+8=5,a+c=0
24、t,b+c=t,解得=4z,b=5f,c=6t.对于A选项，由正弦定理可得SinA:sin3:SinC=。：从。=4:5:6,故A正确.对于B选项，由=4b=5f,c=6t,知C最大,又COSC=13=幽H电3JIab24r5rsC0,所以C为锐角，最大角为锐角，故B错误.对于C选项，由a=4z,b=5t,c=6%,知A最小，C最大,)、)2(旬、2,COSC=1.25r6r31cos2A=2cos2A-I=2(一)2-1=cosC,488sA0,cosC0,可得C=2A,故C正确.对于D选项，当c=6时，a=4,b=5,CoSA=2bc52+62-423256在ABC中，sinA=Jl-Co
25、S2A=R_a_4_8不/BC外接圆的半径为京X一一，故D正确.xV故选:ACD.30. BC【分析】由正、余弦定理及已知得C=,再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求解.【详解】,.,SinA-Sin8)=CsinC-OsinB,，由正弦定理可得(-b)=c2-从，即/+从一/=疝,24序21对于A选项，由余弦定理可得COSC=，Iab20Cv兀，,C=:，故A错误；对于B选项，由题可知,aSinC=且裙=6，；而=4,24由余弦定理可得/=a2+b2-2abcosC=a2+b1-ab2ab-ab=ab=4,c2,当且仅当a=b=2时等号成立，故C的最小值为2,故B正确；.立厂对于
26、C选项，由题可知A=；,由正弦定理得号=三，,C=竺呼=%=当4SinASinCsinA22V048C的面积为1.aeSin8=)lsin2=sin(t+3-#+点=3+退,故C22212446448正确；对于D选项，由余弦定理可得=2+-2cosC,P7=29-3,3+2=0,解得。=1或。=2,故D错误.故选：BC.31T【分析】根据三角形面积公式和余弦定理，求解角A,再根据正弦定理求半径.【详解】因为4S=从,所以3csinA=3ccosA,即SinA=CosA,所以tanA=I,由A为三角形内角得A=45。，因为=l,由正弦定理得2R=正=应，所以R=正2故答案为：立232.(l)sinB=y-【分析】(1)根据已知宜接使用正弦定理可得;(2)直接使用余弦定理可得.【详解】(1)因为“=7,b=2,A=60o.由正弦定理YT=工，可得X=二一，所以SinB=应；SinAsnBsin60osinB7(2)由余弦定理a?=/+/一2CCOSA,得(e)=22+c2-22ccos60o,BPc2-2c-3=0,解得c=3,C=-I(舍)，所以c=3.
