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1、二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如的式子叫做二次根式.注：在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意：因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而,等都不是二次根式. 例1下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式：、x0、-、x0,y0 分析：二次根式应满足两个条件：第一,有二次根号；第二,被开方数是正数或0知识点二：取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可.2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a0时
2、,没有意义.例2当x是多少时,在实数范围内有意义？例3当x是多少时,+在实数范围内有意义？知识点三：二次根式的非负性表示a的算术平方根,也就是说,是一个非负数,即0.注：因为二次根式表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数的算术平方根是非负数,即0,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似.这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0；若,则a=0,b=0；若,则a=0,b=0.例4已知y=+5,求的值若+=0,求a2004+b2004的值知识点四：二次根式的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.注：二次
3、根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论.上面的公式也可以反过来应用：若,则,如：,. 例1 计算 12 232 32 42例2在实数范围内分解下列因式: 1x2-3 2x4-4 2x2-3知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.注：1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即；若a是负数,则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义；3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简. 例1 化简 1 2 3 4例2 填空：当a0时,=_；当aa,则a是什么数
4、？例3当x2,化简-知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中,而中a可以是正实数,0,负实数.但与都是非负数,即,.因而它的运算的结果是有差别的,而2、相同点：当被开方数都是非负数,即时,=；时,无意义,而.知识点七：二次根式的乘除1、 乘法a0,b0 反过来：=a0,b02、除法=a0,b0 反过来,=a0,b0 思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同,因为b在分母,所以不能为0 例1计算 14 2 3 4例2 化简1 2 3 4 例3判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正： 1 2=4=4=4=8
5、例4计算：1 2 3 4 例5化简： 1 2 3 4例6已知,且x为偶数,求1+x的值3、最简二次根式应满足的条件：1被开方数不含分母或分母中不含二次根式；2被开方数中不含开得尽方的因数或因式熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2或2的倍数,若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件,就不是最简二次根式例1把下列二次根式化为最简二次根式; ; 4、化简最简二次根式的方法： 把被开方数化成积的形式,即分解因式； 化去根号内的分母或分母中的根号,即分母有理化； 将根号内能开得尽方的因数开出来此步需要特别注意的是：开
6、到根号外的时候要带绝对值,注意符号问题5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：与；与；与；与说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化13、同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫同类二次根式. 判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式.如与知识点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式即同类二次根式进行合并.合并方法为：将系数相加减,二次根式部分不变,不能合并的直接抄下来. 例1计算1+ 2+ 分析：第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步,将相同的最简二次根式进行合并 解：1+=2+3=
7、2+3=5 2+=4+8=4+8=12 例2计算 13-9+32+-例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求+y2-x2-5x的值2、二次根式的混合运算：先计算括号内,再乘方开方,再乘除,再加减3、二次根式的比较：1若,则有；2若,则有3将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大小例4比较3与4的大小知识点九：二次根式的运算： 1因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式,那么先分解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面2二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式3二次根式的乘除法：二次根式相乘除,将被开方数相乘除,所得的积商仍作积商的被开方数并将运算结果化为最简二次根式=a0,b0；b0,a04有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律与结合律,乘法对加法的分配律以与多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算
