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1、专题05一元函数的导致及其应用(知识榄理)一、基本概念1、导数定义：函数y=f(r)在K=内处的瞬时变化率Iim半=Iim竺)二依)我们称它为函数y=f(x)moAx*or在X”处的导数.记作小)或门即八钎配好蚂Z纥铲地附注：导数即为函数y=M在X=%处的瞬时变化率：定义的变化形式:/=M包=随四匹3旦：rOAI5O/(X)=Iim生=IimZ)：f,()=Iim；tox,1与x-三o-v=.t-xn,当Atfo时，x1.fix=Iimcn-zc-*X-X1)求南救y=()在x=%处的导数步骤：“一差：二比：三极限2、基本初等函数的八个必记导致公式原函数守函数原函数导函数/(x)=C(C为常数
2、)JC(K)=Of(x)=x(neR),(x)=11Z-/(x)=sinX/(K)=OOSX/(M)=COSX八X)=-SinX/()=*(OJ1.f1.1.),(x)=xIna/()=1.og,1Ar(0且。WI)D=：1.og”/Ct)=f)e1.f(X)=InXf()=X3、导致四则运算法则(1.)(.v)S(X)/=.fx)g,(.r):(2(x)g(A)f=,(.t)(.v)+(.r)():(3)三r=毕二迎父(0.g(x)g(x)f特别提示：CJ(X)I=C/(X),叩常数与函数的枳的导致.等于常数乘函数的导致.4、复合函数的导数(1)发令函数定义：一般地对于两个函数=/(刈和“=
3、g(x).如果通过变笔“，),可以表示成X的函数，就称这个函数为y=(x)和“=g(x)的复合函数,记作y=/g(x)(2)更合函数求导法则：发台闲数y=K切的导数和函数y=x)、“=g(x)的导数的关系为兄=MM,即,对X的导致等于)，对的导数与“对X的导数的乘积.例1-1.求函数y=3在x=1.处的号数.分析：;Rf=v=(1.+A)-(1.)=6v+(Ar,再求包=6+Ar,再求IimV=6.Ar瓜MAr【解析】y,r.1.=Iim-力-=Iim-=Iim3(x+1)=6.IX-JIX-IXT例12求导,f(x)=c：/(x)=x:“)=./(x)=1./(x)=J.Xr1.1.-1zi
4、xv/(x+a)-(x)c-c.C,、1.y1.八八【解析】一=2=0,f(x)=Iim=Iim0=0：ArAVAK小田Ay,a-v.v+x-xI”,.r1.11s-=1，f(X)=Inn=Inn1=1：ZAKZfoAVt)=(X+)=Zt+Arf,(x)=Iim=Iim(1.r+zV)=2x：ATxvoAtr-M)IJ生=一+馍_=-!,ff()=)in-=Iim(；)=一一：ZAt*+-XZTI)ZUavoxx丁1.+-7xI.,.y1.1I-,=尸j(x)IimIim-=1.xx+Ar+x.nx2*x+x2x变式11.若物体的运动方程是Nr)=sinr,则物体在r=2时的瞬内速度为().
5、A、cos2+2sin2B.2sin2-cos2C、sin2+2cos2D、2cos-sii)2【答案】CftHf1.V(f)=f,sinr+r(sinO,=sin+cos,y(2)=sin2+2cos.故选C变式1-2.如果函数刈=/+,+5,W1./(1)=().XA、0B.1Cx5D,不存在【答案】B【解析】(x)=2x-p-.AD=I,故选B.例13.函数)=史的导数是.X答案M型、吧小rah-.rCOSX.(cos.r),x-COsx.v,-xsinx-cos.t【解物】F=()=；=；X尸x变式13.函数fix)=-r-!一的导数是.r+2.t+1._32-，答案J：一,(+2x+
6、1.)2tI(XJ+2.v+i),-3.r-2【解析】5谟HW诲K变式设则).-2xsin-(1-2)s.rsin2xB、-2,rsin.r+(1.-2)xsin2xC、-2xsin.v+(1.-x)D、-2XSinK-(I-TSinX【答案】A【解析】,(.v)=(1-),sin-(1.-A)(sin)-2xsinx-(1.-.r*)cos.vsin2.r.故选A.变式1-5.函数/(x)=(2x+1.)/的导函数为/(X),则/(0)=().A、0B、1C.2D、3【答案】D【解析】fx=2r,+(2x+1)=(2x+3)在x=0处的导致为【答案】a-b【解析】Vy=x3-(a+b)x+a
7、hiy=2x-(a+b),ytr=20),且门=5,则实数4的值为().C、2【答案】B【解析】/=(1-Or)2+XHI-Oo2y=(i-0x)2+x.(i-2ax+a2x2),(1.-0r)2+x(-2a+2aix)./Ir32=5,即3-2-1.=O,V0.=1.故选B.变式1-7.求号：(1=1.an.r:(2)y=(.t+1.)(x+2)-(.r+3).ruzz.,.,sin.t,(sinx),cos.v-sin.v(s.v)foosA+sin.r(解析】y=(tan.r)=()=i；i-;sXsXctwCKs*.v(2)Vy=(x+1.)-(.t-*-2)(x-*-3)=x5-*-
8、6.r+i1.v+6.：y=3x21.2x+H.能力提升:已知函数/仕）=i(x2+iXx1.)-,判断/(x)在x=1.处是否可导？Ct+1.)(1.)分析：分段函数在“分界点”处的分数，须根据定义来判断是否可机i(1.+r)+1.-1.(i2+1.)1.(i+t+1.)-+1.)【解析】Iim-x-Iim-2-=1.Iim=Iim2-toAxto-x*Arz-*rAt/（K）在X=I处不可导.注意：ZtOJ指小逐渐减小趋近于0：AYTO一，指Ax逐渐增大趋近于0.点评；函数在某一点的导数，是一个极限伯，即Iim四上839，rO.包括加TO与Ar（,因IO,此,在判定分段函数在“分界点”处的
9、导数是否存在时.要物证其左.右极限是否存在且相等.如果挥存在且相等，才能判定这点存在导致,否则不存在导数.讲解：函数在定义域内的导致可能没育意义，但是函数有电义：例如人工）=五，则r（K）=.X=O在函数有意义，在导函数无意义.导数是切线的斜率.如果区函数某点的切线垂直与X轴，则导致无意义.但是原函数值是存在的.例1-5.函数/(x)=(2+vV的导致为.【答案】,()=6+12.【懈析】/(X)=.?+4/+4,则J(x)=6k+I2/.变式I-8.己知y=(1.+cos2x)2,K1./=.【答案】-4sin2M1.+cos2x)解析设)=ui.11=1+cos2.则y=y,=乂=2m(1
10、+oos2x),=2w(-sin2x)(2x)=2y=/(7.r2+1.).(1.+x)cosx【解析】（I）F=(I-.t)(1.+x)oOSx-(I-)(1.+Kr)COSKr(1.+.t2)2cos2一(1+./)cos-(I-N)K1+/)oos+(I+Kr)(CoSx)(1.+x2rcos2x一(I+./)COS一(I-x)2x8x-U+r)SinK1.(1.+x1)s2-r(.d2x-I)CoSA,+(1-KXI+xsin(1.+x2)2coe2x(2)y=ui,w=r-Asin*r.n=sinr,n=tax,yt=(m/=3mm.u=(tx-6sir(av)/=-sixcosce
11、u=-Zxosin2HY=,(-v22x=f,(yx2+1),；7I2=(Jx，+1)：解法二：y=/(77T)r=,(7T)(7ir=,(7i)1.(+3(x2r=,(x2+1)I(.r2+1112.r=Nj一,(+1.).二、导致的几何意义1、切跳的斜率：函数/(X)在/处的牛数就是曲畿/在点f(M)处的切线的斜率，因此他戏f(x)在点P处的切就的斜率Ji=/1.。)，相应的切线方程为)/(%)=,(x0)-(x-.1).例2-1.曲线y=-22+1在点(0,1)的切线斜率是().A、-4B、0C.2D、不存在【答案】B【解析】点在曲线上A=r(0)=-4x,11.=0.故选B.变式2-1
12、.曲线)，=呆在点岭处切线的倾斜角为(A、-4B.0C*-4D、史4【答案】C【解析】点在曲线上K=(D=x=1.,故选C例2-2.曲线y=x(31.n+1.)在点(IJ)处的切线方程为.【答案】4.v-y-3=0【解析】y=31.nx+4,故y,=4,又点(1.1)在曲跳)，上，曲发在点(1.1)处的切i方程为)，-1=t-1.),化为一般式方程为4-y-3=0.总结：求的线切线方程关键点：利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线斜车或曲筏上某点坐标或过某点的切线方程,求解这类问遨的关城就是抓住切点P(b,f(),2点坐标适合曲线方程：。点坐标适合切线方程：P点处切线斜率为A=(G变式2-2.
13、已知/U)为供函数.当x0时，/(X)=O时,-xO时,(.v)=e-,+1.,又点(1,2)在曲线y上,则曲跳V=/(x)在点(1,2)处的切线的斜率为/(D=2,，切线方程为)1-2=2(-D,即2x-=O.例2-3.己知点Z)(T.1)，点024)是曲线)，=/上的两点，求与直践也平行的曲践的切i方程.【答案】4x-4y-1.=0【解析】y=2x,设切点为A”/.),则yk%=24,.j的斜率K=M=1，又切线平行于做，*=2ji=1.I.1=-1切点(1J)所求直线方程为4x-4V-I=0.224变式23由曲线=1在点(Ij)处的切线与K轴.出纹x=2所阚成的三角形的面积为.【答案】：
14、【解析】.F1.=32,=3,.切线为y=3x-2,如图,IOftA(：.O),(2,4),5=-(2-)4=.例24函数f(x)=x3-2-x+1的图像上有两点A(OJ)和刖Q),在区间(Oj)内求实数，使得函数/(X)的图像在x=“处的切段平行于苴线AB.【解析】,(x)=3.v2-Zv-I.Aas=/（八）=3?-2z-1.=-1.(Otr在点(1加处的切观方程是x-y+1.=O,则().A、=_1h=-2Bxu=-1.b2C%。=1,=-2D、a=1,b=2【答案】B【解析】p=2人+.，曲线花点(1,力处的切线斜率=2+,2+a=1.,.=T曲战y=2-x+,1.-fe+1.=O.6
15、=2,故选B.三、导数与函数的联系I、函数的单调性；在某个区间(0,3内，如果/U)O,那么函数)，=(x)在这个区间内单调递增.在某个区间(a,6内，如果/(x)v,那么函数)，=/(k)在这个区间内单调通战.2、函数的极值：设函数fW在点Xi)附近有定义如果对与附近所有的点X,都行)(.4),那么/(出)是函数的一个极小值，记作，卜*=(),极大伯与极小值统称为极值.3、函数的最值：相函数y=f(x)在匕，切内的各极(ft与端点处的函数Gif(“)、.与比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注意；(I)判断极例的条件掌握不清：利用导致判断函数的极值时，忽视”导致等于等，并且两他
16、导致的符号相反这两个条件同时成立.(2)混清在点P处的切线和过点尸的切线：前者点为切点,后者点尸不定为切点,求解时应先设出切点坐标.(3)关注函数的定义域：求函数的单调区间及极幡b值应先求定义域.例3-1.若函数/(K)=./+ar+在(1,+8)上是增南数，则。的取值范附足().X2A,-1.0B、-1.+)C、03D、3,+00)【答案】D【解析】f(x)O在(1.+8)上恒成立，即2x+1.-VnO,即02-57-2x在(1.+8)上恒成立，2X-2.)，=土2N在(!，+8)上为减函数，.7“3,a3.故选D.变式3-1.若函数/(x)=x2+ax+:在(g,+R)上存在减区间，求实数
17、”的取值范阚是().A,(-3)B、-1.,0C,|03D、3,+oo)【答案】A【解析】(x)=2x+-4；函数在(；,+8)上存在减区间:/(x)0在(1.+8)上有解，即4-2x在(1.+00)上有解22I77设身CO=-T-2.t，g,(x)=7-2.令(CO=2=0,得X-1,X*XX*当xw(,8)时.(.)O又8(；)=4-1=3a=(x)在(4m上单调,则区间(。，)是相应通调区间的子集.转化为不等式的恒成立何起求解：即“若函数单调递增，HiJ,(x)0：若函数单调递减，WJ/(.t)g(A)成立，则实数。的范围为().a、+)B、(,+c)C、1.+CC)D,(1.,+0c)
18、【答案】B【解析】中牌意知r-21.nx0在1,0上有解.满足“(卫吧)nm即可.X.j.、2InX,.(2InX)x-2InX(Xy2(11.n.r).r.,6（八）=,(x)=；=，.X1.e.h(x)O.X(X)-X()S(I,e上忸为增函数，/Hx)(1.)=O,0.故选B.变式32设函数/(x)=-：-2x+5,若对于任意w-1.,2都有f()v,”成立,求实数，”的取值范用.【解析】/(K)=31-X-2,令/“)=0,得X=-1或x=1.,2分；当1.时，,(x)0,当一；x1.时，f(x)7.IO分例3-3.若对V*.yw0+8),不等式40rMr-2+e*7-2+2恒成立，则
19、实数”的设大值是().A.14B、12C, ID, 2【答案】B【解析】.e7+/-i+2=e1.-1(ey+e-y)+22(/-2+1),即2(et-i+1.)4v,+尸2+尸2当X=O时恒成立，当,t0时，11r20在102)上g(x)-I,求实数的取值范楣.【解析】/(x)的定义域为(0+8),/(x)的导数/(X)=Inx+1,I分令/(x)0,解得x1.,令/(x)0.解褥01.时.(x)=0故K(X)是1,+8)上的增函数，10分.g(x)的最小值是g(1.)=1.,.1.从而。的取值范用是(,1.12分总结：研究极值、最值何遨应注意的三个关注点：(I)导函数的零点并不一定就是函数
20、的极值点，所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点.(2)求函数最假时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能卜结论.(3)含参数时,要讨论参数的大小.例34设函数/(x)=x3-6x+5.XeR.(I)求f(x)的弟园区间和极值:(2)若关于X的方程f(x)=有3个不同实根，求实数的取值范围.己知当Xe(I,+8)时，x)2A(XDIf1.成立，求实数k的取值范圉.【钾析】()(x)=3(x2-2)=3(2-2),令/(x)=0得x,=-JI,x2=2.2分二当X&时,(.v)0,当一&VXV0时f,(x)0.(x)的总调递增区间是(o.-)及(+8),单
21、调通戒区间是(-I,i),5分当=-i,/(x)有极大伯5+4i,当X=&,外外有极小值5-4、行：6分(2)由(D的分析可知y=(x)图像的大致形状及走向,当5-4i。1.,二k+x-5在(I.+8)上恒成立，IO分g(x)=x2+x-5,由二次函数的性质,g(x)在(1,+8)上是增俄数.以.。以1)=-3,；.所求尺的取值范1目是大4一3.12分变式34己知函数f(x)=+21.n(1.-x)(为实数).U)若/(x)在Xn“处有极值，求的值;(2)若f(x)在-3,-2上是增函数.求”的取值范围.7I【解析】(1.)(x)的定义域为(FJX,(x)=2f1.x-.,(-1.)=-2rt-1.=0,a=t3分1.-x2(2)fx)0对Xe1.-H-2恒成立,2ax0.2ax=,aO./(t)为增函数，2分2X,Znx)=(e)=Qe-+1,XMX(X)=/(I)=,4分设F(.t)=-x2+1.nx-?,则F(x)=x+-2x2=Ua1.2口,6分23XX当XG,+8)时，Ft(x)0,则F(X)单调递减,且尸(1)=-10,8分6故*1.,+8)时”(x)0-x2I11x-x.得证.IO分
