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1、授课主题函数的概念及表示年级高一知识梳理知识点一，函数关系与依陵关系的联系(1)具有依赖关系的两个变fit不一定具有函数关系：(2)当且仅当对于其中一个变求的年一个竹，另一个变出都有唯一确定俏时，才称这两个变做之间有函数关系:Wt1.Wtt(3)运用图形谙有说明变量X,y间的关系：结合依梭关系及函数(初中)的定义可知，图2-1中受货X,y间具有依赖关系，但不具有函数关系：而图2-2中变量X.y间具有函数关系和依赖关系.知火点二：函数的定义设A、B是非空的数象，如果按照某个礴定的时应关系f,使对于喋合A中的任意一个数X,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：ATB为从集合A到集
2、合B的一个函数.记作：y=f(x).xA.其中，X叫做自变吊，X的取值苞因A叫做函数的定义域；与X的侑相对应的y值叫做函数值，函数值的集合(KxHxA叫做函数的值城注；”A.Bife合的非空性：(2)对应关系的存在性、唯一性、确定性：3可以“多对一”、“不可一对多(4)A中元崇的无剩余性:(5)B中元素的可剩余性。知识点三，区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开华闭区间：(2)无力区间：(3)区间的数轴表示.区间表示：设,ftR.且。，规定如下定义名称符号数轴衣示14r闭区间1.b-J1.-*。Aaxb开区间(ab)-J|Axt0v半开半闭区间(b)-F=Hx1r0半开半闭区间(b-
3、F=H(中M,+o)4(m+8)-i(4rf1.)(8,airMZa)R(-8,)(-8.+)F1 .区间的左端点必小于右端点：2 .区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开：3,川数轴衣示区间时，要特别注意Mf这个区间然点的实数用实心点去示，不贼于这个区间端点的实数用空心点表示：4无穷大3)是一个符号，不是一个数，因此它不具备数的一些性质和运算法则：5.包含堆点用闭区间，不包含端点用开区间，以“+s”或“一8”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号.知识点四：同一个西敷I.的提条件：定义域相同：对应关系相同.(2)结论：这两个脸数为同一个函数.知识点五，常见面数的值域(I)-次函数从
4、冲=+MdO)的定义域为R，做域是R(2)二次函数凡r)=/+d的定义域是R.当必)时ft城为,+),当“=x-3D.4=0,h）,B=R,/:XTy=7【解析】对卜A选项,满足函数的定义,A选项正对孑B选项，集合人中取X=O.在集合B中没有对应元点.故B选项错误：对FC选项，战分A中取X=3,在柴介8中没仔对应元素.故C选项错误：对于D：-IaOW.在集合B中都有两彳、儿素H对.，司足函数的定义，故D选项锦设.故选A.例2、下面图您中，不能友示函数的是（）【解析】因为由函数的概念可知，一个自变Si对应唯一的一个函数值.故ABD正确：选项C中,当A=O时有两个函数值与之对应，所以C措说.故选：
5、C.舔习，1 .（多选）下列对应关系是实数集R上的函数的是（）A./：把X对应到3x+1.B.：把X对版到M+1C.A：把X对应到:D.，：把K对应到右【解析】选项A,是实效巢R上的个函敷.它的对应关Jftf是把*$9再加1.对于在一XWR,3x+1.都有唯一确定的值与之对应.如产-1,则3x+1.=-2与之对应:选项B.iJB也是实数集R上的个函数:选项C,不足实数佻R1.的函数.内为ix=0时.!的值不存在：X选项D,不是实效集R上的函数.内为菁XVO时，G的值不存在.故选：AB.2.（多选）托马斯说：解数是近代数学思想之花，根刖函数的概念判断：下列关系属于集合A=-1.0,到集合8=0.
6、1.的函数关系的是（）A.y=2xB.y=-tC.y=qD.y=xOrHJ,A=H.OJ）,8-0.1A项.在产2x中,行X=-UM时.对应函数值为-2,0,2.餐配B不对应,A,1ii.xK0h(3)W-KX1.h(KKI或2Wj4.【.解析】(1)ux-1)=-1.+o)(2)xiA0J=(-,=,0)(3)x-1=(-1.1.)t(4)x1.OK1.J2Wt4=S,Du2.4.练习，1 .柒合-v1.x5可用区间表示为().(1.5)B.1.5C.1,5)D.(1.5【解析】由题得，1.x5用开区间去示为(1,5)故答W为：，2 .若实数X满足x3x7,则用区间表示为().(3.7)B,
7、(3,7C.3.7D.3,7)【解析】由3=(r)的定义城为-2,2,则函数y=/(2x+1)的定义域为.(3)(2022广西)函数/(3+1.)的定义域为1.7则函数K)的定义城是.【解析】因为向数/()的定义域为(0,1),所以0vF0,解得IVX0C.x0xo,.1【解析】MM10-2x0,M记VXVSWk义域为悻v故迭：D.2xIO-2x.1.1.1函数y=G+-6+的定义域为【解析】1.y=-+x+6+-1.j.得1+：6=XW-2.1M1.3,故函数的定义域为:X1()Xq-21)51.3.故答案为：-2J)Ua32,函数/(X)=的定义域为.【解析】令云+0,可行*-整0,解得2
8、1.故函数八幻=后口.正义域为小2小故答案为:xx21.【解析】由已知,f3:康为卜训.所以对Iy=/(+)Jx2-2x-311女：；:解WRT3 .已知函数/()的定义域为-1虬7个的定义域为.x*-2x-34 .函数/(-2+1.)的定义域为卜2可，则/(x-1.)的定义域为.【解析】II1.函数f(-2x+1.)的定义厘为MJ-2x+1.e-1.,5.M1.Jw数f()的定义域为卜周.则函数/(XT)中tTqT5,所以Xao.6,即/(XT)的定义域为口6.故答案为：0,6.5 .如图.某小区有一块底边和高均为40m的蜕角三角形空地,现规划在空地内种植一边长为.d单位：m)的矩形电坪(阴
9、影部分)，要求草坪面积不小于336m则X的取值范围为.40mJ【解折】设矩形另一边的长为)m,他：角形H1.似得：=(0x40.0yc,.v)=.v=H.,.天短小|.：域相同均为xhO.XX-1.O故A错设：对fB项,由胆危得：；：.即/()的定义域为21.(x-1.)(+1.)O.即g(x)的定义域为/21和xT.两函数定义域不同.故Btft误：时CJ欠O.y=V2x3=-c)1800021024000270300图象法：如图所示.解析法：售出台数X1.j以数y之间的随数关系y30M,w(123.10).2 .某种艳记本的单价是5元,买X(X1.23.4.51)个笔记本需要y元，试用函数的
10、三种表示法衣示函数,v=/Cr).解析这个函1的定义城是数集(234.S).用解析法可将函1fty=f(x)犬示为y=5x,xe1.,24,5.用列表法可将函数y=()表示为用图、法可将的数=/(X)衣示为:3 .已知完成某项任务的时间，与参加完成此项任务的人数X之间满足关系式r=“K+g(。R/，wR),当K-2时.r=I(X)i当*=4时，r=53,且参加此项任务的人数不能超过8.写出，关于X的解析式:用列表法我示此函数:画出此函数的图象.【解析】囚为力x=2时，J=Io0：”=4时，f=53.所以4+5342rt-=I(X)*d所以，竽Z8.X为止槃数.所以此函数的定义域足卜IOVxM8
11、xwN.所以所求函数解析式是r=x+?(0-25=-20;J?(/(2)=(-23)=2x(-23)-5=-51：/(g(x)=J1.2-5)n2(2r-S)2-3(2r-S卜25=8-46x+40:g(M=(2Y-3-25)=2x(2F3-25)5=4N6-55.例2、试求下列函数的定义域与值域.(1)=(-1+1,.rg-1.0,1.3；(2)y=(x-1.)2+1；3)y三-s(4)y=x-7+1.X-I【解析】因为y=(-1.)+1.的定义域为-UU23.W(-1.)-(-1.-1.),+1.三5,同理Uf褥/(O)=2,/(1)=1,/(2)=2,/(3)=5,所以函数的值域为1.Z
12、5.函数的定义域为R.因为/(x)=(x-1.)+1.1.所以函数的fi域为1.,+*)函数的定义域为KK1,因为/()生，-5+-,X-I-1-1比以函数的位域为(f,5)U(5.+8).不使用敢有怠义,需满足x+1.O,即XN-1.故国数的RN域是xx2T.设口7T.则=r-(*o).于足)=-i=,乂120.所以yN-1所以M数的值域为-y.41.4)修习：1.(2023江苏连云港)(多选)卜列函数与.y=-2+3的值域相同的是()【悌析】yV-2+3=(x-1.)+222故其值域为2依)：A;1x1.r,y=4x2,其俄域为2.+8),故A正确；+22,式位域为(N+),故B错误:MJ
13、y=+Jr24-=2.川仪ix2=1.对从3号,其值域为2*),故CiE确:时D：令d=j20,故.=2x-JT的俏域即y=21.-+220件Hf1.域:X,v=21-z+2,z00.-单调递减.在(Iy)单调递增.故之，故D错误.故选：AC.2.求下列函数的值域.Wa)=2+g;/(力迷向加41.户中【解析】设r=7(C0),则X=I-,所以#“)=2(”/)+4/吁2?+由+2=-2(，-以+4,根据二次函数的图像和性S1.函数g()的值域为(y,4.由数的定义域为(e,2)J(Zf)J(X)=空飞IW=5+Jj1.r-IT2.V.2.V2所以函数/(X)的f1.域为(e5)J(5+X).
14、因为函数/(x)=X2-2x-3的对称轴为X=I,所以函数/()(-1.1)1.Z(1.4)单刊递增,所以函数x)的值域为T5.当x0时，=+1=3，WH1.仅当x=1.时.、+II.(4)y=x+-+1.*工0,ixO时当i1.仅iA-I时等号成立.故函数值域为(F叫知识点三函数解析式例1、根据卜列条件，求/(X)的解析式.已知/(A+2)=2x+S7+5已知f+2f(-)=3/-2r(3)已知f()是二次函数.旦满足/(O)=1.,(x+1.)-(.v)=2x【解析】令/6+2”2),此7=f-2,x=(-2，所以由/(4+2)=2x+87+5,W(f)=2(z-2)j+8(r-2)+5=
15、21-3.所以f(x)=2-3(2)：(2)1.!1./(v)+2(-x)=3-2.r,f!j(-x)+2(.r)=3(-r)2-2(-x)=Ir2+2r,所以f()=3/+2x-2/(x),所以八)+23+r-2(x)=3x,-Zr,解得/(x)=+2x：2a=2+h=0由题怠设/(x)hox3+瓜w/Oi.H0)=1,所以C=1.因为/(x+1.)-(x)=2x.所以mx+1.)+(x+1.)+c-(+Zu+=2t.所以JMA/()=x2-x+1.蜂习，1 .根据下列条件.求/(K)的解析武己知/(x)淌足x+1)=F+4x+I(2)已知/(.V)是一次函数.且满足3(-v+1.)-(.r
16、)2x+9:己知/满足2j+(x)X(X0)【解析】解:Z-x+1.则xfT.故/(r)=(r-1.f+4(/-1)+1=-+2/-2,所以f()=V+2x-2:(2)W：设f(x)=h+,内为3f(x+1.)-/(.tj=2x+9,所以弘(x+1.)+勖-心-=2x+9.y)三2.1即出+3+2+9,所以=o,解行1.7.所以f(x)=x+3:3+2ft=9p=3解：以为21；)+/(x)=x(xh0),所以2(x)+(S=:,2-得3(x)=j,所以/(x)=g扣*0).2 .根据下列条件，求函数”2的解析式.(1)已知/(+1.)三-t+2?,则f(x的解析式为.(2)己知/)满足2J(
17、X)+/已卜3x,求*)的解析式.已知/9)=1对任意的实数X.)都有f(x-y)=f()-)Y2A-y+D.求/的解析式.(Ji1.jJ(浊，”;J:7I，Vr1.r.r-1；!.-1.2i,11”.，1一所以画ft*)的解析式为/(x)=x2-1.(x1.).方法：(配於法)：/(7+i)=+277=x+25/7+1-1=(/7+1)-I.因为+1之1,所以函数M的解析式为=x,-iI).珞代入2(x)+j=3.v,得2/(：卜/3=:.2(x)+/(一)=3.因此”.WW(x)=2x-(x0).2/(1)/W-.XIXX令X=O.得/(-)=/(O)-(-v+1.)=1.+-y=(-)2
18、+(-y)+1.所以/C)=):+F+1W(.v)=5+1.知识点八、分段函数2a+3,.t1.X求V(-2)的伯：(2)若/H)-求*,的(ft.2x+3tx1X/(%)=?当与r./()=*+-7=.好得%=2成立.综上.的仅为土立或2./2.v+4.x0例2、已知函数/(X)=r-2x,04求/(/)的伯；(2)画出函数/3的图象.r+4.r0【解析】(I)./5)=Y-2hO4函数/(*)的图象如下图所示:/1i例3、己知r)=*-24+2.(I)H1.分段函数的形式表示该函数.(2)画出/(x)区间卜1.3上的的图象:根据图象写出/(X)区间-1.3上的值域.【解析】巧X之O时，/(
19、x)=.r-2x+2,当XVO时,/()=F+2+2,所以/(x)=,.r2x2.x5.在所给坐标系中作出y=(r)的简图;解不等式/(x)vg【解析】y=()的荷图如卜;即小:式/(x)V；的解条为I-j(4.+).4.某市“招手即修”公共汽车的票价按下列规则制定：5公里以内(含5公里)，票价2元；5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里.清枢掘超意，写出票价与里程之间的函数关系式：画出该函数的图像.【解析】(1)依起。，令X为里程数(单位：公里),x)为行驶X公里的票价(单位：元).p0A5t.=2,5xIO,-t)=3,1015B
20、t,/(x)=4,u115x2OBr,f(x)=5.2.O.v5所以票价与电程之间的曲敏关系式为/(X)=3,5x104.10x1.55.15x20(2)由行函数AX)的图纹,如下:举一反三1 .函数/(卜不，+Tq的定义域为()A.(F52+=o)B.(-0【解析】根据函数形式灯用,用数的正义高满足C.解得：xv2H7,(x+20所以函数的定义域为(-8,-2)J(-2,2).tt1B2 .若函数/(2x-1.)的定义域为-3.1,则“,(I的定义域为(),Ia国8同c(Hd(1I-73-4x1.,X-I0.【解析】由题京可知-3x41.所以-7M2x-1.1.,燮使函数=牛军行意义，则.r
21、-I解得1.=f(x+)的定义域是1-23,所以xw(-23J.a以+y-1.4,Itp()的定(-1.4).所以XT-1.,4J,解得X0,5.Iii1.y-/(x-1.)的定义域及0.5故选;C5 .下列四组修数中，衣示同一函数的是()A./(x)=X与g(x)=HB.f(x)=J(x+2与g(x)=(77C.f(x)=F与XX)=戈O./(M=N与X(X)=【悌析】时选项A,m为X)=X定义域为R,g(x)=H定义域为R定义域枳同，fU(x)Hg(x),所以/()g(x)不是同南敦，故A错误：对选项B因为/(X)=屈方定义域为R,g(x)=(G定义域为x*2-2.定义域不同，所以x),身
22、不足同函数,故B福设：对选项c,闪为/()=7定义域为Me0.g(6=%定义域为0,定义域不同，所以f().不是同一函数，故C档说：对选项D.因为f(x)=x定义垓为Rg(N)=JT定义域为R.乂K(K)=MF=(),所以/(“.g(”是同M数.故。正确.故选：D6.下列四组函数中，发示相同函数的一组是().A-/(-v)=I+1-x,g(.v)=1.-x2B./(.r)=,(x)=(77)C./(x)=-g(*)=x+1.D./(x)=V+Td.g(x)=Jx1-I【解析】对JA./(t)1.g(x)定义域均为T1.所以g(x)=11T=J(1.+x)(1.)=7T.“X)与g(*)为相等函
23、数A亚确：XMB,/(%)定义域为R.g(*)定义域为012),“X)与g(x)不是相等函数,B错葭:V：C.f(x)定义*为1型吸g(x)定义域为R/()q)小是相等函数Cta对于D,.(x)定期崛箧财奔4(x)定义域为(fTukw%f(x)与g(x)不是H7,下列函数中.值域是(0.y)的是()a=7xj-2-v+1B.)，=若，xg(0.e)C.=T77(XeND.夕=扁【解析】对选项A：y=-2x+1.=(7V=.t-1O,即函数的值域为0,一功.铅i宓0选项B：y=1.r=i1.21=1+J-,则球I数在(Q+,)上为收陋数，则1.y=j:,XeN仇域不逢飞，错误：时选项D：=q.函
24、数的f/i域为(O.+*).故选：d8.某同学国家去学校,为了爆炼身体,开始跑步前进.跑#:了再走余下的路程,图中d轴表示该学生离学校的西晶，f轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是()r.士同；f如一卜，所以dKJ7的比故国象卜降速度是先快后慢,故B不正确，O正确.故选:D.9.(多选)下列四个图望中，是函数图象的是()【解析】由函数的定义可知，对任4的自变JIiX,q唯的.VtfUf1.对应.选项B中的图像不是函数图像，出现J,对名的情况，其中选项A.C、D皆符合函数的定义,可以表示是函数.故选,ACD10. (多选)下列各殂函数不是同一个函数的是()A. /3=21与*)=*+1.V
25、-IB. /(x)=7jg()三x=27C. /(x)=x+2与双，)=讶+2O./(x)=x2-4(x)=x-2-.v+2【解析】MIA./(X)的定义域是(f1.)u(,+x),g()的定义域是R,定义域不同，故不是同曲数，A错：时：B./U)=7Q,jR的时应关系不同.故不是同函数，BW；对于C,经过化筒可知两函数的解析式与定义域都一样.所以为同一的数,C对：,直我过点(40,2).(50.3).40J1.+/=，k=I皿-,=J,0故y=I的矢系式为.Y=x-2故D正确故选：BCD50+Z=3,_1014.函数/(X)=V-.rx+4-2的定义域为.【解析】要例外仃意义.则I1.-V2
26、O,v+2-2O-1.x1.XWO1.I.“t：U*1.xi.11.v0.所以*)的定义域为-iQ)5Mi:-,o)5M15.若函数/()的定义域为-2,“，则y=(x)+(-x)的定义域为.y=(2r+1)的定义域为【解析】满足(八解得c即-Ix41.即函数，=/(+/(T)的定义域切-1.11.-2XI(-I21.1.1.-22x+1.1.-x0,即函数y=f(2x+1.)的定工域为Ko.故答案为：川；,16 .已知函数JIr+2)的定义域为1,3.则函数f(x)的定义域为.已知函数/(x+1.)的定义域为3.8,则函数/(F)的定义域为.【解析】令“=x+2,WJ(x+2)=(m).因为
27、南数/(x+2)的定工收为1.3,所以“=x+2e&5,所以函数,(力的定义域为&5.(2)令U=X+1,V=X，则f(x+1.)=(),f(,)=f(v).因为函ISfer+1)的冠工域为8,所以“x+Ig4.9,印以由数力的定义域为4%所以V=AJe4,9,所以XqT-2uZ3,所以函数/(巧的定义域为T-2J23.故答案为：口斗T2u2317 .试求下列函数的定义域与伯域./(x)=(x-1f+1,XG-1,1.2.3(2)/()=X2-Zv+2(3)/(X)=(4)y=.t-77T.V-1【解析】函数的定义域为-1.(M23.则“T)(-1.-1.)2+1.-5,同理可得/(0)=2,/(1.)=1.,/(2)=2./(3)5,所以幽数的值域为1,25.M数的定义域为R.因为AK)=-2x+2=(x-iy+m,所以函数的值域为1.mo).困数的定义域为xx1.因为X)=如W=把二孚=5+，T,所以函数的值域为(y,5)u(5+8).X-1X-I.t-1知史函数有意义，需满足x+120,即xNT,故函数的，二fxx-.tt=H.则X=/T(JNO),于是y=r-1.-r=,-gj-j,乂/20,所以所以南数的值域为-=,+818 .已知/(x)=x,求/(2ATI)的解析式：(2)已知f(4+2)=x+44，求
