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1、2024一招搞定三视图考题（小A）昌0三高中数学解题研究会群3394*963小A1.（湖北省八校2016届高三第二次联考理数卷第U题），如图，用格线上小正方形的边长为1,襁淮及粗磔画出的是某多面体的三视图，则该多面体夕阳球的表面积为（）dA.SlR至灯，2C.12D.-G如图处外四面体的视图这.个视图勺圮魄氏为27的等股近角：布形,正视图和俯视图中的虚线是三角嚏1.已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为.【答案】16或20【解析】三视图对应的直观图有两种，如图所示二、填空摩：本大即共7小题,第9至12戚加小题6分,第13至15题的4分.共36分.9.设集合l(x.r)l(x-l),(y-2)
2、,IO所表示的区域为4,过原点。的直线/将/1分成的滞分.当这两部分而根相等时.直线/的方程为二；当这两部分Ifti阴之必最大时直线，的力程为此时代线/落在Kfct4内的线段K为.,0若臬几何体的禊图如图所小.财这个几何体中最长的核长等于体根等，r(IOW)ARfrum2ffA4tt)相信看完了，你一定知道这招是什么了吧？一题弄懂极值点偏移5大套路已知/(x)=ln-gM2X,/77R.若/()有两个极值点不，X2,且玉e2(e为自然对数的底数).解法一：齐次构造通解偏移套路证法1：欲证X1X2e?,需证Inx1+Inx22.若/(%)有两个极值点阳，即函数r()有两个零点又r(6=in-如，
3、所以不，%是方程r()=o的两个不同实根.于是，有lnx1-wx1=0Inx2-mx2=0解得m=m%+lnzX1+X2另一方面，由lnxl-rxx=0(Inx2-mx2=0得InX2Inx=机(x2-Xj,X1+X2于是，百+】门2=(2二1哼)色+0=11+垣InE强-1llH-r口Inx1-InX1Inx+InX2从而可得，1.=-!又01.因此,Inx1+Inx2=tx1/-1要证InF+ln2,即证：(r+1)lnr2,即：当，时有hu生二U.设t-，+1函数7(f)=lnr-,1,贝西，纯+J)匕O=-(：&0,r+1t(r+l)r(r+l)所以，Mr)为(1.+8)上的增函数.注
4、意到，MD=O，因此,W(I)=O.于是，当1时，有lnrW三J.所以，有ln+ln.2成立，x1x2e2.解法二变换函数能妙解证法2:欲证N/e?,需证InX+ln2.若/(x)有两个极值点为，即函数/(力有两个零点.又fx)=nx-mx,所以，x1,超是方程/(x)=0的两个不同实根.显然加0,否则，函数/(X)为单调函数，不符合题意.=InX+Inx2=m(xl+x2)lnx1-mX=Olnx2-ZTtt2=O2即只需证明m(xi+x2)2即可.即只需证明x1+x2.设g(x)=r(x)-/仔-XMXjo-,g(x)=2，；”一0,故g(x)在mm)x(2-mx)0,5,，即g()g=o
5、,故尸(力尸(X由于广（力=9ZW=M竺，故r（x）在（0,（占+8卜.设玉W，令X=X1,则/（工2）=/（玉）一原m2/1、(1)2,XIe_,00,/(X)在,+coJ故有工2xItnJ7m)m命题得证.解法三构造函数现实力证法3：由须，超是方程r(%)=o的两个不同实根得机二手，令g()=W,g(x)=g(w),由于g(x)=号，因此，g(x)在(1.e)T,(e,+).e2fe2设1玉ee2,只需证明再(0,e),只需证明/()/,X2X2即,即“七)一/停0.即/7(x)=x)-/(x(l,e)即(X)=ln?(：_)o,故(力在(l,e)T/x/xe/2/2故(X)VMe)=O,
6、BP(x)一，即玉.解法四巧引变量（一）证法4:设/ln(0,l)U=Inx2(1收)，则由器二黑二(J)得t.=netlt.Vr1.八11lkekk小、-21,=-l=e2,设&=.7e，G=m金t2ex-l2e-l需证Inx+lnw2.即只需证明a+G2,即HI+9)MJ2=(l+e)v2(eJI)=&(l+e2(ej)v.设()=(l+e*)-2(e*-l)(g-=e,2,iS-l=(0,1),!S!Jr1=-,t2=-欲证XlX2e?,需t2=met2t2Gk1k-证Inxl+lux22,即只需证明:+2,即(A+l)ln%-k-2=*三m三k+k+(人1)2(+1)20,故g(%)在
7、(0,1)T,因此g(k)=In2TO伏O(M),g(k)=Ktlg(92+c2-ab-bc-ca),得3abc-a2(b+c-a)+b2(c+ab)+c2(a+b-(?)=a3+b3+cy3abc+a(b2+c22bc)+b(c2+a22ca)+c(a2+b22ab)=(a+h+c)(a2+b2+c2-abbc-ca)+a(b2+c22bc)+b(c2+a22ca)+c(a2+b2-2)=2(a+b+c)(ab)2+(bc)2+(ca)2+a(hc)1+h(c-a)1+c(aZ?)2=(a+bc)(aZ)2+(h+ca)(bc)2+(+c/?)(c)2.：a,b,c是三角形的三边,+力一c0
8、,b+ca0,a+cb0.而(一份220c)22o,(c-q)22o,故原不等式成立，当且仅当。斗二。,即ABC是正三角形时等号成立.例2已知a,b,c是正数,证明：(1忘：+磊+焉尺(1963年莫斯科数学奥林匹克试题)(2)念言+磊2史第(第2届世界友谊杯数学竞赛试题)证明:金+磊+焉-12a(a+b)(c+a)+2(a+b)S+c)+2c(+c)(c+a)-3(+,)S+c)(c+4)2(。+力)(b+c)(c+)2(3+/?3+。3)(2b+4匕2+力2c+c2+c2q+c42)2(a+b)(b+c)(c+a)+护一(。2活+2)+护+/(b2c+2c2)+护+/(c2+cq2)2一2,
9、2(a+b)(b+c)(c+a)2(a+b)(b+c)(c+a)(+)(-b)2+s+c)(-c)2+(c+0(c-。)(2)不难证明言+焉+施=m+c)(自：+磊+焉)-3+c),利用这个恒等式得到不等式士+磊+急弟檐+磊+扁喏三例3设X,y,Z是正数，则上；+、4:20(WJanous猜想)证明设=V=“汉z+xx+yy+z,z+xx+yy+z,z2-2fj2-2则mv=X1.x+y+y+z=zr+-y+y-z=(又m+v=(x2-,2)(-)+(y2-z2)(-)+(z2-2)(-)z八y+zz+x-八z+xx+y八彳+yy+,-y,y-z,入z-+z)(zx)+Gj泰丽+(Nf)(X+
10、)，*+Z)(z+x)(z-)2(x+y)(y+z)-U(x+)(.r-y)2(y+z)(y-z)2(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)+所以,“v0.从而20.Iy2-fz2二y2/-z2z+xx+yy+zx5-2/2z5-z2例4正实数xj,z满足xyz21,证明：三再科再至+酉肃介0.(第46届IMO试题)证明因为冷，z21,所以募寿恐点踞儒?，类似地，可得),5-F2y4-V2(z2+/)z5-z22z4-z2(+),2)y5+z2+x22y4+(z2+x2)252+j,224+(x2+y2)2A2,2_2E-Z赤、土用2。2a(b+c)2-b(c+)2/cZ是正实数,求证：(A
11、y+yz+2x)(+y)2+a+z)2+(z+)力2不(1996年伊朗数学证明不妨设xyzO,1.l119xy+z(x+y)yz+M-+z)zr+y(z+x)9(孙+)z+)时+和+罚5=7X+(y+z)2+(zx)24XVz_3xy1yz1zx1z+z4+xy2+(x+y)2-4+(+z)2-4+(z+x)241(1.lV)2(Z-X)2(v-z)2(ay)2G1.Z)2(zx)2zl(y+z)(z+x)+y)(y+z)+(x+)，)(z+x)l4(-+y)2+4(y+)2+4(z+)2jj212121=4f1C-+z)(z+x)(x+y)xy)2+(x+y)(z+x)(4-z)21(V1+
12、t(x+y)(y+z)(z+x)2zx,=S2(-t)2+5,-z)2+(z-x)2,其中SZ-(j+z)(z+x)(x+y)2,SX-(+y)(z+x)(y+z)2,Sy(x+y)(j+z)(z+x)2因为x2y2z0,所以2+y)2(+y)2(y+z)(z+x),即Sz0.又2(z+x)2-(+y)(y+z)=(2-)+(2-yz)+2z2+3zx0,所以S20.若$20,的右端20,不等式得证.若SXVO,因为x2y2z0,所以?2三20,于是,()，-z)2wg)2(-z)2.人XZ人S4,-z)2+sy(z-)2252(xz)2+Sz。2二苛%zx)2.下面证明y2S+fSy20,事
13、实上，y+x2Sy2O0y22(y+z)2(z+x)(x+y)(z+x)2+f2(y+z)(z+x)2-(x+y)S+z)2=(2z+xf2+3yz2+2xyz+2？+xz2-2zr-3)+2(2z2+x2y+3xz2+2xyz+2z3+x2z-2z-/)=2xyz(x1+y22y)+y(x3+y3-x2y-xy1)+y1(2)z+3yz1+2zi+x2r)+x1(2yz2+3x2+z3+x2z)=2xyz(-y)2+x)x+y)(-y)2+(2y2z+3yz2+2z3+xz2)+x2(2yz2+3xz2+z3+x2z)0,所以,式右端20,所以5.(-,)2+5,-z)2+5v(z-X)20
14、.综上,不等式得证.例6设0,b,c是一个三角形的三边长,求证b()+c(b-c)+c2(c-)20.并指出等号成立的条件.(第24届IMO试题)证明d1b(ab)+b2c(b-c)+c2a(c-a)=(a+bc)(b+c-ci)(a-Z)2+(b+ca)(a+cb)(bc)2+(a+c-b)(a+bC)(Ca)220例7已知。力,c0,证明：等+华+呼2叱吟需瞥3.(2006年罗马尼亚数学C1_(c+a)_1_(a+b)_,.2TbCbc(a+b+cC)caca(a+b+cc)Iabab(a+b+c)a)一项&Hc)(c)%Csz的(1.4+说+b+c)3f)22o.例8在44BC中,证明:
15、/一1)+师一1)+组一1)20.(2006年摩尔多瓦数学奥林匹克试题)证明不等式两边同时乘以2必c,不等式化为证明2a3b(bc)+2b3c(c-a)+2ca(a-b)0.2a,b(bc)+2b3c(c)+2c3(b)=a3b+c)+(b-c)(bc)+b3(c+a)+(c-a)(c-a)+c3(a+b)+(ab)(a-b)=-S-c)2+b3(c-a)2+？(-b)2+ab2-)+(c2-a2)+c3(a2-b2)=/(6。2+护(c-4)2+(-b)2+2(-)+庐(/-/)+a护一/)=a3(bc)2+bi(c-a)2+c3(a-b)2+a2(c-b)3+3cb(c-b)+b2(a-c
16、)3+3ca(c-a)+c2(b3a3)+3ba(b-a)=a3(bc)2+3(c-)2+c3(b?a2(b-c)3(c0c2(Z?)3+3abca(cb)+bca)+c(ba)=Q(bc)2+(ca)2+c3(ab?-a2(h-c)i-b2(c-df,c2(-b=a2(befye+a-b)+b2(c-afya+bc)+c2(a-bfyb+c-a).在aABC中，c+a-b,a+b-c,b+c-a都是正数,而(8一c)220,(ca)220,(一份220,所以不等式得证.例9在AABC中,b,c是它的三条边,是半周长,证明不等式:2p.(2006年摩尔多瓦数学奥林匹(p-c)(p-a)-(p-
17、a)(p-E)ca+岫克试题)证明令户p-,y=p-b,Z=P-C,贝Ua=y+z,b=z+xyc=x+y.一(p-b)(p-c)一(p-c)(p-a)一(p-a)(p-b)/be+bca+一不G+z#+(z+x)y募j+(x+y裾磊焉2x+y+z2皿/鬲W2(z+6几京二+2(x+yN瀛焉22(x+y+Z)(x+y+z)(-y)2(X+yz)(y-z)2(X+y+Z)(Zx)?=(+z)(z+x)+(z+x)(x+y)+(x+y)(y+z).+华)2”z;_h32z+x)(x+y)(z(+z)+j(+y)2(x+华)2(_+(x+y+z)2(-y)2(x+y)(y+z)(z(j+z)x(x+
18、y)2+(%+，)(y+z)(z+x)(x(x+z)+Xy+z)2T而1口口Q+y+z)(-y)2(x+y+z)?”历-Uyz)U,y)(t+z)(z+x)4)(y+z)(z+x)x(x+z)-y(y+z)2/NX(X+z)sy(y+z)2ONnX+z)+y()Hz)22(+y+z)(x+y)2也(x+z)y(y+z)22r),.因为Z是正数,这是显然的.同理可证其余两个不等式.于是不等式成立.例10已知。力,c0,且HC=1,证明：%/4一焉二22(3+东+%何乐r.(2()04年匈牙利数学奥林匹克试题)证明因为混=1，所以%任一康22(+*+1户枭等价于I1I3一I1.abc/1.Z一诉2
19、(7+/+图西百7注意到(苏+)-(a2b+ab2)=(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b?有Jc1-Jp+143I1_1abca+b+ca2+b2+c22+b2+c1(4+2+c)(4b+bc+c4)-34。(。2+护+/)(dr+b2d+cr)(+b+c)abc(a+b+c)(cr+b2+c2)(6+82+b2c+bc2+c2+c2)(2+b2+c2)(/川+加/+/+。abc(a+b+c)(a2+b2+c1)(4%+4)(东尼+层护)+s%+hc4)一(护c2+c3)+(44c+c4)(加/+。?)abc(a+b+c)(cr+b2+c2)(+/)二(苏从)+ICK护+3)二(。+
20、力c2)+c(03+c3)二(c+ac2)abc(a+b+c)(a2+b2+c1)20.所以,原不等式成立.ab(a+b)(a4产+力匕+。)一。)2+怎(。+)(。一。)2abc(a+b+c)(a2+b2+c2)例11已知XJ,z1,2,证明：+y+z)(%1)26(W+亲).(2006年越南数学奥林匹克AZ)rZZJ试题)证明不妨设22x2y2z21,E3111C(_一)(y-z)2(Z-X)2因为(x+y+z)、+?9七一+又因为自心+亲1（X落）+（K京）+（X黑）lIiXVZ所W(W)(-)-6(-)一(到(y+z)(z+x)()+0z(X+y)(z+x)。Z)+(y+z)(+j)z
21、工)，。z(x+y)(zi+zx+zy2xy)(xy)2+x(y+z)(x2+xy+xz2yz)(yz)2+Xz+x)(,2+yz+yx_2zx)(zx)2=SXx-y)2+S(yz)2Sv0,所以SO,又品20台(y+z)(x+y)-3zx20xy+yz+y2-2zr2O.由22x2y2z21,易知,y+z222x,所以My+z)2zx,xy2zx,相加得.所以S、，20.如果820,则式右边20,不等式得证.如果SZV0,则(工一y)2=(x-z)-(y-z)2=(zx)2+(yz)22(xz)(y-z),j)2+S.t(jz)2+Sv(z-)2=(Sv+S-)(z-x)2+(SxSr)(
22、jj-2)2-2S-z)(,-z)2(Sy+SJ(zx)2+(Sx+SJ(y-z)2.下面证明冬+S=20,Sx+SO.Sx+S二=Xu+z)(f+xy+xz2yz)+z(x+y)(z2+zx+zy-2xy)2z(x+y)(x2+xy+xz-2yz)+(z2+zr+zy-2xy)=z(x+y)(x+2z)(x-y)+2220,Sy+S=yf(z+x)(y2+yz+y-2zx)+z(x+yf)(z1+zx+zy-2xy)2z(x+y)()2+yz+yx2zx)+(z1+zx+zy-2xy)=z(x+y)xy+(y+z-x)(,y+z)0,所以SHVo时,不等式也成立.于是,只要x,y,zl,2,就有(x+y+z)d+；+326(;+W+泉),y1.)/丁人J
