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1、新初三暑假数学衔接导学案1.1圆的有关概念问题1观察以下图形，你能从中找出它们的共同特征吗？问题2观察以下画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？探究新知库跖团息厂It平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点问题3观察以下图形，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；直径：经过圆心的弦叫作直径；弧：圆上任意两点间的局部叫作圆弧，简称弧;弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB；半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如上图中的弧ABC；劣弧：小于半圆的弧
2、叫作劣弧，如上图中的弧AB。应用新知例1：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？分析：如图，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比方正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定。例2：矩形的四个顶点能否在同一个圆上？如果不在，说明理由；如果存在，指出这个圆的圆心和半径。/一、解：如图，连接AC、BD交与点O,在矩形ABCD中，/ZzXOA=OC=；
3、AC,OB=OD=gBD,AC=BD,）/.OA=OB=OC=OD,7/A、B、C、D者这四个点在以点0为圆心，OA为半径的同一个圆上。稳固新知练习1在以下所给的命题中，是真命题的有（）o直径是弦；弦是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半径相等的两个半圆是等弧；长度相等的弧是等弧。练习2确定一个圆的要素有两个，即和；决定圆的位置，决定圆的大小。练习3以0为圆心可以画多少个圆？以2cm为半径可以画多少个圆？以0为圆心，2CnI为半径可以画多少个圆？练习4如何在操场上画一个半径是5Fn的圆？说出你的理由。分析：根据圆的定义可以知道，圆是一条线段绕一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形，所以可以用一
4、条长5m的绳子，将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B,并绕A在地上转一圈。B所经过的路径就是所要的圆。练习5从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄。如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树平均每年半径增加多少？答案：树干的半径是232=11.5(cm)。仁二二、平均每年半径增加11.5+20=0.575(cm)。,1.2垂径定理Q问题引入问题1请拿出准备好的圆形纸片，将其沿圆心所在的任一条直线对折，你会发现什么？多折几次试一试。对折/=T追问1：由折纸可知圆是轴对称图形吗？(y1.一三追问2：如果是一个残缺的圆形纸片，你能找到它的圆心吗？问题2你知道赵州桥吗？它是1
5、300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37。4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？(精分别是什么？结论：(1)圆是轴对称图形;(2)经过圆心的每条直线(不是直径)都是它的对称轴;(3)圆的对称轴有无数条。问题4如图：AA,是。的一条弦，作直径CD,使CD1.AA,垂足M。(1)。是轴对称图形，CD是它的对称轴吗？(2)OA,也是轴对称图形吗？CD也是它的对称轴吗？(3)你能找出图中有哪些相等的线段和相等的弧？请说明理由。(4)你能文字语言表达你发现的这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平
6、分弦，并且平分弦所对的两条弧。(5)你能用几何方法证明这些结论吗？：在。0中，CD是直径,AA,是弦,CD1AA,垂足M。求证：AM=MA,弧AD二弧AD,弧AC二弧ACo问题5如上图，假设直径CD平分弦，那么直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？：在。0中，CD是直径,AA是弦，AM二MAo求证：CDAA,弧AD二弧AD,弧AC二弧AC0探究新知圆的轴对称性：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。由圆的轴对称性易得垂径定理：直径AB所在的直线是线段CD的中垂线。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并平分弦所对的两条弧如下图：假设AB是。0的直径，CD，AB
7、于E那么CE=EDBC=BDAC=AD推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于该弦，且平分该弦所对的两条弧。事实上：在垂径定理中，对于条件：直径弦与直径垂直直径平分弦直径平分弦所对的劣弧直径平分弦所对的优弧这五条中，知道其中任意两条便可推出其余三条。垂径定理的应用相当广泛，主要表现在以下三方面：计算功能：如图：构造以半径R、弦AB（八）和弦心距OE(d)的直角三角形分析：在RtZiAOE中，由边、角求未知边、角，进而求出弦长AB和圆的直径CD的长。注：过圆心0作弦AB的垂线段OE,垂线段OE称为弦心距。证明功能:如图：AB是。O的直径，EF是弦，BCJ_EF于C,ADJ_EF于D。求证：CE=FD
8、分析：通过作弦心距OM易得OMBCAD又由AO=OB得出CM=MD,再根据垂径定理得到EM=MF,进而得出CE=FD这一结论。说明：此题还可以进行变化，讨论如果弦EF与直径AB相交，结论是否仍然成立？作图功能：例如：把弧二等分，四等分等。作法：(1)连结AB;(2)作AB的中垂线交A6于C,那么点C为AB的中点；(3)假设再连结AC,CB,分别作AC,CB的中垂线交CCAB于d、E,那么D、C、E把AB四等分。值得注意的是：见如下反例点D、C、E是的四等分点吗？你能说明其中的理由吗？应用新知例1：如图，在。0中,AB.CD两弦互相垂直于E,AB被分成4CnI和10Cm两段，(1)求圆心。到CD
9、的距离；(2)假设。0半径为8cm,求CD的长是多少？分析：(1)作OG1.CD于G,由垂径定理先求出AF的长，进而求得OG的长，就是圆心。到CD的距离；(2)在Rt()DG中，由勾股定理可求DG的长，再由垂径定理可求得CD的长。例2：如图，弧AB所在圆的圆心是点0,过0作OCJ_AB于点D,假设CD=4,弦AB=16,求此圆的半径。解：设圆的半径为R,由条件得到OD=R4,AD=8oRtADO中，AO2=OD2-AD2,BP2=(-4)2+82o解得R=I0。即此圆的半径是10追问：现在能解决课前提出的赵州桥问题了吗？稳固新知练习1如图，一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中弧CD,点0是弧CD
10、的圆心，其中CD=600m,E为弧CD上一点，且OE1.CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径。练习2如以下图，某条河上有一座圆孤形拱桥ACB,桥下面水面宽度AB为7。2米，桥的最高处点C离水面的高度2。4米。现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由。1.3弧、弦、圆心角问题引入问题1(1)平行四边形绕对角线交点旋转180度后，你发现了什么？圆绕圆心0旋转180度后你发现了什么？(2)平行四边形绕对角线交点旋转任意一个角度后，你发现了什么？把圆绕圆心0旋转度任意一个角度后，你发现了什么？结论：顶点在圆心的角叫做圆心角。问题
11、2如下图，NAOB的顶点在圆心，这样的角叫做什么名字呢？追问：以下哪个图形中阴影局部的角是圆心角？问题3如下图的。中，分别作相等的圆心角NAOB和NAOB,将圆心角NAOB绕圆心0旋转到的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？探究新知追问1：在等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦仍然相等吗？请同学们现在动手做一做。因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的瓠相等，所对的弦也相等。同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的瓠也相等。追问2：定理中去掉“在同圆或等圆中这
12、个前提条件，还有同样的结论吗？请画图说明。应用新知例1：如图，在。中，弧AB二弧AC,ZACB=60。求证：zaob=zaoc=zboCoi/W证明：:弧AB二弧AC,.AB=AC,AABC是等腰三角形。一JZ又NACB=60,4ABC是等边三角形,AB=BC=CAozaob=zaoc=zboCo例2：如图，在OO中,AB.CD是两条弦，0E，AB,0FCD,垂足分别为E,Fo(1)如果NAOB=NCOD,那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？(2)如果OE=OF,那么弧AB与弧CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？ZAOB与NCOD呢？夕AX解：(1)如果NAoB=NC
13、oD,那么OE=OFQ理由如下：/二/ZAOB=ZCOd,AAB=CDo也/VOEAB,OFCD,2AE=AB,2CF=CDoAAE=CFo又YOA=OC,RtOAERtOCF,AOE=OF0(2)如果OE=OF,那么AB=CD,弧AB=弧CD,ZAOB=ZCODo理由如下:VOA=OC,OE=OF,RtOAERtOCF,AAE=CFoXVOEAB,OFCD,2AE=AB,2CF=CD,AAB=CD,弧AB=弧CD,ZAOB=ZCODo稳固新知练习1如图，AB是。0的直径,BC.CD、DA是。0的弦，且BC=CD=DA,求NBoD的度数。/分析：由BC=CD=DA可以得到这三条弦所对的圆心角/
14、相等，所以考虑连接OC,Ak7才得到NAOD=NDOoNBOC,而AB是直径，/24于是得到/80。=4X180o=120oO3练习2如图，MN是。0的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P,ZAPM=ZCPMo(1)由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由。(2)如图，假设交点P在。O的外部，上述结论是否成立？假设成立，加以证明；假设不成立，请说明理由。1.4圆周角问题引入问题1在圆中，满足什么条件的角是圆心角？顶点在圆心的角叫做圆心角。问题2在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间有什么关系？在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条瓠相等，
15、那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。问题3足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练。如图，甲、乙两名运发动分别在C、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大。如果请你来评判，你知道他们的位置对球门AB的张角大小吗？探究新知问题4上图中的NC、ND与我们前面所学的圆心角有什么区别？这样的角称之为什么角？顶点不同，圆心角的顶点在圆心，NC、ND的顶点在圆上。圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。特征：角的顶点在圆上；角的两边都与圆相交。追问：以下哪个图形中的角是圆周
16、角？问题5如图，画弧AB所对的圆心角，然后再画同弧AB所对的圆周角。你能画多少个同一条弧所对的圆心角？圆周角呢？z一、追问1：量一量你所画的不同的圆周角的度数，/你有什么发现？/追问2：量一量你所画的圆心角的度数，又有什么发现？八、追问3：你得出了什么猜测？同瓠所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。追问4：如何验证你的猜测？根据圆周角与圆心的位置，分成三种情况：NAOC是/XABO的夕卜角VOA=OB,ZABO=ZBAo,ZABC=IZAOCZA0C=ZAB0+ZBA0of/ZA0C=2ZAB0,/0)(1)设圆周角NABC的一边BC是。0的直径，如下
17、图：zA2(2)如图，圆周角NABC的两边AB、独立完成这道题的说明过程。(3)如图，圆周角NABC的两边AB、独立完成证明。BC在一条直径OD的两侧，那么吗？请同学们BC在一条直径OD的同侧，那么吗？请同学们(2)、(3)我们可以总结归纳出圆周角定圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部。在同圆或等圆中，同瓠或等瓠所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径。问题6如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？，一
18、、追问1：四边形ABCD中，NA+NC与NB+ND值分别等/&7于多少度？追问2：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，B1/%这个多边形称作什么呢？定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。追问3：通过上面的分析，你能归纳一下圆的内接四边形有什么性质吗？圆的内接四边形对角互补。应用新知例1：如图，AB是OO的直径，BD是。0的弦，延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系？为什么？分析：BD二CD,因为AB=AC,所以这个AABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连接AD,证明AD是高或是NBAC的平分线即可。
19、例2：如图，。0的直径AB为10cm,弦AC为6cm,NACB的平分线交。于D,求BC、AD、BD的长。稳固新知练习1(1)如图，点A、B、C在。O上，点D在圆外，CD、BD分别交。于点E、F,比拟NBAC与NBDC的大小，并说明理由Q(2)移动点D到圆内，其它条件不变，此时NBAC与NBDC的大小又如何？并说明理由。练习2如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为NBCA的外角的平分线，F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E。求证：4ABD为等腰三角形。分析：此题可先由角平分线定义得出NMCD=NDCA,再由同弧所对的圆周角相等得出NDCA=NDBA,由等量代换得出NMCD=
20、NDBA。最后由圆内接四边形的性质得出NMCD=ZBAD,即可得出结论。习题1.l圆的两个重要性质一、选择题1 .AB、CD分别是两个圆中的弦，如果AB=CD,那么4?与CQ的关系是()CCCCCC.ABCDD.不能确定2 .如图的半径为5,AB为弦，0C_1.AB,垂足为C。假设0C=3,那么弦AB的长为()A.4B.6C.8D.103 .半径为6的。0内一点D到0的距离为3,那么过D点的最短弦长为()A.33B.3C.63D.无最短弦4.。的半径为6,弦长为一元二次方程f5x-6=0的一根，那么弦心距及弦所对的圆心角为().5和30。B.5和60。C.35和30。D.3i和60。二、填空题
21、1 .：如图，。0的直径AB=15,弦CDj_AB于点E,BE=3,那么CD的长为oA2 .：CD为G)O的直径，弦AB交CD,AB=6,CE=I,那么OO的半径长为3 .如图，在。中,如果AB=2A()2ACo(填”、”=或“)4 .如图，将。0沿着弦AB翻折71.ZD心0,假设。的半径为4,那么弦AB的长度等于OB三、解答题1 .：如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，试比拟AC与BD长度的大小，并说明理由。2 .：如图，ZABC是等边三角形，BC是Oo的直径,AB.AC边分别交。0于D、E两点.求CCC证：BD=DE=EC3 .如图，在OO中，P是弦AB上一点
22、，AB=IOcm,PB=4cm,0P=2.5cm,求的周长。一、选择题1.D2,C3.C4.D二、填空题1.122.53.4.43三、解答题1.AC=BD.理由：过0点作OMlAB于M,那么MC=MD,MA=MB,所以AC=BD2 .证明：ZXABC是等边三角形NB=NC=60连结DO、EOVBO=DO,CO=OE.,.BOD和ZiCOE是等边三角形.*.ZBOD=ZDOE=ZCOE=603 .作OCj_AB于C,连结AoVAB=IOcm,丁AC=CB=5cmVPB=4cm,ACP=IcmV0P=2.5cm,由勾股定理得。2=包4在RtAOC中，AO=5.5cm二。0的周长为1l11an。习题
23、1.2圆中有关的角一、选择题1 .如果两个圆心角相等，那么（）A.这两个圆心角所对的弦相等；B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等；D.以上说法都不对2 .以下语句中不正确的有（）相等的圆心角所对的弧相等平分弦的直径垂直于弦圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴长度相等的两条弧是等弧A.3个B.2个Cl个D.以上都不对3 .翁、（5是同圆的两段弧，且益二2无，那么弦AB与CD之间的关系为（）A.AB=2CDB.AB2CDD.不能确定4 .如图，AB是G）O的直径，C,D是BE上的三等分点，NAOE=60,那么NCoE是（）.40B.60oC.80oD.12
24、05、如图，半圆0的直径AB=IoCm,弦AC=6cm,AD平分NBAC,那么AD的长为（）A.4VcmB.WelnC.WCmD.4cm6 .在OO中，圆心角N/0伊90,点。到弦力的距离为4,那么OO的直径的长为（）A.4B.82C.24D.167 .如图，在。中，假设C是BD的中点，那么图中与N胡。相等的角有()A.1个B.2个C.3个D.4个8 .如图，力内接于。0,/力=40,那么26%的度数为()A.20oB.40oC.60oD.809 .如图是OO的直径，点。在。上，假设NAMO2,那么NB的度数为()B.605C.509D.40&C过原点，且与两坐标轴分别交于点A,点B,点A的坐
25、标为(0,3),M是第三象,ZBM0=120o,那么。C的半径为()5C.3D.3点1 .圆。的半径为5,弦46的长为5,那么弦46所对的圆心角N4妙.2 .如图，AB是。0的直径，优=6,ZA=25o,那么/BOD二.3 .在。中，弦46所对的劣弧为圆周的1.,圆的半径等于12,那么圆心角N4=；弦4力的长为.4 .如图，在。中，AB=AC,/8=70。,那么N4等于.5 .如图，点A、B、C在OO上,ZA0C=60o,那么NABC的度数是.6 .如图，点A、B、C、D在。O上，OB_1.AC,假设NBoO56,那么NADB=度.7 .如图，四边形ABCD内接于OO,假设NA=60,那么ND
26、CE=.8 .如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器O刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E,第24秒，点E在量角器上对应的读数是度.三、解答题1、如图，在00中,AB=ACtZACB=Qo,求证/AOB=/BOC=/AOC.2、如图，在。O中，AB、CD是两条弦，OE_1.AB,OF_1.CD,垂足分别为EF.(1)如果NAOB=NCOD,那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？(2)如果OE=OF,那么48与CO的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？ZAOB与NCOD呢？3、如图，
27、。0的直径力夕为IoCm,弦AC为6cm,NACB的平分线交。0于D,求BC,AD,BD的长.4 .如图，AB为0的直径，点C在。上。的另一个交点为E,连接AC,CE.(1)求证：ZB=ZD;(2)假设AB=4,BC-AC=2,求CE的长.答案选择1.D2.C3.B4.C5、A6.B填空1.602.503.90o,122.4.405 .1506.257.608.144解答2、解：如果NAoB=NCOD,那么OE=OF理由是：VZAOB=ZCOd/.AB=CDVOEAB,0FCDAE=-B,CF=-CD22AAE=CF又一OA=OCRt0AERt0CFAOE=OF(2)如果OE=OF,那么AB=CD,AB=CD,ZA0B=ZC0D理由是：VOA=OC,OE=OFRt0AERt0CF/.AE=CF又TOE1.AB,OFCDAE=-AB,CF=-CD22AB=2AE,CD=2CFAAB=CDAB=CD,ZAOB=ZCOd3、4、 (1)证明：YAB为。0的直径，/.ZACB=90o,CBC,VDC=CB,.,.AD=AB,ZB=ZD;(2)解：设BoX,那么AC=X-2,在RtABC中,AC2+BC2=AB2,(-2)2+x2=42,_解得：X=l+7,x2=l-7(舍去)VZB=ZE,ZB=ZD,AZD=ZE,ACD=CE,VCD=CB,CE=CB=l+7.
