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1、微专题11二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程以2+公+C=O(OHO)的实根符号与系数之间的关系=/?2-4acO(1)方程有两个不等正根西,wObx+x2=OaCXyX2=Oa=2-4acO(2)方程有两个不等负根%,9o-bx+X2=0a(3)方程有一正根和一负根，设两根为冷WOXlw=上0)的两根，则一元二次OX2+bx+c=O(aO)的根的分布与其限x1X20bO1.加XObObn2a/(w)Ok/(w)O/()O5)0y7(m)O在区间（孙）内有两个不等实根1.kI0bm0,fWO【题型归纳目录】题型一：正负根问题题型二：根在区间的分布问题题型三：整数根问题
2、题型四：范围问题【典型例题】题型一：正负根问题例1.已知相为实数，命题甲：关于X的不等式皿2+如-4VO的解集为R;命题乙：关于X的方程V-2nr+机+20=0有两个不相等的负实数根.若甲、乙至少有一个为真命题，求实数，”的取值范围为【答案】（-20,01【解析】由命题甲：关于X的不等式标+侬_40的解集为R,当帆=0时，不等式T0恒成立；fw0当ZWWo时，则满足，、M八，解得T6m0,=m+16n0综上可得-16O整理得“-20=4m2-4(/n+20)O则满足x1+x2=2mOm5所以用0,解得一20z-20所以甲、乙至少有一个为真命题时，有-16vn0或-20zT,可得-20V帆0,即
3、实数的取值范围为（-20,0.故答案为：（-20,0.例2.关于X的方程以2+2x+l=0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为.【答案】0或。=1【解析】若方程以2+2x+l=0有且仅有一个负实数根，则当=0时，=-i,符合题意.当。HO时，方程加+2+=0有实数根，则A=4-420,解得l,当。=1时，方程有且仅有一个负实数根X=-1,当且。工。时，若方程有且仅有个负实数根，则20,即0.a所以当0或=l时，关于X的方程w2+2x+l=0的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于X的方程ad+2x+l=0的实数根中有且仅有个负实数根”的充要条件为”0或。=1”.故答案为：0或a=l.
4、例3.若一元二次方程依2+3丘+女一3=0的两根都是负数，求4的取值范围为.12【答案】k3【解析】首先&0,设方程h:3履+上一3=0的两根为不，天，则菁0,工20所以A=9%2-4%(%-3)03kC。12,又A0,解得&一3.12故答案为：k-?或A3.例4,已知关于X的二次方程(2m+1口2一2,加+?-1=0有一正数根和一负数根,则实数机的取值范围是【答案m2【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，2m+l0得?一1W解得Tm.2m+1故答案为：-5zVl例5.若不等式or2+加-10的解集是11-1x(),则T或一，3+1八“1由题意，方程有两个负根，即:解得Y0,a综匚实数的
5、取值范围是-O,k+1八xlx2=O4k,解得：0【解析】设Cr)=+l,由题意知/(l)=2+0,解得一q0故答案为：(一1一2).例8.已知关于X的方程f-2x+=0.(1)当。为何值时，方程的一个根大于1,另一个根小于1?(2)当。为何值时，方程的一个根大于T且小于1,另一个根大于2且小于3?(3)当。为何值时，方程的两个根都大于0?【解析】(1)二次函数)=-2x+的图象是开口向上的抛物线，故方程f-2x+=0的一个根大于1,另一个根小于1,则F-2+0由图知，l-2+67O4-4+d0解得-3VO.所以a的取值范围是。|3a0(,1则匕0，解得0al,所以”的取值范闱是00/(l)=
6、3-a0/(3)=ll-5fl0解得2*例10,已知二次函数y=x2-Z+一IaeR).故答案为:(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式f-2+*0;(2)若关于X的方程V2次+产-1=0的两个实根均大于-2且小于4,求实数t的取值范围.【解析】(I)设二次函数y=2-2+f2-l(rsR)的两个零点分别为为，*2,由已知得内+W=。,而X+x2=2r,所以2/=0,故r=0,不等式f-2a+产一l0即V-io,解得l或-l,故不等式的解集为l或=(-2t)2-4(t2-l)0-2t0(2)因为方程-2比+产-1=的两个实根均大于-2且小于4,所以42-2t4+t2-l0j40-2
7、/0r2-8r+150解得：-1O3,即实数/的取值范围为小1U3例I1.求实数6的范围，使关于X的方程f+2(m-l)%+2m+6=0.(I)有两个实根，且一个比2大，一个比2小;(2)有两个实根且满足OVaVIV夕4；(3)至少有一个正根.【答案】(DmV-IC75(2)n54(3)w-l【分析】设y=(x)=V+2(m-l)x+2w+6,一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.(1)设y=f(x)=x2+2(m-l)x+2n+6依题意有/(2)0,即4+4(m一l)+2m+6v,得加0依题意有/(1=4w+50设=()=2+2(M-l)+2M+6方程至
8、少有一个正根，则有三种可能:有两个正根，此时可得0/(O)0,即.0-2机4一1或wt5m-3.-3/H-1.rn1有一个正根，一个负根，此时可得/(0)0,得mv-3.6+2/w=O有一个正根，另一根为0,此时可得“n八,.机=-3.2(m-I)o所以/(l)0a2-a-20gp7-a-3+c2-a-20,解得-2vqv-1或30所以实数。的取值范围为(-2,T)1(3,4),故答案为:(-2-l)(3,4).例13.关于X的方程x2-S-l)x+4=0在区间1,3内有两个不等实根，则实数”的取值范围是【答案】(5,g【解析】关于X的方程幺一(4l)x+4=0在区间1,3内有两个不等实根，令
9、/(x)=d-(-l)x+4,=(-1)2-160解得5ag,则有1W3/(1)=6-0/(3)=16-30所以实数。的取值范围是(5,.故答案为：(5,y例14.方程f-(2-)1+5-。=0的两根都大于2,则实数。的取值范围是【答案】-50,即a2a+50f2-a4故答案为：-50时，二次函数/(X)=渥+x+2的图象开口向上，因为ad+2=0的两个实根一个小于0,另一个大于1等价于二次函/(X)=2+2的图象与X釉的两个零点一个小于0,另一个大于1,f(0)0(20所以工即八，解得/(l)0a+3O20所以：，a，即VA,解得一30a+30综上所述，实数。的范围是(-3,0).故答案为：
10、(-3,0).例16.已知方程x2-(加+l)x+4+l)=0的两根分别在区间(0,1),(1,3)之内，则实数。的取值范围为【答案】(0,l)【解析】方程d-(2+l)x+q(+l)=0=(x-)x-(+l)=0方程两根为=a,/=。+1，0a若要满足题意，则I1,，解得0l,1+l15-2a0,解得2*2=4t72-16O可求得实数4的取值范围为2,)故答案为：例18.关于X的方程ar2+(+2)x+94=0有两个不相等的实数根中毛，且MVlVX2,那么。的取值范围是()A.22a75B.22C.aD.1107Il【答案】D【解析】当=0时，+(q+2)x+9=0即为2x=0,不符合题意:
11、故HO,Or2+(+2)x+9=0即为d+(1+2卜+9=0,令y=f+(+21+9,由于关于X的方程02+(+2)x+94=0有两个不相等的实数根内百，且芭VlVX?，则y=奴2+g+2)+9与X轴有两个交点，且分布在1的两侧，故X=I时，y0,gi+l+-ll+90,解得2,故一2o,ka)a11故选：D例19.关于X的方程f+(m-2)x+2相-1=0恰有一根在区间(U)内，则实数机的取值范围是(13(121八2以c加A.-,-B.C.-,2D.-,-o6-27|_22j(23j12J123IJ【答案】D【解析】方程/+(62)x+2m1=0对应的二次函数设为：/(x)=+(n-2)x+
12、2w-l因为方程/+(加-2口+2加-1=0恰有一根属于(0,1),则需要满足：1O(O)(l)O,(2n-l)(3w-2)0,解得：m函数/(力刚好经过点(0,0)或者(1.0),另个零点属于(0,1),把点(0,0)代入/()=f+5l2)x+2mT,解得：m=l,344此时方程为f-X=o,两根为O,p而(0,1),不合题意，舍去把点(1,0)代入/(x)=v+(m-2)x+2n-l,解得：/=:,此时方程为3f-4x+l=0,两根为1,而ge(0,l),故符合题意；函数与X轴只有一个交点，横坐标属于(0,1),=(n-2)2-4(2w-l)=0,解得?=62近，当m=6+27时，方程+
13、(m-2)x+2m-l=0的根为-2-近，不合题意；若m=6-2币,方程/+(加一2)1+2加一1=0的根为一2，符合题意综上：实数小的取值范围为序u6-27故选：D题型三：整数根问题例20.已知苦,吃是一元二次方程44：2-4日+R+1=O的两个实数根.(1)是否存在实数左，使得(2%-超)(内-2%)=-1成立？若存在，求出后的值；若不存在，请说明理由;(2)求使五十%-2的值为整数的实数女的整数值.X2Xi3I(2xl-X2)(-2x,)=【解析】(I)假设存在实数&,使得2成立,7一元二次方程4履2-4依+k+l=0的两个实数根，4k04=2)-4(E)=T6产“,(不要忽略判别式的要
14、求),xl+X2=由韦达定理得，攵+1,Hr2=丁.(2x1-)(x-2x2)=2(xi2+xJ)-5xlx2=2(x1+x2)-9x1x2=-=Y5但A0,不存在实数3使得(2%一%2)&2)=1成立.J三_2=；+石_2=+士)4=叫_4-4()A2xlxix2xlx2+lk+1省要使其值是整数,只需要左+1能被4整除，i+l=l,2,4,即左=0,-2,1,3,3,5,k0,解得。0,l-6+0，解得5va8,又sZ,所以0=6,7,8,所以符合题意的的值之和6+7+8=21.例22(多选题)已知wZ,关于X的一元二次不等式/-6x+些0的解集中有且仅有3个整数，则。的值可以是()A.5
15、B.6C.7D.9【答案】BC【解析】设/(x)=V6+”,函数图象开口向上，且对称轴为x=3,因此关于X的一元二次不等式/-6x+0的解集中有且仅有3个整数时，/(2)022-62+0需满足八,即C,八，解得50-6l+a0故选：BC.例23.若方程2x(阮-4)-x2+6=0有两个不相等的实根，则Z可取的最大整数值是.【答案】1【解析】方程化为(2左一1)x2-8x+6=0,由A=6424(2k-l)0,女1.解得AVU,26所以A最大整数值是1.故答案为：1.题型四：范围问题例24.已知/是实数，若a,b是关于X的一元二次方程Y-2x+f-1=0的两个非负实根，则一。(-1)的最小值是.
16、【答案】-3【解析】4是关于X的一元二次方程f-2x+-l=0的两个非负实根，可得。+人=2,ab=t-lO,.1,又A=4-4(t-l)0,可得r2,.l0,x20,求实数m的取值范围及M+4/的最小值.解析】(1)当m=1时，方程为/-4x+l=0,=(-4)2-4=120,所以内+x2=4,Mv2=1,1+=V=4xX2X1-V2(2)因为2-4/nr+2=。两根%0，毛,=16m2-4m0所以xl+x2=0,解得m一.C4xx2=ZM0因为x1+x2=4%七，0,0，所以+J=4,所以+4*3+4%)Jf+5+等+)T5+2j*x.94,当且仅当生=工，即N=：,/=时等号成立，此时m
17、=J符合题意，KW4O3249.+4x2的最小值为;.4例26.已知函数/(6=源+加+。,0为实数)，/(-10)=/(12).若方程/(刈=0有两个正实数根巧,则+的最小值是()XX2A.4B.2C.1D.I【答案】B【解析】因为函数/(x)=2x2+加+c(。,C为实数)，/(-10)=/(12),所以200-10Z?+c=288+l+c,解得。二Y,所以/(x)=2f-4x+c,因为方程X)=O有两个正实数根/，/，=16-8c0所以仇O)=C0，解得00,xi+x2=k0xix2=2+30综上知，k.6故两个根的倒数和为：+子=米k_Ik+31+-,k.,a1Ia3I26,.O一,9
18、O一”一,k6k2故11+1,|,1 2*弓k故两个根的倒数和的最小值是?故选：B例28.已知实数ovb,关于X的不等式x2-(+b)x+lO的解集为(西,多)，则实数。、b、巧、演从小到大的排列是()A.axxx2hB.xiabx2C.axibx2D.xlax2玉/=。心+1.由。V力，v1xj,设X=+w,则/=6一相.所以12x1x2=(a+m)(b-m)=ab+m(b-a)-m2=ab+fm(b-d)-r=,m=-.51.aO,b-a所以wO.故,42人.又不%，故4VX2b.故选：A.例29.已知函数/(x)=(XT)x-T,awR.(I)若=0,解不等式Fa)1；(2)若函数/(x
19、)恰有三个零点七，与，为，求+的取值范围.xx2【解析】当=0时，原不等式可化为(A1).国一2.(i)当x0时，式化为“2_%_20,解得一lxv2,所以0xv2:(ii)当x0,解得xeR，所以x0.综上，原不等式的解集为(-8,2).(2)依题意，f(x)=-X1+(tz+l)x-l,xX2-(+l)x+-l,xa因为f()=TO,且二次函数y=V-(+l)x+T开口向上,所以当X2。时，函数/(力有且仅有个零点.所以x时，函数/(x)恰有两个零点.a+0,解得3./W=-=+1,则IW所以J_+_1.=生也=1X1X2X1X2因为乙是方程YS+l)x+-l=O的根，且望，由求根公式得X
20、j+1+glf把32因为函数g(G=+J,7)2+4在(3,yo)上单调递增,所以七g=2+应，所以OV1.0所以1,解得00a因为P是q的充分不必要条件，所以加027/1(fn-2)2-4(5-zw)0m4或机2=2/(2)0in2n，m0m-5贝J-5小0,故X1-X21=J(X-42=V(x+r2)2-4xx2=J36-4=42.故选：D.4.(2021江苏.高一课时练习)设。为实数，若方程/-20r+=0在区间(-U)上有两个不相等的实数解,则的取值范围是().A.(-,O)u(h+)B.(-1,0)C.卜别D.-loy(,+)【答案】C【解析】令g(x)=2-20r+a,由方程9_2
21、公+=0在区间(TI)上有两个不相等的实数解可得1=46Z-40-a-1!-14J0a3a3d)aa1解得-ga0f故选：C5.一元二次方程0r2+2x+l=0(H0)有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是()A.a0C.a-lD.a0，且Or2+2x+l=0(40)有一个正实数根和一个负实数根，所以/(x)=+2x+l的图像开口向下，即0,故对于选项ABCD,只有C选项：是0的充分不必要条件.故选：C.6 .(2021四川.树德中学高一阶段练习)设集合A=WX2-3x+2,集合B=卜辰?_2彳-1=(),若AnB0,则实数。的取值范围是()A居b(Q)C.,+Oe)D.(l,+)
22、【答案】B【解析】由题意，A=2-3x+20=xlx2若AC8工0,即方程G?-21-1=0存在根在区间。，2)(1)若=0.-2x1=0.不=,不成立；2(2)若0,由于X=O不为方程的根，故x0,则ad-2x-l=0=Hi=2+4r=(1.i)2-iXXXX由于X(1,2)(,1)(-+1)2-1(g,3)X2X4综上，实数的取值范围是(：，3)故选：B7 .要使关于X的方程V+d-b+a2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数。的取值范围是()A.4T2B.a-21C.aa11【答案】B【解析】由题意可得1+(/一)+。-2=/+。-20,解得-2l.故选：B.8.(2021甘肃天水市第
23、一中学高一阶段练习)已知一元二次方程/+(旭+1口+1=0(加2)有两个实数根,X2yK0x11x23,则加的值为()A.-4【答案】AB.-5C.-6D.-7【解析】因为元二次方程f+(w+l)+l=0(mcZ)有两个实数根外，演，KOx1lx2O10,(x)=+(m+l)x+l,则由题意可得0,即3+m013+3w0,解得一jzO(O)的解集是xJTHd,则下列四个结论中正确的是().A.a2=4bB.若不等式f+公+力VC的解集为(-3,1),贝Ja+Hc=7C.若不等式/+公一。0D.若不等式f+or+bvc的解集为(不)，且IXT2=4,则。=4【答案】ABD【解析】由题意，不等式/
24、+x+)0(0)的解集是d,2所以=/一助=0，.)=幺，所以A正确：4对于B：/+办+力VC变形为/+ov+bcvo,其解集为(一3,1),-3+1=-a?a-1故+0+c=7成立，所以B正确;所以卜3x1=。-c,得=1a1=4b?c=4对于C：若不等式炉+如_60的解集为(与&),由韦达定理知：xx9b=0*所以C错误；124对于D：若不等式2+0+vc的解集为区,当)，即/+办+8-co的解集为(内,天)，由韦达定理知：.a2x1+x2=-,x1x,=b-c=-c,则IXl-X21=J(X+V)?-4%工2=Ja之-4(5-C)=2yc=4解得c=4,所以D正确.故选：D.10 .(2
25、021江苏海安高级中学高一阶段练习)一元二次方程f-4+m=0有正数根的充分不必要条件是()A.？=4B.m=5C.m=D.n=-12【答案】ACD【解析】设Fa)=X2-4x+相，则二次函数/(x)的图象的对称轴为4=2.当帆=4时，方程即x24x+4=(x-2)2=0,求得x=2,满足方程有正根，但由方程/一4+m=0有正数根，可得/(2)=m-40,即m4,故帆=4是方程八+机=。有正数根的充分不必襄条件，故A满足条件；当相=5时，方程即V-4x+5=(x-2)2=T,求得xe0,不满足方程有正实数根，故相=5不是方程Y-4x+m=0有正数根的充分条件，故排除B.当帆=1时，方程即Y-4
26、x+l=(x-2)2=3,求得x=2J1.满足方程有正根，但由方程V-4x+n=0有正数根，可得f(2)=，-40,即4,故帆=1方程d-4x+m=0有正数根的充分不必要条件，故C满足条件：当初二一12时，方程即/-4x-12=0,求得=-2,或x=6,满足方程有正根，但由方程x2-4x+m=0有正数根，可得/=，-40,即m4,故根=-12方程f-4x+m=0有正数根的充分不必要条件，故D满足条件，故选：ACD.11 .若方程x2+2x+4=0在区间(TQ)上有实数根，则实数4的取值可以是()A.3B.-C.-D.184【答案】BC【解析】由题意l=-x2-2x在(-1,0)上有解.V(-1
27、,0),.=-x2-2x=-(x+1)2+1(0,1),故选：BC.12. (2021全国高一专题练习)已知关于X的方程/+(帆-3)x+m=0,则下列结论中正确的是()A.方程f+(所3)x+a=0有一个正根一个负根的充要条件是mWB.方程/+(能-3)x+m=0有两个正实数根的充要条件是zW01D.当m=3时，方程x2+(m3)x+m=0的两个实数根之和为O【答案】AB【解析】对A,当冗二O时，函数y=+(3)x+zn的值为，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是mwml相V,故A正确；对B,若方程X2+G-3)x+7=O有两个正实数根巧，X2,=(w-3)-4m0即，%+%2=
28、3-?0,解得：0vml,故B正确；XyX2=TW0,对C,方程幺+(6-3)x+n=0无实数根，即A=(n-3)2-4m0,解得：1n9,方程/+(m-3)x+/W=O无实数根的充要条件是机mlm9,故C错误；对D,当帆=3时，方程为f+3=0,无实数根，故D错误.故答案为：AB.13. (2021.江苏.高一专题练习)已知一元二次方程2+(m+l)+g=0(mZ)有两个实数根中毛，且0x1lx23,则，的值为()A.-2B.-3C.-4D.-5【答案】BC【解析】设/(x)=2+(m+l)+g,由OV再1W3,-l+w+l+-0可得/0255解得：tn,62得TM=-3或相=-4,故选：B
29、C.三、填空题14 .关于K的方程/+如+=o的一根大于1,一根小于1,则。的取值范围是：【答案】a-2【解析】关于X的方程V+t+l=0的根大于1,另根小于1,令/()=20r+l,则/(l)=2+0,求得a0由题意(l)=l-2+4:,2/(2)=4-4cr+40故答案为：(,+oo).16 .(2021上海复旦附中高一期中)若关于X的方程/一+2=0的一根大于一1,另一根小于一1.则实数&的取值范围为.【答案】(f,-3)【解析】由题意，关于X的方程/一京+2=0的一根大于-1,另一根小于1,设/(x)=x2+2,根据二次函数的性质，可得/(T)=4+30,解得-3,所以实数左的取值范围
30、为(y,-3)故答案为：(，-3).17 .(2020.上海.高一专题练习)已知集合4=1|(闪一3乂/+国一2/0,工/?,=x-0x-120,x/?,若AaB,则实数。的取值范围是.【答案】卜1【解析】由(国一3乂f+W-2)WO,彳“(H-3o成H-30fjx2+x-2Q2+j-20,解得1N3,所以集合A=x-3xT或lx3,因为AGB,令/(x)=X2-奴一12,f(-3)0f9+3fl-120则17)!。,即.332解得-11,所以实数。的取值范围是-15故答案为：卜1四、解答题18 .命题P：关于X的方程X2+zw=O有两个相异负根；命题g:Hre(0,+oo),x2-3ztv+90.(1)若命题q为假命题，求实数小的取值范围；(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数机的取值范围.【解析】(1)若命题q为假命题，则对Wxe(+0),2-3比+90为真命题；9.3mxx2+9，KRX+；XX+22Jx2=6(当且仅当X=2,即x=3时取等号)，.3
