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1、21.1 二次根式知识点1.二次根式的相关概念：像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。因此，一般地，我们把形如 （a0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 二次根式的特点：（1）在形式上含有二次根号 ，表示 a 的算术平方根。（2）被开方数 a0，即必须是非负数。（3）a 可以是数，也可以是式。（4）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。2.二次根式中字母的取值*围的基本依据：(1)被开方数不小于零。 (2)分母中有字母时，要保证分母不为零。3.二次根式的相关等式：(a0) 相关例题1. 二次根式的概念例题一： 下列各式中， 二次根式的个数是（）考点：二次根式的概念分析
2、：二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可解答：解：3a，有可能是负数，-144是负数不能作为二次根式的被开方数，所以二次根式的个数是3个。点评：本题考查二次根式的概念，注意利用一个数的平方一定是非负数这个知识点变式一:下列各式中，一定是二次根式的有()个。解：被开方数a有可能是负数，不一定是二次根式；被开方数y+z有可能是负数，不一定是二次根式；被开方数一定是非负数，所以一定是二次根式；被开方数一定是正数，所以一定是二次根式；被开方数一定是非负数，所以一定是二次根式；被开方数有可能是负数，不一定是二次根式；一定是二次根式的有3个，故选C点评：用到的知识点为：二次根式的被开方
3、数为非负数；一个数的偶次幂一定是非负数，加上一个正数后一定是正数2. 二次根式中字母的取值*围的基本依据 例题二：函数y=中自变量*的取值*围是_考点：函数自变量的取值*围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式即可求解解答：解：依题意，得*30，解得*3点评：本题考查的是函数自变量取值*围的求法函数自变量的*围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数变式二：若式子有意义，则*的取值*围是
4、_ 考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件分析：根据二次根式及分式有意义的条件解答即可解答：解：根据二次根式的性质可知：*+10，即*1，又因为分式的分母不能为0，所以*的取值*围是*1且*0点评：此题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零3. 二次根式的相关等式例题三：对任意实数a，则下列等式一定成立的是（）ABCD考点：二次根式的性质与化简专题：计算题分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误；B、a为正数时
5、不成立，故本选项错误；C、，故本选项错误D、故本选项正确故选D点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键练习题1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（*0）、2、当*是多少时，在实数*围内有意义？3、当*是多少时，+在实数*围内有意义？4、下列式子中，是二次根式的是（ ） A- B C D*5下列式子中，不是二次根式的是（ ） A B C D6已知一个正方形的面积是5，则它的边长是（ ） A5 B C D以上皆不对7形如_的式子叫做二次根式8面积为a的正方形的边长为_9负数_平方根10、计算1（）2（*0） 2（）2
6、3（）2 4（）2课后作业 1*工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2当*是多少时，+*2在实数*围内有意义？3若+有意义，则=_4.使式子有意义的未知数*有（ ）个 A0 B1 C2 D无数5. 已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值6、计算（1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2 (5)练习题与课后作业答案练习题1、 解：二次根式有：、（*0）、-、（*0，y0）；不是二次根式的有：、2、 解：由3*-10，得：*， 当*时，在实数*围内有意义3、 解：依题意，得 由得：*- 由得：*-1
7、当*-且*-1时，+在实数*围内有意义4A 5D 6B7（a0） 89没有10、解：（1）因为*0，所以*+10 （）2=*+1 （2）a20，（）2=a2 （3）a2+2a+1=（a+1）2 又（a+1）20，a2+2a+10 ，=a2+2a+1 （4）4*2-12*+9=（2*）2-22*3+32=（2*-3）2 又（2*-3）204*2-12*+90，（）2=4*2-12*+9作业题1设底面边长为*，则0.2*2=1，解答：*= 2依题意得：，当*-且*0时，*2在实数*围内没有意义3. 4B 5a=5，b=-46、（1）（）2=9 （2）-（）2=-3 （3）（）2=6=（4）（-3）
8、2=9=6 (5)-621.2二次根式的乘除法知识点1. 二次根式的乘法 2. 二次根式的除法有两种常用方法：（1） 利用公式：（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。3. 化简二次根式的步骤：（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。（2）应用（3）将平方式（或平方数）应用 把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。相关例题二次根式的乘法及其化简例4计算 （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用（a0，b0）计算即可 解：（1）=（2）=（3）=9（4）=变式四化简（1） （2） （3）（4） （5） 分析：利用=（a0，b0）直接化简即可 解：（1）=34=12 （2）=
9、49=36 （3）=910=90 （4）=3*y （5）=3二次函数的除法及其化简例题五 计算：（1） （2） （3） （4） 分析：上面4小题利用=（a0，b0）便可直接得出答案解：（1）=2 （2）=2（3）=2（4）=2变式五化简： （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用=（a0，b0）就可以达到化简之目的解：（1）= （2）= （3）= （4）=练习题 1计算的结果是（ ） A B C D2阅读下列运算过程：，3分母有理化:(1)=_;(2)=_;(3)=_.4已知*=3，y=4，z=5，则的最后结果是_5. 已知，且*为偶数，求（1+*）的值6. 观察下列各式，通过分母有理数
10、，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （+）（+1）的值答案 1A 2C3(1);(2);(3) 45.分析：式子=，只有a0，b0时才能成立因此得到9-*0且*-60，即6*9，又因为*为偶数，所以*=8 解：由题意得，即 60，n0） （2）-3（） （a0）6已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程： 解：-a=a-a=（a-1）7若*、y为实数，且y=，求的值答案1* 2- 3.分析：式子=，只有a0，b0时才能成立因此得到9-*0且*-60，即6*9，又因
11、为*为偶数，所以*=8 解：由题意得，即 6*9 *为偶数 *=8 原式=（1+*） =（1+*） =（1+*）= 当*=8时，原式的值=64设：矩形房梁的宽为*（cm），则长为*cm，依题意，得：（*）2+*2=（3）2，4*2=915，*=（cm），*=*2=（cm2）5（1）原式-=-=-=- （2）原式=-2=-2=-a6不正确，正确解答：因为，所以a0，原式-a=-a=-a+=(1-a)7 *-4=0，*=2，但*+20，*=2，y= .21.3二次根式的加减法知识点1. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。2. 二次根式
12、加减运算的步骤：(一化，二找，三合并)（1）将每个二次根式化为最简二次根式。（2） 找出其中的同类二次根式。（3）合并同类二次根式。 3. 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用。 相关例题同类二次根式例题七计算 （1）+ （2）+分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12变式七已知4*2+y2-4*-6y+10=0，求（+y2）-（*2-5*）的值 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2*-1）2+（y-3）2=0，即
13、*=，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值 解：4*2+y2-4*-6y+10=0 4*2-4*+1+y2-6y+9=0 （2*-1）2+（y-3）2=0 *=，y=3 原式=+y2-*2+5* =2*+-*+5 =*+6 当*=，y=3时， 原式=+6=+3注意 （1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并二次根式的加减计算:例题八 （1）（+） （2）（4-3）2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律 解：（1）（+）=+ =+=3+2 解：（4-3）2=42
14、-32=2-变式八已知=2-，其中a、b是实数，且a+b0，化简+，并求值 分析：由于（+）（-）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到*的值，代入化简得结果即可解：原式=+=+ =（*+1）+*-2+*+2 =4*+2=2 - b（*-b）=2ab-a（*-a） b*-b2=2ab-a*+ （a+b）*=+2ab+ （a+b）*= a+b0 *=a+b原式=4*+2=4（a+b）+2二次根式的混合运算例题九 下列运算正确的是（）ABCD考点：二次根式的混合运算。专题：计算题。分析：根据二次根式运算的法则，分别计算得出各答案的值，即可得出正确答案解答
15、：解：A5，故此选项错误；B443，故此选项错误；C3，故此选项错误；D6，故此选项正确故选：D点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待，变式九计算：考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂分析：（1）各项化为最简根式、去绝对值号、去括号，然后进行四则混合运算即可；解答：（1）解：原式=点评：本题主要考察二次根式的混合运算，分式的混合运算，负整数指数幂，解题的关键在于首先对各项进行化简，然后在进行运算练习题1. 下列根式中，与是同类二
16、次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 与是同类二次根式 C. 与不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是cm。4. 已知，则。5. 计算：. . . . 答案 1.B 2.A3. ； 4. 10；5. ；课后作业4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 3 D. -36. 若，则的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
17、A. B. C. 1 D. 317. 计算及化简：. . . . 18. 已知：，求的值。答案 1.C 2.C 3.C 4.C 5. ；6. 5； 二次根式单元练习题一、选择题1使有意义的的取值*围是（ ）2一个自然数的算术平方根为，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ）（A）（B）（C）（D）3若，则等于（ ）（A）0 （B） （C） （D）0或4若，则化简得（ ）（A） （B） （C） （D）5若，则的结果为（ ）（A） （B） （C） （D）6已知是实数，且，则与的大小关系是（ ）（A） （B） （C） （D）7已知下列命题：； ； 其中正确的有（ ）（A）0个 （B）1个
18、（C）2个 （D）3个8若与化成最简二次根式后的被开方数相同，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）9当时，化简等于（ ）（A）2 （B） （C） （D）010化简得（ ）（A）2 （B） （C） （D）二、填空题11若的平方根是，则12当时，式子有意义13已知：最简二次根式与的被开方数相同，则14若是的整数部分，是的小数部分，则，15已知，且，则满足上式的整数对有_16若，则17若，且成立的条件是_ 18若，则等于_ 三、解答题1 9计算下列各题：（1）； （2）20已知，求的值 21已知是实数，且，求的值.22若与互为相反数，求代数式的值.23若满足，求的最大值和最小值.参考答案与试
19、题解析一、选择题（共9小题）解：A、=，计算正确；B、+，不能合并，原题计算错误；C、=2，计算正确；D、=2，计算正确故选：B2.解：若腰长为2，则有225，故此情况不合题意，舍去；若腰长为5，则三角形的周长=25+2=10+2故选：B3.解：*+y=2a，*y=a（a1），*，y均为负数，0，=2故选：D解：ab0，a+b0，a0，b0=，被开方数应0a，b不能做被开方数，（故错误），=1，=1，（故正确），=b，=b，（故正确）故选：B5.解：=3，=15，=6，可得：k=3，m=2，n=5，则mkn故选D6.解：原式=2+1=3故选C点评：此题考查了二次根式的乘除法，以及零指数幂，熟练
20、掌握运算法则是解本题的关键7.解：A、不是同类二次根式，不能合并，故错误；B、D、开平方是错误的；C、符合合并同类二次根式的法则，正确故选C8.解：2=23=1故选B9.解：原式=当（a3）2=0，即a=3时代数式的值最小，为即3故选B二、填空题10.解：由题意得，2*0且*0，解得*2且*0故答案为：*2且*0点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数11.解：*1=+，*2=，*12+*22=（*1+*2）22*1*2=（+）22（+）（）=122=10故答案为：1012.解：由a1+b1+c1=+2+2+1+2=3（+1），a2+b2+c2=9（+1），an+bn+=3n（+1），an+bn+2014（+1）（+）=2014（+1），3n2014，则36201437，n最小整数是7故答案为：713.解：由题意得*29=0，解得*=3，y=4，*y=1或7故答案为1或7三、解答题14.解：原式=461+=431+=15.解：原式=54+45=016.解：原式=13+4=13+22+，=117.解：原式=（）21+23=2118.解：原式=，当*=时，*+10，可知=*+1，故原式=；19.解：（1）验证：；（2）或验证：20解：原式=，当时，原式=点评：此题考查分式的化简与求值，主要的知识点是因式分解、通分、约分等
