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1、7.9用空间向量求空间角和距离课标要求相细考点素养达成1 .能用向量方法解决直线与直线,直线与平面、平面与平面的夹角计算问题.了解向量方法在研究立体几何问虺中的应用2 .使用向瞅方法解决直线与宜找、口废与平面、平面与平面的距离计尊何通利用空间向信求升面直线所成的角通过求弁面直践所成的用培养直观想象，数学运算素养利用空间向量求直线与平面所成的角通过求真战与平面所成的角培界K观想象、数学运匕器养利用空间向啦求平面与平面所成的角通过求平面与平面所成的角培养直现想象、数学运算术推利用空间向后求踉掰通过求斜直线与直线、门或与平面、平面与平面的距离计算问题培养直观想象、数学运算素养吧!结布糙璟夯实1.(强
2、念辨析)下列结论正输的是().A.两条直戌的方向向H所成的角就是曲条直废所成的角B,直线的方向向I1.t和平面的法向盘所成的角就是口找与平面所成的加C两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角1 ).两条异面直戏所成的角的越加足(0,皆，也戊与平面所成角的他国是|o1卜二面狗的他困是。，答案D解析对FA,两条直线的方向向Jf1.所成的角是两条直线所成的角或共补用.故A错误;对于B,设直线的方向向圻为a.平面的法向址为n,直栽与平面所成的角为,R1.sinH=ICoS1.,故B错误:对于C,两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角，故C格设.2 .(对接教材)如图，已知AABC和a
3、DBC所在的平面互相垂ABBCBI),NABCNDBc120,则二由询ABDC的氽弦色为.答案T解析在平面ABC内作BE1.BC,在平面DBC内作BF1.BC,因为AABC和ADBC所在的平面互相垂E1.所以BE1.平面DBC,所以BE1.BF.分别以BF.BC,BE所在直线为X轴.y轴、Z轴建立如图所示的空间在角坐标系,不妨设AB=BC=BD=2,ZABC=DBC=120,ffiB(0,0,0),A(0,1.,3),D(J,1.,0),所以SX=(O.1.,5),而=(J,1,0).设VffiABD的一个法向量为n=(x,y,2),Hjfn，巴=“即产噎,不妨取x=1.,WJy=3,z=1.
4、,所以n=(1.3.1).InBA=O,1.y+5z=0,又平面BDC的一个法向他为m-(0,0,D,所以cos黑捺E设二囱用ABDC平面用为。，则为钝角，所以mnScos0q.3 .(对接教材)已知正方体A1.OABCD的校长为1,则点B到平面B1CD1的斯因为一答案y解析以DA,DC.西为啦位正交甚底,建立如图所示的空间口角坐标系Dxyz1则B(1.,1,O),C(0,1,0),Bt(1.,i,1.),D,(O,O,1).所以瓦瓦U,1,0),国(1,0,1),前(1,0.0).设平面B,CD,的一个法向盘为n=(x,y,z),则F把=，即=?令XI,则y1.,z1,所以n(1.1.D是平
5、面Bm的个法向i,trfn.BC=I.n1=5,所以点B到平面B1CD1的型岗为1上谭=孚4 .(易借自到)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,IM极长为22,则AC1与侧面ABBA所成的角为.答案I解析以A为坐标原点,AB,AE(AE1.AB),RA,所在正线分别为x轴、y轴.Z料建立如图所示的空间直角坐标系.设D为AH的中点.连接AD.C1D1W!AO,0.0),C1(1.,3.22),D(1.0,22).所以瑞二(1.5.22),AD=(1.0,22).因为AABQ为正三角形.所以C1D1.A1B1,XCJ)BB1,A1B1BB1=B1,所以CJ1.1.平面ABB1A1.所以NGA
6、D为AC1与平面ABB1A1所成的角，所以副芸需(、,a20(1.022)近11X29乂因ZUD,外,所以ZC1AI)5 (真18演练(2023新高考1卷)如图.在正四核柱ABCDA1.BIaD1.中,AB=2,g=4,点分别在梭A1.aBB.,CC1.,DD11.IV1.BBj=DDi2.CC：3点P在核BB1,当二面角IAea为150时，求BHCBiOi4解析以点C为坐标原点.CD,CB.CQ所在直纹分别为X轴.y轴、Z他也在如图所示的空间直角坐标系.则B;(0,2,2).C1(x1,y1.,z1.),所以国，a=。M=0(PC2a=0,1.-2yt+(3-n)z1.=0,令x1.=n1.
7、,得a=(n1.3n,2).饺平面AqD；的法向量为b=Gayz1).因为赧=(2.2.2),AX=(0,2,1),所以,迺b=0,职驾曹慧2=0,(A2D2b=0,v2yz+z2-0.ys=1.Wb=d,1.2).所以ICOS1.50=Icosx、/整理得nn+3=0.解得n=1.或n=3.所以BP=I或BP=3.所以BF=1.号JJ1.型建楞利用空间向量求异面直线所成的用典例1径在三核柱ABCA1B1C1,ZBC=90.M.N分别是AB,AC的中点,BC=CA=CC1,W1.BM与AN所成角的余弦值为（）.TobS1.mnScdT答案C解析以点C为坐标原点,CA,CB,CC所在直线分别为X
8、轴、轴、，轴建立如图所示的空间耳角坐标系，设BC=CA=CC1=2.W1(2,O,0),B(0,2,0).M(1.,1.2),N(1.,0.2).WWBM=(1.1.2),AN=,A=0,0,2),西声审+通司+AD=(0,0,2)+X(2,0,0)=(2,0,2).则不加禹鼎舟所以鬲E*解得W或AW去).故实数的值为J.考点利用空间向fi求1.线与平面所成的角典例2如图，在三板把SBCD中，平面SBI)1.平面BCD.A是战段SD上的点,SBD为等边三角形，ZBCD=30,CD=2DB=t.若直线BA与平面SCD所成角的正弦值为绊,求AD的长.解析依题意,CD=%BD=2,又BCD=30”,
9、由余弦定理得BC=23,所以3N=BC,即BC_1.BD.以B为坐标原点,BGBD所在直视分别为X轴、y轴,过点B且垂直于平面RCD的直视为z轴，卷，工如图所示的空间直角坐柝系.则B(0.0,0).C(25.0.0),I)(0.2.0),S(0.I,TI),所以而=(2百.2.0).布=(0,I,5).设平面SCD的一个法向改为n=(x,y,z),fm.CD=0f.23x+2y-O,Im-SD-O,卜恁=0,取x=1.,W1.y=3,z=1.,所以三=(1.3,1).设靠=.旃(0入七1),则位=9,3).故A(0.2A.再人.则猷=(0.2X.百人).设直线R4与平面SCD所成的知为。.则S
10、inH=cos=，:鬻12百四+、,力ISv用VM2即+纨265,解得W或入则ADW或AD=1.333用向无法来直线与平面所成的角的主要方法1.分别求出斜线和它在平面内的射影在线的方向向盘,招遨目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).2.通过平面的法向业来求，即求出3*战的方向向及与平面的法向纸所夹的镜角或钝角的补角,取其余角就是叙战和平面所成的角.训练2如图,四极锥PABCD的底面为正方形,PD1.底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为1.已知PI)=AD=1.Q为I上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦位的最大假.解析以D为坐标味点,DA.DC.DP所在收线分别为X软、y轴、Z轴
11、.建立加图所示的空间比用坐标系Dxyz1因为PD=AD=1,所以为0,0,0),以0,1,O),P(O,O,D,B(1,1,0).设Q(,O.D,则而0,1.0),DQ(m.0,1.),PB=(1.,1,1).设平面QCD的一个法向量为n二(x,y,z)1嚅工叫:鼠。.令x=1.,则y=0,z=m,所以平面QCD的一个法向fit为n=.0.,i,m,TtSx11PB1.+0+m则cos21.所以直线I1B与平面QCD所成角的正弦值为cos.比建JwT堂.J1.+恶W苧J1.+忍rq7T当当目仅当II1时取等号，考点所以月线PH与平面QCD所成用的正弦慎的最大的为容利用空间向量求平面与平面所成的
12、角典例3如图,D为刈钺的顶点,0是倒把底面的圈心,AE为底面直枝,AE=AD,ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO*K)(D求证:PA_1.平面PBC.(2)求二面用BpCE的余弦(ft.解析设D0=a,由肱设可得PO*.A0=ya.AB=AC=BC=a.PA=PB=PC学a.因此PAPB1=AB,从而PA1.PB.又PA-+PCi=AC-,故PA1.PC.又PB.PCC平面PBC,I(BnPC=P,所以PA_1.平面PBe(2)以O为坐标麻点,过戊O且与BC平行的直践为X轴.布的方向为y轴正力向,而的方向为z轴正方向.OE为单位长度,建立如图所示的空间直角中标娱Oxyz.由题设可
13、得E(0,1,0),A(0.1.,0),c(410)p(00-)所以前=(号,./0).前=(0,-1用.设m,y,z)葩平面PCE的一个法向S1.mEP=o,(-yz=o.ImES=0,IqXTy=0,可取n=(-y.1.,2).d1.(1.)如丽(0,1爷是平面PCB的一个法向盘,记nAP,W1.-二瑞哈所以二面角BPCE的余弦他为早1.用法向业求二面角的四个步舞：(D建立适当的坐标系,写出相应点的坐标：(2分别求出两个半平面的法向量n1,115;设二面角的平面角为0,W1.cosf1.二cosI;(D根据图形判断。培利!角还是锐角，从而求出A(或其三角函数假).2.利用与极张口的直战的方
14、向向H求二面角的方法:分别在二面角的两个半平面内找到与核派HI1.以垂足为起点的两个向量.则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小一训烧3(2023斜高考I1.卷)如图，在三极锥ABa)中,DA=DB=DC,BD1.CD1NA1.)B=NADC=瞅，E为BC的中点.(D证明：K_1.DA.2)点F满足弹D,求二面角DABF的正弦值.解析(1)如困.连接DE,AE,因为De=DB,且E为HC的中点,所以DEBC.因为/ADft=ZADC=60,DA=DA,DC=DU.所以ADB9Z!kDC(SAS).可得ACAB,故AE-1.BC.因为DE11AE=E,DE,AEU平面ADE,所以BC_1.平面
15、ADE.乂DAU平面ADE,所以Be1.DA所以cos=m.n2mn2(2) 111(1.)ft1.DEBC,AE-1.BC.不妨设DA=D=DC=2,因为NADe=NADC=6(,所以AB=AC=2.由超可知ADBC为等腰直用三角形.故DE=EB=EC=因为AE_1.BC,所以REAB2-EB22.ADE中.E-*ED=AD所以AEJ.ED.以E为坐标原点,ED所在宜践为X轴.EB所在直废为y轴.EA所在直设为z轴建立空间直向坐标系，如图，则D2.0.0),B(0,2.0),A(0.0八.DA=(2.0,),可得F(,0,2).所以而二(0,0).设平面DAB的法向盘为m=(x“y”zj.,
16、m=0,即+9z=取X=,则y=z=1.,*(1,1,1).m=0,+岳=0,设平面ABF的法向量为n=(x2,Yifzj).；Zz-0得x=0,取y=则z=t1.=(0.1.1).记二面知DABI-的大小为,则SinO=1-cosz=JI-管)浮考点故二面角I)ABF的正弦值峭.利用空间向后求距/典例1(1)1.I知正方体ABa)ABCD的枝长为1.E,F分别为BC和CD的中点，则两条平行戏EF和B1D1的地次为.(2)已知长方体AUCDA1B1C1D1,AB=AD=2.AA1-I1E.F分别为HB1,CD的中点.期点F到平面A1D1E的距离为.答案(D苧(2)苧解析(1)以师女,向为单位正
17、交基底,建立如图所示的空间口角坐标系Dxyz,则B,(1.1.1),D,(0.0.D,e(,1.o).因为EFDB.所以点E到DB的距离即为两平行践间的用离.(法一)设平面ED此内与直面D1B1JRm的向量为n=(x,y,z),则由n_1.gX可得x*y=O.由n与丽,用共面41.,存在实数以P使得n=B7D7pM.因为祁7=(1.,1.0).O=(-0-1)所以(x,y,2)=m(1.,1.0)(g.0,=p).X=-m-p,y=m,Z=-p.所以x=y4z.令x=1.MiJy=1.,z=4,则n=1.1,4).故点E到D,B,的即符d=需与需邛,即EF和B1D1的距离32(法二)连接EB,
18、.则瓯=R,0,1.).记!=而,瓯.因为而三B7=2.画号.所以CoSosin0喑,故点E到DH1的距离为d=Bsin=f2.即EF和B1D1的距离为孚(2)依题意.以A为坐标原点,AB,AD,AA,所在的直线分别为X轴、y他、Z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(0.0,4),D1(0,2,4),E(2,0,2),F(1.,2,0),所以#=(2.0,2),丽;=(0,2,0).设平面A1D1E的一个法向量为n=(x,y,z),瞰*喻M令X则yWzH,所以n,0,D,ZM=(1,2,4),所以点F到平面A1D1E的地掰d-肉；二-羊用空间向量求空间距幽的方法(D求点到口战的独离有三种方
19、法(该点与口战上的一点为端点的向依为&考向6:求参考向此在F跟与共同平面内的法向状上的投影；求参考向俄与rt线方向向盘的央角的正弦值与参考向量模的积：设过点P的直线】的方向向量为单位向盘n.A为直线1外点,点A到直赛1的龙四d=JPAp-PAnp.(2)点到平面的矩离：设A为平面i内的一点,n为平面a的法向量,P为平面。外一点,点P到平面的距离邓n-jii-用向域法求点P到平面的距离的三个步躲：在平面。内取一点心确定向盘证的坐标表示；确定平面a的法向量n;代入公式d埠巴求解.(3)平行然向距禺转化为点到立战的距掰,找面距掰、面面距尚都可以转化为点到平面的距禹.训练4在犊长为I的正方体ABCDA
20、BCD中.平面ABf与平面RCD之间的矩因为().解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则AJ1.,0,0),Cs,1,0),DS,0,1),A(1.,0,1),所以为=U,0.1.)1.Dq=(O,1.1),AD=(1,0.0).设平面A1C1D的一个法向量为11f(x,y,z).则一叫即叫=X-Z=。，InI_1.DC(.mDC1=y-z三0,令z-1,IWX1.,y1,n(U1,1),显然n=(1.1,1)也为平面AB1C的一个法向量,所以平面AB平面A1C1D1所以平面岫C与平面A1C1D之间的距离i=n1.=T连接AE.因为六边形AUCDEF为正六边形,所以NAFE=NDEF=I2
21、0.因为AF=EF.所以NAEF30,故NAED=90.因为EE底面ABCDEF,所以不妨以点E为坐标原点,EA,ED,E&所在直戏分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系.如图所示.ff1.A(3,0,0),B(3,1.,0),D(0.1.,0),B,(3,1,2).在正六梭柱AKDEFAIBIeMEE中,四边形BB1C1C为平行四边形,则BCB1C,.因为BoJ平面DC,B1.BCU平面ADCH,所以BC平面ADCB,所以BC到平面ADC1B1的距阳等于由B到平面RDCB,的距幽.又设平面ADCB1的个法向设为m=x,.y“z,.又而=(5.1.0).B(0.1.2),所以F7炳+为=0K
22、y,=23,WJx,=2,z,=3.所以B=23,3).(.mAB1y1+2z1.三0,ZAB=,A.桶IWB.双曲线Citt物设D.W1.答案ABC解析法因为直我Dq与直线匣所成角为U（08分所以Da所形成的曲面是以工跟De为轴的圆锥面,而平面ABCD与工浅1）,C所成的角为:.不垂比所以轨迹不可能是啄当。刑,平面ABg与BII锥面的一条母戏平行,所以为抛物线;当0q时.平面ABCD与圆锥面相交成个对闭曲至所以为椭削:当上fH1.,平面ABCD与回推面的两部分都相交,所以为双曲线.(法二)建立如图所示的空间面用坐标系,设正力体的极长为I,Q(y.O),C(0,1,0),D1(0,0,1),D
23、(0.1.D-MUy.D.则席丽=席京cos.所以y+1=2x2+y2+Icos,由于ICoS(5X而IcosC,因此当。我，化简褥X2y,此时为匏物线；当。拙,化简褥臂2I.故此时为双曲线；当t化徜得空+x*=1.故此时为椭13.若为闽简得W1.)2(x,卢Dco-0,则需要满足X：y：的系数相等.即2cos1=2co1.显然不成立.故不可能是断.处理空间轨迹自思七要方法：1 .几何法:运用曲浅的定义及性质，定性判断曲成类型；2 .解析法:通过建系求出动点的坐标淌足的方程，再判断我设的类型,将几何问题代数化.处理空间轨迹向国主要思想：全域思想,先找出轨迹的完整图形,再通过平面截取,将空间向I
24、B平面化.训练(多选题)如同,圈柱00,的底面半径和母线长均为3,AB是底面口径,点CftIM1.0上HOC1.AB,点E在母戏BD上,BE=2,点F是上底面的一个动点，WJ().A.存在唯一的点F,使得AF+FE=2118 .若AECF,WIAF的凯迹长为4C.若AFFE,则四面体ACEF的外接球的表面枳为40111).若AF_1.FE.则点1-的轨迹K为2611解析设E关于D点的对低点为E.则AF+EF=AF+FE云AE=Bi+BEj=62+4i=213,所以AF+FE3211.当旦仅当.F.E三点共级时取等号,故存在唯的点F,使得AF+EE=213.故A正确:由即想知OCIAB.00OC
25、.00AB.以0为坐标朦点,以玩,丽,而;的方向分别为X轴、y轴、Z他的正方向建立空间目知坐标系.则A(0.3.0),C(3.0.0).E(0,3.2).设F(x,y.3),则靛=(0,6,2),CF=(x3,y,3),AF=(x,y+3,3),EF=(x,y3,1),对于选项B.当AEJTF时,屁CF=6y+6=0.所以y=1.,所以点F的轨迹长为上底面阳0,的一条弦MN.点0,到MN的距离为1.所以MN=23T=h2,故点F的轨迹长为42,所以B锚设；对于选项D,F1FEH.AFEF=(x,y+3,3)(x,y3,1)=0,所以XW=6.所以点F的轨迹足以0,为网心.遥为半径的阳.其轨迹长
26、为2遍”.故D正确；对于选项C在AACE中，AC32,CEJ(32)2+22-,22.A1.-6if+2iV,40210.所以ACj*CE1=AE-.所以aACE为直角三角形,其外心为AEIjOO的交点Q1J1.(X=1.,Q1.=T.而Qi-=Jqo+o1f2=T6=To.所以QF=QE=QC=QA,所以Q为四面体ACEF的外接球的球心,球的半径为I6.所以琮的我面枳为40”,故C正确.CEO一、他选尊1 .在四棱犍PABCD中,PAJ_平面ABO,PA=2,BC=2AB=4,旦四边形ABa)是矩形,E是PD的中点，则异面宜线BE与N所成角的余弦也是(.atsac1.dT答案C解折1据IS盘
27、,建立如图所示的空间口角坐标系Axyz,WJP(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),E(0,2.1),所以呢=(2.2,1.),PC=(2,4,2),则并面直线BE与PC所成用的余弦值为CoS漏屁儒言(2)X2+2X4+1X(2)2)2+22+12x02+42+(-2)2对2 .如图,在正方体ABCDAECR中,E为BB,的中点,则平面A同与平面ABCD夹角的余臻值为().答案U解析以A为原点B,AD,AAi所在直战分别为X轴、y轴、2轴建立如图所示的空间口角坐标系，设正方体的技长为1,则A1(0.0,1),e(1,O,),D(0,1,0),所以帝(0,1,1),碓(,o,-f)
28、.设平面A1ED的一个法向域为n1=(1.,y,z),嚅：哨黑所以M所以n(1,2,2).因为平面ABCD的一个法向H为小=(0,0,0,所以cos=-y-=,51J故平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为3 .如图，在四棱推SABCD中,SDJ_平面ABC1.),ABZ=2AD,MBC的中点,N是战段SA上的点.设UN与平面SAD所成的角为。.则Sina的蚊大值为().答案A解析以D为坐标原点.DA.DC.DS所在出线分别为X轴、y轴、Z轴建立如图所示的空间食用坐标系Dxyz.设DA=2.则D(0,0,0),S(0,0,4),(2,0,O),C(Q,4,0),M(1.,3,0),所以京0,
29、4).设丽SA(0X1),W1.N(2,0,44),W1.MN(21,3,4-1).因为平面SAD的一个法向最为阮=(0,4.0),所以Sina喘;既XIMN1.叫j,2(102-18+13)因为OWAW.所以当eISN=9NA时.Sina取得挺大假.越大值为苧.4 .如图，点C在圆锥PO的底面圆0.AB是直径NBAC=30，BU锥的外战与底面所成的角为60,则点A到平面PBC的距离为（）.B.26答案C解析如图,过由0作AB的基线Ox,以Ox,OB,OP所在直线分别为X轴、轴.Z轴建立空间直角坐标系,由题点可得A(O,4.0),B(O,4.0),C(25.2.0).P(0,0.45),所以C
30、B=(23,2.0),BP=(0.4,43),AP=(0.4,43).设平面PBC的一个法向做为B=(x,y.2),.mg=d所以产x+g=O,(.11BP=0,1-4y+43z-0.所以y=5z=5x,所以取n=(1.,5,1),所以点J1.JTiIiiPUC的距离d4沪警喈二、多选JS).5 .1.1.,在三极推PABC中，PAJ.平面ABC,AB=2,BC=2XAC=1.点A到平面PBC的即态为警,则(A.I,A=4B.：.极徐PABC的外接母的衣面枳为32nC.直线AU。直线PC所成角的余弦优为今I).AB与平面I1BC所成角的正弦他为等解析因为AB2,BC23,AC4,所以AB+BC
31、*=AC即ABBC1因为PA_1.平面ABC,AB,BCU平面ABC1所以PA1.AB,PA1.BC设AP=a,rtVpabc=VapbcfJJ223a=23a5T4警.的得a-4,所以PA7,故A选项正附:三枝罐PABC的外接球的半径与以BC,BA,AP为邻边的长方体的外接球的半径相等，所以三梭等PABC的外接球的半径为20.所以三极俳PABC的外接球的衣面枳为32X,故B选项正确；过点B作PA的平行线IJD,则BD1.平面ABC,所以以点B为坐标原点,BC,B,BD所在ii线分别为X轴、y轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系,WB(0,0,0),C(23.0,0),A(0,2,0),P(0
32、,2,4).所以前=(0,2.0),PC=(23,2,4),所以cosAB.前嘴篇W苏：.所以百线RB与K线PC所成向的氽弦值为故C选项错误；1又由S(21.0.O),BP=(0.2.4).设平面PBC的一个法向址为B=(X,y.z).则口a筋t7令Zj则x=0y=2.所以m=92.1).XAB=0,2.0),设AB与平面PBC所成的角为。，W1.sin=cosI喘鬻短考,所以AB与平面PBC所成用的正弦位为手,故D选项正确.6. （2023虹办宿迁期末市统SS）如图，在正四极柱ABCMBCD冲.底面边长AB=I配极长g=IP为底面ABCD内的动点，且AP与BB,所成的角为30,则下列命题正确
33、的是（）.A.动点P的轨迹长度转B.当W平面A1C1D吐B1.P到平面AQD的距密为1C.立线GP叮底而AHCD所成用的最大的为TD.二面角PA1C1D的他用足上用答案AC解析在正四核杆ABCDABCD中，底面是正方形,傀枝垂直于底面.对于A选项,因为AA1BB,且AF与BU1所成的角为30.所以A1P,jAA1所成角也为30.又因为AA1AP.所以AP=AAd=1.乂因为点P在底面ABa）内，所以点P的轨迹为是A为朋心，1为半径的圈理的四分之一，长度为X2混1.=y,故选项A正确.对于B选项,当BF平面AQD时.点B1到平面A1C1D的跳宓即为B1P到平面A1C1D的距Vdaibici=Is
34、8C*I323VPAIB1.C1.VBIAICID-在aACD中，A1D=C1D=5,A1C,=2,A1C1边上的离为2.设点用到平面AeD的处次为h,则VfbA1.C鬲S1.cehxgx2X2Xh岑解得1呼,故选顶B错误.对于C选项,如图1.连接CP,则线段CP为线段C1P在底面ABCD的投影,故直践C1P与底面ABCD所成的角为ZC1PC,且ta11ZC1PC由选项A可知.当P为正方形ABCD中心时,CP最短为1.此时IanNCrC最大为百,即NGpC故选项C正确.图】对于D选项.当P在线段AB上时,AP=1,BP=21.因为,%，,）是等腰三角形,所以取AC的中点0,连接OD1则0DA,
35、C.加图2.过点P作EM/A1C1交HC于点M,分别连接A,1.C1M.则A,P=C,M=2.故四边形A,PMC,是等腰梯形,取PM的中点N,则ON1.A1C11所以/DON是二面角PA1C1D的平面角.在四边形A1PMC1.A1P=C!=2,A,C,=2,1.,M=2PB=22,故ON=.又B=PM=1.y,故DN=2（1-y）=1.y.由选项B1.01）=2,在aiX）X中.由余弦定理得CoSNDoNJ+K2）f1.0.则有C(0.0.0).A,0.2),B(0,t.0),B,(0.t.2).MIW,2),C1(0.0.2).所以硒=(2,t,2),CM=(1,o),由诵句诵QM=2y=0
36、,解得1.=2由=11.1,2),福=2,2),所以cos=TICMI1.AIB1.612故异面直线CM，A1B所成角的余弦(ft为苧.8. 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1Ip.M=AB=2,BC=I,点P在傀面AIABB,上.若点P到底设AA,和CD的距离相等,fiA1.P的最小值是.答案3解析在平面AABB,上，以A为坐标原点,AB,AA,所在直姓分别为xt.y抽,建立平面直角限标系xAy,如图所示,设P(x,y)(0x2,0y2.则点P到CD的距离为JrT,到AA,的距离为x.HJX=历大即父=卢1.所以A,P=(x-0)2+(y-2)Z=2(-1.)2+33,所以当点P的坐标为
37、(我.I)时.A,P取得最小的.坡小鱼为I四、解答题9. (2024江苏镇江期初考试)如图,已知五四梭柱ABeDAtBcD,中,底面ABCo为菱形,AR,6,AB1,ZBAD60,E为线段B1D,的中点.求CE与平面BC1D所成用的正弦侦.解析取AB中点N,连接DM.在直四梭柱ABCDAB1.CD中.底面ABCD为菱形.NBAD=60,则DM.DC.DD1两两垂直,以D为碌点.分别以IMDC.1)D,所在直线为X他,y轴,Z轴建立空间囱角坐标系Dxyz.如图所示.又AA,=6,Afr4.则A(23.2.0),B(23.2.0),C(0.4.0),D(0,0.0),D1(0.0.6),B,(23
38、.2.6),C1(0.4.6),E(3,1.6),11=0.t1.1.f23x+2y=0.n=0,(4y+6z=0,W1.DB=(23,2,0),西=(0,4,6),痔(3,3,6),设平面BC1D一个法向依为n=(x,y,Z),取x=3.则y=3,2=2,故平面BCR一个法向fit为n=(3,3.2),设CE与平面BC1D所成角为,则sin=cos1.=惮+9+12|一百J3+9+3+362,10. ,设平面MBD的一个法向立为n=(x,y.z),MJnBM=x-y+z=O,nBD=-2y+2z=0.令z=2.得n=(1.2.2).W.h5n=1.1.1.22=0,PFN1.n,FN平面MB
39、I),而FM平面MBI).所以林平面MBI).(2)由知,DF=(,O,-1),则点F到平面MBD的，H离d耳F1.加土鬲.所以点F到平面MBD的坨掰是；.(3) Ih(I)MI.平面MBD的一个法向Jan=(1,2,2),平面ABD的一个法向Ia为靛=(2.0.0).-C8n,福咔糊嗑3所以平面MBD与平面RBD所成角(锐知的余弦仙为去11. (2024江苏携江期初考试)我们称:两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面的央角；由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“衣截曲”.则在正方体中,两个不用合的“表嵌面”的夹角大小不可能为().A.30-B.45*C.60-D.90,答案
