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1、导教习题题型十七：合多藏导致河题的分类讨论问题含参数导数问题的分类甘论问题1.求导后，导函数的解析式具有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。已知函数f(x)=g3-g(+2)2+20r(a0),求函数的单调区间,(x)=x-(a+2)X+2a=(x-a)(x-2) 例1已知函数/(幻=X-二-(+2)lnx(a0)求函数的单调区间X,X2-(a+2)x+2a_(x-2)(x-a)J=2-xixi 例3已知函数f(X)=J1(eR),其中qR.(I)当4=1时，求曲线y=(力在点(2,7(2)处H勺切
2、线方程；(II)当。工0时，求函数/(x)H勺单调区间与极值。解：(I)当Q=I时，曲线y=(x)在点(2J(2)处的切线方程为6x+25y32=0。(II)由于0,因此/()=2j+iy2,由/(x)=0,得七=一,为=。这两个实根都在定卜+1Ja,z、2(x2+l)-2x(2or-6/2+l)-2a()卜+：/X)=5二-=-义域R内，但不知它们之间卜由)(XM)三大小。因此，需对参数日勺取值分。0和lv两种状况进行讨论。当10时，则药冗2。易得F(X)在区间(一8,(,+8)内为减函数，在区间卜J,)为增函数。故函数力在百二一：处获得极小值/1)=-/；函数/(x)在毛=4处获得极大值/
3、()=1。(1)当。0时，则不赴。易得“X)在区间(一8，。)，(一+8)内为增函数，在区间3-十)为减函数。故函数“X)在=-：处获得极小值函数X)在%=0处获得极大值/（）=1。以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的次序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题H勺讨论，还是有一定H勺规律可循的。当然，在详细解题中，也许要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂某些了，需要灵活把握。（区间确定零点不确定的典例）例4某分企业经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总企业交a元（3WaW5）的管理费，估计当每件产品的售价为X元（9
4、xll）时，一年的销售量为（12-）2万件.（1）求分企业一年的利润1.（万元）与每件产品的售价X於I函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分企业一年日勺利润1.最大，并求出1.的最大值Q（八）.解（1）分企业一年的利润1.（万元）与售价X的函数关系式为：1.=（-3-a）（12-）2,x9,11.(2)1.,(x)=(12-)-2(-3-a)(12-)93y,=(12-)(18+2a-3x).令1.=O得x=6+2a或x=12(不合题意，舍去).3V3a5,86+-a-.33在x=6+2a两侧1.B值由正变负.3因此当86+-a9即3a2时，32UX=1.(9)=(9-3-a)(12
5、-9)2=9(6-a).当96+-a-W-a5时，9(6-a),4(3-1a)3.9-a5.23321.nex=1.(6+-a)=(6+-a-3-a)12-(6+-a)2=4(3-la)3.01tQ（八）=3333答若3Wa0)上的最小值;(III)对一切的X(0,-R3),2(x)g(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.解：(I)f(X)=InX+l,(x)0,解彳00,解得冗，“幻的单调递增是(e,+8),(II)(i)0tt+2-,t无解；(ii)0t-t+2,即0t时，/(x)min=/(一)=-；eeeee(iii)-r+2,即r,时，/(x)在rJ+2单调递增，/(x)min=/(
6、0=tint9分ee1 o-,/(x)mine，tintte(III)由题意：2xlnx0；当1时，h(x)()、=()、()时，求导函数的零点再根据零点与否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。) 1已知函数=x3-x2+(l-)x,求函数的单调区间f,(x)=x2-x+(l-d)=(l-x)(ar-l+d) 例2已知函数f(x)=(l+)lnx+罗(a0),求函数的单调区间m、OX2-X+(l-)(X-1)(X-I6f)J(X)=XX 例3已知是实数，函数f(x)=J7(x-)(I)求函数/(x)的单调区间；(II)设g()为F(X)在区间0,2上的最小值。(Z)写
7、出g()H体现式;()求。的取值范围，使得-6g(4)-2。/吟31X解：(I)函数的定义域为0,E),f()=7+号=上%0),由F(X)=O2x2x2得X=。考虑与否落在导函数/(x)三定义域(0,+8)内，需对参数。时取值分0及。0两种状况进行讨论。(1)当0时，则f(x)O在(0,+8)上恒成立，因此f(x)的单调递增区间为0,+8)。(2) 当0时，由/(x)0,得x;由/(x)0,得0x0时，/(力的单调递减区间为,/(力的单调递增区间为早+)(II)(/)由第(I)问三结论可知：(1) 当a0时，6在0,”)上单调递增，从而“X)在0,2上单调递增，因此g()=0)=0(2) 当
8、0时，/(x)在0,1上单调递减，在早+8)上单调递增，因此：当(0,2),即0v6时，力在上单调递减，在1,2上单调递增，因此g()=“卜TA=一喈。当12,+8),即16时，/(x)在0,2上单调递减，因此g（八）=(2)=J(2-a).O,综上所述，g()=2aaJ,0a63V3V(2-q)m6(zf)令-6g()2若0,无解;若OV6,由一6-2解得36;若白6,由一60(2-4)-2解得6a2+3综上所述，4的取值范围为32+3j5.三.求导后，因导函数为零与否有实根(或导函数0分子能否分解因式)不确定，而引起的讨论。例1已知函数F(X)=T2+X求函数的单调区间f,(x)ax+l例
9、2已知函数f(x)=lnx-以求函数的单调区间fx)-af,(x)=-a+1XX,x1例3设&R,函数/(x)=1-:,F(x)=f(x)-kx,x三Rf-Jx-I,X1试讨论函数F(X)H勺单调性。,x1解：*/f(x)=1-x,F(x)=f(x)-kx,x三R-Jx-l,X111KXiX,F(x)=f(x)-kx=H-x,F(x)=12,O,得1X0,得Rl+y;由F(x)V,得l0,讨论函数f(x)=lnx+a(l-a)x2-2(l-a)X的单调性。.,J.M1.JI、i_。、/，/、2(lc)x2(1d)x1解：函数/(X)的定义域为(0,+8).f(X)=X当01时,方程2a(a)x
10、?-2(1-)x+1=0的鉴别式=12(a-1)当OCaCg时,(),/*)有两个零点,J叵更亘0,“1.旦亘2a2a(-d)2a2(l-a)(1)1a3且当0x电时,/(X)0,/(X)在(0,%)与(电,+0)内为增函数;当XI工工2时，/(幻，/(冗)在(工1，2)内为减函数;当;0(R0),/(X)在(0,+oo)内为增函数；X当a时(),1(3-l)(-l)1(3-l)(-l)x=+2a2a(-a)2a2a(-a)由jJ_y(tf-l)(3tf-l)f1_(347)(aT)13a-1I2a(-a)4a24a2(l-a)24a2+4a2(l-a)I-a+3a-l2a_5=-54a(-a
11、)4a(-a)1(3fl-l)(-1)0._1+J(3-l)(-l)(.Ia2a(-a)12a2a(l-a)因此在定义域(0,+8)内有唯一零点X1,且当Ovx0,/Cr)在(0,不)内为增函数；当X玉时，/0)v,(x)在(%,)内为减函数。/(x)B单调区间如下表：0a-3-a(0,内)(x1,x2)(x2z)(O,+00)Ox)(,y)1(-l)(3a-l)1J(f(3a7)、2a2a(i-a)2a2a(-a)因函数的零点的个数不确定而引起的讨论。例.已知函数f(x)=lnX,g(x)=J2+。(a为常数)，若直线/与y=f()和y=g()的|图象都相切，且/与y=f(x)2口勺图象相切
12、于定点P(1,f(I).(1)求直线/的方程及a的值；(2)当kR时，讨论有关X的方程NX?+。-g(x)=k的实数解的个数.解：(1)Vf,(x)=-,f(1)=1.k=l,又切点为P(1,f(1),即(1,O),1三解析式为y=xT,Xy=x-lTl与y=g(x)相切，由1尸,12+。，消去丫得/一2乂+2+2=0,，二(-2)2-4(22+2)=0,得a二1.22II(2)令h(x)=f(x2+l)-g(x)=In(x2+l)-r2-22Vhz(X)=T_x=_T)(：+l),则OM(X)为增区数,TVxVO或x时，“故x=l时，h(x)取极大值ln2,X=O时，h(x)取极小值一。2因
13、此当k(In2,+8),原方程一解；当k=ln2时，原方程有两解；当1.VkVln2时，原方程有四解;2当k=1.时，原方程有三解；当kv时，原方程有两解225.求参数的范围时由于不能分离出参数而引起的对参数进行的讨论例1：(此为不能分离出参数a的例题)B(x)=x3-60x2+9(R).当。0时，若对Vx0,3有/*)4恒成立，求实数。的取值范围.解：由于f(x)=x3-6ax2+9a2x,x3-6ax2+9a2-4O因此f(x)=32T2ax+9a?=(3-3a)(x3a),在(一8M)上r(60/(x)是增函数，在(,3a)上,(x)0(x)是增函数。因此函数在x=a时，/(x)极大=/
14、()，因此函数在x=a时，/(x)极小=(3)因对WX0,3有/(x)4恒成立，求实数。的取值范围.极值点指定区间端点位置关系不确定引起讨论。讨论如下：当两个极值点都在指定区间0,3内时。即03a3,也就是Oa0时为何分为0a0/3是增函数，在(,3)上,(x)Of(X)是增函数。因此函数在x=a时，/(x)-=f（八）,因此函数在x=a时，/(%)极小=/(3。)m,=三M(3)向南x0,3有/*)4恒成立，Ola3-6a3+9a3-4O27-54z+21a2-401.-即0aWl等价于解得0a/(tz)-40/(3)-4O0aa12石/c2石1Ih99当两个极值点有一种在指定区间0,3内时
15、。即03时，也就是kaW3时，(当a0时为何分为0a0(x)是增函数，在(,3上r(x)03是臧函数，因此函数在x=a时，f(x)极大=/(),/Mmax=/W/Wmin=min(/()WX0,3有/(x)4恒成立，等价于解得10时为何分为0a3两类。要讲清晰)在0,3上Q)0(x)是增函数，F(X)11w=/(3)=4/_41084O与/(x)-40矛盾。综上：对Dx0,3有/(x)4恒成立时，实数。的取值范围是O0,即6g时，方程2/+2尤+8=0,即f(x)=0有两个不相等的实根：-1-1-2Z?-1+1-2Z?x=2，x2=2,这两个根与否都在定义域(一1,+8)内呢？又需要对参数6的
16、取值分状况作如下讨论：.1Jl2b1+Jl2bz、z、(1)当0时，1=-1,因此与一l,+oo),Wc(-l,+)。此时，f(力与x)随X的变化状况如下表：X(TX2)X2(2,+oo)/(x)O+/递减极小值递增由此表可知：当力0时，f(x)有唯一极小值点X2=士正至T,x2=上手至一1因此X1(-l,+),(-l,+)o此时，F(X)与/(x)随X11变化状况如下表：X(TXI)(为X2(与，+00)/3+00+递增极大值递减极小值递增由此表可知：当0匕,时，f(x)有一种极大值点芯二土二丝和一种极小值点22-1+1-2Z?X)=O-2综上所述：(1)当O时，/(x)有唯一极小值点X=I
17、,；(2)当Obg时，/(x)有一种极大值点x=-g22和一种极小值点X=J+；(3)当b;时，/(x)无极值点。从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，虽然问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。(19) (I)小问5分，(11)小问7分.)己知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,bR),g(x)=/(x)+f(x)是奇函数.(I)求/*)的体现式；(11)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值和最小值.解：(1)由题意相广(吗=3?+筋+6因此=(x)+,(*)=x,(3
18、l)(52)x+6.因为函数或石)是奇函数,所以g(-x)-8(%).即对任意实数人书a(-x)1(3a1)(-)1(62)(-x)6三-(x1+(30l)x,*(b+2)x从而%+I=O/nO,M-y,6=0,Wft(x)AKG.-1,(11)山(1)知4()=-f2x所以/U)=-+2.令Sy)=0,解得航二-0，XJ=G,则当X。时/()0,从而或外在区间-6.Ji上处均函数.由前面讨论知在区间1,2上的最大值与最小值只能在X=1,6,2时取得，TO(三T.(f)，子.式2)三4因此4)在区间1,2)上的最大做为*(。)9最小值为4(2).-c(21)已知函数/(x)=InR-ar+l(
19、aR)X(I)当。二一1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；(II)当J时，讨论/*)的单调性.224-X2解：(I)当。=一1时，/(x)=InX+X+l,x(0,+),因此/(x)=,x(O,+)XX因此，f(2)=1,即曲线y=F(X)在点(2,/(2)处的切线斜率为1,.又/(2)=In2+2,因此y=(x)在点(2,/)处的切线方程为1.(In2+2)=/-2,曲线即X-y+In2=0./j-tCl.EHtz、141ClXX+Cl(II)由于f(x)=nx-ax+1,因此f(x)=a+=；XXXXX(0,+),令(?(x)=ax2-x+-a,x三(0,+),(1)当
20、=OH寸,ZZ(X)=Xl,x(O,oo)因此，当x(OJ)时,(幻0,止匕时f(x)O,函数/*)单调递减；当x(l,+)时，h(x)(),函数f(x)单调递(2)当OH寸，由f(x)=O即r2-+i-=o,解得X=I,%=4一1a当=一时，%=%,Jz(x)O恒成立，2此时(X)0,函数/(幻在(0,+8)上单调递减;当OCae1.时2a尤t(0,1)时，hx0,此时f(x)V0,函数单调递减；X(1,1.1)时，2()0,函数单调递增；a工(,-1,+0。)时,/1*)0,此时/(X)VO,函数/(X)单调递减；a当0,此时f(x)O,函数/(x)单调递减；x(l,+),h(x)0,函数
21、/)单调递增。综上所述：当a0时，函数f(x)在(O,1)上单调递减；函数f(x)在(1,+)上单调递增；当二g时，函数/(x)在(O,+)上单调递减；当O0,此时/(x)0,函数/0)单调递减;当Xe(1.)时，A(x)1O,2ax(O,l)时，MX)0,此时/(x)V0,函数/)单调递减；x(l,1.-i)时以了)vo,此时f()O,函数/a)单调递增；ax(!-1,+8)时，(x)O,此时f(x)V0,函数/)单调递减；a当。VO时，由于上一1V0,ax(O,l),%(x)0,此时f(x)V0,函数/)单调递减；x(l,y)时，h(x)0,函数F(X)单调递增.综上所述：O(II)由于a
22、=!(O,1.),由(I)知，X1=ES=3纪(0,2),当x(O,l)时，/(x)-O,函数单42117当bw(2,+oo)时，由于g(x)nh=g=84b,解不等式8-4b,可得b1nun28综上，be取值范围是-,-H/)1.8J(21)己知函数f(x)=(+I)InX+02+.(1)讨论函数幻的单调性;(II)设-2,证明：对任意看,工2e(,0)，1/(芭)/*2)124|不一/解：(I)f(x)B定义域为(0,+8),f,(x)=-+2ax=2y+1当a20时，,(x)0,故f(x)在(O,+8)单调增长;当aW-l时，/(X)VO,故f(x)在(0,+8)单调减少;当一1VaVO
23、时，令f(x)=O,解得X=.当x(0,Xe(,+8)时，/(x)V0,故f(x)在(0,2a)时,)单调增长,r(x)o；在,停,+00)单调减少.（三）不妨假设x1，X2.由于a-2,故f(x)在(0,+8)单调减少.因此|/(4)一/(W)I4x-X2等价于/(x1)-/(x2)4xi-4x2.即f(x2)+4x2f(x)+4x).令g(x)=f(x)+4x,则gf(x)=+2ax+4X20r2+4x+l(I)讨论函数/(/J单调性;(ID(II)设。I(x1)-(x2)4xi-x2I，求的取值范围。解：(I)f(x)的定义域为(0,+8).尸(X)二ll+20r=2a1.+lXX当O时
24、，fx)0,故/*)在(0,+8)单调增长；当-l时，,(x)0,故/)在(0,+8)单调减少;+),f)0;x(故f(x)在(0,JW)单调增长，在(再,+8)单调减少.(II)不妨假设不x2,而O;在区间(O,)上，尸(幻0.故/(幻得单调递增区间是(1,0),单调递减区间是(0,+8).WCfIQ,，/、x(kx+k-)z-k当OA01 +xk-1.-b因此，在区间(TO)和(一,+00),(X)O;在区间(0,)上，,(x)1时，t()=4x+0=,得X=上(-1,0),x,=0.lxk-k-k因此没在区间(T)和(0,)上，V)0;在区间(一,0)上，,(x)0,使得f(x)=/Z(
25、X)(X2-x+i),则称函数f(x)具有性质P()。(1)设函数/(x)=lnx+2t2(xl),其中b为实数。x+1(i)求证：函数f(x)具有性质PS)；(ii)求函数/(幻的单调区间。已知函数g*)具有性质尸(2)。给定为,工2(l,+),-1,户1,若g()-g(P)Vg(Xl)-g(w)I，求机的取值范围。解析本小题重要考察函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考察灵活运用数形结合、分类讨论的思想措施进行探索、分析与处理问题日勺综合能力。满分16分。(1) (i)f,(x)=-生三二一y-(x-bx+).l时，力(X)=-1r0恒成立，%(x+1)x(x+l)x(x+l)函数/(
26、幻具有性质尸S)；(ii)(措施一)设以幻=Y-加:+1=(X-)2+l-g,9。)与f(x)B符号相似。当1生0,-2O,fx)0,故此时f3)在区间(1,+8)上递增；4当b=2时，对于xl,有/(%)0,因此此时f(x)在区间(1,+00)上递增;当一2时，/(/)图像开口向上，对称轴x=gl,总有夕)0,(x)0,故此时/(幻在区间(1,+8)上递增;(措施二)当匕2时，对于xl,(x)=X2-bx+x2-2x+=(x-)20因此f(X)0,故此时/(用在区间(1,)上递增;bb+Jb2-4b-Jb2-4当人2时，(用图像开口向上，对称轴X=1,方程例九)=0的两根为：一号,FbZb2
27、_4狂五_42而I,=f22b+Jb2-4b+Jb1_4b+Jb2-4当)时，e()o,f,(x)2时，/(%)在(,里三)上递减；F(X)在处4m,+00)上递增。(2)(措施一)由题意，得：g,(x)=h(x)(x2-2x+1)=(x)(x-1)2又z(x)对任意B%(1.+00)均有MX)0,因此对任意日勺X(1,+)均有g(x)0,g(x)在(1,+)上递增。又a+=X+x?,a-=(2n-l)(x1-x2)o当a1时，a,且-=(z-I)Xl+(1-fn)x2,-x2=(-m)xl+(w-l)x2,二(-x)(-)=-(-I)2(x1-x2)20r/.ax1X2或再ajg(%)-g(
28、)：不合题意若Zr2,贝U()/Sl)/(/)/()，.,.r1ax2igp三1+(l-w)(l-m)x1+m22解得ml,/那1当M=B时，a.=B、0=g()-gC5)ffia-x2m(xl-x2)f-=-w(-x2)，1.lr-on玉(-m)xy+mxftza1同理有4产/，即0,.0淡一，mx1+(-m)x20对于任意的x(l,+oo)都成立。因此，当xl时，,(x)=(x)(x-l)20,从而g(x)在区间(l,+oo)上单调递增。当m(0,1)时，有=nxl+(-m)x2wci+(l-77)x1=X1,a=mxx+(l-w)x2mx2-(y-m)x2=X2,得aeCr”/)，同理可得夕W(M,马)，因此由g(x)0单调性知g（八）、g(P)w(g(再),g(x2),从而有Ig()-g(0,及g(x)三单调性知g(0g(X)vg(x2)g(),因此g()-g(0I2g(x)-g*2)I，与题设不符。当ml时，同理可得XX2，进而得Ig()g(021g(x)g()，与题设不符。因此综合、得所求时机的取值范围是(0,1)。待研究的J如下问题在求函数H勺单调区间时波
