《专题4.10 等比数列的前n项和公式（重难点题型检测）（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题4.10 等比数列的前n项和公式（重难点题型检测）（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx（14页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、专题4.10等比数列的前项和公式（重难点题型检测）一.选IMK（共8小j1.,满分24分，每小题3分）1. （3分）（2022.全国高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3.前15项和为39,则该数列的前IQ项和为（）A.32B.311C.12D.15【解密出路】利用等比数列的性质可汨（5hj-Ss）2=55（工5-另0），代人数据即可汨到答案【裤答过程】解：由等比数列的性垢可符SsJh1-SsCis-$0也为等比数列.XS5=3,Ss=39.故可得（S1.O-S5）2=S5（S15-510）（S10-3）2=3（39-S10）.解得S1.o=12或SII）=-9,因为等比数列各项为
2、正,所以=12.故选：C.2. （3分）（2022河南裔二阶段练习（文）已知等比数列att）的前项和为Sf1.,若4=81.,t=3,则j=（）A.364B.1094C.368D.1092【解亚思路】根期等比数列可求公比q,再按照等比数列求和公式即可知56的值.【解答过程】解：等比数列%的前n项和为S“.4=81.,=3.设公比为qMJq3=1=T=27,所以q=3.则为=三=1092.故选：D.3.（3分）（2020,湖北瑞二期中）己知在等比数列（%1中，3=4.曲三项之和S3=12.则$的通项公式为（）【解Sfi他路】设公比为q,求出首项的的公比q后可得通项公式.【解答过程】设公比为q，M
3、W=41,，解得（T=:或R1.Tf-1.1+a1.q+a1q2=12Iq=IIq=-I所以a”=4或a”=16x（-：）=（-1.）n,2sn.放选：D.4.（3分）（2022江苏省高二阶段练习）己知Sn是各项均为正数的等比数列%的前“项和，若如a.=81,S3=13,则q=（）A.2B.3C.6D.9【解题思路】根据等比数列卜标性埃结合等比数列前项和公式进行求解即可.【解答过程】因为等比数列%1的各项均为正数，所以由%O51.1.成立的n的最大正整数值为（）A.17B.18C.19D.20【解隗思路】根据典JS求汨Sr,=2-2f.=2,由%Sr,得到M-i9n+20S0,解得25nf.U
4、J得数列册是首项为2公比用的等比数列，201.1.-)nn(W-n)所以S1.t=-1.-ZJ=2,0-2,-11,=2928-21-11=29+8*+=2-.IhTnSn.得2午21.-2i，由2:10,可得M-I九+2。so.结介nW,可得2Wnq17.1加,当“=1时，S1=T.不满足国意:当n18时，2ii22）2,0-129.所以7；S“成立的n的最大正整数值为!7.故选：A.6. （3分）（2022,山东烟台高三期中）为响应国家加快芯片生.产制造进程的号3,某芯片生产公司于2020年初购买了套芯片制造设备,该设备第1年的维修费用为20万元,从笫2年到第6年每年维修费用增加4万元，从
5、第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%.设即为第”年的维蟋费用.An为前年的平均维修费用,若440万元,则该设品继续使用.否则从第”年起需对设备进行更新.该设备禽史新的年份为()A2026B.2027C.2028D.2029【解阳思路】前6年的维修W用构成等差数列，笫6年及之后年年的维修费用构成等比数列，分成两郤分单独求和,最后逐一计I?第年的前”年平均维蟋费用，与40作比较即可.【解答过程】设前M午的总雒修费用为S”,=20.6=20+54=40.则S=6卬=iso.A6=307时,-三1+25%=*R-1所以a,=：%=50.an=a7G)I1.7=50-(：)”S1.S1.f1.*-=
6、200Q)n6-1J.则A=邑=0fM_200底)-1)+180_M亡70计鸵得4=誓40,166,1故从第9年起需对设备进行更新,更新的年份为2020+9-1=2028.故选：C.7. (3分)(2022山西运城新三期中)已知数列SJ满足.=-3,%=1,若%=+3,数列b1.t的前anann项和为Sn，且时于任懑的nNTOt-45n-3n-34t+2,则实数r的取做范国是()a-51)b-(511c-1-3d(1【好也!思路】根抠等比数列求=(-3y,进而得bj,由分组求和褥S”，根业;奇佃即可求裤酸伯.【解答过程】=-3必=1,可知a71.为等比数列,所以y(-3)n,故心=机+3=(-
7、J+3.进而Sn=上界+3=+3n,所以Sn-3n-3=，故S”-3n-34t+2.5-j-j(-0-(-0,当n为奇数时，则对任意的奇数上满足”一9十幺口:由于,八丁单调速战，当1=1时g（0=+白0有最大（ft-I所以t-1,IO10X.5/当n为偶数时，满足t-W-宜T由于/=G）”调递减，tN，16Io3316统上可得e-,同理C-4Sn-3n-3nC：-：（-3”,故当n=2时，日一：（-：）=2,r,144X3/Jfnin3粽上：11,202120221,霁0,下列结论正确的是（）A.52O2152。22BS202i022-11.【解曲思路】首先由条件分析出等比数列Sn）的等比取位
8、,即可得到rf是正项递减数列，然后利用这个性质结合题设条件即可判新.【解答过程】.数列%是等比数列.,20202022=A1g2020-aiq2u=0124mi1.011.（j4miO.qO.nO三1.O（a2022-1Vo当忆”U：明俨”：；,郁炉71Va202Z一1。（a202211.与a?。/；.:三三=q综匕OVqV1.工数列SJ是410q3。20211,则仃$20211，52021*1，$2021，。2。22,$2021+$2021a20222021.022所以B博误：7、为力IJn项的枳20211.a30221.7*2022=720“a2022720211所以C错误：M2=a1.a
9、20202102022-f1.4041.04042=(*1.42=02f1.4041=a2021a20221/.T1.421,所以D正确,故选：D.二.多选JB(共4小题，战分16分，每小4分)9. (4分)(2022辽宁高二期末)已知正项等比数列n的前”项和为斗,公比为g,若A1.W=91,则()A.SB=729B.Sa=820C.q=3D.q=9【解阳思路】因为a71.为等比数列,所以当应-5z，SG-S，也构成等比数列根据条件给出的值，求得SB及公比.【解答过程】因为1%为等比数列,所以&$-$2*一&,“也构成等比数列.因为g=1.S6=91,所以(S,-I)2=1(91-S4).得贷
10、-S4-90=-Io)(S4+9)=0.因为%0,所以S1.t0.解得&=10.因为$4-$2=10-1=9.所以Sb-56=1x93=729.S8=729+91=820.故A错误，B正确；因为q2=绐=9,且r0,所以q=3,故C正确.D错误.故选：BC10. (4分)(2022全国高课时练力在公比q为整数的等比数列SQ中,SfI是数列$的前n项和，若j4=32,2+3=12则()A.q=2B.数列St,+2的通项公式为St,+2=21.*+C.S8=254D.数列1。即册是公差为2的等差数列【解题思路】根据给定条件结合等比数列的性质求出等比数列SC的公比和通项及前”更和,再逐一分析各透项即
11、可得解.【解答过程】在等比数列%中,。2%=%。,=32,由二；二号2瞰;二:咪而公比q为整数，T=8,an=2SjI=4p=2-2,（q=2q=2.A正确：511+2=2+*,B正确：5b=29-2=510.C错俣；og21.a7a1.M0则下列结论正确的是（）A.0q1B.a7a1C.Sn的微入值为&D,%的最大值为为【解题思路】粮据JSJeQ71.a7aa1.1.,（V1,所以OVqV1,故A正确.a7-a9=21,0q1,1,所以。的最大值为故D正确.故选：AD.12. （4分）（2022全国前二期末）已知等比数列Q的前”项和为治.且$2=4&，h是由+1与“3的等差中项，数列九满足4
12、,=T-,数列九的前”项和为几，则下列命题正确的是（）A.数列rt的通项公式为时=3n-*8. Sn=3n-1C数列他J的通底公式为九=明蓝二FD.”的取值范阚是日彳）【解题思路】根据已知条件可求出等比数列（6的公比和首项,进而可以求1%和%从而可求.利川裂项相消法可求73讨论数列Ttt）的单调性,即可得出加的范用.【解答过程】A：由Sz=4。1可得。2=，等比数列1.1.）的公比q=3,二aft=a】X3T.I2,+1与如的等差中项,可符2a?=1+1+如BJ2a13=a1+1.+(a32),解得4=2.；.册=2X3=-,，A不正确:S“二誓=ZXdn)-J3-3-1.B正确:C:bn2x
13、3-1.)，不正确:=H5-)+K-5)+-+I(-5)=I(-5)，数列?；)是递熠数列，ASTgxG-)=%*STV%DF故选：BD.三.填SM(共4小三,送分16分，每小题4分)13. (4分)(2022四川省高一期中(X)在各项均为正数的等比数列%中,若SIo=IO,S20=30.则$30=70.【解牌思路】利用等比数列的求和公式的基本盘运竟即得.或利用等比数列前项和的性质求解.【解答过程】设等比数列a1.1.的公比为g.由题可知g1.方法一：由已知条件可列出方程抵(10=三i1.,J。W)两式作商得1.+q=3.V1-g：.q,0=2,.,.S30=*滑=(1+q1.+f1.20)=
14、10(1.+2+4)=70.方法二：由性质5tn+nSn+qn-SmW.S2oSo+qwSu,UP30=110+10q.=2.AS30=S20+Q20Sio=30+40=70.方法三I运用性质与=券(q=1.)由已知条件Sn)=I0,S20=30.易得q3=._$。）2=S1.O（30o）即（30-KOZ=IoX（$30-30）：.S3Q=70.故答案为：70.14. （4分）（2022全国高二课时练习）已知等比数列,J中，a34.S=12,则数列%的通项公式为册=4或r=（-：）-【解即思路】分q=1.q1.,由。3=4,S3=12,利用工卬、法求解.【好卷过程】当q=1时，1.=2=a3=
15、4S3=a1+a2a3=12.：7=1符合超点.此时g=4.当q*I时a3=aiq2=4.S3=累，=】2,二q=-.a1.1.=hqi=（_Js.故数列t的通项公式为a”=4或a“=（-）.放答案为：an=4yXa=（-）.15.4分（2022湖北三模）已知数列aj的通JS公式为册=2n-1.,保持数列art中各项先后顺序不变，在再与a*+（k=12）之间插入2k个I.使它们和原数列的项构成个新的数列位J.记瓦的前n项和为T1,则Tn）O的值为_1.3Q_.【解也思路】根据辅人数的规则,先分析a1.t在btt中对应的项数根据所得可验证在dJ中的项数据此分析他J中瓦到mOO中项的情况即可分组求
16、和得解.【解答过程】因为a*与阳.式上=12）之刖插入产个I.所以以在九中对应的项数为n=fc+2,+22+23+2*1=fc+三=2ft+-2.当/=6时，2+k-2=68,当=7时，2*+fc-2=133,所以6=b6ft.a7=b1.33.且瓦=b70=bt0c=1.%为%)前6项和.因此n=S6+(21+2z1+231+251)+321=；x(1+11)+芸+32=130.21-2故答案为：130.16 .(4分(2022,上海高二期中)“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个总位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为:的小正方形，保留靠角的
17、4个小正方形，记4个小正方形的面积和为工；然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留察知的4个小正方形，记所得的16个小正方形的面积和为Sz：操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃.若5I+S2+5”g,则需要操作的次数n的最小值为3【好跑思路】分别求出Si，S2进而可得5”,可如S1.t足等比数列，再利用等边数列求和公式求Si+Sn.利用琅两性解不等式即可知答案.【解答过程】&是4个边长用的小正方形面枳之和，所以S1.=Gy4.S2是42个边长为C?的小正方形面枳之和，所以S?=(i)2(I)24z=(J)X4p;治是43个边长为Gy的小正方形面积之和.所以工=(
18、1)3Gy43=g)243i所以Sn=IG)，4=(行，所以S是首项为不公比岑的等比数列.所以51+Sz+Sn=1-G)n.所以8+Sz+stan-(洎,所啕F因为f()=C)“在R卜.单词递减.ffii(3)=(；)3=急N0.088?不成立.4)=(1=瞪，。039.即()M所以需耍楝作的次数的最小值为4次，故答案为：4.四.解答JR(共6NB,设分44分)17 .(6分)(2022江苏高二谀时练习)在等比数列中，=.Sion=150.求a?+/+/+/。的值.【解即思路】利用等比数列的奇数项和。偶数项和的关系.即可求耨.【4?答过程】解：设Tj=%+。3+。5+O99.T2=C1.z+。
19、4+。6+1001所以=u,w_1T1-at*aj44s*-2*所以&00=T1.+T2=2T2+r2=3T2150.所以72=+。4+。6+O100=50.18 .(6分)(2022黑龙江齐齐哈尔摘三期中)已知等比数列ar)的前”项和为S11,公比q=2.S3+2=4a2.(I)求数列SJ的通I女公式：(2)若。=(2n-I)On,求数列%)的前1项和73【解趣思路】(I)根据等比数列通项公式及等比数列前n和公式,即可得到方程当尹+2=4(2aJ.蝌出5,再写出共通项即可：(2)首先得到b=(2n-1).2,利用秉公比错位相减法即可得到，通项公式【解答过程】(I)因为数列4为等比数列，且公比
20、q=2,珀+2=4g，所以当/+2=4(2a1),.W1=2,Aian=22n-1=2；I9=(2n-1.)2.7；=1-2+3-22+523+-+(2n-1)2n,27；=122+323+(2n-3)2n+(2n-1)-2”.一褥一几=2+2Z2+2-23+-+22n-(2n-1)-2*=-2+2(2+22+23+2n)-(2n-1.)2”“=-2+2三2P-(2n-1)-2n,=2n*,(3-2n)-6,1-2Tn=(2n-3)2*1+6.19. (8分(2022福建三明.高二阶段练习)已知数列j1.的前n项和为Stt满足3S”=2(4,-1).4是以为首项且公差不为0的等型数列,X3,%
21、成等比数列.求数列a,bn的通项公式：(2)令Cn=anbn,求数列0的前n项和兀.【解密思路】1)根据=1.求出凡的通项公式，求出出的公题进而求出仍J的通1IIn-1.，R占4项公式：(2)利用错位相M法求数列cr的前n1.页和【解答过程】(1)由3S1.t=2(%-D,取n=1.可得3S=2S-1.),又51=%,所以3%=2(1-1),则%=-2.当n2时，由条件可矶产;我”T)两人相减可褥,af,=-2a又4=-2,所以上=-2.所以数列ar是百项为-2,公比为-2的等比数列,故%=(-2)、41W-I因为d=a1=-2,设等差数列S”的公差为d,则bz=-2+d.bi=-2+2d,7
22、=-2+6d,由坛,/,b,成等比数列.所以(-2+2d)Z=(-2+d)(-2+6d),又d#0,所以解得d=3,故6“=3n-5.Srt即可得答案.【解答过程】(I)耨：设2021年陵火电发电盘为%=8亿千瓦时，以后每年度的火力发电报为az,s,因为根据规划.2021年度以后.火电发电歌每年比I年减少2()%所以2021年起，每年的火力发电吊内成数列%,且湎足处=8,n=Jn,1(n2),所以数列atJ型等比数列，公比龙,首项为%=8.所以%=8XQ),.则S1.I=8It91=41.-g)n=40-40g)t*.设2021年度清洁电能发电破为4=4亿千瓦时,以后每年度的湎洁电能发电/为打
23、“，因为根据规划,2021年度以后清洁电能发电量每年比上一年增长25%.所以2021年起M年的清洁电能发电量构成数列b,J且满足瓦=4,b=bn(n2).所以数列S,J是等比数列，公比为(首项为仄=4.所以4=4(三),则.=41.1-I=-161.-g)n=16g)n-16.Sn,即16XGy-1640-40X(1).整理得16X(J+40(i)n56.令(?”=1.则16t+,S6,即16产-56t+400,解机泄11.崂=部=郎4故当n=5时，TnSn,即从2。25年开始,清洁电能总发电I将会超过火色发电总：121. （8分）（2022：海市高二期末）设数列SIj的前n项和为斗,且3Sn
24、=4r,-2（1）求数列a1.1.）的通项公式；（2）设数列垢=1.og2n,对仔N.m1.将数列1%中落入区间（Om+-I,.+?+1内的项的个数记为c11,记数列（CiJ的前m项和为小，求使得Sfn2022的最小整数m.【解四思路】（I）利用时=1.S1n7可求出数列%的通项公式：（玉一玉-1，二，（2）由（I）得砥=2n-1.然后由tn+-1%S0m+2+1.22m2022的最小整数m的值.【解答过程】（I）当n=1.时.3Si=4,-2,1=2,当nN2M1.1.i3S1,=4i-2.W3Sn_1=4an,t-2,WW3Sn-3S_,=4an-2-（4an.1-2）.3a1.t=4an
25、-4an.1.所以%=4a11.所以数列SJ是以2为首顶4为公比的等比数列，所以a”=24n,=22n-i（2）t1.（1）tt）bn=Iog2QnJg2221=2n-1.因为数列b中落入区间（an.-1.,am.2+11内.所以a11t+】b11San+2+1所以22On1）T_12n-1K22-1+1.22n,4,2n22m+3+2,所以22m2022.4m*1+m-42022.）4m+1+m2026.当m=4时，+4=1024+4=10282026,囚为4ib+mm的增大而增大.所以Sm2022的最小整数为5.22.(8分)已知%分等差数列，儿是公比为g的等比数列,ai=bi,a2=b2
26、a1.记&为数列t的前项和.若b*=mA是大于2正整数)，求证:-=(m-1.)1;(2)若。3=勺(i是某一正整数)，求证：g是整数，且数列%中每一项都是数列$中的项：(3)是否存在这样的正数分使等比数列几中有三项成等赛数列？若存在,写出一个g的值,并加以说明：若不存在,请说明理由.【解题思路】(1)根据等比数列.等差数列通项公式和前n项和的基本量,列出等量关,求解即可证明:2)根据等差数列和等比数列通项公式的基本第,结合I为正整数,即可证明i3)假设存在三项满足SS意，根据等比数列和等羌数列丛本僦的计算，列出方程，即可求得满足胭建的!?.【解答过程】(1)设数列an)的公差为d,由a】=b
27、i,aj=b2a1.可得d0,q1.,d=a1(7-1).(a10)；因为b=am.故aq=a1+(m-1.)a1(q-1),q*-*=I+(m-1.)(q-1)=2-m+(m-1.)9.5k-1=刖=(m一1)a.(2)bi三a1.q21.ai=a1+(i-1.)%(q-1).由%=q可得铲=1+(r-I)(Q-i)解得q=1.或q=i-2.但q1.故q=i-2,因为i为正整数.故q是整数：设数列坛中任选一项为几=dqT,只要证明数列Sj中存在某一项an=a1.+(m-1.)a1(q-1).使得=Qm即可即方程qn=h+On-I)(h(q-1.)关于m有正壑数解即可.如苗吁1=1+(m-1.
28、)(q-1).m-1=J=1+Q+z+n-2.也即m=q+qZ+.+q-z.ir=1.H1If1.=-1那么&2r=瓦=c,b2nb2a2z若i=2.则g=0(舍)：若i=3.则Q=1(舍)：若i=4则g为正整数,乂因为=6.02=坛,故只耍考虑/i3时的情况,此时m是正整数.数列1b中任意一项8=aw*1、数列即中的第2+q+q?+q”?项相等.故结论成立.3)设数列6中有三项a11,bzp(mnp,m,n,pN，)成等差数列，则有2q7=fqET+11Qp1设n-m=x1.p-n=y1.(xiyN).则2=a+q.令*=1.y=2则q3-2g1=0.(q-1.)(g2+-1)三0.因为q1故g=(舍去负根).故存在q=竽使对btt中有：.取bn,bmr,bm+3成等基数列
