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1、微专题18函数的应用【方法技巧与总结】知识点一、几种常见的函数模型1一次函数模型：y=kx+b（k,b为常数，4WO）2、二次函数模型：y=a2+bx+c（4,b,c为常数，0）3、指数函数模型：yba+c（4,b,c为常，数，。工0,。0且。工1）4、对数函数模型：y=/JilogrtX+n（?,为常数，m0,a0且l）5、哥函数模型：y=ax+b为常数，工0）6、分段函数模型：y=v+了214163664%O122.5853则反映y,%，y3随X变化情况拟合较好的一组函数模型是（)A.yi=x2,%=2*,y3=Iog2xB.=2x,y2=x2fy3=Iog2xC.y=Iog2x,y2=x
2、2fy3=2xD.y=2,y2=Iog2x,y3x2【答案】B【解析】从题表可以看出，三个变量%，%，必都随X的增大而增大，但是增长速度不同，其中变量凶的增长呈指数函数型变化，变量力的增长呈辕函数型变化，变量力的增长呈对数函数型变化.此外，也可以使用第五组数据代入检验得到答案.故选：B.例3.下列函数中，当X很大时，y随X的增大而增大速度最快的是()A.y=-exB.y=1001nxC.y=100xD.y=1002jf【答案】A【解析】由题意，当“很大时，指数函数增长速度大于一次函数的增长速度，一次函数的增长速度大于对数函数的增K速度，又e2,所以当X很大时，)随汇的增大而增大速度最快的是y二
3、+e故选：A变式1.下面对函数*)=g/,go)=(；)与心)=/在区间(。，田)上的衰减情况的叙述正确的是A. /(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，MX)的衰减速度逐渐变慢B. /(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，Mx)的衰减速度逐渐变快C. /(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，MX)的衰减速度逐渐变慢D. /(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，MX)的衰减速度逐渐变快【答案】C【解析】由函数)=g;,g()=(;)与心)=；3在区间(o,y)上的图象以及性质知函数/(X),g(x),MX)的衰减速度均逐渐变慢，故
4、选:CX-2-10123y0.240.5112.023.988.02则X,y的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中*b为待定系数）（）A.y=a+bxB.y=bxC.y=ax2+bD.y=-X【答案】B【解析】根据题表中的数据描点如图所示.yo对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，JA不成立；C是偶函数，x=l的函数值应该相等，,C不成立；*/X=OUt,2无意义，.d不成立；X对B,当x=0时，y=l,当x=l时，y=b=2O2,经验证它与各数据比较接近.故选：B.题型二：二次函数模型例4.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种
5、路面上某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速Mkmzh)满足下列关系：S=+急65.8(为常数，且N),做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中仁,145217S一二S210SO4070求的值；6+485749F14+17IO4(2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的最大速度是多少？2In4965.8【解析】(1)观察图象知，*=?+4,多=+:，而My510414s217c9550,因此0vu60,即v=60,所以行驶的最大速度是60k11Vh例5.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收40()X-r20X400(1)将利润/
6、()(单位：元)表示为产量X的函数(利润=总收益一总成本);(2)当产量X为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)依题意，总成本为20000+100x,当0400时，/(x)=400x-x2-I00x-20000=-x2+300x-20000,当X400时，/(x)=8(XXX)-100x-2(XXX)=600Oo-100X,八一/+300x-20000,0400-综上所述2,其中xN:60000-100x,%400(2)当0x400时，/(x)=-1X2+300x-20000=-(x-300)225000,当x=300时，/(x)m=25000；当x400时，f(x)=60
7、0700X是单调递减函数，.(x)=60000-100x(400)=20000平方米.(1)求y与X的函数关系式及X的取值范围；(2)当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？【解析】(1)SaE=TX2,因为48长为X米，所以DE=CK=X米，因为篱笆总长为54米，三处各留2米宽的大门，所以应：=54-工-2(工-2)+2=54-3工+4+2=(60-3力米，fxO由ZW氏为27米，墙ON足够长，可知kS解得：llxv20,060-327所以长方形ADEB的面积为BEAB=(60-3x)x=-3+60x,所以y=,2-3f+60x=-22+50,11X0,解得x2,xN*,.3,.3x5,x
8、N,当%5时，y=60-2（x-5）x-120=-2x2+70x-120,令-2f+70x-1200,其整数解为：2x33,eN,所以5vx33,XGN,所以60.I20,3x5,xeN-2x2+70x-120,5x33,xN*（2）对于y=60x-120,3x5,xwN*,显然当x=5时，ymax=I8O7,对于y=-2x2+70x-120,5180,考每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使日的净收入最多.题型三：分段函数模型例7.第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、。罗
9、的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为100o万元，每生产X千件装备，需另投入资金R（X）（万元）.经计算与市场X2+0v,0x80评估得Ra）=3052一27504+10000，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金,x80XR（Io）=2100万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.（1）写出2022年利润W（万元）关于年
10、产量X（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）（2）求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【解析】（I）由题意知，当X=IO时，R（IO）=IO2+13=2100,所以=200,当OxV80时，W=300x-(x2+200x)-100O=-x2+100x-100O；当80x150时，W=300a3炭华。KlOOoO-100O=*+275OoO一电。,XX-X2+100x-l000,0x80所以W=T；275。100oOTOoo,8OVE5O（2）当0xv80时，函数W在0,50）上是增函数，在50,80）上是减函数，所以当x=50时，W有最大值，最大值为15
11、00：当80x150时，由基本不等式，得W=一1+129）+1750-2x-+1750=1550,当且仅当I=W则时取等号，X所以当X=100时，困有最大值，最大值为1550；因为15001550,所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.已知总收益例8.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元,12400x-（）r400（1）将利润y表示为月产量X的函数/（力；（2）当月产量X为何值时，平均每件产品所获利润最大？每件产品的最大利润为多少元？【解析】（I）设每月产量为X台，则总成本为20000+100x,、-X2+300x
12、-20000(0%400)从而/(x)=J260000-100x(x400)（2）设平均每件产品的月利润为g（”）,300-(x+,0X4002%三-100,x400X当w0,400时，设任意的0mx2400,1000010000xlX?x=I(X2-X1)10000，xx2显然当AVX200时，g(x)-g(z)%10。时，g(x)-g(w)O,所以，函数g(n)在区间0,100上单调递增，在区间100,400上单调递减，当X=100时，g(x)取得最大值为200元；当400时，g(x)vg(400)=50,V50200,所以当Ar=100时，平均每件产品所获利润最大为200元.例9.我国某
13、企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产X(千台)电脑需要另投成本7(%)万元，且av2+100x+1000,0v40,Ta)=100OO八八另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售60Ix+7450,X40,X出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润W(X)(万元)关于年产量X(千台)的函数关系式；(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【解析】100Oo台=10千台,则(i0)=4+2,根
14、据题意得：0.6xl0000-l00-2000-1350=1650,解得=10,当OVXV40时，VV(x)=0.61(XX)x-1350-1Ox2-100x-1000=-1Ox2+500x-2350,当x40时，100(X)1Oof)OW(X)=0.61000x-1350-601x-+7450=-x+6100,XX-10x2+500x-2350,(Xr40(2)当0x3900,故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5900万元.变式4.为了解决受新冠疫情影响，文具用品滞销的问题，文具店老板利用某直播平台卖货，销售的文具主要有圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔，价格依次为2元/
15、支、10元/本、14元/个、25元/支.为了增加销量，老板决定对这4种文具进行1次优惠大促销：优惠活动，提供满50元减4元的优惠券，优惠券可叠加；优惠活动，提供买1套文具(包括1支圆珠笔、1本笔记本、1个文具盒、1支钢笔)减X(0x2h+bc+由题意得I,ca+3da+得3J2+22(c+l)+2=2c+42(d+l)+4=2d+6,得d6,所以c7,08,a17.当乙、丙购买的文具总数最少时，=17,b=8,c=l,4=6.未选择优惠活动之前，文具总价格为17x2+8x10+7x14+6x25=362元.350方案1：乙、丙一起购买，选择优惠活动，可以优惠三x4=28元.方案2,乙，丙一起购
16、买，选择优惠活动，可以优惠6x6=36元.方案3：乙、丙分开购买，因为优惠活动的优惠力度更大，所以安排1人先购买6套文具，选择优惠活动，另一个人购买Il支圆珠笔、2本笔记本、1个文具盒，选择优惠活动.因为11x2+2x10+14=56,所以可以优惠6x6+4=40元，此时乙、丙花费的总费用最小，最小值为362-40=322元.故方案3最省钱，乙、丙花费的总费用的最小值为322元.题型四：分式型函数模型例10.甲乙两地相距5000km,汽车从甲地以Vkmh(60u120)的速度匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为元(0144),可变成本与速度V的平方成正比
17、，比例系数为h已知当速度y为60kmh进行行驶时，每小时运输的可变成本的36元，设全程运输成本y元.(I)求全程运输成本y关于速度V的函数关系式；(2)为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【解析】(1)由题意可设每小时运输的可变成本为人=加2,因为当速度U为60kmh进行行驶时，每小时运输的可变成本的36元,所以有36=/3600=Z=OO1,即6=0.01/,因此3,=222(4+o.o内=222E+5oU(6ovi2o)_500Oa+(2)因为一一ZEO10而上单调递减，在1而三12上单调递增,所以当lG6O时，即当36144时，有5000“、C/500OaUC/y=+50v2J5
18、0v=lOOO4VYV当且仅当亚曳=5Oy时取等号，即当V=IO石时取等号，V当l()G0由900c八，可得x(8,450);20X771111f(x)=-2x+916656(2)由X,可得/-130x+360040,解得40x90,即室内长X的取值范围为40,90(单位m).变式5.近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，宁夏政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业国庆节期间加班追产提供MXS0,20)(万元)的专项补贴.A企业在收到政府X(万元)补贴后，产量将增加到f=(x+
19、2)(万件).同时A企业生产f(万件)产品需要投入成本为7r+2xj(万元)，并以每件(6+邛)元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本(1)求A企业国庆节期间加班追产所获收益R(X)(万元)关于政府补贴X(万元)的函数关系式；(2)当政府的专项补贴为多少万元时，A企业国庆节期间加班追产所获收益最大？f6+4ovr6+jovx+2)【解析】(1)由题意，销售金额：(x+2J(万元)，政府专项补贴：X(万元)，成7z+-+2=7(x2)-+2本：fx+2(万元)./4072l77所以收益R(X)=I6+3J(x+2)+x-7(x+2)+-+2x=38-2X-篇，x,
20、2.R(X)=38-2a-=42-2(x+2)-=42-2(x+2)+r0由可知Jx+2x+21.x+2jrxp,20J其中2(x+2)+号2j2(x+2)9=24,当且仅当2(x+2)=热，即产4时取等号，所以7?R(X)=42-2(x+2)+-42-24=18,所以当I时，A企业国庆期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元，即当政府的专项补贴为4万元时，A企业国庆期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元.题型五：对数函数模型例13.某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙
21、空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：U=GIn皆，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中。为喷流相对火箭的速度，人和外分别是火箭的初始质量和发动机熄火(推进剂用完)时的质量，tnk被称为火箭的质量比.某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度(保留2位有效数字)；(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10.如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由.(参考数据：ln20.69)【解析】(1)由题意，3=2,)=160
22、,矶=40,V=tyIn=2In=2In4=4In22.8,?40该火箭的最大理想速度为2.8千米/秒.10v=27927=128：7.9=Ine79Inl28In100=21n10.即%x=21nlO),y=k1.2x+b(k0)ty=-og2行+2j+(Z0)供选择.（1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：21.414,结果保留整数）【解析】（1）第一步：分析题中每个模型的特点对于模型当k0时，匀速增长；对于模型二，当攵0时，先慢后快增长；对于模型三，当左0时，先快后慢增长.第二步：根据题中
23、材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选y=8og1+2）+.第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式k+n=0fA+w=0将（0,0）,（30,3）代入解析式得到八ZI、，即,Zclog24+/?=32k+n=3解得2=3,=-3,即y=31og?（石+2j-3.第四步：验证模型是否合适当X=90时，y=31og2（6+2）-3=6,满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为,7log?信+2卜3.y=3log,f+2)-34.5log,f-+212.5=log,22由P5),得U5)V5得卷+222=4=5.656,得x54.84,所以
24、每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.例15.某集团公司为鼓励下属企业创业，拟对年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金丁（单位：万元）随年产值X（单位：万元）的增加而增加，但奖金不低于7万元，且不超过年产值的15%.(1)若某下属企业年产值100万元，核定可得9万元奖金.试分析函数模型y=f(x)=lgx+依+5(左为常数)是否为符合集团的奖励原则，并说明原因；设。0,若函数模型g(x)=一符合奖励原则，试求的取值范围.参考数据：lg203.Xo【解析】对于函数模型yfg+h+5M为常数)，当X=100时，y=9,代入模型解得所以/(x)=Ig%
25、+x+5,奖励原则为：/(X)在区间50,500上递增；71(x)V015x恒成立，当x5O,5OO时，模型是增函数，符合奖励原则；当x=50时，/(50)=lg50+6=8-27.77;0.15x=0.15x50=7.50,故函数g(x)在(-8,+)递增，则在50,500递增，符合奖励原则；由奖励原则得g(x)max=g(50)7,即15-里普7,解得344;又由奖励原则得g(x)015x,即”Y0.15x在50,500恒成立，x+8即货-276x+200,20-3/+276x,()=-3+276x,则抛物线y=力(%)开口向下，对称轴为X=答=46,O所以当xe50,500时，A(X)n
26、ttx=(50)=6300,由2*6300得.315,综上，315344.所以。的取值范围是315,344.变式6.近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑M空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=%ln一计算火箭的最大速度u(单位：ms).其中%m(单位ms)是喷流相对速度，小(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，4称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000ms.m参考数据：ln230=5.4,1.648ve05-27小27m27mm因为1.648es1.649,所以44.49627e$
27、44.523,BP44.496TO,且81);y=logx+b)(0,且al).(1)选择一个恰当的函数模型来描述X，y之间的关系，并求出其解析式；(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.【解析】(1)由表格中的数据可知，年利润y是随着投资成本X的递增而递增，而y=r十是单调递减，所以不符合题意；将(3,1),(5,2)代入)，=6/(4声0/0,旦人为)，当冗=9时，y=2=8,不符介题意;将(3,1),(5,2)代入y=log(x+b)(0,且l),y=log2(-l).当x=9时，y=Iog28=3；当X=I7时，y=Iog216=4.故可用来描述My之间的关系.
28、（2）由题知g2（xTR6,解得xN65.年利润占0,l）与y=pT+q（pO）可供选择.（1）试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；（2）问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍.（参考数据：21.4H31.73,Ig20.30,Ig30.48）【解析】（1）因为函数丁二履/mi）中，随X的增长而增长的速度越来越快，而函数y=p6+q（p0）,y随X的增长而增长的速度越来越慢，故由题意应选y=S（A0,l）；则有上解得I500,ka=240k=3.y=522i2”,xeN*；3（2）设经过X年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2
29、倍,则跑x1.2=2迎XlW,即INI=2,33/.X-2=Iogj2Ig2Ig20.3Ig1.221g2+lg3-l0.083.75,%6,故大约在2022年三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍.例17果园A占地约3000亩，拟选用果树5进行种植，在相同种植条件下，果树8每亩最多可种植40棵，种植成本V（万元）与果树数量X（百棵）之间的关系如下表所示.X14916y14.47.811.2（1）根据以上表格中的数据判断：），=公+与y=c7+d哪一个更适合作为丁与X的函数模型；（2）已知该果园的年利润Z（万元）与乂的关系为z=2y-0.1x,则果树数量X为多少时年利润最大？【解析】若选择
30、y=r+力乍为y与N的函数模型，将（li）（4m4）的坐标分别带入，得=a+b4.4=4力解得17215172.,.y=X1515止匕时，当x=9时,y=-0.07t15当X=I6时，y=18,与表格中的7.8和11.2相差较大,所以y=奴+不适合作为y与X的函数模型.若选择y=c7+d作为与X的函数模型，将（1,）（4,4.4）的坐标分别带入，得1=c+J4.4.2解得17T12,-T17r12.y=x55此时，当x=9时,39_2y=g=7.8，当X=I6时，y=g=11.2,刚好与表格中的7.8和11.2相符合,所以），=Cy+d更适介作为Jljx的函数模型.（2）由题可知，该果园最冬120000棵该目种果树，所以确定X的取值范围为1J2,y=-y-Vx-yW,z=2)一0.1%二个一心一%=一51%一68+48)令7=f(f2(3),则z=-(产-68/+经计算，当t=34时，Z=-A（/-68f+48）取最大值110.8（万元）,即，X=II56时（每
