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1、（重庆沙坪坝八年级重庆南开中学）如图,在AA8C中.。为AC上一点,E为AB卜一点.BE=2AE,连接8。，CE1交于点凡芯SelBEF=S0c.SttABC=18,WU八8。的面积为（【变式3/M2O23存八年级单元测试如图Il8C,A8。的面积等于4,AZ=2,BC=6,则AQC8的面积是【变式3-2（2023春重庆渝中八年级重庆巴蜀中学校考期末如图,AABC中，点D为AC边I：一点,满足4。=3DC,连接80.点E为8。中点,连接AE.若AAE。的而枳是3,则AABC的面枳是.【变式3-3J（2023春,全国,八年级专题练习）如图,在三角形ABC中,AC=3AE,三角形A8D的而枳是；.
2、角形ADC面枳的2倍，则阴影郃分的面积占.角形48C面枳的.【例5】（2023春浙江金华八年级统考期中）如图.SD是AABC的中线，点E.F分别为RD-CE的中点,若A八伙的面积为12.则八斤产的面积是【题型6三角形的中线与周长的计算】J6人教版（2012八年级上册第十一章三角形检测卷）如图MASC的周长为27,AC=9.8C边上的中线A=6.ABE的周长为19,求AB的长.【变式6*1（陕西省西安市曲江第中学2O2I2O22学年八年级下学期期中数学试SS在AABC中，BC边上的中线4。将乙ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm,/13与4C的和为Ilcm,则AC的长为.【变式62】（云南省
3、昆明市官渡区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）BlABC的周长为37sn,AD是BC边上的中线，C=AB.3（1）如图.当AB=ISCTn时,求BO的长.（2）若AC=I4cm,能否求出。C的长？为什么？【变式&3】（广东省广州市南沙区实验外语学校2022-2023学年八年娘上学期开学质/检测数学试双）如图,在AAHC中（AC4B）,AC=2BC.BC边上的中线AP把AABC的周长分成60和40两部分,求AC和AB的长.【例I】（2023春.湖北荆门八年级校联考期末如图.在AA8C中,ZC=Kr.沿图中虚线能去NC.WJZ1+Z2=（）【变式1-1（2023春八年级单元测试）如图
4、所示，ZAAE的两边上各有一点B,C,连接BC.求证的C+1.ECB=1800+A.变式1-2（2023春常州期中）如图,IAM中,ZB=680.NA比NC大28。.点。、E分别在AH、RCk.连接DR7DEB=42.（1）求NA的度数：（2）判断。“与AC之间的位置关系.并说明理III.【变式1-3（2023苹江苏秦州八年级校联考期中）如图,己知2=40%则+42+43+4的度数为.BDH型28字模型】【例2】（2OIS-2O16学年北京市怀柔区八年级上学期期末数学试卷（带解析）如图是由战段AB.CD.DF.BF.CA组成的平面图形.ZD=28*,则乙4+48+4C+NF的度数为（.62,B
5、.152C.208D.236【变式2-1（2013-2014学年初中数学苏教版A年级上册第章练习卷（带解析）如图.RCADE.且CA）=l0o,BD=25,ZE4=l20o.求/OF8和/OG8的度数.【变式2-2】2023MI匕统考中考0遨下图是可谓娥椅示意图（数据如图），AE与8。的交点为C,且U,ZB.4保持不变.为了舒适，需调整4。的大小，使回）=110%则图中D应（填“增加”或“减少”）度.Kfl三5风拿模型】【例5】（2023群农庆渝北-八年级校考期中）如图,将AABC沿着DE翻折堆B点与B。点重合.若NI+N2=8O。.则NB的度数为）C【变式5-1（2023春八年级期末）如图，
6、把A/VJC沿EF对折，叠合后的图形如图所示.若Z=550,Z1=95,则N2的度数为（）.C【变式5-2】（2023春八年级期末）如图,三角形跃片48C中,NA=65,/8=75,将“沿OEfiS折，使点C落在A4BC外的点C处.若41=20。，则42的度数为.【变式5-3（2023春全国八年级专区练习）如图.扬AABC纸片沿。E折会,使点A落在点4处，且48平分NA8C,AC平分NAC8,17ZfiA1C=120.则N1+N2的度数为（）【类型I与三角形有关的角的计第】1. （2023春甘肃兰州八年级兰州十一中校考期末如图,48C中,A=35o.ZB=65。,CE平分44C3,CDJ.48
7、于。，OFl.C于F,求zTD尸的度数.2. （2023春四川达州八年级校联考期中）如图.在AABC中，AE为BC边上的高，点。为BC边上的一点，连接40.当AD为BC边上的中线时，iAE=6.AZIB。的面积为30,求CD的长:（2）当AD为C的角平分践时,2；NC=66。，/8=36。，求4fME的度数.3. （2023春安徽淮北A年级校考期末）如图.在AA8C中,OElA8千点E.DFlBC干点F,且DE=DF,CD平分1.BDC=135.(1)求408尸+4。尸的度数：(2)求，4的位数【变式1/】(2023春江苏盐城八年级统考期中)已知即4C为AA8C的三边长,b,C满足b-2+(c
8、-3)2=0.且为方程-5=1的解,则aA8C的周长为.【变式3-1(2023春八年娘课时练习如图，等边38C中,AOB=H5,BOC=125,则以线段04,08,0C为边构成的三角形的各角的度数分别为.变式4-1(2023浙江八年级假期作业)如图,在AA8C中，AB=AC=9,点在边AC匕AE的中垂践交8C于点。，若NADE=NB,CC=38。，则CE等于(例82023春浙江八年级期中如图，AABC的外角/DAC的平分跳交BC边的乖在平分线于P点,PD_1.AB于D.PEACE.求证：BD=CE:2若AB=6cm,AC=IOcm,求AD的长.D1【变式8I】（2023春八年级课时练习）如图,
9、ABC的外向/AC/）的平分线CP与内的/ABC平分线8P交于点P,若/8PC=36。，则NCAP=.【变式8-2】（2023春江苏八年级专题练习）如图.1.ASC中.AB=AC.NfiAC=OO0.CD平分AC8,BECD,垂足E在CO的延长线上.求证：BE=JD.【变式9-1（2023浙江八年级假期作业）如图.在RCAABC中,AB=AC,ABC=1.ACB=45.。、E是斜边BC上两点.1.UDAf-=45.i,BD=3.Ct-=4,Sc,de=15.则A4HD与AEC的面积之和为（）D【变式2-12023春硼北武汉八年级校考期末）如图，等腰直角AABC中C=BC,1.ACB=90。.。
10、为8C中点,AQ=6.为A8上一个动点,当P点运动时.PC+PD的最小旗为.【变式1】（2023春广东湖州八年级统考期中）如图，十个电子数字图形中，有个是轴对称图形.I53H5E103D变式1-3（2023春宁肛石嘴山八年级统考期末）在线段、角、长方形、梯形、三角形.等边三角形中,是轴对称图形的有个.确定轴对称图形对称轴的条数】（M2（2023春广东八年级统考期末）下列轴对称图形中，对称他最少的是【变式24】（2023春云南大理八年级校考期中）下列各项中是轴对称图形,而且对称轴最多的是（）A,等腰梯形B.等,核出角三角形C.等边一:角形D.直的二.用形【变式2-2（2023春山东德州八年级统考
11、期中）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图I的正方形放在图2中的某一位置.使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，井且有两条对称轴，这个位置是（）A.B.C.D.【变式2-3（2023春广东广州八年级广州市第四十一中学校考期末）轴对称图形都仃自己的对称柏，请你尝试写出：只有1条时称轴、只有3条对称相、有无数条对徐轴的平面图形名称、.1例3（2023春福建龙岩八年级校联考期中）假定某天上午你在镜子里看到的时钟如图所示,则此时真正时间是.【变式3/】（2023东河北石家庄八郎级统考期中）小强从钺子中看到的电子去的读数如图所示，则电子表的实际读数是（）IS7DI.15：01B.10：51C.
12、10：21D.10；15【变式3-2（2023春.安筑淮北.八年级统考期末）小明在镜中看到身后塔上的时钟,实际时间最接近8时的尼卜图中的（）变式3-3】（2023春江苏扬州八年级统考期中）如图，是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数.这时的实际时间应该是.I5I94轴对称的操作应用【例4】（2023春河北保定八年级统考期末如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下-个角.内符剪下的用展开.得到一个四边形,根据图中所给数据,下列判断正确的是（）甲：展开后的图形是正方形：乙：展开后的图形的面枳为64A.只有甲对B.只有乙对C.甲、乙都时D.甲、乙都不对【例7】（2023格广东珠海八年级统考期末）已知UO8
13、=30。,在U08内有一定点P,点/.N分别是。408上的动点，若APMN的周长最小值为3,则。P的长为（）D.3【变式7-2(2()23存.陕西八年级校考期中)如图.点。是乙4CB外一点.点D.分别是4AC8两边上的点，点尸关于C八的对称点P1恰好落在我段ED上，点P关于。的时称点PZ落在ED的【变式84】(2023春浙江宁波八年级校考期末如图,三角形纸片A8C,点。是8C边上点，连结AD,把/13。沿着4。出!折，得到4AE0,DE与4。交于点若点尸是。E的中点，AD=B.AADF的面积为12,则点B、E之间的矩徭为.【例2X2023春湖南八年级期末)如图，在AA8C中，4=45。,点。在
14、JW边上,8C=CD,DEIAC.BF1.AC.垂足分别为F.(I)求证ADCE三CBFi(2)若A3=AC,求证。=：。8.【变式3“】2023春河北加台八年级校联考期末)如图，在AAHC中.AH=AC.AD是AABC的中线，边ZlB的垂直.平分找交AC-F点E，连接8E.交4。干点F.若4。=66。,则UFE的度数为()【变式32（2023乔山西临汾八年级统考期末）如图，在4/1BC中.AB=BjSAABC=3cm2,边BC的垂Il平分线为/,点。是边AC的中点，点?是/上的动点，当4PCD的周长取最小值【例7】（2023春江苏扬州八年级统考期末如图,在A1BG,4HC的平分线BD交4C边
15、于点。，八18。于点.已知418C=60。,1.C=45.求证：AB=BD,（2）设BO与AE交于点兄求证：CE=BF+EF.【变式7-1（2023春天律八年级期中如图：E在AABC的AC边的延长线上，AB=A如。点在A8边上，DE交BCTEF,DF=EF,求证；BD=CE.【例8】（2023春山东聊城八年级校考期末）如图，AD为A48C的角平分线.如图I.若CEJMP于点F,交AB于点E,A8=8,AC=5.求BE的匕.(2)如图2.若ZC=2/8,点EtEABt,HAE=AC,AB=a,AC=b.求CD的长:(用含。、b的式子表示)【变式8-l（2023春浙江金华八年级浙江省义乌市科江中学
16、校联考期中）如图.上午8时,-艘船从A处出发以15海里J、时的速度向正北肮行，IO时到达8处，从AB两点中灯塔C,刈得/N4C=35,/.NBC=70,则B处到灯塔C的距离为）【变式8.2】（2023有湖北寝阳八年级校联考期中如图,将张长方形纸片月BC。按图中那样折段，若A=5,AB=12.BE=13,则垂段部分（阴影的面积足_.变式8-3】2023春辽宁盘锦八年级校考期中）如图,CE平分C8且CEJ.DB于EZDAB=ADBA,又知AC=I4,ACPH的周长为22.则DB的氏为（）A.6B.7C.8D.9【例11（三3春福建厦门八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图,己知等边三角形N8C中,BD
17、=CE.AO与BE交于点P.APE=.【变式I-IK2023存四川成都八年级成都实外校考期末）己知：如图，点E是等边三角形48C内一点且EA=E8.AABC外一点。满足8。=AC.BE平分4DBC(I)R证：DBE三CBEi(2)求/BDE的度数.【变式1-2】（2023春四川成都八年级校考期中如图，AHBC为等边三角形，点。是8C边上异于8.C的任意一点，。，48于点DPlAC于点足若8C边上的褊线/1M=2,则Df-+DF=【变式1-32023春渐强与1木齐八年级乌6木齐市第70中校考期末如图,已知等边三角形ABC的边长为m,过48边上一点P作PE1AC千点E.Q为BC延长线上一点.取PA
18、=CQ.连接PQ，Me于M.则EM的长为.【例2】（2023群河南周”八年级校考期中）如图,AABC是等边三题形,延长BC到E,使CE=BC,点。是边AC的中点，连接ED并延长交AB于点F.(2)连接80.求证：BD=DE.【变式24（2023春海南省直辖县级单位八年级统考期末如图，AA8C是等边三角形,8。是而线，延长SC到使CE=AZ）.证明:BD=DE.【例I】（2023春江宁阜新八年级统考期末）如图,在BC中，A8、AC的垂立平分线分别交BC于点E、F,若aA8C的冏长是20,48=4,AC=7,则A4EF的周长为（）7/BE/FCA.4B.7C.9D.Il【变式1-1（2023东四川
19、成都八年圾校考期中如图，AABC中,C的角平分戏8。和AC边的中垂戏。E交于点D.DM184的延长线于点/.DN18C于点N.若AB=3.BC=I.则的长为一.变式1-2（2023春福建福州八年级校芍期中）如图，ABC.AD平分/B,DGJ.HC且平分BC.OElAB于.DFj.AC于F.如果48=5,AC=3.则AE=.【变式2-1（2023裕江西九江八年级统考开学考试如图,在AABC中.AC=4.BC边上的垂直平分线分别交HG4BF点。、E若AAEC的周长是II.则直线DE上任意一点到A、。距周和最小为（）.28B.18C.IOD.7CJBSI3利用线段垂直平分线的性项求角度】【例3】（2
20、023春福建宁修八年级统考期中）如图,在AABGM点M.N为AC边上的两点，AM=NM.BMIAC,ND1B（:于盘D,RNM=ND,XUA=a.则“=（）A.，B,900-C.120o-xD.2a-900（A3-（2023春安徽池州八年级统考开学考试如图，AABC中,BD平分48C,HC的中乖线交8C于点,交80千点F,连接CF.若=60。,4ACF=48。,则ZJ18C的度数为变式3-2】（2023春四川甘孜八年级统考期末）如图，在AABe中，M=32。，48Ae的平分线AD交BC于点D,若DE垂直平分4B.求4。的度数B9利用角平分线的性质求长度】【例1】（2023春辽宁丹东八年级统考期
21、末如图，AC平分/DdH.CE1AB.BC=DC.A.13B.12C.11D.10【变式1/】（2023春贵州八年级统考期末）如图，已知4BICD,射线AE平分48AC,过点E作EH1AC千点H.作尸1AB千点A并延长FE交Co干点G.连接CE.若UEC=90。，EH=1则FG的长为.变式1-21（2023春福建漳州八年级校考期中）如图，A8C中,1.A=90。，CD是A8C的角平分线，DE1BC于点E.若48=8cm.AC=6cm.BC=10cn,则A80E的周长是_cm.变式1-3）（2023春秋西西安八年微陕西师大附中校考开学考试）如图,RtA8C中，=90.AB=AC,448C的平分设
22、BO交4CF点D,CEJ1.BD,交8D的廷长线于点E,TiBD=5,则CE的值为.fl2利用角平分线的性质求面积】【例2】（2023春陕西西安八年级校考期末）如图.已知AABC的周长是18.OB.OC分别平分ZB。和A4CB.OD1BC于I）,且。=2,则AABC的面枳是.9C.18D.36【变式2-1】2023春河南洛阳,八年级统考期末）如图,已知在48C中,CD通4边上的高.13戌，BE平分/ABC,交CDF点E,BC=10.DE=3.则8CE的面积等F()D.30【变式2-2】12023春福建福州八年级校考期中）如图,B=C=90.AE平分48A0.DE卜分4DC,TiSaCD：S1i
23、BE=2；3,则&AOE:SaDCf：=1【变式2-3】（2023春山东枣庄八年级校考期末）如图，AD是乙48C的角平分找，DF1AB,垂足为FDE=DC.AACG和AEFD的面积分别为SO和4.5.则AAE。的面枳为.【题型3利用角平分线的性质证明】【例3】（2023常四川绵阳八年级校考期中）如图,己知“=60。，AMBD是AABC的角平分线，且交于点R直接写出/OPE=：（2）求证：PO=PE;【变式4-3（2023帑广东广州八年级校考期中）如图.四边形4BCD中.BC=CD.1.BCD=120o.E.F分别为48.ID上的点,NECP=乙4=60。.(1)求证：EF=BE+DF.(2)求
24、证：点。在48A0的平分线上.【知区点3角平分线的作法】以。为圆心，适当长为半径行弧，交OA于D,交OBFE.分别以D、E为留心，大于;DE的长为半径硒弧，两孤在NAOB内部交于点C加射线Oc即射线OC即为所求.95尺规作角平分微】【例S】(2023东山东滨州八年级统考期末)如图，在48C中，BD是高,8是角平分找,EBD=10o.1.C=60.（1）尺规作图保府作图痕迹：作A8E。的角平分线Ea（2）在满足1的条件下，求证:EFIlAR.变式54】（2023春峡西西安八年级西北大学附中校考期末如图，1.ABC.1.C=90%请在AC上找一点。,便点。到川?的距离等于6.（尺规作图,不写作法,保留痕迹）变式5.22023春山东青岛八年级统考期末（D作图（请用直尺、囤规作图，不写作法，但要保用作图狭选）已知：RtAOB.Zfi=90.求作：射践OC,使射线OC与AB交于点C,W.Z.AOC=B0C.
